第21講雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程7種常見(jiàn)考法歸類(lèi)1.了解雙曲線(xiàn)的實(shí)際背景，感受雙曲線(xiàn)在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用．2.了解雙曲線(xiàn)的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.知識(shí)點(diǎn)1雙曲線(xiàn)的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn)．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線(xiàn)的焦距．注：1、集合語(yǔ)言表達(dá)式雙曲線(xiàn)就是下列點(diǎn)的集合:.常數(shù)要小于兩個(gè)定點(diǎn)的距離．2、對(duì)雙曲線(xiàn)定義中限制條件的理解(1)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|時(shí)，M的軌跡不存在．(2)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|時(shí)，M的軌跡是分別以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)．(3)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|時(shí)，M的軌跡是線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn)．(4)若將定義中的絕對(duì)值去掉，其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線(xiàn)的一支．具體是哪一支,取決于與的大小.①若,則,點(diǎn)的軌跡是靠近定點(diǎn)的那一支;②若,則,點(diǎn)的軌跡是靠近定點(diǎn)的那一支.知識(shí)點(diǎn)2雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2a與b沒(méi)有大小關(guān)系注：1、雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過(guò)程①觀察我們畫(huà)出的雙曲線(xiàn)，發(fā)現(xiàn)它也具有對(duì)稱(chēng)性，而且直線(xiàn)F1F2是它的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以以F1，F(xiàn)2所在直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，此時(shí)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，焦距為2c，c>0.設(shè)P(x，y)是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，則||PF1|－|PF2||＝2a(a為大于0的常數(shù))，因?yàn)閨PF1|＝eq\r(x＋c2＋y2)，|PF2|＝eq\r(x－c2＋y2)，所以eq\r(x＋c2＋y2)－eq\r(x－c2＋y2)＝±2a，①類(lèi)比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡(jiǎn)過(guò)程，化簡(jiǎn)①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，兩邊同除以a2(c2－a2)，得eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,c2－a2)＝1.由雙曲線(xiàn)的定義知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，類(lèi)比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過(guò)程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．②設(shè)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為F1和F2，焦距為2c，而且雙曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0，以F1，F(xiàn)2所在直線(xiàn)為y軸，線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn)為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，此時(shí)，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？【答案】eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．2、巧記雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)位置與方程的關(guān)系兩種雙曲線(xiàn)，（）的相同點(diǎn)是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點(diǎn)是:兩種雙曲線(xiàn)的位置不同,它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同.焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走，即若x2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在x軸上；若y2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在y軸上．3、共焦點(diǎn)雙曲線(xiàn)的設(shè)法與雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程為eq\f(x2,a2＋λ)－eq\f(y2,b2－λ)＝1(－a2<λ<b2)；與雙曲線(xiàn)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程為eq\f(y2,a2＋λ)－eq\f(x2,b2－λ)＝1(－a2<λ<b2)．知識(shí)點(diǎn)3雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)三角形雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱(chēng)為焦點(diǎn)三角形．解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用雙曲線(xiàn)的定義和正弦定理、余弦定理．以雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)P(x0，y0)(y0≠0)和焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點(diǎn)的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則(1)雙曲線(xiàn)的定義：(2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)面積公式：S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，重要結(jié)論：S△PF1F2=推導(dǎo)過(guò)程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ得由三角形的面積公式可得S△PF1F2==1、雙曲線(xiàn)方程的辨識(shí)方法將雙曲線(xiàn)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，假如雙曲線(xiàn)的方程為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，則當(dāng)mn<0時(shí)，方程表示雙曲線(xiàn)．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,n<0，))則方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)；若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,n>0，))則方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)．2、求雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)定位：是指確定與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，在標(biāo)準(zhǔn)方程的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以確定方程的形式．(2)定量：是指確定a2，b2的數(shù)值，常由條件列方程組求解．3、雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法(1)定義法：根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義得到相應(yīng)的a，b，c，再寫(xiě)出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a，b均為正數(shù))，然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù)代入方程即可．注：若焦點(diǎn)的位置不明確，應(yīng)注意分類(lèi)討論，也可以設(shè)雙曲線(xiàn)方程為mx2＋ny2＝1的形式，注意標(biāo)明條件mn<0.4、雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)三角形解題注意點(diǎn)在解決雙曲線(xiàn)中與焦點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意定義中的條件||PF1|－|PF2||＝2a的應(yīng)用；與三角形有關(guān)的問(wèn)題要考慮正、余弦定理、勾股定理等．另外在運(yùn)算中要注意一些變形技巧和整體代換思想的應(yīng)用．5、利用雙曲線(xiàn)解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟如下：(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．(2)求出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．(3)根據(jù)雙曲線(xiàn)的方程及定義解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題(注意實(shí)際意義)．2023年07月07日數(shù)學(xué)作業(yè)考點(diǎn)一：雙曲線(xiàn)定義的理解例1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）到兩定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于6的點(diǎn)的軌跡（

）A．橢圓 B．直線(xiàn) C．雙曲線(xiàn) D．兩條射線(xiàn)【答案】D【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和兩定點(diǎn)的距離關(guān)系判斷即可.【詳解】因?yàn)?，，故的軌跡是已、為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)，故選：D.變式1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于的點(diǎn)的軌跡是（

）A．雙曲線(xiàn) B．兩條射線(xiàn) C．一條線(xiàn)段 D．一條直線(xiàn)【答案】B【分析】直接分析即可得結(jié)果.【詳解】如圖：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為，則若在線(xiàn)段（不包含兩端點(diǎn)）上，有；若在直線(xiàn)外，有；若在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上或線(xiàn)段的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上（均包含兩端點(diǎn)），則有.故選：B變式2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A．雙曲線(xiàn) B．雙曲線(xiàn)左支C．雙曲線(xiàn)右支 D．一條射線(xiàn)【答案】C【分析】根據(jù)表示動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之差為2，再結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義求解.【詳解】解：因?yàn)榈膸缀我饬x是動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之差為2，又因?yàn)?，所以由雙曲線(xiàn)的定義，知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是雙曲線(xiàn)右支．故選：C變式3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）與圓及圓都外切的圓P的圓心在（

）A．一個(gè)橢圓上 B．一個(gè)圓上C．一條直線(xiàn)上 D．雙曲線(xiàn)的一支上【答案】D【分析】根據(jù)題意，分別畫(huà)出兩個(gè)圓的圖形，然后結(jié)合圖形和雙曲線(xiàn)定義即可判斷.【詳解】由，得，畫(huà)出圓與的圖像如圖，設(shè)圓P的半徑為r，

∵圓P與圓O和圓M都外切，∴，，則，∴根據(jù)雙曲線(xiàn)定義知點(diǎn)P在以O(shè)，M為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的左支上.故選：D變式4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知曲線(xiàn)C：，點(diǎn)M與曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)不重合．已知M關(guān)于曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為A，B，線(xiàn)段MN的中點(diǎn)在曲線(xiàn)C右支上，則的值為_(kāi)_____．【答案】12【分析】根據(jù)已知條件，作出圖形，MN的中點(diǎn)連接雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，便會(huì)得到三角形的中位線(xiàn)，根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)及雙曲線(xiàn)的定義，即可求得.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為，則，設(shè)雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為，設(shè)的中點(diǎn)為，連接.∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴是的中位線(xiàn)，∴.同理，∴，∵P在雙曲線(xiàn)上，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義知：，∴.故答案為：12.考點(diǎn)二：雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的辨識(shí)例2．（2023秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）對(duì)于常數(shù)a，b，“”是“方程對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)”的（

）充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的方程以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】解：可整理成，當(dāng)，則且或且，此時(shí)方程即表示的曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)，則充分性成立；若方程表示的曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)，則即，則必要性成立，故選：C變式1．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，則“方程表示雙曲線(xiàn)”的必要不充分條件為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出方程表示雙曲線(xiàn)的必要不充分條件的范圍可得答案.【詳解】由，方程表示雙曲線(xiàn)，則，所以，根據(jù)選項(xiàng)，“方程表示雙曲線(xiàn)”的必要不充分條件為B.故選：B.變式2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）“”是“為雙曲線(xiàn)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】先求方程表示雙曲線(xiàn)的條件，再根據(jù)兩者相等關(guān)系確定充要關(guān)系.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線(xiàn)，所以，又當(dāng)時(shí)，方程表示雙曲線(xiàn)，因此“”是“方程表示雙曲線(xiàn)”的充要條件.故選：C變式3．（2023秋·北京·高二北京市第二十二中學(xué)?？计谥校┮阎€(xiàn)C：，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．若，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若，則C是雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為C．若，則C是圓，其半徑是D．若，則C是兩條直線(xiàn)【答案】C【分析】把化成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并求其焦點(diǎn)所在軸，判斷選項(xiàng)A的正誤；把化成雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程并求其漸近線(xiàn)，判斷選項(xiàng)B的正誤；把化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并求其半徑，判斷選項(xiàng)C的正誤；把化成直線(xiàn)的方程，判斷選項(xiàng)D的正誤.【詳解】選項(xiàng)A:時(shí)，可化為，此時(shí)，C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上，判斷正確；選項(xiàng)B:時(shí)分為兩種情況：①時(shí)，可化為此時(shí)，C是雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為，判斷正確；②時(shí)，可化為此時(shí)，C是雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為，判斷正確；選項(xiàng)C:時(shí)，可化為此時(shí)C是圓，其半徑是，不是，判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D:時(shí)，可化為即或，此時(shí)C是兩條直線(xiàn)，判斷正確.故選：C變式4．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若曲線(xiàn)表示雙曲線(xiàn)，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由方程表示雙曲線(xiàn)求解實(shí)數(shù)k的取值范圍即可.【詳解】曲線(xiàn)表示雙曲線(xiàn)，所以即可.解得或，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是：.故選：B.變式5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）“”是“方程表示雙曲線(xiàn)”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用方程為表示雙曲線(xiàn)的條件，求得的取值范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷條件和結(jié)論的關(guān)系.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線(xiàn)，所以，解得或，因?yàn)橛煽赏瞥龌?，，但是由或，不能推出，所以“”是“方程表示雙曲線(xiàn)”的充分不必要條件，故選：A.變式6．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若，則“”是“方程表示雙曲線(xiàn)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用方程為表示雙曲線(xiàn)的條件，求得的取值范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷條件和結(jié)論的關(guān)系.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線(xiàn)，所以，解得或，因?yàn)橛煽赏瞥龌颍怯苫虿荒芡瞥?，所以“”是“方程表示雙曲線(xiàn)”的充分不必要條件，故選：A變式7．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)方程的特征可得答案.【詳解】由題意得，解得，即.故選：A.變式8．（2023春·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）已知表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)有個(gè)，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓有個(gè)，則的值為（

）A．10 B．14 C．18 D．22【答案】D【分析】根據(jù)方程表示雙曲線(xiàn)或橢圓的類(lèi)型，確定參數(shù)的取值，確定m和n的值，即可得答案.【詳解】由題意表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，則，故b的取值可取，a可取，故，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，則可取，即，故，故選：D變式9．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谀┰O(shè)m為實(shí)數(shù)，若方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)的方程特征列出不等式，從而可得答案.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)，所以，解得.故選：D.變式10．（2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┓匠瘫硎窘咕酁榈碾p曲線(xiàn)，則實(shí)數(shù)λ的值為（

）A．1 B．-4或1 C．-2或-4或1 D．-2或1【答案】A【分析】分類(lèi)討論和分別小于0時(shí)的情況，即可得到實(shí)數(shù)λ的值【詳解】解：由題意在雙曲線(xiàn)中，焦距即當(dāng)即時(shí)，解得：（舍）或當(dāng)即時(shí)，解得：（舍）或（舍）綜上，故選：A.考點(diǎn)三：求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程例3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知P是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P與的距離之差的絕對(duì)值為．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)E．求曲線(xiàn)E的方程；【答案】【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義，即可求解；【詳解】依題意，P是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)與的距離之差的絕對(duì)值為．即，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，可得點(diǎn)的軌跡E是以為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)，其中，所以，則，所以軌跡的方程為．變式1．（2023春·四川德陽(yáng)·高二德陽(yáng)五中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足條件．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義，即可求解.【詳解】由點(diǎn)，，可得，又由，可得，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，可得點(diǎn)的軌跡表示以為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支，且，可得，則，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：C.變式2．（2023春·廣西南寧·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)橢圓的離心率為，焦點(diǎn)在軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，若曲線(xiàn)上的點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線(xiàn)中的關(guān)系，結(jié)合雙曲線(xiàn)定義可解.【詳解】在橢圓中，由題知，解得，所以橢圓的焦點(diǎn)為，，因?yàn)榍€(xiàn)上的點(diǎn)到，的距離的差的絕對(duì)值等于8，且，所以曲線(xiàn)是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為8的雙曲線(xiàn)，所以曲線(xiàn)的虛半軸長(zhǎng)為，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：A.變式3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意求得，，得到，進(jìn)而求得雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由橢圓，可化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，因?yàn)殡p曲線(xiàn)與橢圓有公共的焦點(diǎn)，所以，又因?yàn)殡p曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，可得，則，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.變式4．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考三模）若雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有相同的焦距，且過(guò)點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】利用待定系數(shù)法，分焦點(diǎn)在軸上和焦點(diǎn)在軸上兩種情況，分別設(shè)出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用條件建立方程，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹陀邢嗤慕咕啵蛛p曲線(xiàn)的焦距為，所以雙曲線(xiàn)的焦距，又過(guò)點(diǎn)，當(dāng)?shù)慕裹c(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，若將點(diǎn)代入，得①，又②，聯(lián)立①②兩式得，，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.當(dāng)?shù)慕裹c(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，將點(diǎn)代入，得③，又④，聯(lián)立③④兩式得，，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，綜上所述，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故選：C.變式5．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎p曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓方程可求出焦點(diǎn)，將代入雙曲線(xiàn)，結(jié)合，解方程即可求解.【詳解】橢圓焦點(diǎn)為，雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)為，且，將代入雙曲線(xiàn)，得，又，解得，，故雙曲線(xiàn)的方程為，故選：D.變式6．（2023春·河南洛陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上，若，則雙曲線(xiàn)C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合雙曲線(xiàn)的焦距的概念和雙曲線(xiàn)的定義列方程求，可得雙曲線(xiàn)方程.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的半焦距為，因?yàn)?，所以，由雙曲線(xiàn)定義可得，又，所以，所以，所以，，雙曲線(xiàn)的方程為故選：D.變式7．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，，P為C上一點(diǎn)，的中點(diǎn)為Q，為等邊三角形，則雙曲線(xiàn)C的方程為（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】求出，利用題干條件得到，，由雙曲線(xiàn)定義得到方程，求出，進(jìn)而得到，，求出雙曲線(xiàn)方程.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)C的半焦距為．由題可知，即．因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為Q，為等邊三角形，所以，所以，，故，所以，，所以，所以，所以，．所以雙曲線(xiàn)C的方程為．故選：A考點(diǎn)四：雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)三角形例4．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）設(shè)P是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|=9，則|PF2|等于（

）A．1 B．17 C．1或17 D．8【答案】B【分析】先求出P點(diǎn)的位置，再根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義求解.【詳解】對(duì)于，，所以P點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的左支，則有；故選：B.變式1．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）設(shè)，是雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，則（

）A．5 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】由雙曲線(xiàn)的定義知，，則，即可得出答案.【詳解】雙曲線(xiàn)C：，則，，由雙曲線(xiàn)的定義知：，，，所以.故選：C.變式2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)，分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，且，則_________，_________；【答案】【分析】由得為直角三角形，由可求出；根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義以及勾股定理可求出.【詳解】因?yàn)?，所以，則為直角三角形，所以(為原點(diǎn))，又，，所以，，所以.不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上，則，①又，②聯(lián)立①②解得，，所以.故答案為：；.變式3．（2023春·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）設(shè)雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，且，則的大小為_(kāi)_________．【答案】/【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)方程求出、、，再由雙曲線(xiàn)的定義求出、，最后由余弦定理計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)，則，，所以，因?yàn)闉殡p曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，所以，又，所以，，，由余弦定理，即，解得，又，所以.故答案為：變式4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在該雙曲線(xiàn)上，且是等腰三角形，則的周長(zhǎng)是________.【答案】16【分析】根據(jù)條件首先可得，然后可得，即可求出周長(zhǎng).【詳解】雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，因?yàn)槭堑妊切?，不設(shè)在雙曲線(xiàn)的右支上，則，所以，所以的周長(zhǎng)為6+6+10=16故答案為：.變式5．（2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線(xiàn)，、是其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)上，若，則的面積為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線(xiàn)定義、余弦定理求出，再利用三角形面積公式計(jì)算作答.【詳解】雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)，半焦距，有，在中，由余弦定理得，即有，因此，解得，所以的面積為.故答案為：

變式6．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)=1的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)左支上的點(diǎn)，且，則△的面積為_(kāi)___.【答案】16【分析】由雙曲線(xiàn)的定義可知，，再在△中利用由余弦定理可求出，從而求出△的面積．【詳解】雙曲線(xiàn)，所以，，所以，，

是雙曲線(xiàn)左支上的點(diǎn)，，，在△中，由余弦定理得，，△的面積為.故答案為：.變式7．（2023春·江西·高二臨川一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)分別為雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的右支第一象限于點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑為1，則直線(xiàn)的斜率為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】利用雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，圓心在實(shí)軸上的射影點(diǎn)就是雙曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，從而構(gòu)造直角三角形，結(jié)合正切的二倍角公式求解.【詳解】如圖，設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，內(nèi)切圓與三邊相切于，

，所以，即的內(nèi)切圓與軸相切于右頂點(diǎn)，即雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，即，則由內(nèi)切圓的性質(zhì)可知軸，所以在中，，所以，故選：B.變式8．【多選】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）雙曲線(xiàn)的方程為，左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右半支交于點(diǎn)，，使得，則（

）A． B．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為C．直線(xiàn)的斜率為或 D．的內(nèi)切圓半徑是【答案】BCD【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義得到方程組，求出、，即可判斷A，再由等面積法求出，代入雙曲線(xiàn)方程求出，即可判斷B，再求出直線(xiàn)的斜率，即可判斷C，利用等面積法求出內(nèi)切圓的半徑，即可判斷D；【詳解】解：如圖所示，由題意知，解得，故A不正確；在中，由等面積法知，解得，代入雙曲線(xiàn)方程得，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲右支上，故，故B正確；由圖知，，由對(duì)稱(chēng)性可知，若點(diǎn)在第四象限，則，故C正確；的內(nèi)切圓半徑，故D正確．故選：BCD．變式9．【多選】（2023秋·高二校考課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，分別是左?右焦點(diǎn)，若的面積為20，則下列判斷正確的有（

）A．點(diǎn)到軸的距離為B．C．為鈍角三角形D．【答案】BC【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的方程、定義與性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積求出P的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式、斜率公式以及余弦定理，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可．【詳解】設(shè)點(diǎn)．因?yàn)殡p曲線(xiàn)，所以．又，所以，故A錯(cuò)誤．將代入得，得．由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，不妨取點(diǎn)P的坐標(biāo)為，得．由雙曲線(xiàn)的定義得，所以，故B正確．在中，，且，則為鈍角，所以為鈍角三角形，故C正確．由余弦定理得，所以，故D錯(cuò)誤．故選：BC．變式10．【多選】（2023秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，分別是雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且位于第一象限，，則（

）A．P的縱坐標(biāo)為 B．C．的周長(zhǎng)為 D．的面積為4【答案】ABD【分析】結(jié)合、雙曲線(xiàn)的定義、三角形的面積和周長(zhǎng)等知識(shí)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，因?yàn)?，所?由雙曲線(xiàn)的定義可得①，兩邊平方得，即，解得，故的面積為，D正確.設(shè)P的縱坐標(biāo)為h，的面積，解得，A正確.，解得②，的周長(zhǎng)為，C錯(cuò)誤.①＋②可得，B正確.故選：ABD考點(diǎn)五：雙曲線(xiàn)定義的應(yīng)用例5．（2023春·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校校考期中）已知F是雙曲線(xiàn)C：的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義得，利用平面幾何的知識(shí)，兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短，即可求出最值.【詳解】由雙曲線(xiàn)方程可知，，，故右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)左支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由雙曲線(xiàn)定義知，所以，從而，又為定值，所以，此時(shí)點(diǎn)在線(xiàn)段與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)處（三點(diǎn)共線(xiàn)距離最短），故選：B.變式1．（2023春·四川成都·高二校考階段練習(xí)）已知，雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)左支上一點(diǎn)，則的最小值為（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，由雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，整理，利用三角形三邊關(guān)系，可得答案.【詳解】由雙曲線(xiàn)，則，即，且，由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.變式2．（2023·陜西西安·西安一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)P是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，，，則的最小值為（

）．A． B． C．6 D．12【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，將題意轉(zhuǎn)化為雙曲線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，再聯(lián)立雙曲線(xiàn)與圓的方程，根據(jù)二次方程有解結(jié)合判別式求解即可.【詳解】設(shè)，則點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)的上支，∴點(diǎn)P的軌跡方程為，依題意，雙曲線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，將圓的方程代入雙曲線(xiàn)方程得，即，判別式，解得，當(dāng)時(shí)，，且，∴等號(hào)能成立．∴．故選：B變式3．（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，雙曲線(xiàn)C：的左焦點(diǎn)為F，P是雙曲線(xiàn)C的右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用雙曲線(xiàn)定義及三角形三邊關(guān)系判斷最大時(shí)的位置關(guān)系，即可得結(jié)果.【詳解】若C為雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)C(3,0)，則，|AC|=5,而，僅當(dāng)共線(xiàn)且在之間時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)共線(xiàn)且在之間時(shí)等號(hào)成立.故選：D變式4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，為雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)，Q為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，點(diǎn)P（0，2）．當(dāng)取最小值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合雙曲線(xiàn)定義數(shù)形結(jié)合判斷取最小值時(shí)，三點(diǎn)共線(xiàn)，聯(lián)立直線(xiàn)及雙曲線(xiàn)方程解出Q的坐標(biāo)為，即可求解的值.【詳解】由雙曲線(xiàn)定義得,故如圖示，當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)，即Q在M位置時(shí)，取最小值，，故方程為，聯(lián)立，解得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(Q為第一象限上的一點(diǎn))，故故選：A變式5．（2023·青海玉樹(shù)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C的右支上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．16 B．18 C． D．【答案】A【分析】利用雙曲線(xiàn)的定義表示，結(jié)合基本不等式求解最小值.【詳解】因?yàn)椋瑸殡p曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，P是C的右支上的一點(diǎn)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；因?yàn)?，所以，所以成立，的最小值?6.故選：A.變式6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C．7 D．8【答案】C【分析】由雙曲線(xiàn)定義等于到右焦點(diǎn)的距離，而的最小值是（是圓半徑），由此可得結(jié)論．【詳解】記雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線(xiàn)段與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)，取到最小值．故選：C．變式7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，分別是雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，且C上存在點(diǎn)P使得，則a的取值范圍是________．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義結(jié)合條件可得，，進(jìn)而可得，即得.【詳解】因?yàn)?，雙曲線(xiàn)，又，所以，，又，解得，即a的取值范圍是.故答案為：.變式8．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線(xiàn)右支上的一點(diǎn)，且與圓相切于點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．- B．-1 C．- D．-2【答案】B【分析】依題意作出曲線(xiàn)圖形，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)右支上，由雙曲線(xiàn)定義，即可得解.【詳解】由題意可知：雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在x軸上，a=3，b=4，c=5，設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F2（5，0），左焦點(diǎn)F（﹣5，0），由OM為△PFF1中位線(xiàn)，則丨OM丨=丨PF2丨，由PF與圓x2+y2=9相切于點(diǎn)N，則△ONF為直角三角形，∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣9=16，則丨NF丨=4，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣4，由丨MF丨=丨PF丨，∴|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣4﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣4=×2a﹣4=-1，∴|MN|﹣|MO|=-1，故選：B．考點(diǎn)六：雙曲線(xiàn)的軌跡方程例6．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）求下列動(dòng)圓的圓心的軌跡方程：(1)與圓和圓都內(nèi)切；(2)與圓內(nèi)切，且與圓外切；(3)在中，，，直線(xiàn)，的斜率之積為，求頂點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）依題意可得，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可知圓心的軌跡是以點(diǎn)、分別為上、下焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的下支，即可求出其軌跡方程；（2）依題意可得，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可知圓心的軌跡是以點(diǎn)、分別為左、右焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的左支，即可求出其軌跡方程；（3）設(shè)根據(jù)斜率公式得到方程，整理可得.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，則圓與圓外離，設(shè)圓的半徑為，由題意可得，所以，所以圓心的軌跡是以點(diǎn)、分別為上、下焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的下支，設(shè)圓心的軌跡方程為，由題意可得，則，，因此圓心的軌跡方程為.

（2）圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，則圓與圓外離，設(shè)圓的半徑為，由題意可得，所以，所以圓心的軌跡是以點(diǎn)、分別為左、右焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的左支，設(shè)圓心的軌跡方程為，由題意可得，則，，因此圓心的軌跡方程為.

（3）設(shè)，則，，根據(jù)題意有，化簡(jiǎn)得∴頂點(diǎn)的軌跡方程為.

變式1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓M：上動(dòng)點(diǎn)Q，若，線(xiàn)段QN的中垂線(xiàn)與直線(xiàn)QM交點(diǎn)為P．求交點(diǎn)P的軌跡C的方程；【答案】【分析】數(shù)形結(jié)合，由雙曲線(xiàn)定義可得.【詳解】由題知，所以由雙曲線(xiàn)定義可知點(diǎn)P的軌跡為雙曲線(xiàn)，其中，得曲線(xiàn)C的方程變式2．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校聯(lián)考期末）已知圓，為圓心，為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用圓的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：因?yàn)榫€(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，所以有，由圓，得，該圓的半徑，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，所以有，于是有，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)，所以，，可得，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：B．變式3．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知?jiǎng)訄AP過(guò)點(diǎn)，且與圓外切，則動(dòng)圓P圓心的軌跡方程為_(kāi)_____.【答案】，【分析】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則有，再由兩圓外切得到，進(jìn)而得到，再利用雙曲線(xiàn)的定義求解.【詳解】定圓的圓心為，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則有，因?yàn)榕c圓外切，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的左支，則，，，所以軌跡方程為，，即，.故答案為：，變式4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，求圓心的軌跡方程【答案】【分析】根據(jù)圓C與圓A、圓B外切，得到，再利用雙曲線(xiàn)的定義求解.【詳解】因?yàn)閳AC與圓A、圓B外切，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)，圓C半徑為，則，，所以，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)的一支，又，，，所以其軌跡方程為.變式5．（2023秋·天津北辰·高二天津市第四十七中學(xué)校考階段練習(xí)）已知的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是、，且，所在直線(xiàn)的斜率之積等于2，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（

）A．（） B．C． D．（）【答案】A【分析】首先設(shè)點(diǎn)，根據(jù)條件列式，再化簡(jiǎn)求解.【詳解】設(shè)，，所以，整理為：，，故選：A變式6．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開(kāi)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)有唯一的公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)分別交軸、軸于兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切，推出，，再求出,消去可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)與直線(xiàn)有唯一的公共點(diǎn)，所以直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切，聯(lián)立，消去并整理得，所以，即，將代入，得，得，因?yàn)?，，所以，所以，，即，由可知，所以過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)為，令，得，令，得，則，，由，得，，代入，得，即，故選：D考點(diǎn)七：雙曲線(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用例7．（2023·北京海淀·高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）地震預(yù)警是指在破壞性地震發(fā)生以后，在某些區(qū)域可以利用“電磁波”搶在“地震波”之前發(fā)出避險(xiǎn)警報(bào)信息，以減小相關(guān)預(yù)警區(qū)域的災(zāi)害損失.根據(jù)Rydelek和Pujol提出的雙臺(tái)子臺(tái)陣方法，在一次地震發(fā)生后，通過(guò)兩個(gè)地震臺(tái)站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在雙曲線(xiàn)的一支上，這兩個(gè)地震臺(tái)站的位置就是該雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn).在一次地震預(yù)警中，兩地震臺(tái)站和站相距.根據(jù)它們收到的信息，可知震中到站與震中到站的距離之差為.據(jù)此可以判斷，震中到地震臺(tái)站的距離至少為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)震中為，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義以及可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)震中為，依題意有，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)靠近的一支，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取等號(hào)，所以,所以，所以震中到地震臺(tái)站的距離至少為.故選：A變式1．（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)?？计谥校﹩稳~雙曲面是最受設(shè)計(jì)師青睞的結(jié)構(gòu)之一，它可以用直的鋼梁建造，既能減少風(fēng)的阻力，又能用最少的材料來(lái)維持結(jié)構(gòu)的完整.如圖1，俗稱(chēng)小蠻腰的廣州塔位于中國(guó)廣州市，它的外形就是單葉雙曲面，可看成是雙曲線(xiàn)的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.某市計(jì)劃建造類(lèi)似于廣州塔的地標(biāo)建筑，此地標(biāo)建筑的平面圖形是雙曲線(xiàn)，如圖2，最細(xì)處的直徑為，樓底的直徑為，樓頂直徑為，最細(xì)處距樓底，則該地標(biāo)建筑的高為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程是，由已知可得，將點(diǎn)坐標(biāo)代入解得的值，從而得到雙曲線(xiàn)的方程，最后利用雙曲線(xiàn)的方程解得的坐標(biāo)即可求得地標(biāo)建筑的高.【詳解】解：以地標(biāo)建筑的最細(xì)處所在直線(xiàn)為軸，雙曲線(xiàn)的虛軸為軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.由題意可得：，，設(shè)，雙曲線(xiàn)的方程是，則，解得，所以雙曲線(xiàn)的方程是：，將點(diǎn)代入得，解得，所以該地標(biāo)建筑的高為：.故選：.變式2．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）費(fèi)馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線(xiàn)的一些光學(xué)性質(zhì)．例如，點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)（，為焦點(diǎn)）上一點(diǎn)，點(diǎn)P處的切線(xiàn)平分．已知雙曲線(xiàn)C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，l是點(diǎn)處的切線(xiàn)，過(guò)左焦點(diǎn)作l的垂線(xiàn)，垂足為M，則______．【答案】2【分析】延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，結(jié)合題意得點(diǎn)為的中點(diǎn)，，從而得到，再結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義即可求解．【詳解】如圖，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)是的角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，且，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，所以．故答案為：2．1．已知方程表示雙曲線(xiàn)，求m的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)方程表示雙曲線(xiàn)即可得到，解得即可；【詳解】解：因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線(xiàn)，所以，解得或，即2．已知雙曲線(xiàn)滿(mǎn)足，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓與雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，列出方程，求得的值，即可求解.【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得，即，因?yàn)殡p曲線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，所以雙曲線(xiàn)中，半焦距，又因?yàn)殡p曲線(xiàn)滿(mǎn)足，即，又由，即，解得，可得，所以雙曲線(xiàn)的方程為.故選：A．3．已知雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，，是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，且，，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件設(shè)，，由條件求得，即可求得雙曲線(xiàn)方程.【詳解】設(shè)，則由已知得，，又，，又，，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D4．設(shè)，為雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，且滿(mǎn)足，則的面積為（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【解析】設(shè)，由雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可得的值，再由，根據(jù)勾股定理可得的值，進(jìn)而求得，即得.【詳解】設(shè)，，為雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，，，，，，的面積為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，難度不大.5．設(shè)P為雙曲線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)____________．【答案】【分析】設(shè)，，用的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)，再代入雙曲線(xiàn)方程即可得答案.【詳解】設(shè)，，則，即，又，則，整理得，即點(diǎn)M的軌跡方程為.故答案為：一、單選題1．（2023春·四川資陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)且與的右支相交于A，B兩點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義來(lái)解決即可.【詳解】雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)，由雙曲線(xiàn)的定義，可得所以，則三角形的周長(zhǎng)為.故選：B2．（2023春·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）已知A，B為平面內(nèi)兩定點(diǎn)，過(guò)該平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M作直線(xiàn)AB的垂線(xiàn)，垂足為N.若，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線(xiàn) D．雙曲線(xiàn)【答案】D【分析】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)A，B的坐標(biāo)，設(shè)M的坐標(biāo)，由題意可得N的坐標(biāo)，求出3個(gè)向量，由向量的關(guān)系求出M的軌跡方程.【詳解】解：建立以所在的直線(xiàn)為x軸，以線(xiàn)段的中垂線(xiàn)為y軸的直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，設(shè)M的坐標(biāo)為，由題意可得，則，，，所以，，由，可得，整理可得：，所以，，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線(xiàn).

故選：D.3．（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）與兩圓及都外切的圓的圓心的軌跡為（

）A．橢圓 B．雙曲線(xiàn)的一支 C．拋物線(xiàn) D．圓【答案】B【分析】設(shè)所求動(dòng)圓圓心為，圓的半徑為，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義可得出結(jié)論.【詳解】圓的圓心為，半徑為；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，設(shè)所求動(dòng)圓圓心為，圓的半徑為，

由于動(dòng)圓與圓、圓均外切，則，所以，，因此動(dòng)圓的圓心的軌跡為雙曲線(xiàn)的一支.故選：B.4．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知兩點(diǎn)及直線(xiàn)l：①；②；③；④，在直線(xiàn)l上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足的所有直線(xiàn)方程是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】C【分析】即，則將題意轉(zhuǎn)化為雙曲線(xiàn)右支與直線(xiàn)存在交點(diǎn)的問(wèn)題即可.【詳解】即，故點(diǎn)P滿(mǎn)足的方程為以為焦點(diǎn)，的雙曲線(xiàn)的右支，則，，即.其漸近線(xiàn)為，故①不滿(mǎn)足，③滿(mǎn)足；②過(guò)，在焦點(diǎn)右側(cè)，故滿(mǎn)足；④過(guò)，且斜率為，故不滿(mǎn)足.綜上有②③直線(xiàn)與相交，即直線(xiàn)上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足.故選：C5．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)是，則k的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將雙曲線(xiàn)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由焦點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算即可.【詳解】雙曲線(xiàn)，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，一個(gè)焦點(diǎn)是，所以焦點(diǎn)在軸上，.所以，，所以，所以，所以.故選：A.6．（2023春·湖南岳陽(yáng)·高三湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，則“”是“方程表示雙曲線(xiàn)”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)方程表示雙曲線(xiàn)求出的取值范圍，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若方程表示雙曲線(xiàn)，則，即，由能推出，必要性成立，由不能推出，充分性不成立，故“”是“方程表示雙曲線(xiàn)”的必要不充分條件.故選：B.7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，為的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)以及雙曲線(xiàn)的定義可得,進(jìn)而根據(jù)斜率關(guān)系以及二倍角公式可得，進(jìn)而得內(nèi)切圓的半徑的變化范圍，由數(shù)量積的幾何意義即可求解.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓與相切于,圓心為,由切線(xiàn)長(zhǎng)的性質(zhì)以及雙曲線(xiàn)定義可得，又，因此，所以,設(shè)角,且為銳角，由于，所以，為內(nèi)切圓的半徑，不妨設(shè)，故在中，，,當(dāng)共線(xiàn)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)方向相同時(shí)，，當(dāng)方向相反時(shí)，，因此,故選：C【點(diǎn)睛】解析幾何簡(jiǎn)化運(yùn)算的常見(jiàn)方法：（1）正確畫(huà)出圖形，利用平面幾何知識(shí)簡(jiǎn)化運(yùn)算；（2）坐標(biāo)化，把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算；（3）巧用定義，簡(jiǎn)化運(yùn)算.8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）2023年3月27日，貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽火爆開(kāi)賽，被網(wǎng)友稱(chēng)為“村BA”.從某個(gè)角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個(gè)對(duì)稱(chēng)的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線(xiàn)看成坐標(biāo)軸和雙曲線(xiàn)的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線(xiàn)與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長(zhǎng)八等分，，視AD所在直線(xiàn)為x軸，則雙曲線(xiàn)的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，由，可得，再代入點(diǎn)，求解即可.【詳解】解：依題意，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，因?yàn)?，則，顯然圓O的半徑為3，又因?yàn)樽鴺?biāo)軸和雙曲線(xiàn)與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長(zhǎng)八等分，雙曲線(xiàn)與圓O交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)為，于是，解得，所以雙曲線(xiàn)的方程為.故選：A二、多選題9．（2023春·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則方程所表示的曲線(xiàn)為，則以下命題中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓B．當(dāng)曲線(xiàn)表示雙曲線(xiàn)時(shí)，的取值范圍是C．當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)表示兩條直線(xiàn)D．存在，使得曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)【答案】AC【分析】根據(jù)二元二次方程表示橢圓、雙曲線(xiàn)的基本要求依次判斷ABD選項(xiàng)即可；由時(shí)，曲線(xiàn)的方程可知C正確.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，即曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，若曲線(xiàn)表示雙曲線(xiàn)，則，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)，即，即曲線(xiàn)表示兩條直線(xiàn)，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于，若曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，則，解集為，不存在，使得曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上.若是直角三角形，則的面積為（

）A． B． C．4 D．2【答案】AC【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)方程求出，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性只需考慮或.當(dāng)時(shí)，將代入雙曲線(xiàn)方程，求出，即可求出三角形面積，當(dāng)時(shí)，由雙曲線(xiàn)的定義可知，再由勾股定理求出，即可得解；【詳解】解：由雙曲線(xiàn)可得.根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性只需考慮或.當(dāng)時(shí)，將代入可得，所以的面積為.當(dāng)時(shí)，由雙曲線(xiàn)的定義可知，，由勾股定理可得.因?yàn)椋?，此時(shí)的面積為綜上所述，的面積為4或.故選：.11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別是，左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，是雙曲線(xiàn)上異于的任意一點(diǎn)，給出下列結(jié)論，其中正確的是（

）A．B．直線(xiàn)，的斜率之積等于定值C．使得為等腰三角形的點(diǎn)P有且僅有四個(gè)D．若，則【答案】BD【分析】由雙曲線(xiàn)的定義，可判定A錯(cuò)誤；由，結(jié)合雙曲線(xiàn)的方程，得到，所以B正確；結(jié)合雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，可判定C錯(cuò)誤；結(jié)合，得到，可判定D正確．【詳解】由題意，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)上異于的任意一點(diǎn)，設(shè)，對(duì)于A中，由雙曲線(xiàn)的定義知，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，，可得，又由，所以，可得，所以B正確；對(duì)于C中，若P在第一象限，則當(dāng)時(shí)，，為等腰三角形；當(dāng)時(shí)，，也為等腰三角形，故點(diǎn)P在第一象限且使得為等腰三角形的點(diǎn)P有兩個(gè)．同理可得，在第二、三、四象限且使得為等腰三角形的點(diǎn)P也各有兩個(gè)，因此使得為等腰三角形的點(diǎn)P共有八個(gè)，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D中，由，得，從而，所以D正確．故選：BD．三、填空題12．（2023春·河南·高二校聯(lián)考期末）已知，分別為雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)，.以線(xiàn)段為直徑的圓與雙曲線(xiàn)在第一象限交于點(diǎn)A，雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)的傾斜角為，則直線(xiàn)的斜率為_(kāi)_____.【答案】【分析】根據(jù)條件求出雙曲線(xiàn)方程再結(jié)合圓的方程，聯(lián)立可解出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步計(jì)算即可.【詳解】,,又一條漸近線(xiàn)的傾斜角為，所以，結(jié)合，可解的所以雙曲線(xiàn)的方程為①，又線(xiàn)段為直徑的圓的方程為②，聯(lián)立①②，結(jié)合點(diǎn)在第一象限，可得,又,則故答案為：.13．（2023春·上海嘉定·高二統(tǒng)考期末）已知圓錐曲線(xiàn)的方程：.當(dāng)為正整數(shù)，且時(shí)，存在兩條曲線(xiàn)、，其交點(diǎn)與點(diǎn)滿(mǎn)足，則滿(mǎn)足題意的有序?qū)崝?shù)對(duì)共有__________對(duì).【答案】3【分析】本題主要考查圓錐曲線(xiàn)的定義，易得到，，是橢圓，，，，是雙曲線(xiàn)，從而根據(jù)題意可得，.再結(jié)合橢圓與雙曲線(xiàn)的定義與即可得，從而得到答案.【詳解】由題意得，，是橢圓