高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)練習(xí)題

一、解答題

1.已矢口函數(shù)/(x)=xcosx-sinx-e",xw［O,句.

⑴求,⑺的最大值；

(2)證明：evsinx+ev-2>xercosx+x-l；

⑶若/3+2加+e<20恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2.已知函數(shù)〃x)滿足〃力=々，"0,/(1)=1,/(0)=-2,

⑴求函數(shù)“X)的表達(dá)式；

(2)若"0,數(shù)列｛%｝滿足4='，設(shè)"=；T,求數(shù)列出｝

3\an)%

的通項(xiàng)公式.

3.已知函數(shù)/(x)=e2*-2(e+l)e'+2ex.

⑴若函數(shù)g(x)=/(x)-。有三個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

(2)若/(為)=/E)=/包)(“<演<士)，證明：xl+x2>0.

4.已知函數(shù)f(x)=2x+4-lnx.

X

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若x產(chǎn)占且/(玉)=/仁)，求證：中2<1.

5.已知橢圓(7:￡+點(diǎn)=1(">"0)的離心率是弓，6、鳥分別是橢圓C的左、

右焦點(diǎn)，以線段花段為直徑的圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為6.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵已知點(diǎn)P(瘋2佝，直線/：y=x+〃?與橢圓C交于4B兩點(diǎn)，求△PAB面積的

最大值.

6.求函數(shù)〃尤)=。爐-4犬+4在區(qū)間1,3上的最大值與最小值.

7.已知函數(shù)/(%)=lnx

⑴過原點(diǎn)作/⑴的切線/,求/的方程；

⑵令g(x)=￡F，求g(x)Na在［五,e［恒成立，求〃的取值范圍

8.已知函數(shù)/(X)=一丁+21nx,^(x)=x+-(aeR).

x

⑴求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)/(X)與g(x)有相同的極值點(diǎn)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間g,3］上的最值.

9.設(shè)函數(shù)/(》)=。2幺+奴-31nx+l,其中a>o.

⑴求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若y=/(x)的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)，求”的取值范圍.

10.已知函數(shù)〃x)=W+S-l)x+l

⑴當(dāng)“=6=T時(shí)，求曲線y=〃x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

⑵當(dāng)Ova—,且x>2時(shí)，f(x)>枷]“(了-力恒成立，求b的取值范圍.

【參考答案】

一、解答題

1.(l)/U)?x=-e-2

(2)證明見解析

(3)?e\，+8)

【解析】

【分析】

(1)直接利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最大值；

(2)利用分析法，轉(zhuǎn)化為證明子>f(x).令g(x)=M，xe[0^],利用導(dǎo)數(shù)求

出g(X)2g(2)=-e-2,而/(。皿=八。)=-廠，即可證明；

(3)把問題轉(zhuǎn)化為xcosx—sinx+2ax3>0恒成立，令/?(x)=xcosx—sinx+2ox3,

xe[0,;r],二次求導(dǎo)后，令儀x)=6ar-sinx,對(duì)。分類討論：i.a?—，，ii.a：,

oo

iii.-7<a<1，分別利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算即可求解.

OO

⑴

,?*/(x)=xcosx-sinx-e_2,xe[0,,

.f'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsin%,0,；./僅)在[0,河上單調(diào)遞減,

2

/Wmax=/(0)=-e-.

⑵

要證e*sinx+e、-2>xe*cosx+x—l,只要證^^>xcosx-sinx-e-2,即證Lj>f(x),

令g(x)=詈，xe［O,司，貝=

故g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減;g(x)在(2,H)上單調(diào)遞增,所以g(x)2g(2)=-

e-2,

又f(x)<-e~2,且等號(hào)不同時(shí)取到，所以e"sinx+eL2>xevcosx+x-l

(3)

/(x)+2nr3+e-2>0,等價(jià)于xcosx—sinx+2ax3>0,

令h(x)=xcosx—sinx+lax3,工?0,句,則//(x)=-^inx+6or2=x(6ax-sinx),

令9(x)=6or-sinx,貝(J"(x)=6。-cosx,

i.當(dāng)a《一，時(shí)，(x)?0,所以夕(x)在［0,R］上遞減，所以°(x)?o(0)=。，

o

所以"(x)W0,所以6(x)在［0,河上遞減，所以/?(x)46(0)=0,不合題意.

ii.當(dāng)時(shí)，<p'(x)..O,所以s(x)在［0,汨上遞增，所以0(x)..0(O)=O

所以〃(x)20,所以Mx)在［0,河上遞增，所以h(x)助(0)=0,符合題意.

iii.當(dāng)一!VaV!時(shí)，因?yàn)閍'(0)=6a-l<0,s'(萬)=1+6。>0,且Q(x)在［0,兀］上遞

66

增，

所以切e［0,句,使得“(%)=0,

所以當(dāng)xe(0,與)時(shí)，夕(x)<0,此時(shí)*(x)在(0,Xo)上遞減，所以

9(x)<g(0)=0,

所以"(x)<0,所以6(x)在(0,X。)上遞減，所以Mx)<6(0)=0,不合題

息j35r.

綜上可得：a?3+0°)?

【點(diǎn)睛】

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要

的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：

⑴考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.

(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).

⑶利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題.

⑷考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

2.■或/(處=丁;;

x+12x-\

(2也=上

【解析】

【分析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù)，然后列方程組求得。力，得函數(shù)解析式；

2一

(2)由(1)得f(x)=T，求出｛%｝的遞推關(guān)系，從而得出電｝的遞推式，得

其為等比數(shù)列，從而易得通項(xiàng)公式.

⑴

a=2

由題意尸。)=-消齊，所以JU?-1，解得"=T或

,19

。=-1-乂b=—

f\0)=-2ab=-22

21

所以〃x)=UT或/⑸=七1

⑵

2

?<0,貝療(x)=-

X+1

b”=；7,則"+i=Ja，又=

%L%4

所以的｝是等比數(shù)列，2=gxg產(chǎn)=￡.

3.(l)(-e2,-2e-l)

⑵證明見詳解

【解析】

【分析】

(1)令e*=/換元得函數(shù)〃⑺=產(chǎn)-2(e+l?+2eln/j>0,然后通過導(dǎo)數(shù)求極值,根

據(jù)與函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)可得；

(2)構(gòu)造函數(shù)砥。=/7⑺-歙3,通過導(dǎo)數(shù)研究在區(qū)間d，e)上的單調(diào)性，然后由

t

單調(diào)性結(jié)合已知可證.

(1)

令e*=/,則x=ln1，t己人⑺=產(chǎn)-2(e+l)r+2eInr,r>0

^/z,(f)=2f-2(e+l)+—=2(/-1)(/-e)-=0,得4="=e

tt

當(dāng)Ovf<l時(shí),h'(t)>0,l<t<e時(shí),/7(r)<0,f>e時(shí)，h'(t)>0

所以當(dāng)r=l時(shí)，W)取得極大值以D=-2e-l,r=e時(shí)，"⑺取得極大值〃(e)=-e2,

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=/(x)-a有三個(gè)零點(diǎn)=y=/z⑺與y=”有三個(gè)交點(diǎn)，

所以-e?<a<-2e-1，即a的取值范圍為(-e?,-2e-l).

(2)

i己相Q)=/?(/)-//(-)=/2-2(e+l)r+2eln/-■v+2(e+l)--2eln-

trtt

=r-2(e+l)r+4elnr--：+"+”

rt

〃、cc,八4e22(e+l)2/4-2(e+l)z3+4e/2-2(e+l)r+2

m'(t)=2r-2(e+l)+——+——一二=-----------------------

tttr

記n(t)=2/4-2(e+l)f3+4et2-2(e+l)t+2

則n'(f)=8?-6(e+1)/+8er-2(e+1)

記s(f)=8f3-6(e+1)產(chǎn)+8ef—2(e+1)

則s'⑴=24*-12(e+?+8e

易知s'⑺在區(qū)間(1,e)上單調(diào)遞增，所以y(0>/(l)=12-4e>0

所以s(r)在區(qū)間(l,e)上單調(diào)遞增，所以s(t)>s⑴=0

所以?(0在區(qū)間(1,e)上單調(diào)遞增,所以n(t)>n(l)=0

所以，〃⑺在區(qū)間(l,e)上單調(diào)遞增

因?yàn)?(占)=/(毛)=/(三)(占。2〈三)，記e'=L，e*=G，e*=t3

所以如)=貼)=也)(《氣J)

由(1)可知，Oyvljvej

所以m(t2)=h(t2)-h(-)>m(l)=O,即/z(r2)>/i(-)

，2，2

又〃&)=〃&),所以〃(G?(J)

因?yàn)閘j<e,所以。<；<1

’2

由(1)知〃⑺在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，所以格>1,即峭+處=%>1

所以X1+*2>0

【點(diǎn)睛】

本題第二問屬于極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造一元差函數(shù)，通常構(gòu)造成

F(x)=/(玉>+x)-/(玉)-x)或F(x)=f{x}~/(2x0-x),本題由于采取了換元法轉(zhuǎn)化問

題，因此構(gòu)造函數(shù)為"?")=帕)

t

4.(1)減區(qū)間(0,1),增區(qū)間(L-),極小值3,

⑵證明見解析

【解析】

【分析】

(1)依據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系去求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值即可；

（2）構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性去證明玉々<1即可.

⑴

/(x)=2x+--lnx(x>0),貝ljf\x)=2--_1=(Z±±2)CL_Q(x>0)

XXX

由（（x）>0得x>l,由/'（x）<0得0cxe1,

即/（處減區(qū)間為（0,1）,增區(qū)間為（1,內(nèi)），

在x=l時(shí)/（x）取得極小值/⑴=2+1-0=3,無極大值.

⑵

不妨設(shè)&<三且/（耳）=/（々）=。，貝1」0<用<1,X>],a>3,0<—<1

2"2

令人（工）=f（x）-a=2x+--\nx-a（x>0）,則力（玉）=/2（馬）=0

如）=2-」=（2川）,歸）,

XXX

則當(dāng)X>1時(shí)/⑶>0,力⑴單調(diào)遞增；當(dāng)0<xvl時(shí)以幻<（）,力*）單調(diào)遞減

由力（無2）=2々+—-lnx2-6F=0,得。=2入2+--Inx2

X2X2

11=

貝ljh\—=---F%,+In方-2x2----In/j----+2In9

令f=，，貝ijL-w+Zln/=1-1-21n.(0<l<l)

令機(jī)(r)=f-；-21nr(0<r<l),則加⑺=i+4__2=i￡zll

,2

即加（。=，一；一2111?0<，<1）為增函數(shù)，

又加⑴=1-1-0=0,則m（。=/-；-2111/<0在（0,1）上恒成立.

1

則從-L=J々+21nx2co恒成立，則〃—j</2（X,）,

又0<x<l時(shí)人（x）單調(diào)遞減，0<-<1

X?

貝故為了2<1

5.⑴

⑵苧

【解析】

【分析】

⑴根據(jù)正弦定理可得見=2c,根據(jù)離心率可得￡=*,據(jù)此可求出a、c,

sinoOa2

再利用從=/-02可求匕，據(jù)此可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）利用點(diǎn)到直線距離公式求出P到直線/的距離d,聯(lián)立直線/與橢圓C的方

程，求出|AB|,S^PAB=^\AB\-d,研究%"表達(dá)式單調(diào)性判斷最大值即可.

⑴

由題可知,

sin60

⑵

設(shè)3(4力),

r+￡=iz

由，42得，3x?+4mx+2m2-4=0,

y=x+

2

△=16"-12x(2機(jī)2—4)=-g>+48>o,tn<69B|J-V6<m<>/6,

4〃22m2-4

*'?X\+X2=--Y，玉Z=---，

/.|AB|=yjl+k2-|x,一司=Jl+公，+芻)~一4百々

_r--116m28裙-16_4,6->

-+*V-93--~3-，

尸（五2佝到直線/：x~y+m=0的距離為4=叱速叫

Jr+（-i）2V2

11.i.1476-w2

eDJ〃L飼

S.MB=2'AB'd=2X--3一m

令娓-m=te?,2咐,貝lj刃=后一7,

plljS.MB=與卜J-(f->)2+6=*-,產(chǎn)卜*+2倔)=[J-J+2府,

令g(f)=7+2而1e(0,2")，

則g[f)=-4/3+6將。=2t2(-2/+3V6),

當(dāng)0</<乎時(shí)，g<f)>0,g⑺單調(diào)遞增,

當(dāng)乎<r<2"時(shí)，g'⑺<0,g(「)單調(diào)遞減，

故當(dāng)"半，即初=一半時(shí)，g(t)取最大值，取最大值,

最大值為：—xV6+—xJ6---

3I2JVI2J2

6.最小值為"2)=-1最大值為/已)=誓

3I5/6I

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與最值情況.

【詳解】

由〃x)=gx3-4x+4,

得/■'(力=/-4

令/'(x)=0.得x=±2

?，xe§，3,所以工=-2舍去,

列表如下:

1

X(2,3)3

32

<0<00>0>0

_4

217單調(diào)遞減單調(diào)遞增

~31

???/(X)的極小值為/(2)=-1

又/(；卜答,"3)=1,

所以，/(x)的最小值為〃2)=-g,最大值為了

7.(l)y=-x；

e

4

(2)”.

【解析】

【分析】

(1)設(shè)切線的方程為丫=丘，設(shè)切點(diǎn)為Q[nr),求出f=e即得解;

(2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g(x)在［A,e［上的單調(diào)區(qū)間即得解.

⑴

解：設(shè)切線的方程為尸履，設(shè)切點(diǎn)為“，Inf),

因?yàn)?'(x)=(,則%=/")=；

所以切線方程為y-lnf=#T)即y=*lni

由題得lnf-l=O則/=e

...切線/的方程為y=L.

e

(2)

解：g，(x)=E^,

當(dāng)正<x<e時(shí)，g'(x)〉O;e<x<e，口寸，g'(x)<。，

所以函數(shù)飄為在(G,e)單調(diào)遞增，在(ed)單調(diào)遞減，

??,")=左，g(C號(hào)

441

因?yàn)?<藤=麻

所以最小值g(e4)=［.：.a<±.

8.⑴單增區(qū)間為(0,1),單減區(qū)間為(1,+?0

(2)g(x)而n=2,g(x)a=￥

【解析】

【分析】

(1)求導(dǎo)之后，分別令r(x)>0,/'(x)<0即可求出“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)由有相同的極值點(diǎn)求出“的值，再利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出g(x)在區(qū)間

川上的最值.

⑴

/(X)的定義域：(0,+8)

/M)=_2X+Z=2(X-1),

XX

由r(x)>o得o<x<i,由r(x)<。得x>i,

“X)的單增區(qū)間為(0,1),單減區(qū)間為(1,四).

(2)

g，(x)=l-￡,由(1)知〃X)的極值點(diǎn)為1.

?.?函數(shù)”X)與g(x)有相同的極值點(diǎn)，

=即1一。=0,6Z=1,

從而g(x)=x+Lg(x)在?[]上單調(diào)遞減，在0,3]上遞增，

xL乙_

又g出=|，g(3)=J,

，在區(qū)間片3上，g(xL=g(l)=2,g(x)1nJ號(hào).

9.(1)在(0,[上單調(diào)遞減，在(：,+8)上單調(diào)遞增

⑵(”)

【解析】

【分析】

(1)求導(dǎo)，根據(jù)定義域和。的范圍，討論導(dǎo)數(shù)符號(hào)可得單調(diào)區(qū)間；

(2)由(1)中單調(diào)性可得函數(shù)最小值，由最小值大于0可解.

⑴

函數(shù)“X)的定義域?yàn)?。，+8),

、c232a2x2+ax-3(2ox+3)(ar-l)

/(x)=2ax+a——=-----------=-------------

xxx

由于〃>0且%￡(0,+8),所以2ar+3>0,令/。)=0,解得工」，

a

當(dāng)xe(0,J,1(x)<0,函數(shù)〃x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(g+cc],r(x)>0,函數(shù)/")單調(diào)遞增，

“(X)在(0，/上單調(diào)遞減,在g+8)上單調(diào)遞增.

⑵

要使y=〃X)的圖像與X軸沒有公共點(diǎn)，所以只需/。*“>。即可，由(1)知

/(x)min=/[-)=l+l-31n-+l=3-31n-=3+31n?>0,

\ajaa

解得a>L即。的取值范圍為d,R)

ee

10.(l)y=2x+5

⑵[T,+°0)

【解析】

【分析】

(1)求出［