第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年云南省大理民族中學(xué)高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（6月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足(2?i)z=3+i，則z的虛部是(

)A.?1 B.1 C.?i D.i2.在空間中，若兩條直線a與b沒(méi)有公共點(diǎn)，則a與b(

)A.相交 B.平行

C.是異面直線 D.可能平行，也可能是異面直線3.高一年級(jí)有男生510人，女生490人，小明按男女比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，總樣本量為100.則在男生中抽取的樣本量為(

)A.48 B.51 C.50 D.494.在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P，Q在線段BD上，且|PQ|=2，則AP?AQ的最小值為(

)A.2 B.2 C.1 D.5.某圓錐的底面半徑為4，母線長(zhǎng)為5，則下列關(guān)于此圓錐的說(shuō)法正確的是(

)A.圓錐的體積為48π B.圓錐的表面積為20π

C.過(guò)圓錐兩條母線的截面面積最大值為252 D.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為6.設(shè)α，β為兩個(gè)不同的平面，則α/?/β的一個(gè)充分條件可以是(

)A.α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行 B.α，β垂直于同一條直線

C.α，β平行于同一條直線 D.α，β垂直于同一個(gè)平面7.已知向量a，b滿足|a|=2，b=(3,0)，|a?b|=A.(16,0) B.(13,0)8.北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用．刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制)，多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和，例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是π3，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為2π?3×π3=π，故其總曲率為4π，則四棱錐的總曲率為A.2π B.4π C.5π D.6π二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在正方體ABCD?A1B1A.A1C1⊥BD B.B1C與BD所成的角為60°

C.二面角A1?BC?D的平面角為10.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，原點(diǎn)為O，i為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.設(shè)z=3+4i1?2i，則|z|=5

B.若點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(?1,1)，則z?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限

C.若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，則z為純虛數(shù)的充要條件是a=0

D.若11.《周髀算經(jīng)》中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大的正方形，若圖中直角三角形兩銳角分別為α、β，其中小正方形的面積為4，大正方形面積為9，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.每一個(gè)直角三角形的面積為54

B.3cosβ?3cosα=2

C.3sinβ?3sinα=2

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若球的體積是92π，則球的表面積是______．13.為了解全市高三學(xué)生的體能素質(zhì)情況，在全市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取了1000名學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，并將這1000名學(xué)生的體能測(cè)試成績(jī)整理成如下頻率分布直方圖.則直方圖中實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____．14.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且3cosA+sinA=2，則角A=______；若a=2，則△ABC面積的最大值為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖所示，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，過(guò)點(diǎn)A分別作AE⊥PB，AF⊥PC，E，F(xiàn)分別為垂足．

(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；

(2)求證：EF⊥PB．16.(本小題15分)

記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知3ccosA+csinA=3b．

(1)求角C；

(2)若△ABC的周長(zhǎng)為20，面積為17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐O?ABCD中，底面ABCD是菱形，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．

(1)求證：直線MN/?/平面OCD．

(2)過(guò)點(diǎn)C，D，M的平面與棱OB交于點(diǎn)Q，求證Q是OB的中點(diǎn)．18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，且AB=3，AD=2，側(cè)面PAD是等腰三角形，且PA=PD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD.(Ⅰ)求證：AP⊥平面PCD；

(Ⅱ)求側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的正弦值．19.(本小題17分)

如圖，是一座“雙塔鋼結(jié)構(gòu)自錨式懸索橋”，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線，懸鏈線方程為y=c2(exc+exc)(c為參數(shù)，e≈2.71828)，當(dāng)c=1時(shí)，該方程就是雙曲余弦函數(shù)cos?(x)=12(ex+e?x)，類似的有雙曲正弦函數(shù)sin?(x)=12

答案1.B

2.D

3.B

4.C

5.C

6.B

7.C

8.B

9.AB

10.ABD

11.ACD

12.9π

13.0.015

14.π6

2+15.證明：(1)因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，

所以PA⊥BC，

又∠ACB=90°，即BC⊥AC，PA∩AC，

所以BC⊥平面PAC，

而B(niǎo)C?平面PBC，

所以平面PAC⊥平面PBC；

(2)由(1)平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，AF⊥PC，AF?平面PAC，

所以AF⊥平面PBC，而PB?平面PBC，

所以AF⊥PB，

又因?yàn)锳E⊥PB，AE∩AF=A，

可得PB⊥平面AEF，而EF?平面AEF，

所以EF⊥PB．

16.解：(1)3ccosA+csinA=3b，

由正弦定理，得3sinCcosA+sinCsinA=3sinB=3sin(A+C)，

3sinCcosA+sinCsinA=3sinAcosC+3sinCcosA，

sinCsinA=3sinAcosC，又0<A<180°，得sinA>0，

所以sinC=3cosC，即tanC=sinCcosC=3，

由0<C<180°，解得C=60°；17.證明：(1)取OB的中點(diǎn)E，連接EM，EN，

因?yàn)镸，N分別為OA，BC的中點(diǎn)，

所以EM/?/AB，EN/?/OC，

因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，即AB/?/CD，所以EM/?/CD，

EM?平面OCD，CD?平面OCD，

所以EM/?/平面OCD，

同理可得EN/?/平面OCD，

EM∩EN=Q，

所以平面EMN/?/平面OCD，

又因?yàn)镸N?平面EMN，

所以MN/?/平面OCD；

(2)C，D，M的平面與棱OB交于點(diǎn)Q，

因?yàn)镃D/?/AB，AB?平面OAB，CD?平面OAB，

平面ACMQ∩平面OAB=MQ，

所以CD//MQ，

所以AB//QM，

所以Q為OB的中點(diǎn)，即Q與中點(diǎn)E重合．

求證Q是OB的中點(diǎn)．

18.(Ⅰ)證明：在△APD中，AD=2，PA=PD=2，

∴AD2=AP2+DP2，∴AP⊥DP，

又∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，

AD⊥CD，CD?平面ABCD，∴CD⊥平面APD，∴CD⊥AP，

∵CD∩DP=D，∴AP⊥平面PCD；

(Ⅱ)解：取AD的中點(diǎn)為M，連接PM，∵PA=PD，所以PM⊥AD，

又∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，

∴PM⊥平面ABCD，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥BC，垂足為G，連接PG，

∴BC⊥平面PMG，∴∠PGM為側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角