1.4.2

充要條件學習目標1.理解充要條件的意義.2.會判斷一些簡單的充要條件問題.3.能對充要條件進行證明.自主閱讀新知預習

合作探究深化提能

隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)

課時作業(yè)分層自檢

自主閱讀·新知預習隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)合作探究深化提能自主閱讀新知預習課時作業(yè)分層自檢[巧梳理]1.逆命題將命題“若p,則

q”中的條件p和結(jié)論q互換，就得到一個新的命題“若q,

則p”,稱這個命題為原命題的逆命題.2

.

充要條件如果“若p,

則

q”和它的逆命題“若q,則p”均是

_

真命題

_

,即既有p=q,又有q=p,就記作

p=q

.此時

，p

既是q的充分條件_

,也是q的必要條件_

,我們說p是q的充分必要條件，簡

稱

為充

要

條

件.

顯然，如果p是q的充要條件，那么q

也是p的充要條件.自主閱讀新知預習合作探究

深化提能充要條件隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)課時作業(yè)分層自檢知識點則p

是q的充要條件q的充分不必要條件是q的必要不充分條件q

的既不充分也不必要條件自主閱讀

新知預習合作探究

深化提能

隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)課時作業(yè)分層自檢[微體驗]1.“x=1”

是“x2-2x+1=0”

的(A

)A.充要條件B.

充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)合作探究深化提能自主閱讀新知預習課時作業(yè)分層自檢2.點

P(x,y)是第二象限的點的充要條件是(

B

)A.x<0,y<0B.x<0,y>0C.x>0,y>0D.x>0,y<0解

析

：B第二象限的點的橫坐標為負數(shù)，縱坐標為正數(shù).隨堂檢測

內(nèi)化素養(yǎng)

1

課時作業(yè)分層自檢合作探究

深化提能自主閱讀新知預習3

.已

知

集

合A={1,a},B={1,2,3},

則

ASB

的充要條件是

.解析：當a=2

時，ASB;

當a=3時，ASB.答案：

a=2

或a=3隨堂檢測

內(nèi)化素養(yǎng)

課時作業(yè)分層自檢合作探究

深化提能自主閱讀新知預習

合作探究·深化提能隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)自主閱讀新知預習合作探究

深化提能課時作業(yè)分層自檢自主閱讀

新知預習合作探究

深化提能

隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)課時作業(yè)分層自檢學習任務

一

充要條件的判定[

例

1]

(鏈接教材

P?1例3)指出下列各組命題中，p是q的什么條件(“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”).(1)p:x=1,q:x-1=√x-1;(2)p:—1≤x≤5,q:x≥-1且x≤5;(3)p:x+2≠y,q:(x+2)2≠y2;(4)p:a

是自然數(shù)；q:a

是正數(shù).10

自主閱讀

新知預習合作探究

深化提能

隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)課時作業(yè)分層自檢解

：(1)當x=1時，x-1=√x-1

成立；當x-1=√x-1

時，x=1

或

x=2.∴p是

q

的充分不必要條件.(2)∵-1≤x≤5?x≥-1

且

x≤5,∴p是

q

的充要條件.(3)由q:(x+2)2≠y2,得x+2≠y,且

x+2≠-y,又p:x+2≠y,故p

是

q

的必要不充分條件.(4)0是自然數(shù)，但0不是正數(shù)，故p≠q;

又?

是正數(shù)，但

不是自然數(shù)，故q→p.

故p是

q

的既不充分也不必要條件.直接判斷“若p,

則q?“若q,則p”的真假.在判斷時，確定條件是什么、結(jié)論是什么方法技巧充分必要條件的判斷方法11

自主閱讀新知預習

合作探究深化提能

隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)

課時作業(yè)分層自檢利用集合中包含思想判定，即可解決充分必要性的問題利用定義判斷從集合的角度判斷12學習任務二充要條件的證明[例2]求證：

一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常數(shù)且a≠0)有一正實根和一負實根的充要條件是ac<0.證明：必要性：由于方程

ax2+bx+c=0(a≠0)有一正實根和一負實根，∴△=b2—4ac>0,且

,

ac<0.充分性：由ac<0

可推出△=b2-4ac>0

及

∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正一負兩實根.綜上，一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b

、c是常數(shù)且a≠0)有一正實根一負實根的充要條件是ac<0.方法技巧充要條件證明的兩個思路(1)直接法：證明p

是q的充要條件，首先要明確p

是

條

件

，q

是結(jié)論

；其

次推證p=q是證

明

充

分性，推證q>p

是證明必要性.(2)集合思想：記p:A={xp(x)},q:B={x|q(x)},若A=B,則p

與q

互為充要條件.13自主閱讀新知預習

合作探究深化提能

隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)

課時作業(yè)分層自檢[跟蹤訓練]2.求證：

一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象過原點的充要條件是b=0.證明：①充分性：如果b=0,那么y=kx,當x=0時

，y=0,

函

數(shù)圖

象過

原

點.②必要性：

因

為y=kx+b(k≠0)的圖象過原點，所以當x=0

時，y=0,得0=k·O+b,所以b=0.綜上，一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象過原點的充要條件是b=0.自主閱讀

新知預習合作探究

深化提能隨堂檢測

內(nèi)化素養(yǎng)

1課時作業(yè)分層自檢14學習任務三

充分條件、必要條件、充要條件的應用[例3]

已

知p:-2≤

x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若

p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.解：p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).因為p是q的必要不充分條件，所以q是p

的充分不必要條件，即{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10},隨堂檢測

內(nèi)化素養(yǎng)課時作業(yè)分層自檢合作探究

深化提能自主閱讀新知預習15故有或解

得m≤3.又m>0,所以實數(shù)m

的取值范圍為{m|O<m≤3}.隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)合作探究深化提能課時作業(yè)分層自檢自主閱讀新知預習1617自主閱讀

新知預習合作探究

深化提能

隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)課時作業(yè)分層自檢[發(fā)散思維]1.

(變條件)若本例中“p是q的必要不充分條件”改為“p是q的充分不必要條件”,其他條件不變，求實數(shù)m

的取值范圍.解：p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).因為p

是

q

的充分不必要條件，設(shè)p

代表的集合為A,q

代表的集合為B,所

以A

B.所解不等式組得m>9

或

m≥9,所以m≥9,即實數(shù)

m的取值范圍是m≥9.2.(

變問法)本例中p,q不變，是否存在實數(shù)m

使p是q的充要條件?若存在，求出m

的值；若不存在，請說明理由.解：因為p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).若p是

q的充要條件，則

m不存在.故不存在實數(shù)m,

使得p

是

q的充要條件.自主閱讀

新知預習合作探究

深化提能隨堂檢測

內(nèi)化素養(yǎng)

1

課時作業(yè)分層自檢18方法技巧■應用充分不必要、必要不充分及充要條件求參數(shù)值(范圍)的一般步驟(1)根據(jù)已知將充分不必要條件、必要不充分條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系.(2)根據(jù)集合間的關(guān)系構(gòu)建大于參數(shù)的方程(組)或不等式(組)求解.課時作業(yè)分層自檢隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)合作探究深化提能自主閱讀新知預習19隨堂檢測·內(nèi)化素養(yǎng)隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)自主閱讀新知預習合作探究深化提能課時作業(yè)分層自檢1.“x>0”是“x≠0”

的(

A)A.充分不必要條件B.

必要不充分條件C.充要條件D.

既不充分也不必要條件解析：A由

“x>0”→“x≠0”,反

之不一定成立.因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要條件

.隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)合作探究深化提能自主閱讀新知預習課時作業(yè)分層自檢212.“x2-4x-5=0”

是“x=5”的(B)A.

充分不必要條件B.必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件解析：B

由

x2-4x-5=0

得x=5或x=-1,則當x=5時，x2-4x-5=0

成立，但當x2-4x-5=0

時

，x=5

不一定成立.隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)自主閱讀新知預習合作探究

深化提能課時作業(yè)分層自檢223.設(shè)a,b∈

R,

則“ab+1≠a+b”的充要條件是(

B

)A.a,b

不都為1

B.a,b

都不為1C.a,b中至多有一個是1

D.a,b都不為0解析：B若

ab+1≠a+b,

即ab+1-a-b≠0,即(a-1)(b-1)≠0,則a≠1且b≠1.若a≠1

且b≠1,

則

(a-1)(b-1)≠0,即ab+1-a-b≠0,

即ab+1≠a+b.所以“ab+1≠a+b”的充要條件是“a≠1且b≠1”.23

自主閱讀

新知預習合作探究

深化提能

隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)課時作業(yè)分層自檢24自主閱讀

新知預習合作探究

深化提能

隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)課時作業(yè)分層自檢4.函

數(shù)y=x2+mx+1的圖象關(guān)于直線x=1對稱的充要條件是解析：

函

數(shù)y=x2+mx+1

的圖象關(guān)于直線x=1

對稱，即m=—2;反之，若m=—2,則y=x2-2x+1

的圖象關(guān)于直線x=1對稱.答案：

m=-2

課時作業(yè)·分層自檢隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)自主閱讀新知預習合作探究深化提能課時作業(yè)分層自檢基礎(chǔ)鞏固練1.“a|+|b|=0”

是“a2+b2=0”的(C)A.

充分不必要條件B.必要不充分條件C.

充要條件D.既不充分也不必要條件解

析

：C由|a|+|b|=0得a=b=0;由a2+b2=0

得a=b=0.所以“|a|+|b|=0”是“a2+b2=0”的充要條件.故選C.隨堂檢測

內(nèi)化素養(yǎng)

1

課時作業(yè)分層自檢1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14自主閱讀新知預習合作探究

深化提能262

.

設(shè)p:a,b都是偶數(shù)，q:a+b

是偶數(shù)，則p是q成立的(

B

)A.

充分必要條件B.

充分不必要條件C.

必要不充分條件D.

既不充分也不必要條件解析：

B

p→

但

q

p.123

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14課時作業(yè)分層自檢隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)自主閱讀新知預習合作探究深化提能273.“x2+(y-2)2=0”

是“x(y-2)=0”

的(B

)A.

必要不充分條件B.

充分不必要條件C.

充要條件D.既不充分也不必要條件解析：

B

由x2+(y-2)2=0,得x=0

且y=2,所以x(y-2)=0.

反之，由x(y-2)=0,得x=0或y=2,x2+(y-2)2=0不一定成立，故選B.28自主閱讀

新知預習合作探究

深化提能

隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)課時作業(yè)分層自檢123

45

6

7

8

9

10

11

12

13

144.已知a,b

是實數(shù)，則“a<0,

且b<0”是“ab(a-b)>0”

的(

D

)A.充分不必要條件B.

必要不充分條件C.充要條件D.

既不充分也不必要條件解析：

D已

知a,b是實數(shù)，則若a<0,且b<0,則不一定有ab(a-b)>0,比

如當a<b<0

時

，ab(a-b)<0;反

之，若

ab(a-b)>0,則

a-b和ab同號，當a>b>0時滿足ab(a-b)>0,當b<a<0

時也滿足ab(a-b)>0,故不能確定a和b的正負

.故是既不充分也不必要條件

.1

2

3

4

567

891011

1213

14隨堂檢測

內(nèi)化素養(yǎng)

1

課時作業(yè)分層自檢自主閱讀新知預習合作探究深化提能295.(多選)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的一個充分不必要條件可以是(BC

)A.x≥0

B.x<0或x>2C.x

∈{—1,3,5}

D.

x≤0或x>2解析：BC

從集合的角度出發(fā)，在選項中判斷哪個是題干的真子集，只有BC

滿

足題意

.隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)課時作業(yè)分層自檢1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14合作探究

深化提能自主閱讀新知預習306.對于集合A,B

及元素x,

若ASB,則x

∈B是x

∈AUB的

條件.解析：由x

∈B,

顯然可得x∈AUB;反之，由

AEB,

則

AUB=B,所以由x∈AUB

可得x∈B,故x

∈B是x

∈AUB

的充要條件.答案：充

要1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14課時作業(yè)分層自檢合作探究深化提能自主閱讀新知預習隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)317

.“方程x2—2x—a=0沒有實數(shù)根”的充要條件是

.解析：因為方程x2-2x-a=0沒有實數(shù)根，所以有△=4+4a<0,解得a<-1,因此“方程x2-2x-a=0沒有實數(shù)根”的必要條件是a<-1

.反之，若

a<-1,則△<0,方程x2-2x-a=0

無實數(shù)根，從而充分性成立.故“方程x2-2x-a=0

沒有實數(shù)根”的充要條件是“a<-1”.答案：

a<-1隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)課時作業(yè)分層自檢1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14合作探究

深化提能自主閱讀新知預習32新知預習合作探究

深化提能

隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)課時作業(yè)分層自檢;

命題q:a≤x≤a+1,

若p

是

q

的充分不必要條件，求實數(shù)a33

自主閱讀8.設(shè)命題p:的取值范圍.解

：設(shè)故所求實數(shù)a的取值范圍是1

2

3

4

5

6

78

9

10

11

12

13

14由p是

q

的充分不必要條件，可知AB,,B={x|a≤x≤a+1},解得:

·,綜合應用練9.“函數(shù)y=x2—2ax+a的圖象在x軸的上方”是“O≤a≤1”的(

A)A.充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.既不充分也不必要條件解

析：A函

數(shù)y=x2-2ax+a的圖象在x

軸的上方，則△=4a2-4a<0,解

得

0<a<1,由集合的包含關(guān)系可知選A.34自主閱讀新知預習

合作探究

深化提能

隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)

課時作業(yè)分層自檢12

3

4

56

7

8

9

10

111213

14A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件10.集合A,B

之間的關(guān)系如圖所示，p:a∈[yB,q:a∈A,則p是q的(B)解析：B由圖可知A是B的補集的真子集，故選B.1

2

3

4

5

6

7

8

910

11

12

13

14合作探究

深化提能自主閱讀新知預習隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)課時作業(yè)分層自檢3511.祖暄原理：“冪勢既同，則積不容異.”它是中國古代一個涉及幾何體體積的問題，意思是如果兩個等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等

.

設(shè)A,B為兩個等高的幾何體，p:A,B

的體積不相等，q:/A,B在同高處的截面面積不恒相等，根據(jù)祖原理可知，p

是q的(

A)A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件36

自主閱讀新知預習

合作探究深化提能

隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)

課時作業(yè)分層自檢1

234

5

6

7

8

9

10

ll

12

13

14解析：A因為A,B兩個幾何體等高，所以由祖順原理得，若A,B

的體積不相等，則等高處的截面面積不恒相等，所以p→q.當?shù)雀咛幗孛婷娣e不恒相等時，A,B的體積有可能相等，例如：A,B為兩個一模一樣的圓錐，

一個底面向上放置，

一個底面向下放置，則在等高處的截面面積不恒相等，但它們體積相等，故q推不出p.因此p是q的充分不必要條件.37

自主閱讀新知預習

合作探究深化提能

隨堂檢測內(nèi)化素養(yǎng)

課時作業(yè)分層自檢1

234567

8910ll12131412.

下列不等式：①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1;⑤x>-1.

其中，可以作為x2<1的一個充分不必要條件的所有序號為

;

可

以

作

為x2<1的一個必要不充

分條件的所有序號為

解析：由x2<1,

得

-1<x<1,而{x|0<x<1}{x|-1<x<-1},{x|-1<x<0}{x|-1<x<1},

所以0<x<1和

-

1<x<0都可作為x2<1的一個充分不必要條件.因為{x|-1<x<1}{x|x<1},{x-1<x<1}{x|x>-1},所以x<1和x>-1

均可作為x2<1的一個必要不充分條件.答

案

：

②

③

①

⑤1

23

4

567

8910111213143813.已

知ab≠0,

求

證：a+b=1

的充要條件是a3+b3+ab—a2—b2=0.證明：必要性：因為a+b=1,

所