專題05全等三角形七大模型K型(一線三垂直)模型二、“手拉手”模型三、倍長中線四、平行線中點五、“雨傘”模型六、半角模型七、胖瘦模型一、K型(一線三垂直)模型兩條手臂之間的距離=長手十短手，兩條手臂之間的距離-長手一短手，即DE=AD+CE，即DE=AD-E，一線三重直果中考考試中常見的模型，模型按照常規(guī)的方法需要找到對應三角形邊角關系，進而得全等三角形，根據(jù)全等三角形再找所求的邊角.但很多常見的一線三重直模型可以先嘗試找到“長手"和“短手”，根據(jù)模型快速解題.二、“手拉手”模型在中考考試中，很多學生遇到手拉手模型時，都無從下手.但其實只要找到相等的邊或角，找到全等三角形，進而找出對應邊或角的關系即可.熟練掌握手拉手模型的學生，可以很快找到里面的全等三角形，解決小題就會很快.三、倍長中線在中考考試中，幾何中的中點類問題是很復雜的一類題型，由于它涉及的輔助線類別多，同學們經(jīng)常記不住到底用哪類輔助線因此往往在做題的時候浪費了大量的時間，請記住，實在不會做了想想倍長中線，四、平行線中點在中考考試中，平行線中點是一類特點非常鮮明的幾何題，做這類題的關鍵就在于添加延長線，中考出題人非常喜歡出這類題，原因就是能夠讓懂模型的人快速找到答案.五、“雨傘”模型在中考考試中，雨傘模型是一類特點非常鮮明的幾何題，做這類題的關鍵就在于添加延長線，它與平行線中點模型并稱為中學階段兩大必延長的模型，只要看到這類模型，方法就很統(tǒng)一了.六、半角模型在中考考試中，半角模型在選擇題、填空題、解答題中經(jīng)常出現(xiàn)，我們在處理這類問題時，關鍵在于找到半角和全角，運用口訣進行旋轉，進行邊角轉化，就能很快地解決此類問題.七、胖瘦模型全等三角形果中考必考內容，是解決有關線段、角等問題的一個出發(fā)點.胖瘦模型的特點很鮮明，但是很多學生沒有進行總結，所以看到這種題果沒有方向的，如果惜這類問題的解決方法，你會發(fā)現(xiàn)要做出答案其實果很輕松的。K型(一線三垂直)模型一．填空題（共2小題）1．（2022春?武昌區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點E是BC邊上一點，△ADE是等邊三角形，若，＝．2．（2022春?朝陽區(qū)校級期中）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發(fā)行了以勾股定理為背景的郵票．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4．分別以AB，AC，BC為邊向外作正方形ABMN，正方形ACKL，正方形BCDE，并按如圖所示作長方形HFPQ，延長BC交PQ于G．則長方形CDPG的面積為．二．解答題（共6小題）3．（2021秋?余干縣校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC，AB邊上的高AD，CE相交于點F，且AE＝CE．（1）求證：△AEF≌△CEB；（2）若AF＝12，求CD的長．4．（2021春?嘉祥縣期中）如圖1，以△ABC的邊AB為邊，向外畫正方形ABDE，過點A作AM⊥BC于M，過點E作EP⊥MA交MA延長線于點P．（1）則EP＝；（直接填寫圖中與EP相等的一條線段）（2）如圖2，若∠BAC＝90°，以AC為邊再向外畫正方形ACFG，連接EG交PM于點N，求證：EN＝GN；（3）若∠BAC是鈍角或銳角，請仿照圖2分別在圖3、圖4中補畫圖形，并選“＞”或“＜”或“＝”其中一個符號填空，直接表示此時EN與GN的大小關系．如圖3，若∠BAC＞90°，則ENGN；如圖4，若∠BAC＜90°，則ENGN．5．（2021春?禹州市期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝15，CD＝17，AD＝17，連接AC，BD．（1）證明∠ACD是直角；（2）求對角線BD的長．6．（2021春?丹陽市期中）通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：【模型呈現(xiàn)】（1）如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點B作BC⊥AC于點C，過點D作DE⊥AC于點E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進而得到AC＝，BC＝AE．我們把這個數(shù)學模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；【模型應用】（2）如圖2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點F，DE與直線AF交于點G．求證：點G是DE的中點；【深入探究】（3）如圖3，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，則有S1S2（填“＞、＝、＜”）；（4）如圖4，分別以△DCE的三條邊為邊，向外作正方形，連接AF、GK、BH．當AB＝4，DE＝，∠CDE＝45°時，圖中的三個陰影三角形的面積和為；（5）如圖5，點A、B、C、D、E都在同一條直線上，四邊形ABKH、KCMG、DENM都是正方形，若該圖形總面積是16，正方形KCMG的面積是4，則△HKG的面積是．7．（2022春?淮陰區(qū)校級期中）（1）【問題初探】蘇科版教材八年級下冊第九章《中心對稱圖形一一平行四邊形》復習題中有這樣的問題：如圖1正方形ABCD的邊長為2，∠EOF的頂點O在正方形ABCD兩條對角線的交點處，∠EOF＝90°，將∠EOF繞點O旋轉，∠EOF的兩邊分別與正方形ABCD的邊BC和CD交于點E和點F（點F與點C，D不重合），問：在旋轉過程中，四邊形OECF的面積會發(fā)生變化嗎？證明你的結論．愛思考的浩浩和小航同學分別探究出了如下兩種解題思路：浩浩：如圖a，充分利用正方形對角線垂直、相等且互相平分等性質證明了△OEC≌△OFD，則S△OEC＝S△OFD，那么S四邊形OECF＝S△OEC+S△OCF＝S△OFD+S△OCF＝S△OCD，這樣，就實現(xiàn)了四邊形OECF的面積向△OCD面積的轉化；小航：如圖b，也是考慮到正方形對角線的特征，過點O分別作OG⊥BC于點G，OH⊥CD于點H，證明△OGE≌△OHF，從而將四邊形OECF的面積轉化成了小正方形OGCH的面積．通過他們的思路點撥，你認為：S四邊形OECF＝（填一個數(shù)值），其實，在這樣的旋轉變化過程中，線段CE與CF的和也是一個定值，為．（2）【類比探究】①如圖2，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，點O是AD邊的中點，∠EOF＝90°，點E在AB上，點F在BC上，則四邊形EBFO的面積為；EB+BF＝；②如圖3，若將（1）中的“正方形ABCD”改為“∠BCD＝120°，邊長為8的菱形ABCD，其他條件不變，當∠EOF＝60°時，四邊形OECF的面積還是一個定值嗎？是，請求出來；不是，請說明理由；③如圖4，在②的條件下，當點O在對角線AC上運動，頂點O與B點的距離為7，且∠EOF旋轉至CF＝1時，CE的長度為．（3）【拓展延伸】如圖5，∠BOD＝α（α為鈍角），∠CAD＝180°﹣α，∠BAC是鈍角，OA平分∠BOD，OD＝，OB＝4，AB＝，OA＝1，點C是OB上一點，那么OC的長為．8．（2022秋?永年區(qū)期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，（1）當直線MN繞點C旋轉到圖（1）的位置時，顯然有：DE＝AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉到圖（2）的位置時，求證：DE＝AD﹣BE；（3）當直線MN繞點C旋轉到圖（3）的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個等量關系．二、“手拉手”模型一．解答題（共9小題）1．（2022春?開福區(qū)校級期中）如圖，在△ABC和△AEF中，點E在BC邊上，∠C＝∠F，AC＝AF，∠CAF＝∠BAE，EF與AC交于點G．（1）求證：AE＝AB；（2）若∠B＝62°，∠C＝24°，求∠EAC的度數(shù)．2．（2021春?銅梁區(qū)校級期中）已知，如圖，在?ABCD中，點F是?ABCD內一點，AB⊥BF，AB＝BF，過點F作FE⊥AD，垂足為點E．（1）如圖1，若BF＝3EF＝6，求四邊形ABFE的面積；（2）如圖2，連接BE、CE，若BE＝CE，求證：AE+EF＝BC．3．（2022春?章丘區(qū)期中）感知：如圖①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點B在線段AD上，點C在線段AE上，我們很容易得到BD＝CE，不需證明．探究：如圖②，將△AED繞點A逆時針旋轉α（0＜α＜90°），連結BD和CE，此時BD＝CE是否依然成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，說明理由．應用：如圖③，當△ADE繞點A逆時針旋轉，使得點D落在BC的延長線上，連結CE．①∠ACE的度數(shù)為度；②線段BC、CD、CE之間的數(shù)量關系是；③若AB＝AC＝，CD＝1，則線段DE的長為．4．（2022春?清城區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），以線段OA為邊在第四象限內作等邊三角形AOB，點C為x軸正半軸上動點（OC＞1），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內作等邊△CBD，連接DA并延長交y軸于點E．（1）求證：△OBC≌△ABD．（2）在點C的運動過程中，∠CAD的度數(shù)是否會變化？如果不變，請求出∠CAD的度數(shù)；如果變化，請說明理由．（3）以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形時，直接寫出此時點C的坐標和CD的長度．5．（2022春?和平區(qū)校級期中）已知：點D是△ABC邊BC所在直線上的一個動點（點D與點B，C不重合），∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，連接DA，點D繞點A順時針轉90°得到點E，連接BE，AE，DE．（1）如圖1，當點D在線段CB的延長線上時，請你判斷線段BE與線段CD之間的關系，并證明你判斷的結論．（2）如圖2，當點D在線段BC上，且BD＝2CD時，直接寫出四邊形AEBC的面積．（3）點D繞點A逆時針轉90°得到點F，連接CF，AF，DF，當∠EAB＝15°時，直接寫出線段CF的長．6．（2022春?介休市期中）已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，且AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC．（1）[初步感知]如圖①，當點D、E分別落在邊AB、AC上時，那么DBEC．（填＜、＞或＝）（2）[發(fā)現(xiàn)證明]如圖②，將圖①中的△ADE繞點A旋轉，當點D在△ABC外部，點E在△ABC內部時，求證：DB＝EC；（3）[深入研究]如圖③，如果△ABC和△ADE都是等邊三角形，且點C、E、D在同一條直線上，則∠CDB的度數(shù)為；線段CE、BD之間的數(shù)量關系為；（4）[拓展應用]如圖④，如果△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點C、D、E在同一直線上，作AM⊥DE，若AB＝，BD＝，求AM的長．7．（2022春?吉安期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標（2，0），點C是y軸上的動點，當點C在y軸上移動時，始終保持△ACP是等邊三角形（點A、C、P按逆時針方向排列）；當點C移動到O點時，得到等邊三角形AOB（此時點P與點B重合）．（1）點B的坐標為，直線AB的表達式為．（2）點C在y軸上移動過程中，當?shù)冗吶切蜛CP的頂點P在第二象限時，連接BP，求證：△AOC≌△ABP；（3）當點C在y軸上移動時，點P也隨之運動，探究點P在移動過程中有怎樣的規(guī)律？請將這個規(guī)律用函數(shù)關系式表達出來；（4）點C在y軸上移動過程中，當△OBP為等腰三角形時，直接寫出點P的坐標．8．（2021春?將樂縣期中）（1）如圖1，△ABC與△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，求證：BD＝CE；（2）如圖2，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．填空：∠AEB的度數(shù)為；線段BE與AD之間的數(shù)量關系是．（3）拓展探究如圖3，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關系，并說明理由．9．（2022春?椒江區(qū)校級期中）我們規(guī)定：有一組鄰邊相等，且這組鄰邊的夾角為60°的凸四邊形叫做“準箏形”．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠A+∠C＝270°，∠D＝30°，AB＝CB，求證：四邊形ABCD是“準箏形”；（2）小軍同學研究“準箏形”時，思索這樣一道題：如圖2，“準箏形”ABCD，AD＝BD，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝5，CD＝3，求AC的長．小軍研究后發(fā)現(xiàn)，可以CD為邊向外作等邊三角形，構造手拉手全等模型，用轉化的思想來求AC．請你按照小軍的思路求AC的長．（3）如圖3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，BC＝2，設D是△ABC所在平面內一點，當四邊形ABCD是“準箏形”時，請直接寫出四邊形ABCD的面積．

三、倍長中線一．填空題（共1小題）1．（2022春?游仙區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，BC＝10，點D是BC邊上一動點，BE⊥AD交AD于點E，當BE＝4時，△ABD的面積恰好等于△ADC的面積，連接CE，則此時CE＝．二．解答題（共4小題）2．（2021春?玉林期中）如圖，在?ABCD中，點E是CD的中點，點F是BC邊上的一點，且EF⊥AE．求證：AE平分∠DAF．李華同學讀題后有一個想法，延長FE，AD交于點M，要證AE平分∠DAF，只需證△AMF是等腰三角形即可．請你參考李華的想法，完成此題的證明．3．（2021秋?甘南縣校級期中）如圖，AD是△ABC的中線，E、F分別在AB、AC上，且DE⊥DF求證：BE+CF＞EF．4．（2019春?玄武區(qū)期中）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：（1）如圖1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE＝AD，再連接BE（或將△ACD繞點D逆時針旋轉180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．[感悟]解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮構造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．（2）解決問題：受到（1）的啟發(fā)，請你證明下列命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．求證：BE+CF＞EF，若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關系，并加以證明．5．（2019春?秦淮區(qū)期中）閱讀理解：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE＝AD，再連接BE（或將△ACD繞點D逆時針旋轉180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．感悟：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮構造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．（1）問題解決：受到（1）的啟發(fā)，請你證明下面命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．①求證：BE+CF＞EF；②若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關系，并加以證明；（2）問題拓展：如圖3，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，聯(lián)結EF、CF，那么下列結論①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF．其中一定成立是（填序號）．

四、平行線中點一．選擇題（共2小題）1．（2021春?鄞州區(qū)校級期中）矩形ABCD與ECFG如圖放置，點B，C，F(xiàn)共線，點C，E，D共線，連接AG，取AG的中點H，連接EH．若AB＝CF＝4，BC＝CE＝2，則EH＝（）A． B．2 C． D．2．（2022春?鄞州區(qū)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是銳角，AE⊥BC于點E，F(xiàn)是AB的中點，連接DF、EF．若∠EFD＝90°，則AE長為（）A．2 B． C． D．二．填空題（共1小題）3．（2022春?清江浦區(qū)校級期中）如圖，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝10，AB∥CD，E是CD上一點，BE交AD于點F，若AB＝DE，則圖中陰影部分的面積為．三．解答題（共2小題）4．（2021春?扶溝縣期中）如圖，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．點E是CD的中點，求AE的長．5．（2022春?澄邁縣期中）（1）方法回顧證明：三角形中位線定理．已知：如圖1，DE是△ABC的中位線．求證：．證明：（2）問題解決：如圖2，在正方形ABCD中，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的長．五、“雨傘”模型一．選擇題（共1小題）1．（2022秋?新洲區(qū)期中）如圖，BP是∠ABC的平分線，AP⊥BP于P，連接PC，若△ABC的面積為1cm2，則△PBC的面積為（）A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能確定二．填空題（共1小題）2．（2022春?芙蓉區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，DE垂直平分AC，垂足為點E，若BD＝1，則BC的長為．三．解答題（共3小題）3．（2021春?高州市期中）如圖，在△ABC中，已知D是BC的中點，過點D作BC的垂線交∠BAC的平分線于點E，EF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G．（1）求證：BF＝CG；（2）若AB＝12，AC＝8，求線段CG的長．4．（2021春?驛城區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于點E，點F在AC上，BD＝DF．（1）求證：CF＝EB．（2）若AB＝20，AC＝16，求AF的長．5．（2021春?黃驊市期中）如圖，在△ABC中，點D為邊BC的中點，點E在△ABC內，AE平分∠BAC，CE⊥AE，點F在AB上，且BF＝DE．（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形；（2）線段AB，BF，AC之間具有怎樣的數(shù)量關系？證明你所得到的結論．六、半角模型一．選擇題（共1小題）1．（2021春?牡丹區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，連接EF，下列結論：①△AED≌△AEF；②∠FAD＝90°；③BE+DC＝DE④BE2+DC2＝DE2，其中一定正確的是（）A．①③ B．①②④ C．①②③④ D．②④二．解答題（共7小題）2．（2021秋?同江市期中）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N．當∠MAN繞點A旋轉到BM＝DN時（如圖1），易證BM+DN＝MN．（1）當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時（如圖2），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出猜想，并加以證明；（2）當∠MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的猜想．3．（2021春?麗水期中）已知正方形ABCD中，M，N是邊BC，CD上任意兩點，∠MAN＝45°，連結MN．（1）如圖①，請直接寫出BM，DN，MN三條線段的數(shù)量關系：；（2）如圖②，過點A作AH⊥MN于點H，求證：AB＝AH；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點H，且MH＝2，NH＝3，求AH的長．4．（2021春?福田區(qū)校級期中）探究：（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝45°，試判斷BE、DF與EF三條線段之間的數(shù)量關系，直接寫出判斷結果：；（2）如圖2，若把（1）問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜛BCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD”，則（1）問中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；（3）在（2）問中，若將△AEF繞點A逆時針旋轉，當點分別E、F運動到BC、CD延長線上時，如圖3所示，其它條件不變，則（1）問中的結論是否發(fā)生變化？若變化，請給出結論并予以證明．5．（2022秋?市南區(qū)期中）已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M，N，AH⊥MN于點H．（1）如圖①，當∠MAN繞點A旋轉到BM＝DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關系：；（2）如圖②，當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點H，且MH＝2，AH＝6，求NH的長．（可利用（2）得到的結論）6．（2022春?鄞州區(qū)校級期中）已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N，AH⊥MN于點H．（1）如圖①，當∠MAN繞點A旋轉到BM＝DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關系：；（2）如圖②，當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點H，且MH＝2，NH＝3，求AH的長．（可利用（2）得到的結論）7．（2021秋?千山區(qū)期中）（1）如圖1