第3講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

_考情考向分析-------------------------------1

1.導(dǎo)數(shù)的意義和運算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，是高考的一個熱點.

2.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值）問題是高考的常見題型.

3.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點，不等式的結(jié)合常作為高考壓軸題出現(xiàn).

n熱點分類突破

熱點一導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1.函數(shù)/U）在司處的導(dǎo)數(shù)是曲線f（x）在點尸（劉，f（x。））處的切線的斜率，曲線/U）在點產(chǎn)

處的切線的斜率（劉），相應(yīng)的切線方程為y—『（劉）=/（劉）（x—劉）.

2.求曲線的切線要注意“過點尸的切線”與“在點尸處的切線”的不同.

x~\~

例1（1）（2017屆山東壽光現(xiàn)代中學(xué)月考）過點（0,1）且與曲線曠=二71在點⑶2）處的切線

X—1

垂直的直線的方程為（）

A.2x~\~y—1—0B.2x—y+1—0

C.x—2y+2=0D.x+2y—2=0

答案B

x—1—(x+1)2

解析因為產(chǎn)

(XT?―(x-l)2'

故切線的斜率A=—；，即所求直線的斜率A=2,

方程為y—1=2（x—0）,即2x—y+l=0.故選B.

⑵（2017屆成都一診）已知曲線G：y=My>0,力0）在點g,2）處的切線與曲線處尸ef

4e2

一1也相切，則dn7的值為（）

A.4e2B.8e

C.2D.8

答案D

解析曲線G：y=y[txfy,——

2\tx

當(dāng)時，y'=1,切線方程為y—2=((X—野，

化簡為尸%+1.①

與曲線G相切，設(shè)切點為(劉，丹),

『x0=ln4，

那么yo=e]C°+>—1=^—1,

切線方程為1+lj,

化簡為y=(x—jn1,②

①②是同一方程，

LL…乙t、tt21——8

所以一”n廣萬一l=91n1=—^^

4e2

即t=4,那么tin-=41ne2=8,故選D.

思維升華(1)求曲線的切線要注意“過點尸的切線”與“在點戶處的切線”的差異，過點

產(chǎn)的切線中，點尸不一定是切點，點?也不一定在已知曲線上，而在點尸處的切線，必以點

產(chǎn)為切點.

(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來進(jìn)行轉(zhuǎn)

化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間

的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來求解.

跟蹤演練1⑴(2017屆河北省正定中學(xué)期中)已知函數(shù)f(x)=3x+cos2x+sin2x,a=f

(2)，/(x)是/"(x)的導(dǎo)函數(shù)，則過曲線上一點Ra,6)的切線方程為.

答案3x—y—2=0或3x—4y+l=0

解析f(x)=3—2sin2x+2cos2x,f(一，=3—2=1,則a=l,點戶的坐標(biāo)為(1,1),

若尸為切點，y'=3/,曲線尸f在點尸處切線的斜率為3,切線方程為了―i=3(x—i),

即3x—y—2=0；若戶不為切點，設(shè)曲線尸f的切線的切點為E,n),曲線尸V的切線

的斜率k=3ni,則^^=3/又n=n1,則m=—n=—得切線方程為

即3x—4y+l=0..?.過曲線Ax'上一點?(a,6)的切線方程為3x—y—2=0或3x—4y+l

=0.

(2)(2017屆云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)月考)若函數(shù)?5)=1-與函數(shù)45)=/+2矛+,(X〈0)

有公切線，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(in.,+°°jB.(―1,+°0)

C.(1,+°°)D.(—In2,+°°)

答案A

解析設(shè)公切線與函數(shù)F(x)=lnx切于點/(xi,Inxi)(矛1〉0),則切線方程為p—lnxi=1(x

一荀).設(shè)公切線與函數(shù)g(x)=1+2x+a切于點出如羌+2也+4(/2<0),則切線方程為y一

,9工=2(至+1),

(七+2至+石)=2(乃+1)(x—X2),Xi

、lnx\—1=一第+女，

V^<0<Xi,A0<—<2.

2Xi

又a=lnl^2—1=-In—+7P-2^2—1,

人112

令力=—，/.0<z^<2,a=-i—z^—Int.

x\4

設(shè)h(6=；干-f—in方(0(伙2),

則〃

；.力(亡)在(0,2)上為減函數(shù)，

則A(t)>/?(2)=—In2—l=ln77",

AaG(In-,+°°),故選A.

熱點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

1.f(x)〉0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù)/'(X)=入3在(一8,十8)上單調(diào)

遞增，但(x)》0.

2.F(x)20是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，當(dāng)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0時,

則f(x)為常函數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性.

例2(2017屆河南息縣第一高級中學(xué)段測)已知函數(shù)f(x)=V+alnx.

(1)當(dāng)a=-2時，求函數(shù)Ax)的單調(diào)區(qū)間；

2

⑵若g(x)=Ax)+,在［1,+8)上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)乃的取值范圍.

2

解(1)/(x)=2x-—，令f(x)>0,得x>l;

x

令f(x)<0,得0<水1,

所以F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+8),

單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1).

2

⑵由題意g(x)=x+alnx+；,

，/、、a2

g(x)=2x+一—~2,

xx

若函數(shù)g(x)為［1,+8)上的單調(diào)增函數(shù)，

則g，(才)20在［1,+8)上恒成立，

2

即--2/在［1,+8)上恒成立，

x

2

設(shè)。(入)=一一2/

x

:0(x)在［1,+8)上單調(diào)遞減,

0(x)max=0(1)=0,"20；

若函數(shù)g(x)為［1,+8)上的單調(diào)減函數(shù)，

則H(x)wo在［1,+8)上恒成立，不可能.

???實數(shù)a的取值范圍為［0，+8).

思維升華利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟

⑴確定函數(shù)的定義域.

⑵求導(dǎo)函數(shù)/(X).

(3)①若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只要在函數(shù)定義域內(nèi)解(或證明)不等式/(x)>0或

f'(x)<0;

②若已知函數(shù)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式-5)20或/(x)W0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題

來求解.

跟蹤演練2(1)(2017屆昆明市第一中學(xué)月考)若函數(shù)f(x)=lnx+af—2在區(qū)間2)內(nèi)

存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是()

B.?,+8

A.（一8,—2]

C.1—2,—?D.(-2,+8)

答案D

解析由題意得/?'(x)='+2ax,

X

若/>(X)在區(qū)間，，2)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，

則/(x)〉0在(；，2)上有解，

艮口a>[

又g(x)=—』在g,2)上是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以g(x)〉｛1)=—2,

所以a>~2.

故選D.

(2)定義在(0,可，上的函數(shù)F(x)，/(x)是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有F(x)〈/5)?tanx成立,

則()

A.4fq)〉加f5)B.f(l)<2/,信)sin1

d)”日江后仔)"⑶

答案D

解析構(gòu)造函數(shù)網(wǎng)x)=3-.

熱點三利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值

1.若在劉附近左側(cè)/(x)〉0,右側(cè)(x)〈0,則f(x。)為函數(shù)F(x)的極大值；若在的附近

左側(cè)f(x)<0,右側(cè)V(x)>0,則/'(劉)為函數(shù)f(x)的極小值.

2.設(shè)函數(shù)y=f(x)在［a,6］上連續(xù)，在(a,0內(nèi)可導(dǎo)，則F(x)在［a,6］上必有最大值和最

小值且在極值點或端點處取得.

例3(2017屆云南大理州統(tǒng)測)設(shè)函數(shù)G(x)=xlnx+(1—x)?ln(l—x).

(1)求G(x)的最小值；

萬T-1

(2)記G(x)的最小值為c,已知函數(shù)f(x)=2a?e^+^-2(a+l)(a>0),若對于任意的x

e(0,+8),恒有/'(x)成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解(1)由己知得0〈水1,

x

G'(x)=lnjr—ln(l—A)=ln;---.

1一N

令G'令<0,得0<水；；

令G(x)>0,得/<x<1,

所以G(x)的單調(diào)減區(qū)間為0,3，

單調(diào)增區(qū)間為'，1).

從而G(x)n>in=6^j=lng=—ln2.

(2)由(1)中c=—ln2,

用T-］

得f{x}=a,e"+....-2(a+1).

x

令g(x)=ax?ex—(a+1),

則gf(x)=ax(2+x)eX>0,

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因為g(0)=-Q+l)，且當(dāng)《f+8時，g(x)>0,

所以存在劉￡(0,+°°),使g(xo)=O,且F(x)在(0,Xo)上單調(diào)遞減，在(Xo,+8)上單調(diào)

遞增.

因為g(為=癡?6”—(a+1)=0,

5T-1

所以己言?e聞=a+1,即a?e聞=——,

照

因為對于任意的x￡(0,+8),恒有廣(x)20成立，

a+1

所以_f(x)min=F(xo)=a?e"+----—2(5+1)20,

Ab

o-L1日1

所以三十工―2Q+l)20,

XQAb

即■—220,即2岔一為一1W0,

照XQ

所以一(wxoWl.

刁T-1

因為a*?e*=a+l,所以xn?e為=----->1.

a

又劉〉0,所以O(shè)〈xoWl,從而孟?e*We,

0-1-11

所以1〈工We,故a2--

ae—1

思維升華(1)求函數(shù)f(x)的極值，則先求方程/(x)=0的根，再檢查f'(x)在方程根的

左右函數(shù)值的符號.

(2)若已知極值大小或存在情況,則轉(zhuǎn)化為已知方程/(x)=0根的大小或存在情況來求解.

(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,6］上的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值

f(a),f⑦與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值.

跟蹤演練3已知函數(shù)f(x)=ax'+京，在x=l處取得極值!

⑴求a6的值；

⑵若對任意的x￡［0,+8),都有/(x)WAln(x+l)成立(其中/(x)是函數(shù)_f(x)的導(dǎo)

函數(shù))，求實數(shù)A的最小值.

解⑴由題設(shè)可得f'(x)=3ax-\-2bx,

?."(X)在x=l處取得極值，，

6

f'(1)=0,13a+26=0,

1BPI.1

fCV\=-,a-\-b=-,

66

解得己=一；，8=；，經(jīng)檢驗知，己=―1，力=；滿足題設(shè)條件.

⑵由⑴得F(X)=—,

:?f(x)=—V+x,，-V+xWAlnCx+l)在［0,+8)上恒成立，

即x—x+kln(x+l)20在xR［0,+°°)上恒成立，

設(shè)g(x)=x—x+kln(x+l),則g(0)=0,

/、k2x-\-x-\-k—1

g(x)=2x—l+^—=-----2n--------，x￡［0,+8),

x十1x十1

設(shè)h{x)=2x+x+k—\,

①當(dāng)/=1一8(攵-1)WO,即時，力(x)20,

???g，(x)20,g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

.?.g(x)>g(0)=0,即當(dāng)#三■!時，滿足題設(shè)條件.

9

②當(dāng)A=1—8(^—1)>0,即內(nèi)三時，設(shè)xi,至是方程2/+*+左一1=0的兩個實根，且xi〈X2,

O

由矛1+*2=—；可知，不<0,由題設(shè)可知，當(dāng)且僅當(dāng)X2WO,即矛1?義220,即A—120,即A

21時，對任意的x￡［0,+8)有力(x)20,即g'(入)20在［0,+8)上恒成立，

???g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

9

??.g(￡)2g(0)=0,???當(dāng)時,也滿足條件,

綜上，"的取值范圍為［1,+8),.?.實數(shù)A的最小值為1.

U真題押題精練-----------------

真題體驗

1.(2017?浙江改編)函數(shù)尸f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=r(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)尸f(x)的

圖象可能是.(填序號)

邛°\\JXxJpc

①②③④

答案④

解析觀察導(dǎo)函數(shù)1?'(X)的圖象可知，r(X)的函數(shù)值從左到右依次為小于0,大于0,小

于0,大于0,

.??對應(yīng)函數(shù)/<x)的增減性從左到右依次為減、增、減、增.

觀察圖象可知，排除①，③.

如圖所示，f(x)有3個零點，從左到右依次設(shè)為xi,Xi,X3,且xi,苞是極小值點，總是

極大值點，且田>0,故④正確.

2.(2017?全國H改編)若x=-2是函數(shù)f(x)=(V+ax—1)?e，T的極值點，則/1(x)的極

小值為?

答案T

解析函數(shù)=1)8-，

則/(x)=(2x+a)e"-』(x?+ax—1)e*T

=e*T民+(a+2)x+a-1].

由x=—2是函數(shù)/'(x)的極值點，得

f'(—2)=e-3(4—2a—4+a—1)=(—a—l)e-3=0,

所以a=-1,所以/'(x)=(V—x—De'，

f'(x)=e*T(/+x—2).

由e*T>0恒成立，得當(dāng)x=-2或x=l時，f(x)=0,且x<—2時，f'(x)>0；當(dāng)一2

<x<l時，f(x)<0；

當(dāng)x>l時，f(x)>0.

所以X=1是函數(shù)『(x)的極小值點.

所以函數(shù)f(x)的極小值為AD=-I.

3.(2017?山東改編)若函數(shù)e'f(x)(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))在/'(x)的定義域上

單調(diào)遞增，則稱函數(shù)/"(X)具有〃性質(zhì)，下列函數(shù)中具有〃性質(zhì)的是.(填序號)

①f(x)=23②f(x)=x；③/'(x)=3、=cosx.

答案①

解析若F(x)具有性質(zhì)〃貝lKe'f(x)r=e'[f(x)+/(x)]>0在/>(x)的定義域上恒成立,

即f(x)+F(x)>0在f(x)的定義域上恒成立.

對于①式，F(xiàn)(x)+/(x)=2)-2-，ln2=2一‘(1—In2)>0,符合題意.

經(jīng)驗證，②③④均不符合題意.故填①.

4.(2017?全國I)曲線在點(1,2)處的切線方程為.

答案y=x+l

解析y'=2x—/./|z=i=l,

即曲線在點(1,2)處的切線的斜率k=\,

切線方程為y—2=x—4,即x—y+l=0.

押題預(yù)測

1.設(shè)函數(shù)尸/<x)的導(dǎo)函數(shù)為F(x),若了=?(工)的圖象在點戶(1,HD)處的切線方程為

x—y+2=0,則(1)等于()

A.4B.3C.2D.1

押題依據(jù)曲線的切線問題是導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，是高考考查的熱點，對于“過某一點的

切線”問題，也是易錯易混點.

答案A

解析依題意有f(1)=1,1—F(l)+2=0,即/'(1)=3,

所以f(l)+F(1)=4.

2.已知函數(shù)加)=1加+『八7a在x=l處取得極大值10,貝端的值為()

222

A.——B.—2C.—2或——D.2或一~

uoO

押題依據(jù)函數(shù)的極值是單調(diào)性與最值的“橋梁”，理解極值概念是學(xué)好導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵.極值

點、極值的求法是高考的熱點.

答案A

3+2a+6=0,

解析由題意知一(^r)=3/+2ax+b,f'(1)=0,廣(1)=10,即

1+乃+6—a—7a=10,

a=-2,a——6,

解得或

6=13=9,

[a=-6,a2

經(jīng)檢驗b=9滿足題意,故％=-g.

3.已知函數(shù)f(x)=3—ax+3在(0,1)上為減函數(shù)，函數(shù)g(x)=3—alnx在(1,2)上為增函

數(shù)，則a的值等于.

押題依據(jù)函數(shù)單調(diào)性問題是導(dǎo)數(shù)最重要的應(yīng)用，體現(xiàn)了“以直代曲”思想，要在審題中搞

清”在(0,1)上為減函數(shù)”與“函數(shù)的減區(qū)間為(0,1)”的區(qū)別.

答案2

解析?函數(shù)f(x)=/—ax+3在(0,1)上為減函數(shù)，

.'.^^1,得a22.

又(x)=2x—?依題意g'(x)20在xe(1,2)上恒成立，得2x'》a在xe(l,2)上恒

成立，有.\a=2.

4.已知函數(shù)F(x)=x——號，g(x)=，-2ax+4,若對任意矛[0,1],存在至￡[1,2],使

FG)2g(加，則實數(shù)a的取值范圍是.

押題依據(jù)不等式恒成立或有解問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域解決.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，

是高考的一個熱點.

答案*+8)

解析由于r(x)=l+W『〉0,因此函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，

(x+1)

所以當(dāng)王￡[0,1]時，F(xiàn)(X)min=f(O)=—1.

根據(jù)題意可知存在xe[i,2],

使得g(x)=3—2ax+4W—1,

x5

即?-2ax+5W0,即己2不+丁成立，

2Lx

./、x,5

令力(x),

則要使力(X)在[1,2]能成立，只需使＜32力(x)min,

Y5

又函數(shù)爾x)=5+鍵在xe[1,2]上單調(diào)遞減，

乙乙X

QQ

所以力(X)min=〃2)=],故只需a2].

ET專題強化練

A組專題通關(guān)

1.（2017屆河北省衡水中學(xué)六調(diào)）已知函數(shù)/-（^）=1Ainx+xcosx,則其導(dǎo)函數(shù)（x）

的圖象大致是（）

答案C

解析?.?/'（X）=；fsinx+xcosx,

f'（x）=—Vcosx+cosx,

f'（一②=；（一力2cos（一分+cos（一分ugfcosx+cosX=f'（^x）,

???其導(dǎo)函數(shù)/（x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于P軸對稱，故排除A,B,

又/（0）=1,排除D,故選C.

2.（2017屆山西省懷仁縣第一中學(xué)期末）已知H￡R,函數(shù)F（x）=/+能一、的導(dǎo)函數(shù)是/（x）,

且/（x）是奇函數(shù)，若曲線p=Hx）的一條切線的斜率是會則切點的橫坐標(biāo)為（）

In2In2

A.In2B.—In2C.~~~D.-----

答案A

解析對/15）=。"+非一'求導(dǎo)，得/（x）=e、一天二

又f（x）是奇函數(shù)，故/（0）=1—〃=0,解得a=l,故有/（x）=e“一eT設(shè)切點為（馬,

31

㈤，則/（xo）=e/一e』=5，得e"=2或e"=一萬（舍去），得Xo=ln2,故選A.

3.(2017屆內(nèi)蒙古包頭市十校聯(lián)考)已知函數(shù)分⑸=”⑸，廣3滿足AA)="—x),且當(dāng)xG(-

8,0］時，F(xiàn)(x)〈0成立，若a=2°J?，6=ln2?_f(ln2),c=log2-1?f^log2^,

則a,b,。的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.c>a>tC.c>t)>aD.a>c>b

答案c

解析尸(一x)=(—X)f(—x)=—xf(x)=-6(x),即函數(shù)尸(x)是奇函數(shù)，并且當(dāng)xe(—8,

0］時，f'(x)〈0,即當(dāng)xG(—8,o］時，6(x)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以在R上函數(shù)尸(x)是單

1

>og-

調(diào)遞減函數(shù)，乃=尸(2°/)，b=F(ln2),c=20-18=—3,所以

-1

01g0

2>ln2>lo0^所以水ZKc,故選C.

4.設(shè)d￡R,若函數(shù)y=b+3x,x￡R有大于零的極值點，則()

11

A.a>~3B.a<—3C.a>——D.a<—~

答案B

解析y'=<ae"+3=0在(0,+8)上有解，即石尸=一3,??永0.又當(dāng)水0時，

0<ea\l,要使ae""=-3,則水一3,故選B.

5.(2017屆河北省衡水中學(xué)調(diào)研)已知函數(shù)廣(x)=2+xlnx,g{x)=x—x—5,若對任意的

x

荀，田仁2,都有/tn)—g(xj22成立，則實數(shù)3的取值范圍是()

A.［1,+°°)B.(0,+°°)

C.(一8,0)D.(一8,—1］

答案A

解析g^x)=/—/—5,g'(才)=3心一>!),

12

X2

23

g'(X)—0+

_41

g(x)一不遞減極小值遞增-1

由上表可知，g(x)在x=2處取得最大值,

即g(x)nm=g(2)=—1,

2

所以當(dāng)時,f(x)=;+xlnBl恒成立，等價于心x-Vinx恒成立,

記u{x)=x—VInx,

所以a2〃(x)max,u'(x)=1—x—2xlnx,

可知"(1)=0,當(dāng)xeg,1)時，1一入>0,2xlnx〈0,

則(x)〉o,所以u(x)在xe1,1)上單調(diào)遞增；

當(dāng)(1,2)時，1—x<0,2Hn;r>0,則〃'(x)<0,

所以u(x)在(1,2)上單調(diào)遞減.

-1

-2

故當(dāng)X=1時，函數(shù)〃(X)在區(qū)間上取得最大值”(1)=1，

-2J

所以a》l,即實數(shù)a的取值范圍是［1,+8),故選A.

6.(2017屆重慶市第一中學(xué)月考)已知直線x—y+l=O與曲線y=lnx+a相切，則a的值

為一

答案2

解析y=lnx+a的導(dǎo)數(shù)為y'=：,設(shè)切點?(x。，%),則為=x°+l,%=lnxo+a.又切

線方程x—y+l=O的斜率為1,即(=1,解得荀=1,則%=2,a=%—In劉=2.

2

7.(2017屆遼寧省沈陽市郊聯(lián)體期末)f(x)=§x3—V+ax—1,已知曲線存在兩條斜率為3

的切線，且切點的橫坐標(biāo)都大于零，則實數(shù)a的取值范圍為.

答案6,9

解析原題等價于方程F(x)—3=0有兩個大于零的實數(shù)根.

2

因為f(x)=-x~x+ax—l,

所以f'(x)=2x-2x+a9

所以/(x)—3=0,即23—2x+a—3=0,

設(shè)g(x)=2x—2x-\~a—3,

f/>0,

要使方程g(x)=0有兩個大于零的實數(shù)根需要滿足、

［夙0)〉0,

22-4X2X(a-3)>0,

即

a—3>0,

,7

解得3<a<-

所以a的取值范圍為(3,￡|,

8.(2017屆重慶模擬)已知x=0是函數(shù)f(x)=(x-2a)?(/+ax+2a)的極小值點，則實

數(shù)a的取值范圍是.

答案a>2或a<0

解析因為f(x)=/+(a2—2a)/—4a4,所以令f'(x)=3/+2(a?-2a)x=

3小+，，320=0,可得函數(shù)/'(x)=f+(a?—2a)f—4a"的兩個極值點分別為x=0,x=

-2(a-2a),由題意得"a；?。)〉。,即才一22〉()，解得a<0或a>2.

9.(2017屆西安模擬)定義1：若函數(shù)f(x)在區(qū)間，上可導(dǎo)，即/(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)F

(x)在區(qū)間。上也可導(dǎo)，則稱函數(shù)/"(X)在區(qū)間。上存在二階導(dǎo)數(shù)，記作/?〃(x),即(x)

=\.f⑹，.

定義2：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的二階導(dǎo)數(shù)為正，即/■〃(x)〉0恒成立，則稱函數(shù)/"(X)在區(qū)

間D上是凹函數(shù).

3

已知函數(shù)f①=/--/+1在區(qū)間〃上為凹函數(shù)，則X的取值范圍是.

答案'，+8)

解析f1(x)=33—3x,f"(x)=6x—3,

令-'(x)>0,得x>g.

10.已知函數(shù)/1(x)=￡*

e

⑴若Ax)在區(qū)間(—8,2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若2=0,To<l,設(shè)直線尸g(x)為函數(shù)廣(X)的圖象在X=Xo處的切線，求證：廣(x)Wg(x).

⑴解易得f(x)=x—(1—a),

e

由已知/(才)20對^￡(—8,2)恒成立，

故后1—a對x￡(—8,2)恒成立，

1一己22,.二aW—1.

V

⑵證明若3=0,則/(X).

e

函數(shù)f{x)的圖象在X=Xo處的切線方程為y=g(x)=f'(Xo)(X—苞)+_f(xo).

令力(x)=_f(x)—g{x)=f{x)—f'(xo)(X—Xo)-f(xo),x￡R,

則h'(x)=f'(x)—f'(xo)

_1一才1_Ab_(l-—(1—Ab)e%

_e"e々_e*+與

設(shè)O(x)=(l—x)e”—(l—xo)e“，x￡R,

則O'(x)=-e而一(1—Ab)e",VXQ<1,:"仃(x)<0,

JO(x)在R上單調(diào)遞減，又0(照)=0,

???當(dāng)時，0(x)>o,當(dāng)X>Xo時，0(x)〈o,

二?當(dāng)水照時，h'(x)>0,當(dāng)x>xo時，h'(jr)<0,

???力(x)在區(qū)間(一8,照)上為增函數(shù)，在區(qū)間(劉，+8)上為減函數(shù)，

:.當(dāng)x￡R時，力(x)W力(劉)=0,

?,.f(x)Wg(x).

B組能力提高

11.(2017屆衡陽期末)函數(shù)Ax)在定義域(0,+8)內(nèi)恒滿足：①F(x)>0；②2f(水xf

(x)〈3〃x),其中/(x)為/1(x)的導(dǎo)函數(shù)，貝?。?)

141)11/(I)1

7〈畫<5B.元〈而§

1#1)11#1)1

r―〈—<—D-<<一

3/2)28/(2)4

答案D

解析令g(x)=&2(0,+8),

x

,xf/(X)—2?x)

g(X)=---------p---------，

*.*VxEi(0,+°°),2/(jr)^xf(x)〈3_f(x),

/.A^)>0,g'(x)>0,

函數(shù)g(x)在XG(0,+8)上單調(diào)遞增，

⑴<g⑵，即4廣⑴<廣(2),

令力(x)=-^A(0,+0°),

xf㈤一

h'(x)4

X

Wx^.(0,+°°),2f{x)<xfr(x)〈3f(x),

:.h'(x)<0,???函數(shù)力(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

???力⑴>力⑵,BPAD

故選D.

12.(2017屆湖南長沙雅禮中學(xué)月考)已知實數(shù)a,b滿足2才一51na—b=0,cER,則

q(a—c)2+(z?+c)2的最小值為()

1位

A.~B.

3A/29

C.D.