4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1.函數(shù)=（》/-6X+5的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(0,16]B.[16,+8)C.(。焉

D.忌+8）

2.函數(shù)y=a閉+l(a>0且a*1),xe[-k,k],k>0的圖象可能為（）

3,函數(shù)y=a"-a?+a（a>。且a豐1）的圖象不可能是（）

4.函數(shù)/（x）=aW+m（a>0,且a^l）的圖象可能是（）

5.下列結(jié)論中，正確的是()

A,函數(shù)y=2，T是指數(shù)函數(shù)

-%2+2%

B.函數(shù)y=G)的單調(diào)增區(qū)間是(1,+8).

C.若a771>an(a>0,a1),則m>n

D.函數(shù)/(%)=。%一2-3缶>o,。。1)的圖像必過定點(diǎn)(2,_2)

2

6.若函數(shù)/(%)=%_當(dāng).?一1且滿足對任意的實(shí)數(shù)巧都有小產(chǎn)會〉。成立，

(1二2"^人］乙，人J.1z

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是,且函數(shù)y=a?*-1+1恒過定點(diǎn).

7,若指數(shù)函數(shù)y=f(>)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,4),則/府)=;不等式〃2久—1)W的

解集是.

8.已知y=ax+2-2恒過定點(diǎn)a(Xo，M))且2在直線小久+ny+1=。上，其中nrn>0,則'+§

的最小值為.

9.已知/(%)=-2zn)(%+?n+3),g{x}=2X-2,若同時(shí)滿足條件：

①V%ER,/(%)<0或g(%)<0；②或E(-00,-4),/(x)5(x)<0.

則血的取值范圍是.

10.已知函數(shù)/(X)=ax(a>。且a豐1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,》.

(1)比較f(2)與/(爐+2)的大小;

(2)求函數(shù)g(x)=ax2~2x(x>0)的值域.

11.[洛陽一高高一期末]已知函數(shù)/(久)=必―產(chǎn)(口>0,a^l,b>0,1),且f(l)=2,

f(2)=12.

(1)求a,6的值；

(2)若xe[―2,1],求/(*)的值域.

12.已知指數(shù)函數(shù)y=八功的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,{),

(1)求y=/(x)的解析式；

(2)當(dāng)久>。時(shí)，求y=/(功的值域.

13.已知函數(shù)f(x)=ax-\x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2弓)，其中a>0且a*1.

(1)求a的值；

(2)求函數(shù)y=/(x)+1(%>0)的值域.

14.定義在[一4,4]上的奇函數(shù)“久)，己知當(dāng)久e[-4,0]時(shí)，/⑶=表+/QGR).

(1)求fO)在[0,4]上的解析式；

(2)若久e[-2,-1]時(shí)，不等式/Q)〈翼-磊恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

15.已知指數(shù)函數(shù)y=9(久)滿足：9(3)=8,定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=771十乙g(町是奇函數(shù).

(1)確定y=/0)和y=g(X)的解析式；

(2)判斷函數(shù)/0)的單調(diào)性，并用定義證明；

(3)若對于任意比e[-5,-1],都有/(1—幻+/(1-2%)>0成立，求工的取值范圍.

16.已知函數(shù)/。)=需等是定義在R上的奇函數(shù)，其中g(shù)(x)為指數(shù)函數(shù)，且y=g(%)的圖象

過定點(diǎn)(2,9).

(1)求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)若關(guān)于x的方程八式)=b有解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

(3)若對任意的t6[0,5],不等式+2kt)+/(-2t2-4)>。恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

17.求函數(shù)y=4X+2X+1+2的定義域和值域.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的值域，屬于中檔題.

先分解函數(shù)，再配方求出二次函數(shù)的值域，最后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出值域.

【解答】

解：設(shè)〃=/_6%+5=(%—3)2—4>—4,

則y=>一4，

因?yàn)閥=?尸為減函數(shù)，

所以0<G)"&G)-4=16,

即函數(shù)/(久)=G)7-6x+5的值域?yàn)?0,16].

故選A.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

利用函數(shù)性質(zhì)對圖象進(jìn)行分析，選用排除法逐項(xiàng)排除即可.

【解答】

解:設(shè)y=/(x)=a田+1,

因?yàn)?(—x)=/-4+1=。田+1=/(勸,所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù),排除2.

由函數(shù)y=a因+1>1,且/(0)=2,可排除B,

當(dāng)a6(0,1)時(shí)，選項(xiàng)C符合，

當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)圖像在[。,網(wǎng)上單調(diào)遞增，但圖像應(yīng)該是下凸，。不滿足題意，

故選C.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及二次函數(shù)的性質(zhì).

5

令

則22

X-o--a+a+1--+-2

Oy-(4再分a>1和0<a<1得出-(a-h+?的范圍,

結(jié)合圖象可得.

【解答】

解：令1=0,則y=—a2+a+1=—(a--)2+

在2,8中，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，a>1,則一(a—今?+,e(一8,1),

因此a,B可能；

55

貝w2-

a-+--

在C,。中，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，0<a<l,44,

因此C可能，。不可能.

故選D

4.【答案】BC

【解析】

【分析】

本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象及函數(shù)的圖象與變換，熟練掌握指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及函數(shù)圖象

的變換法則是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理能力.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分0<a<1和a>1兩種情況，再結(jié)合函數(shù)圖象的變換法則進(jìn)行討

論即可.

【解答】

解：若0<a<l,貝卯=a，單調(diào)遞減，保留y軸右側(cè)的圖象不變，將右側(cè)的翻折至左側(cè)，可得到

y=a園的圖象，

再向左平移a的單位，可得到/(久)=〃，+叫符合選項(xiàng)C；

若a>l,貝卯=a,單調(diào)遞增，保留y軸右側(cè)的圖象不變，將右側(cè)的翻折至左側(cè)，可得到y(tǒng)=a⑶的

圖象，再向左平移a的單位，可得到f(x)=aK+a|,符合選項(xiàng)8.

故選BC.

5.【答案】BD

【解析】

【分析】

本題主要考查指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，考查推理能力.

利用指數(shù)的定義判斷4選項(xiàng)；利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷B選項(xiàng)；

利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，判斷C選項(xiàng)；

利用指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)，令％-2=0,得/(2)=口。-3=-2,得到函數(shù)的定點(diǎn)，判斷D選項(xiàng).

【解答】

解：利用指數(shù)函數(shù)的定義知道，函數(shù)y=2，T的系數(shù)不為1,所以不是指數(shù)函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；

設(shè)t=-x2+2x,所以函數(shù)t=-x2+2x在(1,+8)單調(diào)遞減，

t一%2+2%

因?yàn)閥=(1)為減函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得函數(shù)y=6)一的單調(diào)增區(qū)間是(1,+8).所以B

正確.

當(dāng)0<a<!.時(shí)，y=必為單調(diào)遞減函數(shù)，所以am>an時(shí)，則所以C錯(cuò)誤；

令X—2=0,所以x=2,所以f(2)=。。-3=-2,所以圖像必過定點(diǎn)(2,-2),所以。正確.

故選BD.

6.【答案】［4,8)

【解析】

【分析】

本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，是解答的關(guān)鍵，考查了指數(shù)函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題.

若對任意的實(shí)數(shù)豐石都有->0成立，則函數(shù)f(x)=。_2)x+2久<1在R上單調(diào)遞

增,進(jìn)而可得a的范圍.由2x—1=0,得x=2,進(jìn)而得出定點(diǎn).

【解答】

解：???對任意的實(shí)數(shù)對豐久2都有>0成立，

X;1二x2

Cdx%>]

二函數(shù)〃式)=[(4—+2,x<]在尺上單調(diào)遞增，

a>1

T>。,

{a"-]+2

解得：ae[4,8),

由題意，2x—1=0,得x=g,則曠=a。+1=2,

則y=a2x-r+1恒過定點(diǎn)G，2).

故答案為[4,8);G，2).

7.【答案】V2

[0,+8)

【解析】

【分析】

先求出函數(shù)的解析式，從而可得/6)的值，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化原不等式為一次不等

式即可求解.

本題主要考查指數(shù)函數(shù)的解析式，考查指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：設(shè)y=/(%)=aX,(a〉0,a力1)

因?yàn)閥=/(久)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,4),

所以a2=4,所以a=2,則〃幻=2"

黑)=2'V2,

f(2x-1)<Gy"”等價(jià)于22XT<23XT,

由函數(shù)y=2%是R上的增函數(shù),

可得2%-1<3x-l=>x>0,則原不等式的解集為［0,+8).

故答案為：々,［0,+8).

8.【答案】9

【解析】

【分析】

本題考查了利用基本不等式求最值，由已知求出力的坐標(biāo)，代入直線巾x+ny+1=0,可得2爪+

n=l,故求出2+工的最小值.

mn

【解答】

解：；y=axQa>。且a豐1)的圖象恒過定點(diǎn)(0,1),

...函數(shù)y=/+2—2(a>0且a豐1)的圖象恒過定點(diǎn)4(—2,-1),

由點(diǎn)4在直線mx+ny+1—。上，得—2m—n+1=0,

2m+n—1.

???mn>0,

21212n2m

m--n--1—=(2m+?mi)(---n-1—)=5mHn1------

>5+2I---=9,

\mn

當(dāng)且僅當(dāng)m-n=］時(shí)等號成立，

故答案為9.

9.【答案】(-4,-2)

【解析】

【分析】

本題考查二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用，由①可推得人久)=m(x-2m)(x+m+3)<0在久>

1時(shí)恒成立，建立關(guān)于小的不等式組可得小的范圍，然后由②可得：3%￡(-8,-4),使。-2m)(%+

機(jī)+3)<0成立，只要使-4比2小，-爪-3中較小的一個(gè)大即可，分類討論可得根的范圍，綜合

可得.

【解答】

解：,??g(%)=2-2,當(dāng)x21時(shí),g(x)>0,

又??,VxGR,f(%)<0或g(%)<0

???/(x)=m(x-2m)(%+m+3)<0在％>1時(shí)恒成立，

所以二次函數(shù)圖象開口只能向下，且與％軸交點(diǎn)都在(L0)的左側(cè)，

'm<0

即—m—3<1,解得一4<m<0；

、2m<1

又因?yàn)橛馟(-00,-4),又第)為%)<0.

而此時(shí)有0(%)=2%—2<0.

???3%e(—oo,—4),使/(%)=m(x-2m)(%+m4-3)>0成立，

由于m<0,所以次E(-8,-4),使-2TH)(X+m+3)V0成立，

故只要使—4比2m,—m—3中較小的一個(gè)大即可，

當(dāng)66(-1,0)時(shí)，2m>-m-3,只要一4>一瓶一3,解得TH>1與mE(-1,0)的交集為空集;

當(dāng)772=—1時(shí)，兩根為—2；—2>—4,不符合；

當(dāng)m€(―4,-1)時(shí)，2znV—zn—3,.,?只要—4>2zn,解得TH<—2,

綜上可得加的取值范圍是：(-1-2).

故答案為(-4,一2).

10.【答案】解：⑴由已知得：a2=2,且。>0,解得：a=^,

V/(%)=G)x在R上遞減，2W+2,

???f(2)>fU+2)；

(2).?.%>0,x2-2x>-1,

(^)X2-2X<3,又(/一2x>0,

故g(x)的值域是(。,3].

【解析】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、值域問題，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

(1)求出a的值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可；

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域即可.

11.【答案】解：(1)因?yàn)?(l)=a—b=2,/(2)=a2—爐=12,

所以a=4,b=2.

(2)由(1)可知，/(%)=4X-2X=(2%)2-2%,

令力=2%,因?yàn)椋[-2,1],

所以t6,2].

于是(2，)2_2%=/_=?_52_$

根據(jù)函數(shù)y=(t—1)2-1的圖象(圖略),

1-1

可知當(dāng)teg,2]時(shí)，ymin=ymax=2,

所以若xe[—2,1],

則/⑺的值域?yàn)?/p>

4

【解析】本題考查函數(shù)解析式的求解，指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

(1)代入解方程組即可；

(2)根據(jù)指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域即可.

12.【答案】解：(1)設(shè)指數(shù)函數(shù)y=/(%)=ax(a>。且a豐1),

因?yàn)閥=汽動的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,{)，

所以/(2)=a2=],

則a=3或a=舍)，

所以V=/(x)的解析式為：/(%)=

(2)易知函數(shù)/(%)=6)”在[0,+8)上為減函數(shù)，

所以八久)wf(o)=G)=1,

又/(x)>0,

所以。</0)<1,

即/㈤的值域?yàn)?0,1].

【解析】本題考查了指數(shù)函數(shù)的解析式，以及利用函數(shù)單調(diào)性求值域.

(1)先設(shè)出指數(shù)函數(shù)的解析式，再代入點(diǎn)(2,；),即可求出結(jié)果;

(2)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知/(久)=G)”在[0,+8)上為減函數(shù)，即可得出結(jié)果.

13.【答案】解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)-乃=a*T(%NO)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,勺，

所以/(2)=a2-i=a.即。=機(jī)

(2)由(1)得人久)=0),

函數(shù)在[0,+8)上是減函數(shù)，當(dāng)工=0時(shí)，函數(shù)取最大值2,

故/(無)6(0,2],

所以函數(shù)y=f(x)+1=+1(%>0)e(1,3],

故函數(shù)y=/(%)+1(%>0)的值域?yàn)?1,3].

【解析】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值以及求函數(shù)解析式等，中檔題.

⑴由中)的圖象過點(diǎn)(2,%代入即可求解.

(2)先判斷函數(shù)/(%)=(y-1在[0,+8)上是減函數(shù)，即可得解.

14.【答案】解：(1)由題意，函數(shù)/Q)是定義在[—4,4]上的奇函數(shù)，所以〃0)=l+a=0,

解得a=-l,又由當(dāng)％6[-4,0]時(shí),f(x)=/+/=/一親

當(dāng)％6[0,4]時(shí)，則一久€[—4,0]時(shí)，f(一久)=與_與=#—33

43

又/(%)是奇函數(shù),所以fO)=-/(-x)=3X-4X,

所以當(dāng)xG[0,4]時(shí),/(X)=3,一4。

(2)因?yàn)閤G[-2,-1],(Q)W段—高恒成立，

即w3一黃7在XG[-2,-1]恒成立，

所以專+1三關(guān)在久e[-2,-1]時(shí)恒成立，

因?yàn)?>0,所以?尸+2(|尸〈小在xG[―2,—1]時(shí)恒成立，

設(shè)函數(shù)g(x)=?尸+2($l

由y=G)，y=(|尸在R上均為減函數(shù)，可得函數(shù)。(久)在R上單調(diào)遞減，

因?yàn)閄e［-2,—1］時(shí)，所以函數(shù)g（x）的最大值為放一2）=（1）-2+2（|）-2=y,

所以爪2號，即實(shí)數(shù)小的取值范圍是［號,+8）.

【解析】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，以及不等式恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想

和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題.

（1）由題意可得f（0）=0,求得a,再由奇函數(shù)的定義，結(jié)合已知解析式，可得〃久）在［0,4］上的解

析式；

（2）由題意可得表—表W%—吉在％G［―2,—1］恒成立，由參數(shù)分離得（y+2（|尸<根在xG

［-2,-1］時(shí)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求得最大值，即可得小的取值范圍.

15.【答案】解：（1）設(shè)g（久）=ax（a>0且a豐1）,

"g（3）=a3=8,

a=2,

??.g（%）=2X,

i—2X

,?"（久）是R上的奇函數(shù)，

Hnl—2-11-2人

即-----I-------=0,

m+1m+4

解得m=2.

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)爪=2時(shí)，/（久）=聶亮為奇函數(shù)，

八乃=品；

（2）/（乃是定義在R上的減函數(shù)，證明如下：

任取%1，%2ER，V%2，

、//、1-2X11-2X2

則/'（巧）-/（久2）=2（1+2「1）—2（1+2相）

_2-2_2町

一（1+2町）（1+2*2y

/V全，

.?.2%2-2%1>0,

又1+2/>0,1+2外>0,

.?./(Xi)>/(X2),

???/(久)是定義在R上的減函數(shù)；

(3)??"(1-%)+/(I-2%)>0,且/'(%)為奇函數(shù),

/(1-%)>/(2%-1),

-5<1-x<-1

-5<1—2%4—1,

1—%<2%—1

解得2<%<3,

x的取值范圍是[2,3].

【解析】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)，屬于中檔題.

(1)利用指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)和函數(shù)為奇函數(shù)，得到關(guān)于參數(shù)的方程，解方程得到本題結(jié)論；

(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明，得到本題結(jié)論；

(3)利用函數(shù)的奇偶性將原不等式化為f(l-%)>f(2久-1),利用函數(shù)單調(diào)性及已知條件可得

—541—xW—1

-5<l-2x<-l,解不等式組得到本題結(jié)論.

<1—x<2x—1

16.【答案】解：(1)設(shè)g。)且all),則M=9,

所以a=-3(舍去)或a=3,

所以g(尤)=3，，f⑸=霖.

又f(x)為奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽,

所以"0)=0,即％二5=0,所以爪=1,

所以f(x)=

(2)因?yàn)橛?=會=-爵

_3。1-2_?,2

-1+3X—-+1+3X，

又因?yàn)?+3X>1,故可得0<[jx<2,

故/⑶e(-1,1),

又因?yàn)?(%)=b有解,

故可得bG(-1,1),

(3)設(shè)％1<%2，

則““】)一〃孫)=品一碎

_2(3%2-3%1)

一(1+3X1)(1+3X2)*

因?yàn)榈?lt;%2,所以3型-3%>0,

戶…2(3，-3盯)

所'(1+3肛)(1+3工2)>

所以fSi)-g>0,即f(如)>g,

所以函數(shù)〃久)在R上單調(diào)遞減.

要使對任意的t