第八章第4節(jié)《空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系》解答題(19)

1.如圖所示，在空間四邊形A8C力中，點E,F,G,”分別為A8,BC,CD,

D4的中點，力。=8。且4；18。，判斷四邊形EFG”的形狀.并給出證

明.

2.如圖，在三棱錐4-BCD中，二面角4-BD-C是直二面角，若AB=4。=2,乙BDC=4BAD=

90°,ZBCD=60

(1)求證：ABLCD；

(2)求三棱錐A-BCD的體積.

3.如圖，正方體ABCD-AiBiGDi中，M,N,E,尸分別是4B1，A^,BG，GD1的中點.

(1)求證：E、F、B、。四點共面；

(2)求證：平面AMN〃平面砂CB.

4.如下圖，以AB為母線的圓柱的一部分，M,N在底面圓周上，AB=2,MN=喬M=1"MN=

60°,BELAN.

(1)證明：BE1AM.

(2)求二面角B-AM-N的余弦值.

N

5.如圖，多面體PQA8CO中，四邊形ABCD是菱形,P41平面ABC/ZAB=PA=2,Z.ABC=60°,

QC=QD=2>/2，PQ=a(a>0).

p

(1)設(shè)點F為棱CD的中點，求證：對任意的正數(shù)a,四邊形PQE4為平面四邊形；

(2)當a=舊時，求直線尸。與平面PBC所成角的正弦值.

6.已知在空間四邊形ABC。中，E,F,G,H分別是AC,BC,DB,D4的中點，若4B=12夜,

CD=4V3.求證：

(1)四邊形為平行四邊形；

(2)當E尸G”面積為12次，求異面直線A8和C。所成的角.

7.如圖，在直三棱柱ABC-A/iCi中，4ABe=90。，AB=BC=AA1=2,M,N分別是棱BC,

的中點，點尸在線段/N上，AQ=2QM,Ag交A】C于點S,若PS〃面

BrAM.

c

(1)證明:PSHBQ

(2)求三棱錐P-BXAM的體積.

8.如圖，在三棱柱48。-4/住1中，BB[1平面ABC,ABAC=90°,AC=AB=AAr,E是BC

的中點.

(1)求證:AE18.C；

(2)求異面直線AE與&C所成的角的大小.

9.如圖所示，在正方體4BCD-4B1G5中，E為4B的中點，尸為44的中點，求證:

(2)CE,D/,D4三線共點.

10.圖1是由正方形ABC。，RtAABE,Rt△CDF組成的一個等腰梯形，其中=2,將AABE、

△CDF分別沿AB,8折起使得E與F重合，如圖2.

E(F)

(1)設(shè)平面ABED平面CDE=1,證明：1//CD；

(2)若二面角A-BE—。的余弦值為?，求AE長.

11.一個四面體木塊如圖所示，點。在平面P4C內(nèi)且為APAC的重心,

(1)過點。將木塊鋸開，使截面平行于直線A8與PC,在木塊表面應(yīng)該怎樣劃線，并說明理由；

(2)在棱8c上是否存在點。，使得直線。?！ㄆ矫鍼4B?若存在，求出案的值；若不存在，說明

理由；

12.如圖，多面體PQ48C。中，四邊形ABCD是菱形,P41平面ABCD,AB=PA=2,乙4BC=60°,

QC=QD=2vLPQ=a(a>0).

p

(1)設(shè)點尸為棱CD的中點，求證：對任意的正數(shù)。，四邊形PQE4為平面四邊形;

(2)當a=舊時，求直線P。與平面P8C所成角的正弦值.

13.如圖所示，在空間四面體4BCC中，E,F分別是AB,的中點，G,H分別是BC,co上的點,

(1)E,F,G,H四點共面：

(2)直線FH,EG,4c共點.

14.如圖所示，四棱錐S—4BC。中,△S48為等邊三角形，四邊形A8C。為菱形，空亭二面角

BD

S-AB-C為直二面角，點E為線段A8的中點.

(1)求證：SC1CD；

(2)求直線BC與平面SC。所成角的余弦值.

15.如圖，在三棱柱ABC—AiBiG中，瓦分別是AB,AC,&Bi，AiCi的中點，求證:

(1)B,C,H,G四點共面;

(2)平面E凡4"/平面BCHG.

16.如圖，在圓柱00中，AB是圓柱的母線，8c是圓柱的底面。0的直徑,

。是底面圓周上異于8、C的點.

(1)求證：。。1平面48。；

(2)若BD=2,CD=4,AC=6,求圓柱001的側(cè)面積.

17.如圖，正方體4BCC-41B1C1D1的棱長為1,點F在棱CG上，過B,/,尸三點的正方體的截面a與

直線441交于點E.

(1)找到點E的位置，作出截面a(保留作圖痕跡)，并說明理由;

(2)已知CF=a,求a將正方體分割所成的上半部分的體積匕與下半部分的體積瞑之比.

18.正方體4BCD-&B1C1D1中，M,N,Q,尸分別是AB,BC,。的，的。［的中點.

(1)證明：M,N,Q,P四點共面.

(2)證明：PQ,MN,0c三線共點.

19.如圖，正方體ABCD—AiBiGOi中，M為的中點.

(1)若點N滿足2西=瓦方，求證：N€平面MBC1；

(2)求平面MBC］與平面ABCD所成銳二面角的余弦值.

20.如圖,在三棱錐4一BCD中，E,尸,G,H分別是邊48,BC,CD,DA的中

(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)若四邊形EFGH是菱形，且4c=2,求BQ；

(3)若四邊形EFGH是矩形，求異面直線AC與3￡)所成的角.

【答案與解析】

1.答案：解：四邊形EFGH是正方形，

證明如下：

???￡,F、G、〃分別是48、BC、CD、的中點

EH//BD,FG//BD,EH=：BD,FG=\BD

AEH//FG,EH=FG

???四邊形EFGH為平行四邊形

vAC=BD,AC1BD,

:.EF=EH,EF1EH

???四邊形EFGH為正方形

解析：本題考查平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

利用三角形中位線的性質(zhì)，可得四邊形EFGH為平行四邊形，根據(jù)4c=80,ACVBD,可得四邊

形E尸G”為正方形.

2.答案：⑴證明:因為NBDC=90°,

所以CD1BD,

因為二面角A—BD—C是直二面角，

所以CD

因為=4。＜=平面48￡),8。u平面4B。，

所以CD，平面ABC,

因為4Bu平面ABC,

所以

(2)因為AB=4。=2,/.BAD=90。，Z.BCD=60",

所以BD=2V2，

因為NZ?DC=90,^BCD=60°,所以N「3O=3(),

所以ABCC是直角三角形，

所以CD=BD-tan30°=2夜,

33

因為由(1)C。，平面AB。，所以。。是三棱錐8。的高，

因為以-BCD=^C-ABD9

所以%-BCD=%TBD=?SA4BD-CD=[4X2X2X￥=^,

解析：本題考查異面直線垂直以及錐體體積求解，屬中檔題，

(1)由題意可證明CD_L平面48。，即可得到；

(2)利用等體積法，%_BCD=%-ABD即可求解，

3.答案：證明：(1)連接名為.

:.E、尸為BiG、QDi的中點,

???EF“BM，

又：.BD"B[D],

：.EF//BD,

??.B、。、E、尸四點共面；

(2)連接EN.

???M、N為A\B、、Ai5的中點,

■■EF"B[D\,

MN//EF,

EFu平面BEFD,

MN〃平面BEFD,

：.E、N為BiG、45的中點，

:.EN"A\B1,且EN=4iB].

又AB〃A、B\,且48=4&，

NE//AB,且NE=AB.

二四邊形A8EN為平行四邊行，

：.AN//BE,

BEu平面BEFD,

AN〃平面BEFD,

MNu平面AMN,ANu平面AMN,且MNCAN=N,

???平面4MN〃平面BEFD.

解析：本題考查了以正方體為載體的四點共面以及面面平行的判定，關(guān)鍵是正確利用正方體的性質(zhì)

以及已知為面面平行創(chuàng)造條件，培養(yǎng)了學生的綜合能力.

(1)只要證明“〃BD即可；

(2)利用面面平行的判定定理，只要判斷MN//EF,AN//BE,即可證得結(jié)論.

4.答案：(1)證明：在△BMN中，因為MN=1,BM=2,4BMN=60°,

由余弦定理得BN?=BM2+MN2-2BMMNcos60°=4+l-2x2xlx|=3,

所以BN=V3.因為BN?+NM2=BM?,所以BNJ.NM.

又因為AB為圓柱的母線，所以4B1底面BNM.

因為NMu平面8NM,所以4B1/VM.

又因為4BnBN=B,AB,BNu平面ABN,

所以MN1平面ABN.

因為BEu平面ABN,所以MN_LBE.

又因為BE14N,4MnMN=N,,且AM、NMu平面AMN,所以BE_L平面AMN.

因為AMu平面4MM所以BE14M.

(2)解：以8為原點，BN,所在直線為y,z軸，

建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則8(0,0,0),N(0,73,0),4(0,0,2),M(—1,75,0),

AM=(-l,V3,-2)-AN=(0,V3,-2).

設(shè)平面4MN的一個法向量為記=(xj,z),

m-AM-0,gy(—x+V3y-2z=0,

,fn-AN=0,(V3y—2z=

令y-1,得萬—(0,1,y).

同理可得平面ABM的一個法向量為記=(V3,l,0).

,—一、mn1\[7

所以3<如〃>=麗=再君=右

所以二面角8-AM-N的余弦值是它.

7

解析：本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、

空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

(1)要證BE1AM,可以先證明BE_L平面AMN,在△BMN中由余弦定理求出BN長度，因為BN2+

NM2=8"2,所以BN1NM,再證AB1NM,由此證明MN，平面ABN,所以MN1BE,又BE1AN,

BEL平面內(nèi)兩條相交直線，所以BEL平面AMN,由此BE1AM；

(2)利用向量法，求出平面ABM的法向量，平面4WN的法向量代入公式求二面角B-4M-N的余

弦值即可.

5.答案：(1)證明：設(shè)。在平面內(nèi)的射影為E,由QC=QD可得EC=ED,

所以點E在C￡＞的垂直平分線上，

由ABCD是菱形，S.AADC,故直線AE與C。的交點即為C3的中點尸，

因為PAJ■平面ABC。，QEABCD,所以PA〃QE,

從而PA,QE共面，因此「Q,FA共面，所以PQFA為平面四邊形，即尸、Q、F、A共面;

(2)解：分別以A8、A尸、AP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則4(0,0,0),8(2,0,0),C(l,V3,0),F(0,V3,0),P(0,0,2)

當a=JR時，由PF=中,QF=V7可得PF?+QF2=PQ2,

所以。的坐標為(0,2+四,舊)，

可求平面PBC的一個法向量為五=(V3.1,V3)，

設(shè)直線PQ與平面PBC所成角為仇

則sin9=|cos<n,PQ>|=,

從而直線PQ與平面PBC所成角的正弦值為專理.

解析：考查平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用，直線與平面所成角，是中檔題.

(1)先證明P。，總共面，進一步的四邊形P。五A為平面四邊形；

(2)由向量法求直線PQ與平面PBC所成角的正弦值.

6.答案：證明：(I)、?在AZBC中，E,F,分別是AC,8c的中點

■-.EF//AB?LEF=^AB,

同理可證HG〃4B且HG=\AB,

HG//EF,HG=EF,

即四邊形EFG”為平行四邊形.

(2)由(1)知”G〃/IB,

又?.?在A4C。中，E,H,分別是AC,的中點

：.HE“CDRHE=)D

.--NEHG(或其補角)就是異面直線AB和CD所成的角,

???HG=^AB=6V2,HE=^CD=2遍,

"S平行四邊形EFGH=HG?HE?sin乙EHG

=12V6sinzFHG=12V3.

sin/EHG=y

故NEHG=45°或135°,

直線AB和CO所成的角為45。.

解析：本題考查兩條異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維

能力的培養(yǎng).

(1)由HG〃EF,HG=EF推導(dǎo)出四邊形EFG〃是平行四邊形,

(2)易得Z_E”G(或其補角)就是異面直線AB和CD所成的角，平行四邊形EFGH~HG-HE-

sin/EHG=12百，由此能求出AB和CD所成的角.

7.答案：解：(1)證明：連接NS交AC于G點，連接BG,

則由AB=BC,AQ=2QM，且歷是BC中點,

所以點。是因ZBC的重心，

因此可得8G必過點。，且BQ=：BG,

因為PSu平面BBiNG,PS〃面B/M,而面B/MC面BB】NG=&Q,

所以PS〃0Q.

：.乙

(2)???PS//BXQ,NPS=4NBW=4B1QB,

Rt0PNSRtmQBBi，

?嚼喑=5即PN=：BQ/X鵑G=：B1N,

:.PN=QG,

:.BtP=BQ,

又：BiP〃BQ,.?.四邊形BBJQ是矩形，

所以P到平面/AM與B到平面814M的距離相等，

112

^P-ABiM=^B-ABAM==-X2X-X2Xl=-.

解析：本題考查了三棱錐體積的計算，線面平行的性質(zhì)，空間中直線與直線的位置關(guān)系，屬于中檔

題.

(1)連接NS交AC于G點，連接BG,根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)，利用空間直線平行的性質(zhì)進行判斷即可;

(2)先證明BiP=BQ,再證明四邊形BBiPQ是矩形，可得尸到平面/AM與B到平面814M的距離相

等，因此“njM=

8.答案：證明：（1）因為BB1_L面ABC,4EU面ABC,所以4EJ.BB1,

由AB=ZC,E為BC的中點得至ME1BC,

???BCClBBi=B,BC,BB1u面咽的。，

AE1面BBiGC,

??,B]Cu面BBiG。，

AE1BrC.

解：（2）取BiG的中點Er連4島EQ

則AE〃4%,

4E1&C是異面直線AE與aC所成的角.

設(shè)4c=AB=AAi=2,則由484c=90°,

可得4i￡1i-AE——V2,41c——2^2,E]C\—EC--^BC—V2,

ErC=JE?+C\C2=V6,

???在△%①(7中，cos/AiC=矍募=,

所以異面直線AE與&C所成的角為今

解析：本題考查異面直線的夾角，線線垂直的判定，屬于中檔題，熟練掌握線面垂直，線線垂直與

面面垂直之間的轉(zhuǎn)化及異面直線夾角是解答本題的關(guān)鍵.

⑴由BBi1面ABC及線面垂直的性質(zhì)可得4E1BBi，由4C=4B,E是BC的中點，及等腰三角形

三線合一，可得4E18C,結(jié)合線面垂直的判定定理可證得4E1面BBiQC,進而由線面垂直的性質(zhì)

得到4EJ./J

(2)取SC1的中點用，連A1第,E?根據(jù)異面直線夾角定義可得，4E14C是異面直線A與4C所成

的角，設(shè)4c=48=441=2,解三角形E14C可得答案.

9.答案：證明：(1)如圖，分別連接EF,AIB,D\C.

■■E,尸分別是A8和A41的中點,

.?.EF空又AlClgB1CI&BC，

???四邊形A1。1CB為平行四邊形.

：.A\B//CD\,EF//CDX.

EF與CD1確定一個平面，

E,F,D\,C四點共面.

(2)???EF^A直線O1F和CE必相交.

設(shè)。1FCCE=P,

???DIFu平面A41O1。，P6D\F,

pe平面AAiznn

又CEu平面ABCD,PeEC,

：.P6平面ABCD.

■■P是平面ABC￡)與平面441Q1。的公共點.

又平面ABC。Cl平面AA\D\D=AD,

???PGAD,-.CE,D\F,OA三線共點.

解析：

本題主要考查平面的基本性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是知道直線與直線、直線與平面、平面與平面的位

置關(guān)系，屬于中檔題.

⑴分別連接EF,A\B,D1C.E,尸分別是AB和44i的中點，EF乜加B又A、％2B&乂BC，四

邊形A/iCB為平行四邊形.證明E,F,劣，C四點共面.

@)EF粵CD、，直線和CE必相交.設(shè)5FnCE=P,D/u平面441。］。，證明CE,。/,DA

三線共點.

10.答案：(1)證明：因為CD〃/IB,48u平面48E,CO笈平面ABE,

所以CD〃平面ABE,

又CDu平面ECD,平面4BEn平面EC。=I,所以〃/CD,

(2)解：因為4B〃C￡),CDIDE,所以4B1DE,

5LABLAE,AEdDE=E,AEu平面AOE,DEADE,

所以_L平面ADE,

因為ABu平面ABCD,所以平面4BCD，平面AEQ,

過E作E014D于點O,則。是AQ的中點，

因為平面ABC。CY平面AED=AD,EOu平面ADE,

所以EO1平面A8CD,

以。為原點，與43平行的直線為x軸，。。所在直線為y軸，OE所在直線為z軸

建立空間直角坐標系。一xyz,

設(shè)EO=h,貝0(0,1,0),8(2,—1,0),E(0,0,h),

AB=(2,0，0),AE=(0,1,h),

設(shè)平面ABE的法向量為五=Qj,z),

則償二；即取x=。.i'則z=T

所以平面ABE的一個法向量蘇=(0,〃，-1)

同理可求得平面BDE的一個法向量為底=(h,h,1),

所以|cos〈用近＞|=粵署==￡解得九=2或3，

122

,41|n1|-|n2|Vh+lV2h+l53

檢驗發(fā)現(xiàn)九=立時二面角2-BE-。的平面角為鈍角，

3

所以h=2,此時AE=V5.

解析：本題考查線面平行的判定定理與性質(zhì)定理，考查利用空間向量解決二面角問題，屬于中檔題.

(1)利用線面垂直的判定定理得出CD〃平面ABE,再由面面平行的性質(zhì)定理得出證明即可；

(2)建立空間直角坐標系，由二面角Z-BE-。的余弦值為?求出AE的長即可.

11.答案：解：(1)如下圖，在平面P4C內(nèi)過點。作直線MN〃PC交PA于交AC于N,在平面

P4?內(nèi)過點M作直線交PB于點/,在平面A8c內(nèi)過點N作NQ〃/1B交BC于Q,連接/Q.則

MN、NQ、Q/、/M為截面與木塊各表面的交線.證明：：M1//AB,NQ//AB:.M1//NQ,M、N、Q、

1四點共面.；A3笈平面MNQ1,NQu平面MNQ/AB〃平面MNQI,同理可證PC〃平面MNQI.

(2)如下圖，連接CO交PA于點E,連接BE,若BC上存在點。滿足。?！ㄆ矫鍼48,則由

平面PAB1COCD

平面BCEn平面P4B=BEj=〃OE~DB'

由于。為APAC的重心，所以累=2,從而黑=2,

UbUD

所以在棱8C上是否存在點。，使得直線。。//平面PAB,且黃=：.

解析：本題主要考查了平面的基本性質(zhì)、線面平行的判定、線面平行的性質(zhì)，屬于中檔題.

⑴過點O作直線MN〃PC交PA于M,交AC于N,在平面PAB內(nèi)過點M作直線M/〃4B交P8于點

/,在平面ABC內(nèi)過點N作/VQ〃/IB交BC于Q,從而得到平面MNQ/,進而證明截面平行于AB,PC

即可.

(2)連接CO交PA于點E,連接8E,則由線面平行的性質(zhì)得到OD〃BE,進而求得比值即可.

12.答案：(1)證明：設(shè)。在平面內(nèi)的射影為E,由QC=QD可得EC=ED,

所以點E在CO的垂直平分線上，

由A8C。是菱形，且(Ml,故直線AE與CO的交點即為CO的中點F.

因為PA平面ABC。，QE1平面48CZ),所以PA〃QE,

從而月4,QE共面，因此PQ,胡共面，所以PQFA為平面四邊形.

(2)解：分別以AB、AF、AP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則4(0,0,0),8(2,0,0),C(l,V3,0),F(0,V3,0),P(0,0,2)

當PQ=a=0Z時，由

PF=J(V3)2+22=V7>

又F為等腰三角形QC￡>的底邊C。的中點，故QF_LCD,

所以QF=J(2V2)2-l2=V7>

可得PF?+Q~2=pQ2,又QC=2企

設(shè)。的坐標為(x,y,z),則

((x-I)2+(y-V3)2+z2=(2V2)2

j%2+(y—V3)2+z2=7

lx2+y2+(z—2)2=14

Q的坐標為(0,2+V3,V3).則所=(0,2+V3,V3-2),

設(shè)平面尸8c的一個法向量為五=(m,n,p),

貝磔=0,

(PB?元=0

令n=1>

可求平面PBC的一個法向量為記=(V3,1,V3)

設(shè)直線PQ與平面PBC所成角為仇

則sin。=|cos<n,pQ>\=—>

從而直線PQ與平面PBC所成角的正弦值為皿子.

解析：本題考查共面及線面所成角問題，屬中檔題.

(1)設(shè)Q在平面內(nèi)的射影為E,則可證點E在C。的垂直平分線上，直線AE與C。的交點即為CD

的中點F.由PAJ■平面ABC。，QE_L平面ABCQ,可證PA〃QE即可求解；

(2)分別以AB、A只4尸所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖空間直角坐標系，求出血與平面尸8c

的法向量即可求解.

13.答案：解：(1)如圖,連接EF,GH,

???E,尸分別是AB,的中點，

EF//BD,

又CG=gBC,CH=觸（：,

GH//BD,EF//GH,

E,F,G,，四點共面.

(2)???E,/分別是4B,AD的中點，

???EFSBD，

2

???G,”分另U是BC,CD上的點，且CG="cCH=：D(r

?5<)

GH」-BD，

3

EF//GH,且EFAGH,

.??四邊形EFHG是梯形，

設(shè)兩腰EG,尸，相交于一點時，

vEGu平面ABC,FHu平面ACD,

M€平面ABC,M€平面ACD,

又平面ABCn平面4CD=AC,

MeAC,

???直線FH,EG,4c共點.

解析：本題考查平行公理證明點共面和線共點的問題，關(guān)鍵是熟練運用公理，屬于基礎(chǔ)題.

⑴連接EF,GH,由E,尸分別是AB,AO的中點，得到EF〃8D.結(jié)合CG=/C,CH=扣。，得到

GH//BD,由平行公理得到EF〃GH,證明E,F,G,H四點共面.

(2)首先由已知條件證明四邊形EF/7G是梯形，設(shè)兩腰EG,“相交于一點M,再證明點M在兩平

面的交線上，即可得證.

14.答案：(1)證明：連接CE,???四邊形ABCD是菱形，??.ACJ.BD,

又...絲=3，...乙4BC=60。，.?.△4BC是等邊三角形.

BD3

???點E為線段AB的中點，???CE1AB.

又AB〃CD,二CE_LCD」.?在等邊ASAB中，SEA.AB,由SB〃C?？傻茫琒E1CD.

又???SECCE=E,SE、CEu平面SEC,

CD_L平面SEC,

而SCU平面SEC,故SC1CD；

(2)解：vSELAB,二面角S-ZB-C為直二面角，平面$4BC平面ABC。=/B,SEu平面SAB,

SEABCD,直線ES,EB,EC兩兩垂直.

不妨設(shè)4B=2,則S(V5,0,0),C(0,0,V3)，0(0,-2,V3)，8(0,1,0),

DC=(0,2,0)-SC=(-V3,0,V3)-BC=(0,-1,V3);

設(shè)平面SCO的一個法向量為五=(x,y,z),

覽工：:匕=令x=L得元=(1，。，1)，

記直線BC與平面SCO所成角為氏則sin"繇/

故所求余弦值cos。=Vl-sin^=?

解析：本題考查空間線面的位置關(guān)系、向量法求空間角，考查考生直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理

的核心素養(yǎng).

(1)由菱形的對角線互相垂直得出4C1BD,由等腰三角形的性質(zhì)得出CE148,再由4B〃C。，得

出CE1CD,在等邊ASAB中，SE1AB,進而得出SE1CD,由線面垂直的判定定理得出CD1平面

SEC,進而得出SCICD；

(2)建立空間直角坐標系，求出面SC3的法向量，進而求出線面夾角的正弦值，進而得出其余弦值.

15.答案：證明:⑴「G、H分別為為/，&G中點,

「三棱柱ABC-aB1C1中，BC//BG，

GH//BC,

???B、C、H、G四點共面;

(2)vE,尸分別為AB,AC的中點,

EF//BC.

vEF,平面BCHG,BCu平面BCHG,

：.EF〃平面BCHG.

-■■aG〃EB且41G=EB,.?.四邊形&EBG是平行四邊形,

:?AiE”GB.

VArE0平面BCHG,GBu平面BCHG,

〃平面BCHG.

vAXEC\EF=E,A1E,EFu平面EFAi，

???平面EFAi〃平面BCHG.

解析：本題考查平面的基本性質(zhì)，考查面面平行的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔

題.

（1）利用三角形中位線的性質(zhì)，證明GH〃BiG，從而可得GH〃BC,即可證明8,C,H,G四點共面；

（2）先證EF〃平面BCHG,再證四邊形&EBG是平行四邊形,進而證得&E〃平面8C〃G,再根據(jù)&En

EF=E,ArE,EFu平面EF&,即可證得平面EF&〃平面BCaG.

16.答案：證明：（1）：4B1底面8C￡>,.-.AB1CD,

又CDLBD,且48nBC=B,

CD_L平面ABD；

解：（2）在中，由BC=2,CD=4,

得BC=V22+42=2V5.

乂在Rt△A8C中，AC=6,得AB=』62—=4-

???圓柱的底面半徑為花，母線長為4,

???圓柱0。1的側(cè)面積為27rx遍x4=8V5;r.

解析：（1）由圓柱的結(jié)構(gòu)特征可得AB1CD,BD1CD,再由直線與平面垂直的判定得結(jié)論；

（2）由已知解直角三角形求得圓柱的底面半徑及母線長，則其側(cè)面積可求.

本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了圓柱側(cè)面積的求法，是中

檔題.

17.答案：解：（1）作法1：在正方形CDJCi中，過F作FG〃DC,且交棱于點G.

連接AG,在正方形4CD1&內(nèi)過久作DiE〃4G,且交棱4必于點E.

連接EB,ED1,則四邊形BED/就是要作的截面a.

理由：由題意，平面an平面4劣=。住,

平面an平面BC1=BF,平面4%〃平面BC1，應(yīng)有QE〃BF,

同理，BE〃F%所以四邊形BE。/應(yīng)是平行四邊形.

證明：由作圖過程，F(xiàn)G"DC,FG=DC.又AB"DC,AB=DC,

所以4B〃FG,AB=FG,所以四邊形4"G是平行四邊形.所以4G〃BF,AG=BF,

由作圖過程，D、E"AG.又EA〃D0,

所以四邊形E4GZ?i是平行四邊形，所以。出〃AG,D1E=AG,

又AG“BF,AG=BF,所以。1E〃BF,且QE=BF,

所以BEQF是平行四邊形.四邊形BED1？就是要作的截面.

作法2：(1)在正方形C0D1Q中，過尸作FG〃OC,且交棱CD】于點G.

連接AG,在正方形4。。送1內(nèi)過5作DiE〃AG,且交棱441于點E.

連接EB,ED],則四邊形BED/就是要作的截面a.

理由：由題意，平面an平面=DiE,

平面an平面BQ=B/，平面〃平面SC】，所以。出〃3￡

因為兩平行直線確定一個平面，則平面BEDiF就是平面a.

證明：由作圖過程，F(xiàn)G//DC,FG=DC.

V.AB11DC,AB=DC,所以4B〃FG,AB=FG.

所以四邊形ABFG是平行四邊形.所以4G〃BF.

由作圖過程，￡＞道〃力G.所以DiE〃BF.

四邊形BE。1F就是要作的截面a.

作法3：在棱AAi上取點E,使得&E=CF.

連接EB,ED］，則四邊形BEDiF就是要作的截面a.

理由：由題意，平面an平面4必=DiE,

平面an平面BG=BF,平面4DJ/平面BG，所以?；ā?凡

同理可證BE〃所以四邊形BED/應(yīng)是平行四邊形.

應(yīng)有。遂=BF.又因為A54住和4BCF均為直角三角形，且為必=BC,

由勾股定理得&E=ID.-5國=y/BF2-BC2=CF.

由E的取點過程，知四邊形BEDiF就是要作的截面a.

作法4：在棱力①上取點E,使得&E=CF.

連接E8,ED］，則四邊形BE%尸就是要作的截面a.

理由：由題意，an平面4Di=￡)iE,anTffiBCi-BF,

平面AD1〃平面BCi，所以D】E〃BF.

同理BE//所以四邊形BED/是平行四邊形.

下證所取的點E使得BEDiF是平行四邊形:

在正方體ABC。-AiBiGD］中，瓦否=謂.

因為&E=CF,ArE//FC,所以舉=麗.

所以庠=瓦有+砧=潮+定=方.

所以Z)iE〃FB,且DiE=FB,所以BED/是平行四邊形.

四邊形BE。/就是要作的截面.

(2)解法1：由題意，CF=a(O<a<1).

由(1)的證明過程，可得&E=a.

連接。/1，則平面a將正方體分割所成的上半部分的幾何體可視為四棱錐。1與四棱錐。1-

&BFG的組合體.

〃17,〃1(a+l)xlY,1[(l-a)+l]xl41

X

匕=^D1-A1EBB1+力]-8]BFC]=3-2~乂1+,X---------X1=-.

而該正方體的體積U=l,1/2=^-匕=1一2=今所以%:匕=1.

解法2：由題意，CF=a(0<a<1).

由(1)的證明過程，可得&E=a.

由(1)的作法1,可知平面a將正方體分割所成的下半部分的幾何體可視為三棱柱4DG-BC/與三棱

柱E4B—QGF的組合體，

111

=VADG-BCF+^EAB-DiGF=('X1Xa)X1+年X1X(1—a)]X1=5

而該正方體的體積U=l,匕=1/一/=3.所以匕：匕=1.

解析：本題考查正方體的截面、線面平行的性質(zhì)、棱柱棱錐的體積，屬中檔題.

(1)作法1：過尸作FG〃DC,且交棱于點G,四邊形E4GD1是平行四邊形，即可得BED#是平

行四邊形.四邊形8ED1F就是要作的截面.

作法2：過尸作FG〃DC,且交棱DDi于點G,過久作QE〃/1G,且交棱441于點E,因為兩平行

直線確定一個平面，四邊形BEDiF就是要作的截面a.

作法3：在棱4公上取點E,使得&E=CF,四邊形BED/就是要作的截面a.

作法4：在棱4公上取點E,使得&E=CF,可證得四邊形BED1尸是平行四邊形，四邊形BED1尸就是

要作的截面.

(2)解法I：CF=a(O<a<1),由(1)可得&E=a,連接必當，則平面a將正方體分割所成的上半

部