平新喬《微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)十八講》答案

目錄

第一講偏好、效用與消費(fèi)者的基本問題............................................2

第二講間接效用函數(shù)與支出函數(shù)...................................................9

第三講價(jià)格變化對消費(fèi)者配置效應(yīng)與福利效應(yīng).....................................18

第四講VNM效用函數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)升水................................................25

第五講風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避、風(fēng)險(xiǎn)投資和跨期決策...........................................32

第六講生產(chǎn)函數(shù)與規(guī)模報(bào)酬......................................................45

第七講要素需求函數(shù)、成本函數(shù)、利潤函數(shù)與供給函數(shù).............................57

第八講完全競爭與壟斷..........................................................68

第九講Cournot均衡、Bertrand均衡與不完全競爭..................................80

第十講策略性博弈與納什均衡....................................................93

第十一講廣延型博弈與反向歸納策略.............................................100

第十二講子博弈與完美性.......................................................105

第十三講委托-代理理論初步...................................................110

第十四講信息不對稱、逆向選擇與信號(hào)博弈......................................118

第十五講工資、尋找工作與勞動(dòng)市場中的匹配....................................125

第十六講一般均衡與福利經(jīng)濟(jì)學(xué)的兩個(gè)基本定理..................................134

第十七講外在性、科斯定理與公共品理論........................................140

第?講偏好、效用

第一講偏好、效用與消費(fèi)者的基本問題

1.根據(jù)下面的描述，畫出消費(fèi)者地?zé)o差異曲線.對于1.2和1.3題，些出效用函數(shù).

i.i.王力喜歡喝汽水》,但是厭惡吃冰棍y

可能的一個(gè)無差異曲線是這樣：

1.2.李楠既喜歡喝汽水X,又喜歡吃冰棍但她認(rèn)為三杯汽水和兩根冰棍是無差異的.

只要滿足（0,2）和（3,0）在同一條無差異曲線上就符合題目要求.可能的一個(gè)無

差異曲線是這樣：

1.3.蕭峰有個(gè)習(xí)慣，它每喝一杯汽水龍就要吃兩根冰棍，當(dāng)然汽水和冰棍對他而言是多多

益善.

2

第?講偏好、效用

八y

X

0

.ry】

u=min{x,_}

效用函數(shù)為2

1.4.楊琳對于有無汽水x喝毫不在意，但她喜歡吃冰棍.

效用函數(shù)為〃=>

2.作圖：如果一個(gè)人的效用函數(shù)為：

〃（九],工2）=max{%],它}

2.1.請畫出三條無差異曲線.

3

第一講偏好、效用

2.2.如果Pi=L“2=2,>=10.請?jiān)趫D上找出該消費(fèi)者的最優(yōu)的消費(fèi)組合.

在圖中，赭線是預(yù)算線.與之有公共點(diǎn)集的唯一最高無差異曲線是過點(diǎn)(10,0)的

那條無差異曲線(上圖中為橙線).消費(fèi)者的最優(yōu)的消費(fèi)選擇是(10,0).

3.下列說法對嗎？為什么？若某個(gè)消

費(fèi)者的偏好可以由效用函數(shù)

M(X,x)=10(x2+2xx+x2)-50

121122

來描述，那么對此消費(fèi)者而言，商品I和商品2是完全替代的.答：此

說法正確.

心M)=七處

令2\10,由單調(diào)變換的定義知，，與“是同一個(gè)偏好的效用函數(shù).且

t(xi,x2)=xl+x2i即t所描述的偏好中，商品1與商品2是完全替代的.因此“所描

述的偏好中，商品1與商品2是完全替代的.

4.若某個(gè)消費(fèi)者的效用函數(shù)為

11

u(x,x)=—InX]+—Inx

}2222

其中，X1,X2GR+

4.1.證明：用與馬的邊際效用都遞

減.證明：〃(項(xiàng)，々)對項(xiàng)取二階

偏導(dǎo)：

d2u1八

—=-—<0

dxy

因此當(dāng)?shù)倪呺H效用是遞減的.同理，龍2的邊際效用也是遞減的.

4.2.請給出一個(gè)效用函數(shù)形式，使該形式不具備邊際效用遞減的性

質(zhì).答：可能的一個(gè)效用函數(shù)是%+無2.

5.常見的常替代彈性效用函數(shù)形式為

z，p

M(x,,x2)=(ajx1+a2x2y

請證明：

5.1.當(dāng)夕=1,該效用函數(shù)為線

性.證明：當(dāng)。=1時(shí)，效用

函數(shù)為

u(xl,x2)=a,%,+a2x2

此時(shí)，函數(shù)〃是線性的.

4

第一講偏好、效用

5.2.當(dāng)P一0時(shí)，該效用函數(shù)趨近于“(*1，％2)=%12s

A

證明：令%+/，尸2=1一4.則”的一個(gè)單調(diào)變換結(jié)果是

t=(wxpy

1122

又：

Ln(/?內(nèi)"+不用")

linuG，/)=lim/…)

夕一＞02一＞0

「『夕"plim小2_1_fi\P2

_加力刎+例總_°向同。+儂2PE司X2_仇仇

—e—c—oDi+%一人人

一匕12

/(%"%2)=飛生，的一個(gè)單調(diào)變換結(jié)果是以3，％2)=%/'％2""因此，當(dāng)夕-＞。

時(shí)，原效用函數(shù)所描述的偏好趨近于效用函數(shù)

M(XpX2)=XJX^~

所描述的偏好.

如果/與。2滿足4+&2=1,那么當(dāng)夕-?°時(shí)，同時(shí)有效用函數(shù)

p

M(x,+a2x2jp

趨近于以下效用函數(shù)：

M(Xj,.)=%1"%2做"

5.3.當(dāng)夕一―。。時(shí)，該效用函數(shù)趨近于〃(修，X2)=min{x”尤?}

A=—^―

證明：令跖+%,僅2=1一四.則”的一個(gè)單調(diào)變換結(jié)果是

P

t=10xP+。xY

I122

當(dāng)王＜龍2時(shí)，

r口力十

一□

limr(x(,x2)=lim%仇+oo=x]

IPTZ}□為□,

同理，當(dāng)玉＞當(dāng)時(shí)，有

lim網(wǎng),x)=x

p-＞-0022

5

第一講偏好、效用

當(dāng)玉=X2時(shí)，有以馬，％2)三用=%2

綜上所述，當(dāng)P--8時(shí)，原效用函數(shù)描述的偏好關(guān)系趨近于

〃(九”々)=111吊{修/2}所描述的偏好關(guān)系.如果

%與%滿足/+%=1,那么當(dāng)夕一一0°時(shí)，同時(shí)有效用函數(shù)

"(n2)=(*。+%4小

趨近于以下效用函數(shù)：

u(xi,x2)=min{x,,x2}

6.茜茜總喜歡在每一杯咖啡里加兩湯匙糖.如果每湯匙糖的價(jià)格是P\,每杯咖啡的價(jià)格

是她有M元可以花在咖啡和糖上，那么她將打算購買多少咖啡和糖？如果價(jià)格變

為P；和P2,對她關(guān)于咖啡和糖的消費(fèi)會(huì)發(fā)生什么影響？

解：咖啡和糖對茜茜而言是完全互補(bǔ)品(perfectcomplements),即她的效用函數(shù)可以表

示為(假設(shè)她的偏好滿足單調(diào)性)：

M(C,s)=min{c,-s}

2

其中，c代表咖啡的量，以杯為單位；s表示糖的量，以湯匙為單位.

很明顯，她的最優(yōu)選擇必然是

1

C--S

2(*)

1

CS

考慮2,那么“多”出來的糖或者咖啡不會(huì)讓茜茜覺得更好，反而還浪費(fèi)了一

1

c=~s

還不如將買“多”出來的糖或咖啡的錢用來買咖啡或糖使得2.

她面臨的約束條件為：

PC+p2sAM由于她的偏好是單調(diào)的，而收入的增加可以有機(jī)

會(huì)買到更多量的咖啡和(或)糖，因此她的最優(yōu)選擇必然在預(yù)算線上.也就是說，她的

約束條件可以表達(dá)為：

p,c+p2s-M(**)

s—2Mc—M

綜合*與**式，可以得到，〃]+2〃2,Pl+2P2

6

第一講偏好、效用

s,—2Mc,=M

如果價(jià)格變成P；和以，同樣可以得到一次+24，-p；+20,.咖啡和糖的

消費(fèi)比例不會(huì)發(fā)生變化.

7.令2為偏好關(guān)系，>為嚴(yán)格偏好關(guān)系，。為無差異關(guān)系.證明下列關(guān)系

7.1.>c>

說明：感覺能力不濟(jì)；這道題只能說說自己的想法了.由于偏好的完備性，因此定義

在任何一個(gè)選擇集上的偏好關(guān)系都是唯一的.又由于任何集合都是自己的子集，所以

><=>

7.2.=uN

證明：

~=>C<=>K（Z>

7.3.?U>=>

證明：

?=>n<?

I

>=N--t=>?U>=>

7.4.?n>=0

證明：

?=>c

f-

8.證明下列結(jié)論（或用具說服力的說理證明）

8.1.>與。都不具有完備性說明：嚴(yán)格偏好關(guān)系真包含于偏好關(guān)系，而偏好關(guān)系是完備

的，因此，嚴(yán)格偏好關(guān)系不具有完備性.同理可以說明無差異關(guān)系也不具有完備性.

8.2.a滿足反身性

說明：如果無差異關(guān)系不具有完備性，那么根據(jù)無差異關(guān)系的定義，則必存在一個(gè)消

費(fèi)束嚴(yán)格偏好于它自身，也就是說，這個(gè)消費(fèi)束同時(shí)既偏好于它本身又不偏好于它本

身，這是矛盾的.

8.3.嚴(yán)格偏好關(guān)系不滿足反身性說明：如果嚴(yán)格偏好關(guān)系滿足反身性，那么根據(jù)嚴(yán)格偏

好關(guān)系的定義，則對任一對消費(fèi)束a,b,如果a嚴(yán)格偏好于b,則說明b不可能偏好

于a；而根據(jù)假設(shè)b嚴(yán)格偏好于a,b必然偏好于a.因此它們是矛盾的.

8.4.對于任何X中的上與九2,在下列關(guān)系中，只能居其一：x1>x2,x2>%',或3a?

說明：根據(jù)8.3的說明，M>%2與不可能同時(shí)成立，那么，當(dāng)和

/同時(shí)不成立的時(shí)候，必有pN—且/zP,即PB/

9.一個(gè)只消費(fèi)兩類物品的消費(fèi)者面臨正的價(jià)格，其擁有正的收入，他的效用函數(shù)為：

M（X],々）=再

導(dǎo)出其馬歇爾需求函數(shù).

7

第?講偏好、效用

解：解線性規(guī)劃

max〃(X]，々)

所/2

s./.P]X]+p2x2=y

由約束條件P內(nèi)+P2%=y知

y-p2x2

x\~

Pi

yy

當(dāng)％=°時(shí)，〃有最大值乃.此時(shí)，項(xiàng)的消費(fèi)量為8.

y

即，馬歇爾需求函數(shù)為玉=Pl,無2=°

_a\-a

10.一個(gè)人的效用函數(shù)為“(為，々)一A?！@里0<a<l,A>0.假定存在內(nèi)點(diǎn)解,

請導(dǎo)出其馬歇爾效用函

數(shù).解：解線性規(guī)劃

maxAxax'~a

I2

項(xiàng)52

+p2x2=y

其拉格朗日函數(shù)為

a\-a

L(2;X),x2)=Ax}x2+4(y-p]x}一p2x2)

使〃.)最大化的玉，々，力滿足一階條件：

~=aArTx丁-沏1=0

血(1)

3La-a

個(gè)=(l-a)Ax.x一初2=0

加2(2)

8L

=>一xp—x/?=0

(3)

沏\122

將1式除以2式，得

aM〃i1-a

X2—

1-ax{P2,即p2a(4)

代4式入3式，得

ay

>X]=

Pl(5)

8

第一講偏好、效用

代5式入4式，得

(l—a)y

X2=

，2(6)

5與6式即為王與々的馬歇爾需求函數(shù).

第二講間接效用函數(shù)與支出函數(shù)

1.設(shè)一個(gè)消費(fèi)者的直接效用函數(shù)為"E%+%.構(gòu)造出該消費(fèi)者的間接效用函數(shù).并

且運(yùn)用羅爾恒等式去構(gòu)造其關(guān)于兩種物品的需求函數(shù).驗(yàn)證：這樣得到的需求函數(shù)與從

直接效用函數(shù)推得的需求函數(shù)是相同的.

解：解線性規(guī)劃：

max(?ln^1+%)

stPA+p2q2=y

y-P\Qx

快;上".

將約束條件變形為P2,將它代入式aln%+%中，我們的問題轉(zhuǎn)化為：

max(aIn4+--〃闖.

?l-?2p2

滿足最大化的一階條件是：

a=0=><7,_aP^r

%Pi~Pi

代入約束條件中，可以得到：

y-即2

q2一

Pi

即為消費(fèi)者的需求函數(shù).

消費(fèi)者的間接效用函數(shù)為：

/、,即2y一即，

v(P，y)=aIn_：+：1

P\Pi

由羅爾恒等式，有：

9

第二講間接效用

aPi

/前apP-p-y-ap

^=-^72-=.2I22

/Sy1Pl

Pl

與從直接效用函數(shù)中推得的結(jié)果一致.

2.某個(gè)消費(fèi)者的效用函數(shù)是“（/，/）=”12,商品1和2的價(jià)格分別是P1和〃2,此消費(fèi)

者的收入為相，求馬歇爾效用函數(shù)和支出函數(shù).

解：解線性規(guī)劃：

max2

A'IX2

s.t.PiXi+p2x2=y

其拉格朗日函數(shù)為：

L(4;)=%:％+A(-p2x2)

使〃.）最大化要求玉，々，丸滿足一階條件

g=2'-加=。

ox.

dL2.

—=再一班2=0

2

dL八

__=y-px-px=0

dA11223

1式除以2式，得：

%=2nx,=也

九I一。2"2P24

代4入3式，得用的需求函數(shù)：

3_°

y-px=0=x=AL

2113Pl5

代5入4式，得當(dāng)?shù)男枨蠛瘮?shù):

10

第二講間接效用

f=3p~

26

代5、6兩式入效用函數(shù)中，得到當(dāng)效用最大化時(shí)有間接效用函數(shù):

2

2

貝p,y)=w(x,x2)=xx一5二3產(chǎn)

二山2

又消費(fèi)者效用最大化意味著

產(chǎn)e(p,v(p,y))

即可得到支出函數(shù)：

e(p,〃)=e(p,-p,>))=.=(108P2P=q(2p2P

122,2

3.考慮下列間接效用函數(shù)

丫(小，〃2，加)=——

Pl+Pl

這里加表示收入，問:

什么是該效用函數(shù)所對應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù)為(。1，。2，〃2)與尤2(?！浮?，加)

解叫根據(jù)羅爾恒等式，可以得到這個(gè)效用函數(shù)所對應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù):

_m

_(Pi+%)~nt

—1—P\+Pz

Pi+Pz

am

Sv/--------------------—

X=_/明_E+P2)__m

°、，__—!—~Pl+P2

Pl+Pl

4.考慮一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海與廣州三成事中選擇居住地.假

定他的選擇決策只根據(jù)其效用函數(shù)，設(shè)該效用函數(shù)的形式為"=X/2,這里

(x,x)eR2(P"，P")(P",P")

Pi"?：,但.又知廣州的物價(jià)為

(P")=1(P"+P〃)1(P"+P)

12

12212□.若該退休老人是理智的，他會(huì)選擇哪個(gè)城市去

生活？“解：設(shè)老人在北京、上海、廣州的效

用分別為“,設(shè)老人的收入為機(jī).

11

第二講間接效用

有

mtn..

ua+uh4""p"+4萬萬"m2m21112/

2

-------―“c=—■—-------―r—r=—，-

----------1T~b--rrX

224Plp284Plp2P,P2PE

因?yàn)?pJP=pIrp2,所以

u+u?ULJI__]

—W=>_c<?8

244Plp2PRj(*)

a

P彳d,p"#P

乂II22,

2一§?2-1_

P?2=(P；+P：W+P；尸席下麻W

U+U

-U<0

由*與**,得2

又，所以有〃a<0,Ub-UC<0

即老人將選擇在廣州生活.?

5.

5.1.設(shè)〃這里（占，％2）￡氏，求與該效用函數(shù)想對應(yīng)的支出函數(shù)e（Pi，P2，〃）.

解：解線性規(guī)劃：

minPix{+p2x2

Xl,X2

S.t.X}X2=U

其拉格朗日函數(shù)為：

心（丸；七，％2）=P\X\+P2X2+/l（.tt-%（%2）

使MD最大化要求王，工2，幾滿足一階條件

8L,

-=Pl-=0

陰1

dL,八

二="2—於?=0

0X22

8L__八

--u~xx-°

dA123

1該題解答的修正得益于網(wǎng)友caidb在中心論壇上的帖子.關(guān)于caidb的個(gè)人信息在

http:〃/forum/userinfo.asD?id=^21264上

12

第二講間接效用

由1式、2式，得e（Pi，P2，〃）

—Pix,=—Pi

A,124

代4入3,得

5

代5入4,得

于是可以得到對應(yīng)的支出函數(shù)

e（Pi，P2，"）=PiM+P2X2=2Jpg篦

5.2.又設(shè)"'=lnx]+111修，同樣（用,％2）€燈，求與該效用函數(shù)想對應(yīng)的支出函數(shù)

e＜Pi，P2,優(yōu)）

解：解法與5.1完全相同，得到

e'（p”p2，/）=2jpiP2e"

5.3.證明：e'（p"p2，“'）=e（pi，p2，〃）

-12ln“=2亞多7=2拒酸蒜=2必由

證明：〃'=lnxi+lnx2T

根據(jù)5.1與5.2的結(jié)果，得到

e'（Pi，P2，/）=eE，〃2，〃）

必3）=45；

6.設(shè)某消費(fèi)者的間接效用函數(shù)為0P2，這里。＜。＜1.什么是該消費(fèi)

者對物品1的希克斯需求函數(shù)？

解：若消費(fèi)束工是消費(fèi)者的最優(yōu)選擇，那么根據(jù)引理一，間接效用函數(shù)與支出函數(shù)存在

以下關(guān)系

m=e（p,v（p,zn））?

由該消費(fèi)者的間接效用函數(shù)，得到

_a\-a

mUP\Pl，其中〃=V（P1，P2，"Z）2

由1式和2式，得到

e（p,v（p,m））=upap'~a

13

第二講間接效用

因此，由Shepard引理，得到

hde__PL所1ltde__二'

"”弛i目/jZ型前

7.考慮含〃種商品的Cobb-Douglass效用函數(shù)

V=1

這里，A>0,t

7.1.求馬歇爾需求函數(shù)

解：解線性規(guī)劃：

maxA”印

/=1

s.t.px=y

其拉格朗日函數(shù)為:

以尢%)=+My-px)

i=l

使〃.）最大化要求項(xiàng)，々，幾滿足一階條件

u1八

dLxar'xa,-Ap=a--Xp=0

丁二%jijjj

dXj詳jxj.

j=1

dL

=y-px-=0

dA2

由1式，得

UOtj

X,=___

即j,j=1,2,3,...,n3

代3入2,得

4a.

y一%也u

=y-i=,=W=0n4=

曰ApjAAy4

代4入3,得希克斯需求函數(shù)

ay

Xj=——

Pj,/=1,2,3,.,〃

14

第二講間接效用

7.2.求間接效用函數(shù)

解：根據(jù)7.1的結(jié)果

"EaH"a4

Mp，y)="(x)=上=A)w口：」=

□

□

；=iaPiiMDA-J-

其中x為消費(fèi)者的需求量.

7.3.計(jì)算支出函數(shù)

(同第6題的解法.不過這樣的寫法可能會(huì)好些?)

令

"匚a口"

“=v(p,y)=Ay口不

得到

"二a7&

y-uA1TI

hPi

又由y=e(p#(p，y)),得到

_?□W

uA1rr—

-"二

7.4.計(jì)算?？怂剐枨蠛瘮?shù)

解：根據(jù)Shepard引理和7.3的結(jié)果，得到?？怂剐枨蠛瘮?shù)

h加吩口口仔"，

無尸=uAPjIL

opjPr,1/=1,2,3,...,〃

8.以Cobb-Douglass效用函數(shù)為例說明求解效用最大化問題和求解支出最小化問題可以得

到同一需求函數(shù).

n

〃(光)=AW_

解：令效用函數(shù)形式為MTI,預(yù)算約束為

求解效用最大化問題得到的需求函數(shù)為(見7.1題)

叫〉

xj二----

Pj,/=1,2,3,...,”

求解支出最小化問題的拉格朗日函數(shù)為

"a口

L'(/l;x)=px+十二^一4口七3

i=l

使L3最大化要求員兒滿足一階條件

15

第二講間接效用

,

Auai

U-AT[X^=0

代入日，得

"口。"p?.

u-融％]-]0n￡="口」1

a

丁t2

代2入1得到?？怂剐枨蠛瘮?shù)：

I,A'uaL-i?-PiP%

xj==AIiu

Pj/=r=

Pjfj1,2,3,…,〃3

"（%）=xf'

代入3得到

"p

口aj

就［廠］

=n23,??.,n4

代4入預(yù)算約束*=＞得

T

y=xP）H匚。『七七"叫?=np七二,"zaj,np.xi甘

■.000

j='Pjf0%如一4T5

代5入4得

"p_w

x；=n一標(biāo)

日巴~p~~p

ii,/=1,2,3,...,〃6

由3式與6式知，求解支出最小化與效用最大化得到的需求函數(shù)是一樣的.

9.下列說法對嗎？為什么？

h

函數(shù)七（p、,U）=（p,+"）2可以作為某種商品的?？怂剐枨蠛瘮?shù).

答：不對.由于該需求函數(shù)僅與該商品的價(jià)格相關(guān)，因此可以令所有其它商品的消費(fèi)量

為零.根據(jù)Shepard引理，支出函數(shù)是該希克斯需求函數(shù)的一個(gè)原函數(shù).

又

123

JE+"）2M=3（Pr+〃）2+C

23

其中，無論C取什么值，3'尸、7都不是Px的一次齊次函數(shù)，因此該函數(shù)

不可以作為某種商品的希克斯需求函數(shù).

10.下列函數(shù)能成為一個(gè)馬歇爾需求函數(shù)嗎？為什么？

x（p.，Py，y）2pJ

2.2

Px+Py

16

第二講間接效用

這里，％與y是兩種商品，/為收入.答：假設(shè)該函數(shù)是一個(gè)馬歇爾需

求函數(shù).

由可知，尤是正常商品，它的需求量在任何情況下隨收入上升而上升.

時(shí)〉0

又當(dāng)Py〉Px時(shí)，/P,，因此在P，>Px時(shí)，X的需求量隨價(jià)格上升而上

升.

綜上所述，當(dāng)P.v>P，時(shí)，該商品的替代效應(yīng)為正.而任何商品價(jià)格變化對該商

品需求量所起的替代效應(yīng)為非正.因此，該函數(shù)不是一個(gè)馬歇爾需求函數(shù).

17

第三講價(jià)格變化

第三講價(jià)格變化對消費(fèi)者配置效應(yīng)與福利效應(yīng)

1.證明，為與々不可能都是劣等品.說明：如果僅僅要求偏好滿足完備性與傳遞性假

設(shè)，兩個(gè)產(chǎn)品都是劣等品是可能的.如果要求偏好滿足局部非耀足性，那么一個(gè)產(chǎn)品

都成不了劣等品.也就是說，這是不可

能的.如果再加些性狀良好（單調(diào)性、凸性或嚴(yán)格凸性）的條件，這就更不可能了.

2.如果偏好是凹的，替代效應(yīng)仍然為負(fù)嗎？答：不是.對不同相對

價(jià)格水平來說，替代效應(yīng)為零或負(fù)無窮大.

3.己知一個(gè)消費(fèi)者對牛奶的需求函數(shù)為

x=10+匚

10p

這里X為一周內(nèi)牛奶的消費(fèi)量，y=120元為收入，。=3元/桶，現(xiàn)在假定牛奶價(jià)格從

3元降為p'=2元.問：

3.1.該價(jià)格變化對該消費(fèi)者的需求總效應(yīng)是多少？（即其牛奶消費(fèi)會(huì)變化多少？）

尤=10+匚=14x'=10+匚=16

解：I",10p'

所以需求的變化量

Ar=X’-