空間向量及其線性運算一、內(nèi)容及內(nèi)容解析1.內(nèi)容（1）空間向量及相關概念（2）空間向量的概念、表示法，以及長度（模）、零向量、單位向量、相反向量、共線向量（平行向量）、相等向量等相關概念（3）空間向量的線性運算（4）空間向量線性運算的運算律（5）空間向量共線的充要條件（6）空間向量共面的充要條件本單元教學需2課時.第一課時，空間向量及其運算；其次課時，空間向量的數(shù)量積運算.這里給出第一課時的教學設計.2.內(nèi)容解析（1）內(nèi)容的本質(zhì)向量是具有大小和方向的量，這一概念既適用于平面，也適用于空間.事實上，平面對量都可以看作空間向量，空間向量的概念、表示與平面對量具有一樣性.另外，由于隨意兩個空間向量都可以平移到一個平面內(nèi)，兩個空間向量的加法、數(shù)乘、數(shù)量積運算與平面對量也具有一樣性.因此學習本節(jié)內(nèi)容的主要方法是類比，即類比平面對量的相關概念學習空間向量的相關概念，類比平面對量的運算學習空間向量的運算，類比用平面對量解決平面幾何問題的方法利用空間向量解決簡潔的立體幾何問題.教學中，要充分關注這種學習的可遷移性，激勵學生自主探究，在梳理平面對量及其運算的學習內(nèi)容、過程和方法的基礎上，類比提出空間向量及其運算的學習內(nèi)容、過程和方法，將平面對量及其運算推廣到空間.（2）蘊含的思想與方法教學中，要結合詳細問題，引導學生類比利用平面對量解決平面幾何問題的“三步曲”的思路和方法.（3）培育的數(shù)學核心素養(yǎng)學習利用空間向量解決立體幾何問題，從中體會用空間向量解決立體幾何問題的基本思路和方法，發(fā)展數(shù)學運算、邏輯推理等數(shù)學學科核心素養(yǎng).（4）教學重點在用空間向量解決立體幾何問題的過程中，首先要用空間向量表示立體圖形中的幾何元素，然后利用空間向量的運算探討空間圖形之間的平行、垂直等位置關系以及距離、夾角等度量問題，最終再把空間向量運算的結果“翻譯”成相應的幾何結論.因此，空間向量的概念及其運算的內(nèi)容是用空間向量解決立體幾何問題的基礎，也是本節(jié)教學的重點.二、目標與目標解析1.本單元教學目標閱歷由平面對量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念.閱歷由平面對量的運算及其法則推廣到空間向量的過程.駕馭空間向量的線性運算和數(shù)量積運算.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義.2.目標解析達成上述目標的標記是：通過留意引導學生與平面對量及其運算作類比，讓學生閱歷向量由平面對空間推廣的過程；結合詳細實例，學生能在老師啟發(fā)引導下，駕馭在綻開空間向量及其運算內(nèi)容時,教科書同步支配了利用空間向量解決相關的簡潔立體幾何問題的實例；嫻熟駕馭空間向量的基本概念和基本運算.三、教學問題診斷分析1.問題診斷在本節(jié)學習中，由于學生已有“立體幾何初步”的基礎，已有空間直線、平面平行、垂直等概念，將向量的概念、運算從平面推廣到空間對學生來說并不困難，但這一過程仍要一步步地進行.由于現(xiàn)在探討的范圍已由平面擴展到空間，而我們探討的是自由向量，一個向量可以確定空間的一個平移，兩個不平行向量確定的平面已經(jīng)不只是一個平面，而是相互平行的“平面集”，這些都須要學生對向量有新的理解.另外，盡管在形式上空間向量的運算、運算律和平面對量一樣，但在空間它們的幾何表示是不同的，因此須要學生在空間上進一步體會其運算法則、驗證其運算律，提高空間想象力，發(fā)展直觀想象的數(shù)學學科核心素養(yǎng).2.教學難點在本節(jié)，教科書在給出共線、共面對量的充要條件之后，支配了證明立體幾何中四點共面的問題；在數(shù)量積運算之后支配了證明直線與平面垂直的判定定理以及其他一些簡潔的立體幾何問題等.對于這些問題，盡管學生已經(jīng)有了用平面對量解決平面幾何問題的一些閱歷，但是由于初次接觸用空間向量解決立體幾何問題，圖形的維數(shù)增加了，也更加抽象了，學生對于如何用空間向量表示立體圖形中的相關元素，如何通過運算得出這些元素間的幾何關系還比較生疏，因此這是本節(jié)教學中的難點.四、教學支持條件分析1.技術支持利用電腦、互聯(lián)網(wǎng),可以特別便利快捷地查找到有關史料故事、拓寬視野,感悟數(shù)學的文化價值,提高學生的數(shù)學文化素養(yǎng)；借助計算器或電腦,可以計算較大數(shù)目的數(shù)量,獲得比較精準的數(shù)值；借助實物投影或PPT，展示學生的學習成果，2.學問儲備讓學生體驗“文化背景一方法探究——求和公式—公式應用”的完整過程.五、課時教學設計1.1.1空間向量及其線性運算1.課時教學內(nèi)容本節(jié)包括空間向量及相關概念、空間向量的加減運算、空間向量的數(shù)乘運算、空間向量的數(shù)量積運算等內(nèi)容.2.課時教學目標類比平面對量引入了空間向量及相關概念、空間向量的表示、共線向量與相等向量，并類比平面對量的加減、數(shù)乘運算和運算律，引入空間向量的加減、數(shù)乘運算和運算律，類比平面對量探討空間向量的共線、共面問題.通過本小節(jié)的學習，應使學生理解空間向量及相關概念，駕馭空間向量的表示，駕馭空間向量的加減、數(shù)乘運算及其運算律等內(nèi)容，并能借助圖形理解空間向量線性運算及其運算律的意義.3.教學重點、難點重點：空間向量及其相關概念，空間向量的線性運算，空間向量的數(shù)量積.難點：用向量方法解決立體幾何問題.4.教學過程設計環(huán)節(jié)一創(chuàng)設情境引入課題引導語章前圖展示的是一個做滑翔傘運動的場景．可以想象，在滑翔過程中，飛行員會受到來自不同方向、大小各異的力，例如繩索的拉力、風力、重力等．明顯，這些力不在同一個平面內(nèi)，聯(lián)想用平面對量解決物理問題的方法，你能否把平面對量推廣到空間向量，從而利用空間向量探討滑翔運動呢？師生活動學生獨立思索、作答，老師展示探討路徑，板書空間向量及其運算，揭曉課題：下面我們類比平面對量探討空間向量，先從空間向量的概念和表示起先．［設計意圖］主要方法是類比，即類比平面對量的相關概念學習空間向量的相關概念，類比平面對量的運算學習空間向量的運算，類比用平面對量解決平面幾何問題的方法利用空間向量解決簡潔的立體幾何問題.教，使學生親歷探討的過程，積累基本活動閱歷.問題情境1問題1能否類比平面對量，給空間向量下個定義？與平面對量一樣，在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量(spacevector)，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模(modulus)．空間向量用字母?，，，…表示．空間中點的位移、物體運動的速度、物體受到的力等都可以用空間向量表示．?印刷體用合體，書寫用，與平面對量一樣，空間向量也用有向線段表示，有向線段的長度表示空間向量的模．問題2空間向量是平面對量的推廣，能否給出一些空間向量相關概念？如圖1.1-1，向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或．圖1.1-2所示的正方體中，過同一個頂點的三條棱上的三條有向線段表示的三個向量為，，，它們是不共面的向量，即它們是不同在任何一個平面內(nèi)的三個向量．空間向量是平面對量的推廣，其表示方法以及一些相關概念與平面對量一樣．環(huán)節(jié)二視察分析感知概念與平面對量一樣，我們規(guī)定，長度為0的向量叫做零向量(zerovector)，記為．當有向線段的起點與終點重合時，．模為1的向量叫做單位向量(unitvector)．與向量長度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，記為．假如表示若干空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合，那么這些向量叫做共線向量(collinervectors)或平行向量(parallelvectors)．我們規(guī)定：零向量與隨意向量平行，即對于隨意向量，都有．方向相同且模相等的向量叫做相等向量(equalvectors)．因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量．空間向量是自由的，所以對于空間中的隨意兩個非零向量，我們都可以通過平移使它們的起點重合．因為兩條相交直線確定一個平面，所以起點重合的兩個不共線向量可以確定一個平面，也就是說，隨意兩個空間向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量．環(huán)節(jié)三抽象概括形成概念問題3類比平面對量的線性運算，空間向量的加法、減法如何定義？如圖1.1-3，已知空間向量，，以隨意點為起點，作向量，，我們就可以把它們平移到同一個平面內(nèi)．數(shù)學中，引進一種量后，一個很自然的問題就是要探討它們的運算．由于隨意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，這樣隨意兩個空間向量的運算就可以轉(zhuǎn)化為平面對量的運算．由此，我們把平面對量的線性運算推廣到空間，定義空間向量的加法、減法(圖1.1-4)以及數(shù)乘運算(圖1.1-5)：（1）；（2）；（3）當時，；當時，；當時，．環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念問題4想一想，向量線性運算的結果，與向量起點的選擇有關系嗎？與平面對量一樣，空間向量的線性運算滿意以下運算律(其中)：交換律：；結合律：，；支配律：，．問題5你能證明這些運算律嗎？證明結合律時，與證明平面對量的結合律有什么不同？如圖1.1-6，在平行六面體中，分別標出，表示的向量．從中你能體會向量加法運算的交換律和結合律嗎？一般地，三個不共面的向量的和與這三個向量有什么關系?可以發(fā)覺，，一般地，對于三個不共面的向量，，，以隨意點為起點，，，為鄰邊作平行六面體，則，，的和等于以為起點的平行六面體對角線所表示的向量．另外，利用向量加法的交換律和結合律，還可以得到：有限個向量求和，交換相加向量的依次，其和不變．探究1對隨意兩個空間向量與，假如，與有什么位置關系？反過來，與有什么位置關系時，?類似于平面對量共線的充要條件，對隨意兩個空間向量，，的充要條件是存在實數(shù)，使．如圖1.1-7，是直線上一點，在直線上取非零向量，則對于直線上隨意一點，由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)，使得．我們把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量(directionvector)．這樣，直線上隨意一點都可以由直線上的一點和它的方向向量表示，也就是說，直線可以由其上一點和它的方向向量確定．如圖1.1-8，假如表示向量的有向線段所在的直線與直線平行或重合，那么稱向量平行于直線．假如直線平行于平面或在平面內(nèi)，那么稱向量平行于平面．平行于同一個平面的向量，叫做共面對量(coplanarvectors)．我們知道，隨意兩個空間向量總是共面的，但三個空間向量既可能是共面的，也可能是不共面的．問題6，什么狀況下三個空間向量共面呢？探究2對平面內(nèi)隨意兩個不共線向量，，由平面對量基本定理可知，這個平面內(nèi)的隨意一個向量可以寫成，其中是唯一確定的有序?qū)崝?shù)對．對兩個不共線的空間向量，，假如，那么向量與向量，有什么位置關系？反過來，向量與向量，有什么位置關系時，？可以發(fā)覺，假如兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使．環(huán)節(jié)五概念應用鞏固內(nèi)化例1如圖1.1-9，已知平行四邊形，過平面外一點，作射線，，，，在四條射線上分別取點，，，，使．求證：，，，四點共面．分析：欲證，，，四點共面，只需證明，，共面．而由已知，，共面，可以利用向量運算由，，共面的表達式推得，，共面的表達式．證明：因為，所以，，，．因為四邊形是平行四邊形，所以．因此．由向量共面的充要條件可知，，，共面，又，，過同一點，從而，，，四點共面．選擇恰當?shù)南蛄勘硎締栴}中的幾何元素，通過向量運算得出幾何元素的關系，是解決立體幾何問題的常用方法．環(huán)節(jié)六歸納總結反思提升本節(jié)課的學習我們知道向量是具有大小和方向的量，這一概念既適用于平面，也適用于空間.由于空間向量是平面向量的推廣，因此空間向量及其相關概念、空間向量的表示法等與平面對量都是一樣的.類比平面對量引入了空間向量及相關概念、空間向量的表示、共線向量與相等向量，并類比平面對量的加減、數(shù)乘運算和運算律，引入空間向量的加減、數(shù)乘運算和運算律，類比平面對量探討空間向量的共線、共面問題理解空間向量及相關概念，駕馭空間向量的表示，駕馭空間向量的加減、數(shù)乘運算及其運算律等內(nèi)容，并能借助圖形理解空間向量線性運算及其運算律的意義.問題7請同學們回顧本節(jié)課的學習內(nèi)容,并回答下列問題：本節(jié)課學習的概念有哪些？本節(jié)課體現(xiàn)的主要數(shù)學思想方法有哪些》環(huán)節(jié)七 目標檢測，作業(yè)布置作業(yè)布置：教科書P5練習—練習（第5頁）1．舉出一些表示三個不同在一個平面內(nèi)的向量的實例．1．解：三棱錐中，，，不同在一個平面內(nèi)；長方體中，，，不同在一個平面內(nèi)．生活中的例子，如墻角的三條棱所在的直線可用于表示三個不同在一個平面內(nèi)的向量．2．如圖，，分別是長方體的棱，的中點．