Page2第19章檢測題(時間：100分鐘滿分：120分)一、選擇題(每小題3分，共30分)1．(濱州中考)下列命題，其中是真命題的是(D)A.對角線相互垂直的四邊形是平行四邊形B．有一個角是直角的四邊形是矩形C.對角線相互平分的四邊形是菱形D．對角線相互垂直的矩形是正方形2．如圖，矩形的兩條對角線的一個夾角為60°，兩條對角線的長度的和為20cm，則這個矩形的一條較短邊的長度為(D)A.10cmB．8cmC．6cmD．5cmeq\o(\s\up7(),\s\do5(第2題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5題圖))3．(河池中考)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，下列結(jié)論中錯誤的是(C)A.AB＝ADB．AC⊥BDC.AC＝BDD．∠DAC＝∠BAC4．如圖，四邊形ABCD是正方形，延長BC至點E，使CE＝CA，連結(jié)AE交CD于點F，則∠AFC的度數(shù)是(D)A.150°B．125°C．135°D．112.5°5．如圖所示，把一張矩形紙片沿MN折疊后，點D，C分別落在點D′，C′的位置．若∠AMD′＝36°，則∠NFD′等于(B)A.144°B．126°C．108°D．72°6．如圖，O是坐標(biāo)原點，菱形OABC的頂點A的坐標(biāo)為(－3，4)，頂點C在x軸的負(fù)半軸上，反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x<0)圖象經(jīng)過頂點B，則k的值為(C)A.－12B．－27C．－32D．－3eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第8題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第9題圖))7．在下列條件中，能夠判定?ABCD為矩形的是(D)A.AB＝ACB．AC⊥BDC．AB＝ADD．AC＝BD8．(2024·深圳)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝6，將線段AB水平向右平移a個單位長度得到線段EF，若四邊形ECDF為菱形時，則a的值為(B)A.1B．2C．3D．49．(2024·常德)如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別為AO，DO上的一點，且EF∥AD，連接AF，DE.若∠FAC＝15°，則∠AED的度數(shù)為(C)A.80°B．90°C．105°D．115°10．(恩施州中考)如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，點P從點D動身，以1cm/s的速度向點A運動，點M從點B同時動身，以相同的速度向點C運動，當(dāng)其中一個動點到達(dá)端點時，兩個動點同時停止運動．設(shè)點P的運動時間為t(單位：s)，下列結(jié)論正確的是(D)A.當(dāng)t＝4s時，四邊形ABMP為矩形B.當(dāng)t＝5s時，四邊形CDPM為平行四邊形C.當(dāng)CD＝PM時，t＝4sD.當(dāng)CD＝PM時，t＝4s或6s二、填空題(每小題3分，共15分)11．(2024·福建)如圖，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，則AC的長為__10__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第11題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第12題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第13題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第14題圖))12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的對角線AC，BD交于原點O，且點A，C都在x軸上，點D的坐標(biāo)為(4，3)，那么點C的坐標(biāo)為__(5，0)__．13．(2024·齊齊哈爾)如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于點O.請?zhí)砑右粋€條件：__AD∥BC(AB＝CD或OB＝OD或∠ADB＝∠CBD等)__，使四邊形ABCD成為菱形．14．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD.若AC＝10，則四邊形OCED的周長是__20__．15．我們把平面內(nèi)與四邊形各邊端點構(gòu)成的三角形都是等腰三角形的點叫做這個四邊形的腰點(如矩形的對角線交點是矩形的一個腰點)，則正方形的腰點共有__9__個．三、解答題(共75分)16．(8分)(2024·宿遷)如圖，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn).求證：AF＝CE.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.又BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.在△ABE與△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEB＝∠CFD，∠BAE＝∠DCF，AB＝CD，))∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE17．(9分)(2024·永州)如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，其對角線相交于點O，OA＝3，BD＝8，AB＝5.(1)△AOB是直角三角形嗎？請說明理由；(2)求證：四邊形ABCD是菱形．解：(1)△AOB是直角三角形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，BD＝8，∴OB＝OD＝eq\f(1,2)BD＝4，∵OA＝3，OB＝4，AB＝5，∴OA2＋OB2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°(2)由(1)可知，∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形18．(9分)如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為對角線BD上一點，點E為AB延長線上一點，DF＝BE，CE＝CF.求證：(1)△CFD≌△CEB；(2)∠CFE＝60°.證明：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝CB.在△CFD和△CEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝CB，CF＝CE，DF＝BE，))∴△CFD≌△CEB(SSS)(2)∵△CFD≌△CEB，∴∠CDB＝∠CBE，∠DCF＝∠BCE，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠CBD＝∠ABD，∵CD＝CB，∴∠CDB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠CBD＝∠CBE＝60°，∴∠DCB＝60°，∴∠FCE＝∠FCB＋∠BCE＝∠FCB＋∠DCF＝∠DCB＝60°，∵∠FCE＝60°，CF＝CE，∴∠CFE＝∠CEF＝60°19．(9分)如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\f(1,2)BC，點F在BC邊的延長線上，點P是線段BC上一點(與點B，C不重合)，連結(jié)AP并延長，過點C作CG⊥AP，垂足為E.(1)若CG為∠DCF的平分線．請推斷BP與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)若AB＝3，△ABP≌△CEP，求BP的長．解：(1)BP＝CP，證明：∵CG為∠DCF的平分線，∴∠DCG＝∠FCG＝45°，∴∠PCE＝45°，∵CG⊥AP，∴∠E＝∠B＝90°，∴∠CPE＝45°＝∠APB，∴∠BAP＝∠APB＝45°，∴AB＝BP，∵AB＝eq\f(1,2)BC，∴BP＝eq\f(1,2)BC，∴BP＝PC(2)∵△ABP≌△CEP，∴AP＝CP，∵AB＝3，AB＝eq\f(1,2)BC，∴BC＝6，在Rt△ABP中，AP2＝AB2＋BP2，∴(6－BP)2＝9＋BP2，∴BP＝eq\f(9,4)20．(9分)如圖，已知正方形CEFG的邊GC在正方形ABCD的邊CD上，延長CD到點H，使DH＝CE，K在BC邊上，且BK＝CE，求證：四邊形AKFH為正方形．證明：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠B＝90°，CE＝EF＝FG＝CG，∠GCE＝∠E＝∠GFE＝∠CGF＝90°，∴∠ADH＝∠HGF＝∠E＝∠B＝90°，∵DH＝CE，BK＝CE，∴BK＝GF＝DH＝EF，KE＝GH＝AB＝AD，∴△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH，∴AK＝KF＝HF＝AH，∠BAK＝∠HAD，∵∠BAD＝90°，∴∠HAK＝∠HAD＋∠DAK＝∠BAK＋∠DAK＝∠BAD＝90°，∴四邊形AKFH為正方形21．(10分)(2024·紹興)如圖，在正方形ABCD中，G是對角線BD上的一點(與點B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F(xiàn)分別為垂足．連接EF，AG，并延長AG交EF于點H.(1)求證：∠DAG＝∠EGH；(2)推斷AH與EF是否垂直，并說明理由．解：(1)在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD，∴∠ADE＝∠GEC＝90°，∴AD∥GE，∴∠DAG＝∠EGH(2)AH⊥EF，理由如下．連結(jié)GC交EF于點O，∵BD為正方形ABCD的對角線，∴∠ADG＝∠CDG＝45°，又∵DG＝DG，AD＝CD，∴△ADG≌△CDG(SAS)，∴∠DAG＝∠DCG.在正方形ABCD中，∠ECF＝90°，又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴四邊形FCEG為矩形，∴OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∴∠DAG＝∠OEC，由(1)得∠DAG＝∠EGH，∴∠EGH＝∠OEC，∴∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°，∴∠GHE＝90°，∴AH⊥EF22．(10分)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中點，DF⊥BC，垂足為F，AD＝5，BC＝12，DF＝4，∠C＝45°，點P是BC邊上一動點，設(shè)PB的長為x.(1)當(dāng)x的值為________或________時，以點P，A，D，E為頂點的四邊形為平行四邊形；(2)點P在BC邊上運動的過程中，以P，A，D，E為頂點的四邊形能否構(gòu)成菱形？試說明理由．解：(1)111(2)能．由(1)知：x＝11時，四邊形AEPD是平行四邊形，此時P在E的右邊．在Rt△CFD中，∵∠C＝45°，∴CF＝DF＝4.又∵CP＝BC－BP＝12－11＝1，PF＝CF－CP＝4－1＝3..在Rt△PFD中，PD＝eq\r(32＋42)＝5，∴PD＝AD＝5，∴平行四邊形AEPD是菱形23．(11分)【問題情境】如圖①，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點，E是CD邊的中點，AE平分∠DAM.【探究展示】(1)證明：AM＝AD＋MC；(2)AM＝DE＋BM是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；【拓展延長】(3)若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖②，探究展示(1)，(2)中的結(jié)論是否成立？請分別作出推斷，不須要證明．解：(1)延長AE，BC交于點N，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠N，在△ADE和△NCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAE＝∠N，∠AED＝∠NEC，DE＝CE，))∴△ADE≌△NCE(AAS)，∴AD＝NC，∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠MAE，∴∠N＝MAE，∴MA＝MN，∵M(jìn)N＝NC＋MC＝AD＋MC，∴AM＝AD＋MC(2)AM＝DE＋BM成立．證明：過點A作AF⊥AE，交CB的延長線于點F，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，AB∥DC，∵AF⊥AE，∴∠FAE＝90°，∴∠FAB＝90