2025屆北京市密云縣名校九年級數(shù)學第一學期期末預測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．設拋物線的頂點為M,與y軸交于N點，連接直線MN，直線MN與坐標軸所圍三角形的面積記為S.下面哪個選項的拋物線滿足S=1()A． B．C． D．(a為任意常數(shù))2．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，下列關系中錯誤的是（）A．b＝c?cosB B．b＝a?tanB C．b＝c?sinB D．a＝b?tanA3．下列方程式屬于一元二次方程的是（）A． B． C． D．4．老師設計了接力游戲，用合作的方式完成“求拋物線的頂點坐標”，規(guī)則如下：每人只能看到前一人給的式子，并進行一步計算，再將結果傳遞給下一人，最后完成解答.過程如圖所示：接力中，自己負責的一步出現(xiàn)錯誤的是（）A．只有丁 B．乙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁5．拋物線如圖所示，給出以下結論：①，②，③，④，⑤，其中正確的個數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個6．在一個不透明的袋子中共裝有紅、黃、藍三種顏色的小球，這些球除顏色外都相同，其中有3個紅球，5個黃球，若隨機摸出一個紅球的概率為，則這個袋子中藍球的個數(shù)是（）A．3個 B．4個 C．5個 D．12個7．已知和的半徑長分別是方程的兩根，且，則和的位置關系為（）A．相交 B．內切 C．內含 D．外切8．若正方形的外接圓半徑為2，則其內切圓半徑為（）A．2 B． C． D．19．如圖，點，分別在反比例函數(shù)，的圖象上．若，，則的值為（）A． B． C． D．10．如圖1，圖2是甲、乙兩位同學設置的“數(shù)值轉換機”的示意圖，若輸入的，則輸出的結果分別為（）A．9，23 B．23，9 C．9，29 D．29，9二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，已知直線y＝﹣x+2分別與x軸，y軸交于A，B兩點，與雙曲線y＝交于E，F(xiàn)兩點，若AB＝2EF，則k的值是_____．12．如圖，在平面直角坐標系中有兩點和，以原點為位似中心，相似比為，把線段縮短為線段，其中點與點對應，點與點對應，且在y軸右側，則點的坐標為________.13．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點G是△ABC的重心，且AG⊥CG，CG的延長線交AB于H．則S△AGH：S△ABC的值為____．14．已知拋物線與軸的一個交點坐標為，則一元二次方程的根為______________．15．如圖，PA與⊙O相切于點A，AB是⊙O的直徑，在⊙O上存在一點C滿足PA＝PC，連結PB、AC相交于點F，且∠APB＝3∠BPC，則＝_____．16．某電視臺招聘一名記者，甲應聘參加了采訪寫作、計算機操作和創(chuàng)意設計的三項素質測試得分分別為70、60、90，三項成績依次按照5:2:3計算出最后成績，那么甲的成績?yōu)開_．17．某校九年1班共有45位學生，其中男生有25人，現(xiàn)從中任選一位學生，選中女生的概率是____．18．半徑為10cm的半圓圍成一個圓錐，則這個圓錐的高是__cm．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，AC為圓O的直徑，弦AD的延長線與過點C的切線交于點B，E為BC中點，AC=，BC=4.（1）求證：DE為圓O的切線；（2）求陰影部分面積.20．（6分）為倡導綠色出行，某市推行“共享單車”公益活動，在某小區(qū)分別投放甲、乙兩種不同款型的共享單車，甲型、乙型單車投放成本分別為元和元，乙型車的成本單價比甲型車便宜元，但兩種類型共享單車的投放量相同，求甲型共享單車的單價是多少元？21．（6分）已知二次函數(shù)（k是常數(shù)）(1)求此函數(shù)的頂點坐標.(2)當時，隨的增大而減小，求的取值范圍.(3)當時，該函數(shù)有最大值，求的值.22．（8分）在一個三角形中，如果有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么就稱這個三角形為“智慧三角形”．（1）如圖1，已知、是⊙上兩點，請在圓上畫出滿足條件的點，使為“智慧三角形”，并說明理由；（2）如圖2，是等邊三角形，，以點為圓心，的半徑為1畫圓，為邊上的一動點，過點作的一條切線，切點為，求的最小值；（3）如圖3，在平面直角坐標系中，⊙的半徑為1，點是直線上的一點，若在⊙上存在一點，使得為“智慧三角形”，當其面積取得最小值時，求出此時點的坐標．23．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點坐標分別為O（0，0），A（6，0），B（4，3），C（0，3）．動點P從點O出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿邊OA向終點A運動；動點Q從點B同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿邊BC向終點C運動．設運動的時間為t秒，PQ2＝y(tǒng)．（1）直接寫出y關于t的函數(shù)解析式及t的取值范圍：；（2）當PQ＝時，求t的值；（3）連接OB交PQ于點D，若雙曲線（k≠0）經(jīng)過點D，問k的值是否變化？若不變化，請求出k的值；若變化，請說明理由．24．（8分）某商場購進一種單價為30元的商品，如果以單價55元售出，那么每天可賣出200個，根據(jù)銷售經(jīng)驗，每降價1元，每天可多賣出10個．假設每個降價x（元）時，每天獲得的利潤為W（元）．則降價多少元時，每天獲得的利潤最大？25．（10分）如圖，在中，以為直徑的交于點，連接，.（1）求證：是的切線；（2）若，求點到的距離.26．（10分）如圖，在南北方向的海岸線上，有兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船的求救信號．已知兩船相距海里，船在船的北偏東60°方向上，船在船的東南方向上，上有一觀測點，測得船正好在觀測點的南偏東75°方向上．（1）分別求出與，與間的距離和；(本問如果有根號，結果請保留根號)(此提示可以幫助你解題:∵，∴)(2)已知距觀測點處100海里范圍內有暗礁，若巡邏船沿直線去營救船，去營救的途中有無觸礁的危險?(參考數(shù)據(jù):)

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【分析】求出各選項中M、N兩點的坐標，再求面積S，進行判斷即可；【詳解】A選項中，M點坐標為（1，1），N點坐標為（0，-2），，故A選項不滿足；B選項中，M點坐標為，N點坐標為（0，），，故B選項不滿足；C選項中，M點坐標為(2，），點N坐標為（0，1），，故選項C不滿足；D選項中，M點坐標為（，），點N坐標為（0，2），，當a=1時，S=1，故選項D滿足；【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.2、A【分析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，則tanA＝，tanB＝，cosB＝，sinB＝；因而b＝c?sinB＝a?tanB，a＝b?tanA，錯誤的是b＝c?cosB．故選：A．【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義,熟記定義是解題的關鍵.3、D【解析】根據(jù)一元二次方程的定義逐項進行判斷即可.【詳解】A、是一元三次方程，故不符合題意；B、是分式方程，故不符合題意；C、是二元二次方程，故不符合題意；D、是一元二次方程，符合題意.故選：D.【點睛】本題考查一元二次方程的定義，熟練掌握定義是關鍵.4、D【分析】觀察每一項的變化，發(fā)現(xiàn)甲將老師給的式子中等式右邊縮小兩倍，到了丁處根據(jù)丙的式子得出了錯誤的頂點坐標.【詳解】解：，可得頂點坐標為（-1，-6），根據(jù)題中過程可知從甲開始出錯，按照此步驟下去到了丁處可得頂點應為（1，-3），所以錯誤的只有甲和丁.故選D.【點睛】本題考查了求二次函數(shù)的頂點坐標和配方法，解題的關鍵是掌握配方法化頂點式的方法.5、D【分析】根據(jù)拋物線開口方向、拋物線的對稱軸位置和拋物線與y軸的交點位置可判斷a、b、c的符號，再根據(jù)與x軸的交點坐標代入分析即可得到結果；【詳解】∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線的對稱軸在y軸的右側，∴b＜0，∵拋物線與y軸的交點在x軸的下方，∴c＜0，∴ab＜0，故①②正確；當x=-1時，，故③正確；當x=1時，根據(jù)圖象可得，故④正確；根據(jù)函數(shù)圖像與x軸有兩個交點可得，故⑤正確；故答案選D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，準確分析每一個數(shù)據(jù)是解題的關鍵．6、B【分析】設藍球有x個，根據(jù)摸出一個球是紅球的概率是，得出方程即可求出x．【詳解】設藍球有x個，依題意得解得x=4，經(jīng)檢驗，x=4是原方程的解，故藍球有4個，選B.【點睛】此題主要考查了概率公式的應用，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．得到所求的情況數(shù)是解決本題的關鍵．7、A【解析】解答此題，先要求一元二次方程的兩根，然后根據(jù)圓與圓的位置關系判斷條件，確定位置關系．圓心距<兩個半徑和，說明兩圓相交.【詳解】解：解方程x2-6x+8=0得：

x1=2，x2=4，

∵O1O2=5，x2-x1=2，x2+x1=6，

∴x2-x1＜O1O2＜x2+x1．

∴⊙O1與⊙O2相交．

故選A．【點睛】此題綜合考查一元二次方程的解法及兩圓的位置關系的判斷，關鍵解出兩圓半徑．8、B【解析】試題解析：如圖所示，連接OA、OE，∵AB是小圓的切線，∴OE⊥AB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AE=OE，∴△AOE是等腰直角三角形，故選B.9、A【分析】分別過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D，根據(jù)點A所在的圖象可設點A的坐標為（），根據(jù)相似三角形的判定證出△BDO∽△OCA，列出比例式即可求出點B的坐標，然后代入中即可求出的值．【詳解】解：分別過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D，∵點在反比例函數(shù)，設點A的坐標為（），則OC=x，AC=，∴∠BDO=∠OCA=90°∵∴∠BOD＋∠AOC=180°－∠AOB=90°，∠OAC＋∠AOC=90°∴∠BOD=∠OAC∴△BDO∽△OCA∴解得：OD=2AC=，BD=2OC=2x，∵點B在第二象限∴點B的坐標為（）將點B坐標代入中，解得故選A．【點睛】此題考查的是求反比例函數(shù)解析式相似三角形的判定及性質，掌握用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和構造相似三角形的方法是解決此題的關鍵．10、D【分析】根據(jù)題意分別把m=-2代入甲、乙兩位同學設置的“數(shù)值轉換機”求值即可．【詳解】解：甲的“數(shù)值轉換機”：當時，(-2)2+52=4+25=29，乙的“數(shù)值轉換機”:當時，[(-2)+5]2=32=9，故選D.【點睛】本題考查了求代數(shù)式的值.解題關鍵是根據(jù)數(shù)值轉換機的圖示分清運算順序.二、填空題(每小題3分,共24分)11、．【分析】作FH⊥x軸，EC⊥y軸，F(xiàn)H與EC交于D，先利用一次函數(shù)圖像上的點的坐標特征得到A點（2，0），B點（0，2），易得△AOB為等腰直角三角形，則AB＝2，所以，EF＝AB＝，且△DEF為等腰直角三角形，則FD＝DE＝EF＝1，設F點坐標是：（t，﹣t+2），E點坐標為（t+1，﹣t+1），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征得到t（﹣t+2）＝（t+1）?（﹣t+1），解得t＝，則E點坐標為（，），繼而可求得k的值．【詳解】如圖，作FH⊥x軸，EC⊥y軸，F(xiàn)H與EC交于D，由直線y＝﹣x+2可知A點坐標為（2，0），B點坐標為（0，2），OA＝OB＝2，∴△AOB為等腰直角三角形，∴AB＝2，∴EF＝AB＝，∴△DEF為等腰直角三角形，∴FD＝DE＝EF＝1，設F點橫坐標為t，代入y＝﹣x+2，則縱坐標是﹣t+2，則F的坐標是：（t，﹣t+2），E點坐標為（t+1，﹣t+1），∴t（﹣t+2）＝（t+1）?（﹣t+1），解得t＝，∴E點坐標為（，），∴k＝×＝．故答案為．【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征，解題的關鍵是掌握反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k,即xy＝k．12、【分析】根據(jù)位似變換的性質計算即可．【詳解】∵以原點O為位似中心，相似比為，把線段AB縮短為線段CD，B（6，3），∴點D的坐標為：，即，故答案為：．【點睛】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．13、1:6【分析】根據(jù)重心的性質得到，求得，根據(jù)CH為AB邊上的中線，于是得到，從而得到結論.【詳解】∵點G是△ABC的重心，∴，∴，∴，∵CH為AB邊上的中線，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.14、，【分析】將x＝2，y＝1代入拋物線的解析式可得到c＝?8a，然后將c＝?8a代入方程，最后利用因式分解法求解即可．【詳解】解：將x＝2，y＝1代入得：2a＋2a＋c＝1．解得：c＝?8a．將c＝?8a代入方程得：∴．∴a（x?2）（x＋2）＝1．∴x1＝2，x2＝-2．【點睛】本題主要考查的是拋物線與x軸的交點，求得a與c的關系是解題的關鍵．15、．【分析】連接OP，OC，證明△OAP≌△OCP，可得PC與⊙O相切于點C，證明BC=CP，設OM＝x，則BC＝CP＝AP＝2x，PM＝y(tǒng),證得△AMP∽△OAP，可得：，證明△PMF∽△BCF，由可得出答案.【詳解】解：連接OP，OC.∵PA與⊙O相切于點A，PA＝PC，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OAP＝∠OCP＝90°，∴PC與⊙O相切于點C，∵∠APB＝3∠BPC，∠APO＝∠CPO，∴∠CPB＝∠OPB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BCA＝90°，∵OP⊥AC，∴OP∥BC，∴∠CBP＝∠CPB，∴BC＝CP＝AP．∵OA＝OB，∴OM＝．設OM＝x，則BC＝CP＝AP＝2x，PM＝y(tǒng)，∵∠OAP＝∠AMP＝90°，∠MPA＝∠APO，∴△AMP∽△OAP，∴．∴AP2＝PM?OP，∴（2x）2＝y(tǒng)（y+x），解得：，（舍去）．∵PM∥BC，∴△PMF∽△BCF，∴＝．故答案為：．【點睛】本題考查了切線的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，圓周角定理.正確作出輔助線，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.16、74【分析】利用加權平均數(shù)公式計算.【詳解】甲的成績=，故答案為：74.【點睛】此題考查加權平均數(shù)，正確理解各數(shù)所占的權重是解題的關鍵.17、【詳解】解:選中女生的概率是：.18、【分析】由半圓的半徑可得出圓錐的母線及底面半徑的長度，利用勾股定理即可求出圓錐的高．【詳解】設底面圓的半徑為r．∵半徑為10cm的半圓圍成一個圓錐，∴圓錐的母線l=10cm，∴，解得：r=5（cm），∴圓錐的高h（cm）．故答案為5．【點睛】本題考查了圓錐的計算，利用勾股定理求出圓錐的高是解題的關鍵．三、解答題(共66分)19、（1）證明見解析；（2）S陰影=4-2π【分析】（1）根據(jù)斜邊中線等于斜邊一半得到DE=CE,再利用切線的性質得到∠BCO=90°,最后利用等量代換即可證明,（2）根據(jù)S陰影=2S△ECO-S扇形COD即可求解.【詳解】（1）連接DC、DO.因為AC為圓O直徑，所以∠ADC=90°，則∠BDC=90°，因為E為Rt△BDC斜邊BC中點，所以DE=CE=BE=BC，所以∠DCE=∠EDC,因為OD=OC，所以∠DCO=∠CDO.因為BC為圓O切線，所以BC⊥AC，即∠BCO=90°，所以∠ODE=∠ODC+∠EDC=∠OCD+∠DCE=∠BCO=90°，所以ED⊥OD，所以DE為圓O的切線.（2）S陰影=2S△ECO-S扇形COD=4-2π【點睛】本題主要考查切線的性質和判定及扇形面積的計算，掌握切線的判定定理及扇形的面積公式是解題的關鍵．20、甲型共享單車的單價是元．【分析】設甲型共享單車的單價是元，根據(jù)兩種類型共享單車的投放量相同列方程求解即可．【詳解】解：設甲型共享單車的單價是元，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的解，原方程的解是，答：甲型共享單車的單價是元．【點睛】本題考查了列分式方程解實際問題的運用及分式方程的解法的運用，解答時根據(jù)條件建立方程是關鍵，解答時對求出的根必須檢驗，這是解分式方程的必要步驟．21、（1）；（2）；（3）或【分析】（1）先求出頂點橫坐標，然后代入解析式求出頂點縱坐標即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的增減性列式解答即可；（3）分三種情況求解：①當k＞1時，當k＜0時，當時.【詳解】解：（1）對稱軸為：，代入函數(shù)得：，∴頂點坐標為：；（2）∵對稱軸為：x=k，二次函數(shù)二次項系數(shù)小于零，開口向下；∴當時，y隨x增大而減小；∵當時，y隨x增大而減??；∴（3）①當k＞1時，在中，y隨x增大而增大；∴當x=1時，y取最大值，最大值為：；∴k=3；②當k＜0時，在中，y隨x增大而減??；∴當x=0時，y取最大值，最大值為：；∴；∴；③當時，在中，y隨x先增大再減小；∴當x=k時，y取最大值，最大值為：；∴；解得：k=2或-1，均不滿足范圍，舍去；綜上所述：k的值為-2或3.【點睛】本題考察了二次函數(shù)的圖像和性質，對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0），當a>0時，開口向上，在對稱軸的左側y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側y隨x的增大而增大；當a<0時，開口向下，在對稱軸的左側y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側y隨x的增大而減小.22、（1）見解析；（2）；（1）或【分析】（1）連接AO并且延長交圓于，連接AO并且延長交圓于，即可求解；

（2）根據(jù)MN為⊙的切線，應用勾股定理得，所以OM最小時，MN最??；根據(jù)垂線段最短，得到當M和BC中點重合時，OM最小為，此時根據(jù)勾股定理求解DE，DE和MN重合，即為所求；

（1）根據(jù)“智慧三角形”的定義可得為直角三角形，根據(jù)題意可得一條直角邊為1，當寫斜邊最短時，另一條直角邊最短，則面積取得最小值，由垂線段最短可得斜邊最短為1，根據(jù)勾股定理可求得另一條直角邊，再根據(jù)三角形面積可求得斜邊的高，即點P的橫坐標，再根據(jù)勾股定理可求點P的縱坐標，從而求解．【詳解】（1）如圖1，點和均為所求理由：連接、并延長，分別交于點、，連接、，∵是的直徑，∴，∴是“智慧三角形”同理可得，也是“智慧三角形”（2）∵是的切線，∴，∴，∴當最小時，最小，即當時，取得最小值，如圖2，作于點，過點作的一條切線，切點為，連接，∵是等邊三角形，，∴，，∴，∵是的一條切線，∴，，∴，當點與重合時，與重合，此時．（1）由“智慧三角形”的定義可得為直角三角形，根據(jù)題意，得一條直角邊.∴當最小時，的面積最小，即最小時．如圖1，由垂線段最短，可得的最小值為1．∴.過作軸，∵，∴．在中，，故符合要求的點坐標為或．【點睛】本題考查了圓與勾股定理的綜合應用，掌握圓的相關知識，熟練應用勾股定理，明確“智慧三角形”的定義是解題的關鍵．23、（1）（0≤t≤4）；（2）t1＝2，t2＝；（2）經(jīng)過點D的雙曲線（k≠0）的k值不變，為．【分析】（1）過點P作PE⊥BC于點E，由點P，Q的出發(fā)點、速度及方向可找出當運動時間為t秒時點P，Q的坐標，進而可得出PE，EQ的長，再利用勾股定理即可求出y關于t的函數(shù)解析式（由時間=路程÷速度可得出t的取值范圍）；

（2）將PQ=代入（1）的結論中可得出關于t的一元二次方程，解之即可得出結論；

（2）連接OB，交PQ于點D，過點D作DF⊥OA于點F，求得點D的坐標，再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出k值，此題得解．【詳解】解：（1）過點P作PE⊥BC于點E，如圖1所示．

當運動時間為t秒時（0≤t≤4）時，點P的坐標為（t，0），點Q的坐標為（4-t，2），

∴PE=2，EQ=|4-t-t|=|4-t|，

∴PQ2=PE2+EQ2=22+|4-t|2=t2-20t+21，

∴y關于t的函數(shù)解析式及t的取值范圍：y＝t2?20t+21(0≤t≤4)；

故答案為：y＝t2?20t+21(0≤t≤4)．

（2）當PQ＝時，t2?20t+21＝()2

整理，得1t2-16t+12=0，

解得：t1=2，t2＝．

（2）經(jīng)過點D的雙曲線y＝(k≠0)的k值不變．

連接OB，交PQ于點D，過點D作DF⊥OA于點F，如圖2所示．

∵OC=2，BC=4，

∴OB＝＝1．

∵BQ∥OP，

∴△BDQ∽△ODP，

∴，

∴OD=2．

∵CB∥OA，

∴∠DOF=∠OBC．

在Rt△OBC中，sin∠OBC＝，cos∠OBC＝＝，

∴OF＝OD?cos∠OBC＝2×＝，DF＝OD?sin∠OBC＝2×＝，

∴點D的坐標為(，)，

∴經(jīng)過點D的雙曲線y＝(k≠0)的k值為×＝．．【點睛】此題考查勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定與性質、平行線的性質以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是：（1）利