專題04矩形、菱形、正方形性質(zhì)與判定期末真題匯編之八大題型利用矩形的性質(zhì)求角度或線段長例題：（23-24七年級上·福建福州·期末）如圖，是矩形中邊的中點，將沿折疊到在矩形內(nèi)部，延長交于點，若，則．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級下·吉林松原·期末）如圖，在矩形中，O，E分別為的中點．若，則的長為．2．（22-23八年級下·云南楚雄·期末）如圖，在矩形中，對角線，交于點，，，垂足為，若，則的長為．3．（22-23八年級上·四川成都·期末）如圖，四邊形為長方形，是延長線上一點，是上一點，滿足，則與的比值為．

矩形的性質(zhì)與判定綜合問題例題：（22-23八年級下·云南臨滄·期末）如圖，在中，，，點在邊上運動（不與、兩點重合），，．

(1)求證：四邊形是矩形．(2)連接，當(dāng)線段最短時，，求此時的值．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級下·海南儋州·期末）如圖，在平行四邊形中，平分，平分，且，．

(1)求證：；(2)求證：四邊形是矩形；(3)若，，求的長．2．（22-23八年級下·青海西寧·期末）如圖，在菱形中，對角線，交于點O，點E為的中點，于點F，過點O作交于點．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，．求的長．3．（22-23八年級下·河北承德·期末）如圖，在矩形中，，，，是對角線上的兩個動點，分別從，同時出發(fā)相向而行，速度均為每秒個單位長度，設(shè)運動時間為秒．

(1)_______，_______；（用含的代數(shù)式表示）(2)若，分別是，的中點，①當(dāng)點，不重合時，求證：四邊形是平行四邊形；②當(dāng)為何值時，四邊形為矩形?利用菱形的性質(zhì)求角度或線段長例題：（23-24九年級上·四川成都·期末）如圖，在菱形中，，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑作弧相交于M，N兩點，過M，N兩點的直線交邊于點E（作圖痕跡如圖所示），連接，．則的度數(shù)為．

【變式訓(xùn)練】1．（23-24九年級上·陜西西安·期末）如圖，菱形的對角線，相交于點，若,，則的長為.2．（23-24九年級上·遼寧丹東·期末）如圖，菱形中，交于點，于點，連接，若，則．3．（23-24九年級上·江西吉安·期末）菱形中，，，，垂足為，點在菱形的邊上，若，則的長為．

菱形的性質(zhì)與判定綜合問題例題：（22-23八年級下·安徽合肥·期末）如圖，在菱形中，四條邊的垂直平分線、、、交于M、N、P、Q四點．

(1)連接，求證：點M在的垂直平分線上；(2)判斷四邊形的形狀，并說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級下·福建泉州·期末）（1）探究：如圖1，在中，，線段是邊上的中線．①請通過測量，試猜想與的數(shù)量關(guān)系是__________；②證明你的猜想；（2）應(yīng)用（1）的結(jié)論解決問題：如圖2，在菱形中，對角線和相交于點，，過點作直線，點在線段上且不與點重合，以為邊作矩形，使得點在直線上（點不與點重合），連接，試求的度數(shù)．2．（22-23八年級下·廣西貴港·期末）【問題情境】在如下的三個圖中，四邊形都是平行四邊形，的平分線與直線交于點E，與直線交于點F．【思考發(fā)現(xiàn)】（1）在圖1中，線段的數(shù)量關(guān)系是______；【探究論證】（2）如圖2，若，G是的中點，連接．求證：是等腰直角三角形；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，若，交的延長線于點H，點K在上且，連接，求的度數(shù)．

利用正方形的性質(zhì)求角度或線段長例題：（23-24九年級上·陜西寶雞·期末）如圖，正方形的對角線，交于點O，P為邊上一點，且，則的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級下·河南新鄉(xiāng)·期末）在正方形的外側(cè)以為邊作等邊，連接，則的度數(shù)是．

2．（22-23八年級下·云南昆明·期末）如圖，正方形的對角線、相交于點，是上的一點，連接，過點作，交于點，若四邊形的面積是，則的長為．3．（22-23八年級下·四川瀘州·期末）如圖，線段的長為12，點D在線段上運動，以為邊長作等邊．再以為邊長，在線段上方作正方形，記正方形的對角線交點為O．連接，則線段的最小值為．正方形的性質(zhì)與判定綜合問題例題：（23-24八年級上·江蘇宿遷·期末）在中，，，以為邊在三角形外部作正方形．(1)如圖1，在正方形內(nèi)部作，若，，則正方形的面積為________；(2)如圖2，在正方形內(nèi)部作正方形、正方形，，，、、分別表示四邊形、四邊形、四邊形的面積；①探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②若，點恰好在線段上，求的值．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級下·遼寧葫蘆島·期末）如圖，兩條外角平分線交于點D，，過點D作于點E，于點F．

(1)求證：四邊形是正方形；(2)若，點C為的中點，直接寫出的長．2．（22-23八年級下·遼寧撫順·期末）如圖，邊長為4的正方形中，點是上一點，過點作交射線于點，連接．(1)求證：；(2)若，直接寫出的長．3．（20-21八年級下·廣東廣州·期末）已知：四邊形ABCD是正方形，，點E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，AD，DC上．(1)如圖1，若，，則的度數(shù)為________；(2)如圖2，若，點E，F(xiàn)分別是AB，BC上的動點，求的周長；(3)如圖3，若，GF和EH交于點O，且，求EH的長度．添加一個條件使四邊形是矩形、菱形、正方形例題：（23-24九年級上·湖南邵陽·期末）如圖，在四邊形中，，，連接，相交于點．請增加一個條件，使得四邊形是矩形，增加的條件為．（填一個即可）【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級下·福建廈門·期末）如圖，在四邊形中，對角線與相交于點O，，平分．給出下列兩個條件：①，②；從二者中選擇一個作為補充條件，使四邊形是菱形，這個條件是．（填寫序號）2．（22-23九年級上·山西運城·期末）如圖，已知四邊形是菱形，從①，②，③中選擇一個作為條件后，使四邊形成為正方形，則應(yīng)該選擇的是．（僅填序號）3．（21-22八年級下·山東濟(jì)寧·期末）如圖，已知點D在△ABC的BC邊上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加條件，則四邊形AEDF是矩形；若添加條件，則四邊形AEDF是菱形；若添加條件，則四邊形AEDF是正方形．矩形、菱形、正方形中無刻度作圖例題：（23-24九年級上·浙江·期末）如圖，正方形，矩形并排放置，．請用一把無刻度直尺完成下列作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中作中點G；(2)在圖2的邊上找點，使得．【變式訓(xùn)練】1．（23-24九年級上·江西吉安·期末）如圖，菱形的邊上的一點E（不與A，B重合），請僅用無刻度的直尺畫圖．(1)使（保留畫圖痕跡）；(2)在上找到點G，使，作出等腰．2．（23-24九年級上·江西九江·期末）如圖，四邊形為矩形，且有．請用無刻度直尺完成下列作圖，保留必要的畫圖痕跡．

(1)在圖1中求作邊的中點；(2)在圖2中的邊上求作點，使．3．（22-23八年級下·江蘇揚州·期末）如圖，已知正方形為上任意一點，請僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．（用虛線表示畫圖過程，實線表示畫圖結(jié)果）(1)在邊上找點，使得直線將正方形的面積平均分成相等的兩部分；（在圖1中完成）(2)在邊上找點，使得；（在圖2中完成）(3)連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，作出旋轉(zhuǎn)后的三角形．（在圖3中完成）一、單選題1．（23-24九年級上·貴州貴陽·期末）如圖，在矩形中，對角線，交于點O，若，，則對角線的長是（

）A．4 B．3 C．2 D．12．（23-24九年級上·貴州畢節(jié)·期末）如圖，菱形的對角線相交于點O，E為的中點，連接．若菱形的周長為72，則的長為（

）A．3 B．6 C．9 D．123．（23-24九年級上·云南文山·期末）如圖，在四邊形中，對角線、相交于點，且，，下列說法錯誤的是（

）A．四邊形是平行四邊形B．若，四邊形是菱形C．若，四邊形是矩形D．若，四邊形是正方形4．（22-23八年級下·浙江寧波·期末）如圖，在矩形中，對角線，交于點，點為邊上一點，過分別作，，垂足為點，，過作，垂足為點，若知道與的周長和，則一定能求出（）A．的周長 B．的周長C．的周長 D．四邊形APFH的周長5．（23-24九年級上·重慶沙坪壩·期末）如圖，在正方形中，點E，F(xiàn)分別在，上，滿足，連接，，點P，Q分別是，的中點，連接．若．則可以用α表示為（）A．α B． C． D．二、填空題6．（22-23八年級上·廣西欽州·期末）如圖，在菱形中，，，E、F是，上兩個動點，且，的最小值為．7．（23-24八年級上·四川成都·期末）如圖，在長方形中，，，點E為上一點，，點F為長方形邊上一動點，將沿直線EF翻折，當(dāng)點A的對應(yīng)點恰好落在邊上時，折痕的長度為．8．（23-24九年級上·河南南陽·期末）如圖，在菱形中，，，交于點，為的中點，連接并延長，交于點，點為的中點，連接，則．9．（22-23八年級上·廣東深圳·期末）如圖，在矩形中，，點E為上一點，將沿翻折至，延長交于點O，交的延長線于點G，且，則的長為．10．（23-24九年級上·江西九江·期末）如圖，點，分別在正方形的邊，上，，，，點是的中點，過點的直線與正方形的一組對邊交于點，

（與點，不重合），點在或上．若，則的長為．三、解答題11．（22-23八年級下·浙江寧波·期末）如圖，在中，為線段的中點，延長交的延長線于點，連接，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，求的長．12．（22-23八年級下·江蘇宿遷·期末）如圖，菱形的對角線、相交于點O，，，與交于點F．(1)求證：四邊形的為矩形；(2)若，，求菱形的面積．13．（23-24八年級上·重慶渝中·期末）如圖，在直角中，，B是邊上一點，連接，O為的中點，過C作交延長線于D，且平分，連接．

(1)求證：四邊形是菱形．(2)連接交于F，，求的度數(shù)．14．（23-24八年級上·山東濰坊·期末）如圖，在平行四邊形中，的平分線交于點，的平分線交于點，點、分別是和的中點，連接．(1)求證：；(2)連接，若，請判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論；(3)當(dāng)，且四邊形為菱形時，求的值．15．（23-24八年級上·浙江溫州·期末）如圖，已知正方形的邊長為1，點在延長線上，連接，，過點作交的延長線于點，連接．

(1)求證：．(2)設(shè)，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．(3)當(dāng)時，求的值．16．（23-24八年級上·山東煙臺·期末）【問題呈現(xiàn)】四邊形和都是正方形，直線，交于點P．【問題解決】（1）如圖1，點G在邊上，判斷線段和的關(guān)系，并證明；【類比探究】（2）如圖2，將正方形繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一個銳角．①（1）中線段和的關(guān)系是否仍成立？說明理由；②若正方形的邊長為，對角線與的交點為O，在正方形的旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出點P與點O的距離________．17．（22-23九年級上·陜西西安·期末）在菱形中，，是直線上一動點，以為邊向右側(cè)作等邊，，按逆時針排列），點的位置隨點的位置變化而變化．

(1)如圖1，當(dāng)點在線段上，且點在菱形內(nèi)部或邊上時，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是，與的位置關(guān)系是；(2)如圖