數(shù)學(xué)文化（第三節(jié)）思考題：求函數(shù)的最小值（1）y=|x+1|+|x-1|（2）y=|x-1|+|x-2|+|x-3|（3）y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|

（4）y=|x+10|+|x+9|+|x+8|+

……|x|+|x-1|+|x-2|+……+|x-10|數(shù)學(xué)思想與方法1.邏輯劃分的思想（分類討論）2.數(shù)形結(jié)合的思想引申1若a<|x-1|+|x-2|恒成立，求a的取值范圍。2若a>|x-1|-|x-2|恒成立，求a的取值范圍。二、祖氏數(shù)學(xué)世家

祖沖之（公元429~500），字文遠(yuǎn)，祖籍河北省淶源縣，南北朝宋、齊時(shí)代的一位杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。他的先世遷入江南，祖父祖昌曾任“大匠卿”,掌管土木建筑，父親祖朔之學(xué)識(shí)淵博，也在朝中做官。祖沖之自幼好學(xué)，接受家傳科學(xué)知識(shí)，尤喜歷算，青年時(shí)曾任南徐州（今鎮(zhèn)江）從事史，后來(lái)回健康（今南京）任公府參軍，任婁縣（今昆山縣東北）縣令、謁者仆射、長(zhǎng)水校尉等職。

祖沖之父子及其數(shù)學(xué)思想

公元265年，繼秦朝以后中國(guó)獲得了第二次統(tǒng)一，魏國(guó)的司馬炎建立了晉朝（西晉）。經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和日益增加的跨地域交往刺激了地理學(xué)的發(fā)展，并產(chǎn)生地圖學(xué)家裴秀，他提出了比例尺、方位、距離等基本原則，奠定了中國(guó)制圖學(xué)的理論基礎(chǔ)。一些新的風(fēng)俗習(xí)慣隨之出現(xiàn)了，如喝茶，還發(fā)明了若干新的節(jié)約勞動(dòng)力的工具，如獨(dú)輪車和水磨。公元283年，道家中的博物學(xué)家兼煉丹術(shù)士葛洪也出世了。可是，北方的經(jīng)濟(jì)區(qū)仍面臨著多個(gè)外來(lái)民族入侵的危險(xiǎn)，公元317年，晉室被迫遷到長(zhǎng)江以南，建都建康（南京），史稱東晉，一共延續(xù)了一百余年（北方則被分割成了16個(gè)小國(guó)）。此后南方的晉朝滅亡，相繼被4個(gè)軍人篡權(quán)并改國(guó)號(hào)，即宋（劉宋）、齊、梁、陳，史稱南朝，歷時(shí)約170年，依然設(shè)都建康。就在劉宋10年，即公元429年，祖沖之出生在首都建康的一個(gè)歷法世家。雖然他后來(lái)只在徐州做過(guò)幾次小官，卻是中國(guó)數(shù)學(xué)史上第一個(gè)名列正史的數(shù)學(xué)家。

三國(guó)兩晉南北朝時(shí)期，社會(huì)動(dòng)蕩不定，人民飽受戰(zhàn)亂之苦，許多問(wèn)題找不到現(xiàn)實(shí)的解答，因而極易接受佛教的宣傳。封建統(tǒng)治者希望佛教成為麻醉人民的精神鴉片，以鞏固自己的統(tǒng)治地位；統(tǒng)治者自身也希望死后進(jìn)入極樂(lè)世界。由于以上原因，佛教在魏晉時(shí)期得到廣泛傳播，并在南北朝時(shí)期空前盛行。陳寅恪在《崔浩與寇謙之》一文中提出寇謙之采用釋家（天竺）之天算醫(yī)藥之學(xué)以改進(jìn)中國(guó)傳統(tǒng)道教的觀點(diǎn)，頗有道理。中國(guó)古代的天文與算數(shù)雖然發(fā)達(dá)，但古代印度在這方面可能還要先進(jìn)。三國(guó)兩晉南北朝時(shí)期大量天竺人以及深受天竺文化影響的西域人進(jìn)入中國(guó)南北方，給中國(guó)帶來(lái)了豐富的天算醫(yī)藥新知識(shí)，這可能對(duì)促進(jìn)祖沖之的學(xué)術(shù)成就有一定作用。

同佛教有關(guān)的建筑和石窟藝術(shù)得到迅速發(fā)展。隨著佛教的傳播，佛教寺廟大量興建，建筑技巧日益高超。例如大同云岡、洛陽(yáng)龍門等；有的是壁畫(huà)和塑像，例如敦煌千佛洞等。

“南朝四百八十寺，多少樓臺(tái)煙雨中”（一）、祖沖之及其成就1.著《綴術(shù)》、《大明歷》、《重差注》《綴術(shù)》是我國(guó)極為重要的數(shù)學(xué)著作。祖沖之父子的數(shù)學(xué)研究成果匯集于他的《綴術(shù)》中。這本書(shū)及其高深，以至于“學(xué)官莫能究其深?yuàn)W，是故廢而不理”。在隋唐的官學(xué)中，《綴術(shù)》也被列為必讀的十部算經(jīng)之一，且需學(xué)習(xí)4年，年限為各經(jīng)之首。后來(lái)，《綴術(shù)》漸漸在各國(guó)失傳了。盡管今天已無(wú)從知道《綴術(shù)》的具體內(nèi)容，但從該書(shū)在唐代官學(xué)中的學(xué)習(xí)年限及史書(shū)中的相關(guān)的零星記載，我們?nèi)钥梢韵胍?jiàn)其學(xué)術(shù)價(jià)值。

2.關(guān)于圓周率的計(jì)算圓周率并不是祖沖之發(fā)現(xiàn)的,他之前,劉徽就就計(jì)算過(guò)圓周率.

作為數(shù)學(xué)家,研究計(jì)算圓周率應(yīng)該是他們的專業(yè)方向之一.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)圓周率方面的研究工作，成績(jī)是突出的。秦漢以前,人們以"徑一周三"做為圓周率,這就是"古率".后來(lái)發(fā)現(xiàn)古率誤差太大,圓周率應(yīng)是"圓徑一而周三有余",不過(guò)究竟余多少,意見(jiàn)不一.

直到三國(guó)時(shí)期劉徽提出了計(jì)算圓周率的科學(xué)方法--"割圓術(shù)",用圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)來(lái)逼近圓周長(zhǎng).劉徽計(jì)算到圓內(nèi)接96邊形,求得π=3.14,并指出內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多,所求得的π值越精確.南北朝時(shí)期的祖沖之在劉徽研究的基礎(chǔ)上，將圓周率精確到了小數(shù)點(diǎn)后7位，這一成就比歐洲人要早一千多年。祖沖之是和他兒子一起從事這項(xiàng)研究工作的，當(dāng)時(shí)條件很差。他們?cè)谝婚g大屋的地上畫(huà)了一個(gè)直徑1丈的大圓。從內(nèi)接正6邊形開(kāi)始計(jì)算，12邊形，24邊形，48邊形的翻翻，一直算到96邊形，計(jì)算的結(jié)果和劉徽的一樣。接著，內(nèi)接邊數(shù)再逐次翻翻，邊數(shù)每翻一次，要進(jìn)行7次加減運(yùn)算，2次乘方，2次開(kāi)方，運(yùn)算的數(shù)字都很大，很復(fù)雜，在當(dāng)時(shí)的條件下，是十分困難的。祖沖之父子一直把邊數(shù)算到24576邊，得出了圓周率有3.1415926<π<3.1415927，精確到了小數(shù)點(diǎn)后7位。

并得出了π分?jǐn)?shù)形式的近似值:如果將π表示成連分?jǐn)?shù)，則其漸進(jìn)分?jǐn)?shù)為，3/1，22/7，333/106，355/113，……第一項(xiàng)與巴比倫人和《九章算術(shù)》里的結(jié)果相同，可稱3/1作古率，第二項(xiàng)是約率(約3.1428571),，第四項(xiàng)是密率(約3.1415929)，這是分子和分母都不超過(guò)1000的分?jǐn)?shù)里最接近π真值的分?jǐn)?shù)。究竟祖沖之用什么方法得出這一結(jié)果?現(xiàn)在無(wú)從考查.德國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W托在1573年重新得出這個(gè)近似分?jǐn)?shù)。當(dāng)時(shí)，歐洲人還不知道在一千多年之前祖沖之就己經(jīng)算出來(lái)了。后來(lái)荷蘭人安托尼茲也算出這個(gè)近似分?jǐn)?shù)，于是歐洲人就把這個(gè)稱為"密率"的近似分?jǐn)?shù)叫著"安托尼茲率"。日本數(shù)學(xué)家認(rèn)為應(yīng)該恢復(fù)其本來(lái)面目，肯定祖沖之在圓周率方面研究的貢獻(xiàn)，改稱"祖率"才對(duì)。3.關(guān)于球體積的計(jì)算

祖沖之在劉微指出的“牟合方蓋”與球體積之比才是方與圓的比，從而更正了《九章算術(shù)》中關(guān)于球體積與外切等高圓柱體體積之比等于圓率與方率之比（π：4）的錯(cuò)誤的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步努力，與其子祖暅（geng）一起，巧妙地解決了球體積問(wèn)題。其次是天文上。他編的大明歷是當(dāng)時(shí)最科學(xué)、最進(jìn)步的歷法，391年內(nèi)和現(xiàn)在誤差不超過(guò)50秒，并且用大明歷推算了從元嘉十三年（公元436年）到大明三年（公元459年），23年間發(fā)生的4次月食時(shí)間，結(jié)果與實(shí)際完全符合。得出木星每84年超辰一次的結(jié)論，即定木星公轉(zhuǎn)周期為11.858年（今測(cè)為11.862年）。給出了更精確的五星會(huì)合周期，其中水星和木星的會(huì)合周期也接近現(xiàn)代的數(shù)值。提出了用圭表測(cè)量正午太陽(yáng)影長(zhǎng)以定冬至?xí)r刻的方法。

再次，他設(shè)計(jì)制造過(guò)水碓磨、銅制機(jī)件傳動(dòng)的指南車、千里船、定時(shí)器等等。此外，他在音律、文學(xué)、考據(jù)方面也有造詣，他精通音律，擅長(zhǎng)下棋，還寫(xiě)有小說(shuō)《述異記》。是歷史上少有的博學(xué)多才的人物。

為紀(jì)念這位偉大的古代科學(xué)家，人們將月球背面的一座環(huán)形山命名為“祖沖之環(huán)形山”，把小行星1888命名為“祖沖之小行星”。

4.“開(kāi)差冪”和“開(kāi)差立”祖沖之還研究過(guò)“開(kāi)差冪”和“開(kāi)差立”問(wèn)題，“差冪”一詞在劉徽注中已經(jīng)用過(guò)，是面積差，“差立”不見(jiàn)記載，以理推之應(yīng)是體積差?！伴_(kāi)差冪”“開(kāi)差立”應(yīng)是由面積差或體積差求有關(guān)邊長(zhǎng)或直徑，其中包括與圓、球有關(guān)的問(wèn)題。涉及了二次、三次方程求根的問(wèn)題，祖沖之在求解中甚至“兼以正負(fù)參之”，可見(jiàn)其研究水平之高。5.在天文歷法上成就卓著祖沖之博覽當(dāng)時(shí)的名家經(jīng)典，堅(jiān)持實(shí)事求是，他從親自測(cè)量計(jì)算的大量資料中對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)何承天“元嘉年”誤差太大而用于改進(jìn)和修改，于大明六年（462年）終于完成《大明歷》，書(shū)中首次應(yīng)用了“歲差”理論，開(kāi)辟了中國(guó)歷法史的新紀(jì)元。祖沖之以不畏權(quán)勢(shì)的膽識(shí)，與戴興法開(kāi)展了堅(jiān)決的斗爭(zhēng)，堅(jiān)持其大膽改革的正確主張，捍衛(wèi)真理。6.在機(jī)械制造上多有貢獻(xiàn)還可以說(shuō)，祖沖之是著名的機(jī)械專家。他重造了當(dāng)時(shí)已經(jīng)失傳的了的指南車；創(chuàng)制了利用水力舂米、磨面的水硾磨，是當(dāng)時(shí)世界上先進(jìn)的糧食加工機(jī)械；又制造了歷史上有名的能日行百里的“千里船”，在我國(guó)造船史上譜寫(xiě)出了引人注目的一頁(yè)。

另外，祖沖之對(duì)音律、文學(xué)、考據(jù)等方面也有造詣，他還撰寫(xiě)過(guò)文學(xué)作品《述異記》十卷。祖沖之是歷史上少有的博學(xué)多才的人物?？傊?，祖沖之是我國(guó)杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和機(jī)械制造家，他不僅受到中國(guó)人民的敬仰，同時(shí)也受到世界各

國(guó)科學(xué)界人士的推崇。1960年，前蘇聯(lián)科學(xué)家們?cè)谘芯吭虑虮趁娴恼掌院?，用世界上一些最有貢獻(xiàn)的科學(xué)家的名字來(lái)命名那上面的山谷，其中有一座環(huán)形山被命名為“祖沖之環(huán)形山”。在前蘇聯(lián)莫斯科大學(xué)塑有“祖沖之”全身像，作為世界優(yōu)秀科學(xué)家而紀(jì)念他。（二）、祖暅及其學(xué)術(shù)成就祖暅（geng）（5~6世紀(jì)），又稱祖暅之，著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，祖沖之之子，字景爍。從小受家學(xué)熏陶，曾在梁朝做過(guò)員外散騎侍郎、太府卿、南康太守、材官將軍、奉朝請(qǐng)等官職。青年時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)、天文造詣很深，是祖沖之科學(xué)事業(yè)的繼承人。他的主要貢獻(xiàn)有：

1.修補(bǔ)編輯《綴術(shù)》

《綴術(shù)》實(shí)際上由祖氏父子共同創(chuàng)造，可惜現(xiàn)已失傳。估計(jì)《綴術(shù)》的內(nèi)容主要是與《九章算術(shù)》各章有關(guān)的問(wèn)題，也肯能是若干篇天文歷法的計(jì)算問(wèn)題，其中包括圓周率的計(jì)算和球體積公式推導(dǎo)。2.祖暅原理

《九章算術(shù)》少?gòu)V章李淳風(fēng)注所引祖暅之“開(kāi)立圓術(shù)”，詳細(xì)記載了祖氏父子解決球體積的方法。劉徽注釋《九章算術(shù)》時(shí)指出球與外切“牟合方蓋”的體積比為(π：4)，但他未能求出牟合方蓋的體積。祖暅在劉徽工作的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出球體積公式，并提出兩立體等高處截面積相等則兩體積相等（“冪勢(shì)既同則積不容異”）定理，解決了這個(gè)問(wèn)題，給出了球體積的正確公式。這一原理后人稱之為“祖暅原理”。西方直至17世紀(jì)才被意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利重新發(fā)現(xiàn)，西方稱為“卡瓦列利原理”公理

夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。PQ冪勢(shì)既同，則積不容異祖暅原理類比把夾在兩條平行線間的兩個(gè)平面圖形的面積相等的條件，用祖暅原理的形式敘述出來(lái)，并根據(jù)矩形面積公式，求平行四邊形的面積公式。夾在兩條平行線間的兩個(gè)平面圖形,被與這兩條平行直線平行的直線所截,如果截得的線段總是相等的,那么這兩個(gè)平面圖形的面積相等.hQ1p1p2Q27/1/2024二、幾何體的體積柱體的體積結(jié)論：兩個(gè)底面積相等、高也相等的棱柱（圓柱）的體積相等．即底面積為S，高為h的柱體的體積為

如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似；并且它們的面積的比等于頂點(diǎn)要截面的距離和已知棱錐的高的平方比。定理：棱錐的體積棱錐體積：探究錐體的體積公式結(jié)論1：等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積相等。結(jié)論2：三棱錐的體積等于它的底面積乘以高的積的三分之一。歸納：錐體的體積計(jì)算公式：

S為底面面積，h為高。用“祖暅原理”得到球體積公式R

高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)比AOO.2、球的體積B2C2BiCiAO已知球的半徑為R問(wèn)題:已知球的半徑為R,用R表示球的體積.球的體積公式球的表面積公式推導(dǎo)球面不能展開(kāi)成平面圖形，所以求球的表面積無(wú)法用展開(kāi)圖求出，如何求球的表面積公式呢?從球的體積公式的推導(dǎo)方法,得到啟發(fā)，可以借助極限思想方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式。則球的體積為：OO球的表面積公式推導(dǎo)3.天文學(xué)上的貢獻(xiàn)

祖暅著《漏刻經(jīng)》、《天文錄》等。前者已失傳，后者存有殘篇。他曾于504年，509年和510年3次上書(shū)建議采用祖沖之的《大明歷》，終于被梁武帝欽天監(jiān)采用頒行，實(shí)現(xiàn)了父親的遺愿。他還親自監(jiān)造八尺銅表，測(cè)量日影長(zhǎng)度，改進(jìn)了當(dāng)時(shí)通用的計(jì)時(shí)器---漏壺。三、悖論：“兔子永遠(yuǎn)追不上烏龜”

烏龜：“你別想抓住我，老朋友。只要你一到我原先所在的地方，我就已經(jīng)跑到前面一截了，那怕這個(gè)距離比頭發(fā)絲還小”。

烏龜和兔子的賽跑中，兔子速度為烏龜?shù)氖叮宰?/p>