中外數(shù)學(xué)發(fā)展史上海市市東中學(xué)楊鋒第二講古埃及、美索不達(dá)米亞1一、古埃及數(shù)學(xué)

埃及是世界上文化發(fā)達(dá)最早的幾個(gè)地區(qū)之一，位于尼羅河兩岸，公元前3200年左右，形成一個(gè)統(tǒng)一的國(guó)家。尼羅河定期泛濫，淹沒(méi)全部谷地，水退后，要重新丈量居民的耕地面積。由于這種需要，多年積累起來(lái)的測(cè)地知識(shí)便逐漸發(fā)展成為幾何學(xué)。2公元前2900年以后，埃及人建造了許多金字塔，作為法老的墳?zāi)?。從金字塔的結(jié)構(gòu)，可知當(dāng)時(shí)埃及人已懂得不少天文和幾何的知識(shí)。例如基底直角的誤差與底面正方形兩邊同正北的偏差都非常小；胡夫金子塔底周長(zhǎng)與高之比為2等等。3研究埃及數(shù)學(xué)的依據(jù)古埃及人創(chuàng)造出了幾套文字，其中一套是象形文字．“象形文字”這個(gè)詞源于希臘文，意思是神圣的文字．直到基督降生的年代，埃及在紀(jì)念碑文和器皿上還刻有象形文字．自公元前2500年左右起，開(kāi)始使用象形文字的縮寫(xiě)，稱作僧侶文(hieraticwriting)．4

現(xiàn)今對(duì)古埃及數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，主要根據(jù)兩卷用僧侶文寫(xiě)成的紙草書(shū)（見(jiàn)上右彩圖）；一卷藏在倫敦，叫做蘭德紙草書(shū)，一卷藏在莫斯科。埃及最古老的文字是象形文字，后來(lái)演變成一種較簡(jiǎn)單的書(shū)寫(xiě)體，通常叫僧侶文。除了這兩卷紙草書(shū)外，還有一些寫(xiě)在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木頭上的史料，藏于世界各地。兩卷紙草書(shū)的年代在公元前1850～前1650年之間，相當(dāng)于中國(guó)的夏代。51．蘭德紙草書(shū)埃及的數(shù)學(xué)原典就是由象形文字書(shū)寫(xiě)而成，其中，對(duì)考察古埃及數(shù)學(xué)有重要價(jià)值的是“蘭德紙草書(shū)”，這部紙草書(shū)是在埃及古都---底比斯(Thebes)的廢墟中發(fā)現(xiàn)的．1858年由蘭德(A．H．Rhind)購(gòu)買(mǎi)，爾后，遺贈(zèng)給倫敦大英博物館．因此，叫做蘭德紙草書(shū)．這種紙草書(shū)長(zhǎng)約550厘米、寬33厘米，摹本出版于1898年．這部紙草書(shū)是根據(jù)底比斯人統(tǒng)治埃及時(shí)(約公元前1800年以后)寫(xiě)成的，著者阿梅斯(Ahmes)曾寫(xiě)道，此書(shū)是根據(jù)埃及王國(guó)時(shí)代(公元前2000---前1800)的材料寫(xiě)成的．6這部紙草書(shū)的出現(xiàn)，對(duì)埃及的文化產(chǎn)生了重要影響，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展和傳播起到了一定的作用．全書(shū)分成三部分，一是算術(shù)；二是幾何；三是雜題．共有85題．記載著埃及人在生產(chǎn)、生活中遇到的實(shí)際問(wèn)題．例如，對(duì)勞動(dòng)者酬金的分配；面積和體積的計(jì)算；不同谷物量的換算等等．其中，也含有純數(shù)學(xué)知識(shí)問(wèn)題．例如，分?jǐn)?shù)的難題計(jì)算等等．72．莫斯科紙草書(shū)記載著古埃及數(shù)學(xué)的另一部古典書(shū)籍是莫斯科紙草書(shū)，此書(shū)是由俄羅斯收藏者于1893年獲得，約20年后，即1912年轉(zhuǎn)藏于莫斯科圖書(shū)館．這部紙草書(shū)長(zhǎng)約550厘米、寬8厘米，共記載著25個(gè)問(wèn)題．由于卷首遺失，書(shū)名無(wú)法考證．總之，研究埃及數(shù)學(xué)主要是依據(jù)如上兩部書(shū)，當(dāng)然，也可能還有其它的有關(guān)資料，有待于進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)與考證．8埃及數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容

根據(jù)埃及紙草書(shū)的記載，古埃及人對(duì)算術(shù)、代數(shù)、幾何等數(shù)學(xué)知識(shí)已經(jīng)有了初步認(rèn)識(shí)，并能做簡(jiǎn)單地應(yīng)用．現(xiàn)簡(jiǎn)要介紹如下：9一、算術(shù)古埃及人所創(chuàng)建的數(shù)系與羅馬數(shù)系有很多相似之處，具有簡(jiǎn)單而又純樸的風(fēng)格，并且使用了十進(jìn)位制．古埃及人是用象形文字來(lái)表示數(shù)的，例如10根據(jù)史料記載，上述象形文字似乎只限于表示107以前數(shù)．由于是用象形文字表示數(shù)，進(jìn)行相加運(yùn)算是很麻煩的，必須要數(shù)“個(gè)位數(shù)”、“十位數(shù)”、“百位數(shù)”的個(gè)數(shù)．但在計(jì)算乘法時(shí)，埃及人采取了逐次擴(kuò)大2倍(duplication)的方法，運(yùn)算過(guò)程比較簡(jiǎn)便．11乘法：古埃及人采用反復(fù)擴(kuò)大倍數(shù)的方法，然后將對(duì)應(yīng)結(jié)果相加．例如蘭德紙草書(shū)(希特版)第32頁(yè)，記載著12×12的計(jì)算方法，是從右往左讀的．右邊用現(xiàn)代數(shù)字表示，這就是倍增法(duplatio)．12隨著分?jǐn)?shù)范圍的不斷擴(kuò)大，計(jì)算方法的不斷改進(jìn)，埃及人用“單位分?jǐn)?shù)”(分子是1的分?jǐn)?shù))來(lái)表示分?jǐn)?shù)：對(duì)一般分?jǐn)?shù)則拆成“單位分?jǐn)?shù)”表示①．例如，(用現(xiàn)代符號(hào)表示)13二、代數(shù)在蘭德紙草書(shū)中，因?yàn)榍蠛粋€(gè)未知量的方程解法在埃及語(yǔ)中發(fā)“哈喔”(hau)音，故稱其為“阿哈算法”．“阿哈算法”實(shí)際上是求解一元一次方程式的方法．蘭德紙草書(shū)第26題則是簡(jiǎn)單一例．用現(xiàn)代語(yǔ)言表達(dá)為：

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埃及人對(duì)“級(jí)數(shù)”也有了簡(jiǎn)單的認(rèn)識(shí)，在紙草書(shū)中，用象形文字寫(xiě)出一列數(shù)7，49，343，2401，16807，并與之對(duì)應(yīng)一列詞：“圖畫(huà)”，“貓”，“老鼠”，“大麥”，“容器”，最后，給出和數(shù)為19607．實(shí)際上，這是公比為7的等比數(shù)列．對(duì)此，有的數(shù)學(xué)史家解釋為：“有7個(gè)人，每人有7只貓，每只貓能吃7只老鼠，而每只老鼠吃7穗大麥，每穗大麥種植后可以長(zhǎng)出7容器大麥．”從這個(gè)題目中，可以寫(xiě)出怎樣的一列數(shù)，它們的和是多少？這種題目就涉及到求數(shù)列和的問(wèn)題．15三、幾何埃及人創(chuàng)建的幾何以適用工具為特征，以求面積和體積為具體內(nèi)容．他們?cè)岢鲇?jì)算土地面積、倉(cāng)庫(kù)容積、糧食堆的體積、建筑中所用石料和其它材料多寡等法則．埃及人能應(yīng)用正確的公式來(lái)計(jì)算三角形、長(zhǎng)方形、梯形的面積．把三角形底邊二等分，乘以高；同樣，把梯形兩平行邊之和二等分，乘以高分別作為三角形和梯形的面積．另外，埃及人還能對(duì)不同的面積單位進(jìn)行互相換算．16在埃及埃特夫街的赫爾斯神殿的文書(shū)中，記載著很多關(guān)于三角形和四邊形面積計(jì)算問(wèn)題，如圖1．1．但是，他們把四邊形二對(duì)邊之和的一半與另二對(duì)邊和的一半之積作為其面積，這顯然是不對(duì)的，只是長(zhǎng)方形時(shí)，這才是正確的計(jì)算公式．17埃及人曾采用s＝(8d/9)2(其中s是圓的面積、d是圓的直徑)來(lái)計(jì)算圓的面積．由此得到：能把π值精確到小數(shù)點(diǎn)后一位，在那個(gè)時(shí)代，應(yīng)該說(shuō)是一件了不起的事，巴比倫人在數(shù)學(xué)高度發(fā)展時(shí)期，還常常取π＝3．18

在計(jì)算體積方面，經(jīng)考察蘭德等紙草書(shū)發(fā)現(xiàn)，埃及人已經(jīng)知道立方體、柱體等一些簡(jiǎn)單圖形體積的計(jì)算方法，并指出立方體、直棱柱、圓柱的體積公式為“底面積乘以高”．

19有材料證實(shí)，在埃及幾何中，最突出的一項(xiàng)工作是發(fā)現(xiàn)截棱錐體的體積公式，(錐體的底是正方形)，此公式若用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號(hào)表示為：

其中h是高，a和b是下、上底的邊長(zhǎng)．20埃及文明在歷史王朝更迭中表現(xiàn)出一種靜止的特征，這種靜止特征也反映在埃及數(shù)學(xué)上的發(fā)展上。蘭德紙草書(shū)和莫斯科紙草書(shū)中的數(shù)學(xué)，就像祖?zhèn)骷覍氁粯邮来鄠?，在?shù)千年漫長(zhǎng)的歲月中很少變化。加法運(yùn)算和單位分?jǐn)?shù)始終是埃及算數(shù)的磚塊，使古埃及人的計(jì)算顯得笨重繁復(fù)。古埃及人的面積、體積算法對(duì)精確公式與近似關(guān)系往往不作明確區(qū)分，這又使他們的實(shí)用幾何帶上了粗糙的色彩。這一切都阻礙埃及數(shù)學(xué)向更高的水平發(fā)展。公元前4世紀(jì)希臘人征服埃及之后，這一古老的數(shù)學(xué)文化完全被蒸蒸日上的希臘數(shù)學(xué)所取代。21二、美索不達(dá)米亞數(shù)學(xué)

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西亞美索不達(dá)米亞地區(qū)（即底格里斯河與幼發(fā)拉底河流域）是人類早期文明發(fā)祥地之一。一般稱公元前19世紀(jì)至公元前6世紀(jì)間該地區(qū)的文化為巴比倫文化,相應(yīng)的數(shù)學(xué)屬巴比倫數(shù)學(xué)。這一地區(qū)的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)上溯至約公元前二千年的蘇美爾文化,后續(xù)至公元1世紀(jì)基督教創(chuàng)始時(shí)期。24

大約在公元前1800年前，在兩河流域建立了巴比倫王國(guó)Babylonia)，首都巴比倫(Babylon)是今日伊拉克的一部分，位于巴格達(dá)南面約100公里．大約在公元前4000年左右，蘇默人(Sumerians)開(kāi)始在兩河流域(古代稱美索波達(dá)米亞Mesopotamia)定居，大約在公元前3000年創(chuàng)造了自己的文化．到了公元前1700年左右，在漢穆拉比(Hammurabi)王統(tǒng)治期間國(guó)勢(shì)強(qiáng)盛，文化得到了高度發(fā)展，以制定一部法典而垂名后世．25

古代巴比倫人是用祖?zhèn)鞯哪喟鍟?shū)記載數(shù)學(xué)內(nèi)容的，然而，保存下來(lái)的泥板書(shū)卻沒(méi)有埃及紙草書(shū)那樣多．可能是因?yàn)槟喟鍟?shū)靠太陽(yáng)或火燒烘干，遇到風(fēng)吹雨淋，難于保存原樣．另外，巴比倫人的書(shū)寫(xiě)字跡也阻礙了長(zhǎng)篇論著的編撰．26對(duì)巴比倫數(shù)學(xué)的了解，依據(jù)于19世紀(jì)初考古發(fā)掘出的楔形文字泥板,有約300塊是純數(shù)學(xué)內(nèi)容的，其中約200塊是各種數(shù)表,包括乘法表、倒數(shù)表、平方和立方表等。27在巴比倫泥板書(shū)中，引人注目的是普林頓322號(hào)．這是哥倫比亞大學(xué)普林頓(G．A．Plimpton)收集館的第322號(hào)收藏品．此泥板書(shū)是在公元前1900年至前1600年間用古巴比倫字體寫(xiě)的．28普林頓322號(hào)是保存下來(lái)的一塊殘缺不全的泥板書(shū)，但仍然保存著大體形狀，只是左邊掉下一塊，靠右邊中間部分也有一個(gè)很深的洞，左上角也脫落了一片，但可以清楚地看到，有三列比較完整的數(shù)字，不妨用現(xiàn)代符號(hào)(10進(jìn)位)表出，如圖2.1．29經(jīng)過(guò)對(duì)圖表的認(rèn)真分析，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：兩列中的對(duì)應(yīng)數(shù)字(除了4個(gè)例外)構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為整數(shù)的直角三角形的斜邊和一個(gè)直角邊．現(xiàn)在人們把象(3，4，5)這樣的，能組成直角三角形三條邊的一組正整數(shù)稱為畢氏三數(shù)(Pythagoreantriple)．在這樣一組數(shù)中，若除1以外，沒(méi)有其它因子，就稱它為素畢氏三數(shù)．30記數(shù)法與進(jìn)位制一百多年前，人們發(fā)現(xiàn)巴比倫人是用楔形文字(Cuneiform)來(lái)記數(shù)的．他們是用頭部呈三角形的木筆把字刻寫(xiě)在軟泥板上，然后，用火燒或曬干使它堅(jiān)如石，以便保存下來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)交流．由于字的形狀象楔子，所以人們稱為楔形文字．31

大約在公元前1800～前1600年間，巴比倫人已使用較系統(tǒng)的以60為基數(shù)的數(shù)系（包括60進(jìn)制小數(shù)）。對(duì)小于60的整數(shù)，使用1(▼)和10(

)兩種記號(hào)表示，如25=2(10)+5=；對(duì)大于60的數(shù),用位置制記數(shù)法,如

524551=2(60)3+25(60)2+42(60)+31=

由于沒(méi)有表示零的記號(hào)，這種記數(shù)法是不完善的。

32巴比倫人的代數(shù)知識(shí)相當(dāng)豐富,主要用文字表達(dá),偶爾使用記號(hào)表示未知量。有一道最古老的問(wèn)題是:已知正方形面積與邊長(zhǎng)的差為14；30〔60進(jìn)位制數(shù),即14(60)+30=870〕,求正方形邊長(zhǎng)。

這相當(dāng)于求解方程x2-px＝q（此時(shí)p＝1，q＝870）。巴比倫人的解法是依次計(jì)算

,得到解為30。

33這與現(xiàn)代用公式解這類方程的過(guò)程一致（但他們尚無(wú)負(fù)數(shù)概念，解方程只求正根）。在公元前1600年前的一塊泥板上,記錄了許多組畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組(即勾股數(shù)組，（見(jiàn)彩圖）。巴比倫人還討論了某些三次方程和可化為二次方程的四次方程。

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巴比倫的幾何屬于實(shí)用性質(zhì)的幾何，多采用代數(shù)方法求解。他們有三角形相似及對(duì)應(yīng)邊成比例的知識(shí)。用公式

(с為圓的周長(zhǎng))求圓面積,相當(dāng)于取π=3。在一塊約公元前1600年的泥板上,記有的近似值

1+24/60+51/602+10/603=1