§5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算考試要求1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．知識梳理1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有________的量叫做向量，向量的大小稱為向量的________．(2)零向量：長度為________的向量，記作________．(3)單位向量：長度等于____________的向量．(4)平行向量：方向相同或________的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量________．(5)相等向量：長度相等且方向______的向量．(6)相反向量：長度相等且方向______的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法交換律：a＋b＝______；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝_____減法a－b＝a＋(－b)數(shù)乘|λa|＝________，當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向________；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向________；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝________λ(μa)＝________；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝________3.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使________________．常用結(jié)論1．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．2．若F為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3．若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．4．對于任意兩個(gè)向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)|a|與|b|是否相等，與a，b的方向無關(guān)．()(2)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b.()(3)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．()(4)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．()教材改編題1．下列命題不正確的是()A．零向量的長度等于0B．若a＝b，b＝c，則a＝cC．零向量是唯一沒有方向的向量D．若a，b都為非零向量，則使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的條件是a與b反向共線2．下列各式化簡結(jié)果正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))3．已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________.題型一平面向量的基本概念例1(1)下列說法中正確的是()①單位向量都相等；②任一向量與它的相反向量不相等；③若|a|＝|b|，則a與b的長度相等，與方向無關(guān)；④若a與b是相反向量，則|a|＝|b|.A．①③④ B．②③④C．②④ D．③④聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·福州模擬)如圖，在正△ABC中，D，E，F(xiàn)均為所在邊的中點(diǎn)，則以下向量和eq\o(FC,\s\up6(→))相等的是()A.eq\o(EF,\s\up6(→))B.eq\o(FB,\s\up6(→))C.eq\o(DF,\s\up6(→))D.eq\o(ED,\s\up6(→))聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)非零向量的平行具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．(4)eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量．跟蹤訓(xùn)練1(1)下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()①向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度與向量eq\o(BA,\s\up6(→))的長度相等；②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；③兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；④兩個(gè)終點(diǎn)相同的向量，一定是共線向量．A．1B．2C．3D．4(2)如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，則與eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量為()A.eq\o(BA,\s\up6(→)) B.eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(OD,\s\up6(→))題型二平面向量的線性運(yùn)算命題點(diǎn)1向量加、減法的幾何意義例2(2022·濟(jì)南模擬)已知單位向量e1，e2，…，e2023，則|e1＋e2＋…＋e2023|的最大值是________，最小值是________．聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算例3(2022·新高考全國Ⅰ)在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.記eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，則eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)例4(2022·大連模擬)在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，P為線段DE上的動點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，則λ＋μ等于()A．1B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2)D．2聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華平面向量線性運(yùn)算的常見類型及解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義．(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值．跟蹤訓(xùn)練2(1)五角星是指有五只尖角、并以五條直線畫成的星星圖形，有許多國家的國旗設(shè)計(jì)都包含五角星，如中華人民共和國國旗．如圖，在正五角星中，每個(gè)角的角尖為36°，則下列說法正確的是()A.eq\o(CH,\s\up6(→))＋eq\o(ID,\s\up6(→))＝0 B.eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(FE,\s\up6(→))C.eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＝2eq\o(HG,\s\up6(→)) D.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AJ,\s\up6(→))(2)P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，△ABC的面積是S1，△PAB的面積是S2，則()A．S1＝4S2 B．S1＝3S2C．S1＝2S2 D．S1＝S2(3)在△ABC中，P是BC上一點(diǎn)，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則2λ＋μ＝________.題型三共線定理及其應(yīng)用例5已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù)．(2)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(3)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.跟蹤訓(xùn)練3(1)若a，b是兩個(gè)不共線的向量，已知eq\o(MN,\s\up6(→))＝a－2b，eq\o(PN,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝3a－b，若M，N，Q三點(diǎn)共線，則k等于()A．－1B．1C.eq\f(3,2)D．2(2)如圖，△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，AM與CN交于點(diǎn)D，eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))，則λ等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)§5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算考試要求1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．知識梳理1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小稱為向量的長度(或模)．(2)零向量：長度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法a－b＝a＋(－b)數(shù)乘|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.常用結(jié)論1．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．2．若F為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3．若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．4．對于任意兩個(gè)向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)|a|與|b|是否相等，與a，b的方向無關(guān)．(√)(2)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b.(×)(3)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．(×)(4)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(√)教材改編題1．下列命題不正確的是()A．零向量的長度等于0B．若a＝b，b＝c，則a＝cC．零向量是唯一沒有方向的向量D．若a，b都為非零向量，則使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的條件是a與b反向共線答案C解析A項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長度為0，故A正確；B項(xiàng)，由向量相等的定義知B正確；C項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故C不正確；D項(xiàng)，因?yàn)閑q\f(a,|a|)與eq\f(b,|b|)都是單位向量，所以只有當(dāng)eq\f(a,|a|)與eq\f(b,|b|)是相反向量，即a與b是反向共線時(shí)才成立，故D正確．2．下列各式化簡結(jié)果正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))答案B3．已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________.答案－eq\f(1,3)解析由題意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,1＝3k，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))題型一平面向量的基本概念例1(1)下列說法中正確的是()①單位向量都相等；②任一向量與它的相反向量不相等；③若|a|＝|b|，則a與b的長度相等，與方向無關(guān)；④若a與b是相反向量，則|a|＝|b|.A．①③④ B．②③④C．②④ D．③④答案D解析對于①，單位向量方向不同時(shí)并不相等，①錯(cuò)誤；對于②，0的相反向量為0，②錯(cuò)誤；對于③，|a|＝|b|，則a與b的長度相等，與方向無關(guān)，③正確；對于④，相反向量是長度相等，方向相反的向量，④正確．(2)(2023·福州模擬)如圖，在正△ABC中，D，E，F(xiàn)均為所在邊的中點(diǎn)，則以下向量和eq\o(FC,\s\up6(→))相等的是()A.eq\o(EF,\s\up6(→))B.eq\o(FB,\s\up6(→))C.eq\o(DF,\s\up6(→))D.eq\o(ED,\s\up6(→))答案D解析∵eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))與eq\o(FC,\s\up6(→))方向不同，∴eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))與eq\o(FC,\s\up6(→))均不相等；∵eq\o(ED,\s\up6(→))與eq\o(FC,\s\up6(→))方向相同，長度相等，∴eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→)).思維升華平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)非零向量的平行具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．(4)eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量．跟蹤訓(xùn)練1(1)下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()①向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度與向量eq\o(BA,\s\up6(→))的長度相等；②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；③兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；④兩個(gè)終點(diǎn)相同的向量，一定是共線向量．A．1B．2C．3D．4答案B解析對于①，向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(BA,\s\up6(→))的長度相等，方向相反，故①正確；對于②，向量a與b平行，且a或b為零向量時(shí)，不滿足條件，故②錯(cuò)誤；對于③，兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)也相同，故③正確；對于④，兩個(gè)終點(diǎn)相同的向量，不一定是共線向量，故④錯(cuò)誤．(2)如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，則與eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量為()A.eq\o(BA,\s\up6(→))B.eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\o(OD,\s\up6(→))答案D解析A，B選項(xiàng)均與eq\o(BC,\s\up6(→))方向不同，C選項(xiàng)與eq\o(BC,\s\up6(→))長度不相等，D選項(xiàng)與eq\o(BC,\s\up6(→))方向相同，長度相等．題型二平面向量的線性運(yùn)算命題點(diǎn)1向量加、減法的幾何意義例2(2022·濟(jì)南模擬)已知單位向量e1，e2，…，e2023，則|e1＋e2＋…＋e2023|的最大值是________，最小值是________．答案20230解析當(dāng)單位向量e1，e2，…，e2023方向相同時(shí)，|e1＋e2＋…＋e2023|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2023|＝2023；當(dāng)單位向量e1，e2，…，e2023首尾相連時(shí)，e1＋e2＋…＋e2023＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2023|的最小值為0.命題點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算例3(2022·新高考全國Ⅰ)在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.記eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，則eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n答案B解析因?yàn)锽D＝2DA，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋3eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋3(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝－2eq\o(CA,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2m＋3n.故選B.命題點(diǎn)3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)例4(2022·大連模擬)在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，P為線段DE上的動點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，則λ＋μ等于()A．1B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2)D．2答案B解析如圖所示，由題意知，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(DP,\s\up6(→))＝xeq\o(DE,\s\up6(→))，x∈[0,1]，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋xeq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋x(eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)xeq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(1－x)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以μ＝eq\f(2,3)x，λ＝eq\f(2,3)(1－x)，所以λ＋μ＝eq\f(2,3)x＋eq\f(2,3)(1－x)＝eq\f(2,3).思維升華平面向量線性運(yùn)算的常見類型及解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義．(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值．跟蹤訓(xùn)練2(1)五角星是指有五只尖角、并以五條直線畫成的星星圖形，有許多國家的國旗設(shè)計(jì)都包含五角星，如中華人民共和國國旗．如圖，在正五角星中，每個(gè)角的角尖為36°，則下列說法正確的是()A.eq\o(CH,\s\up6(→))＋eq\o(ID,\s\up6(→))＝0 B.eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(FE,\s\up6(→))C.eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＝2eq\o(HG,\s\up6(→)) D.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AJ,\s\up6(→))答案D解析A項(xiàng)，由圖可知CH與ID相交，所以eq\o(CH,\s\up6(→))與eq\o(ID,\s\up6(→))不是相反向量，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(DE,\s\up6(→))共線，eq\o(DE,\s\up6(→))與eq\o(FE,\s\up6(→))不共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(FE,\s\up6(→))不共線，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))≠2eq\o(HG,\s\up6(→))，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，連接BF，JF，由五角星的性質(zhì)可得四邊形ABFJ為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形法則可得eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AJ,\s\up6(→))，故D正確．(2)P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，△ABC的面積是S1，△PAB的面積是S2，則()A．S1＝4S2 B．S1＝3S2C．S1＝2S2 D．S1＝S2答案B解析∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＝2(eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))，∴3eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))并且方向一樣，設(shè)AP與BC的距離為h，∵S△PAB＝eq\f(1,2)|eq\o(AP,\s\up6(→))|·h，S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|·h，又∵|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝3|eq\o(AP,\s\up6(→))|，∴S△PAB＝eq\f(1,3)S△ABC，S1＝3S2.(3)在△ABC中，P是BC上一點(diǎn)，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則2λ＋μ＝________.答案eq\f(4,3)解析在△ABC中，eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共線，則λ＝eq\f(1,3)，μ＝eq\f(2,3)，所以2λ＋μ＝eq\f(4,3).題型三共線定理及其應(yīng)用例5已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1.證明(1)若m＋n＝1，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝[m＋(1－m)]eq\o(OP,\s\up6(→))，故meq\o(OP,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))，即m(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝(1－m)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，meq\o(AP,\s\up6(→))＝(1－m)eq\o(PB,\s\up6(→))，即eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))共線，又eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))有公共點(diǎn)P，則A，P，B三點(diǎn)共線．(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))，變形得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，即(1＋λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(λ\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OA,\s\up6(→)),1＋λ)＝eq\f(λ\o(OB,\s\up6(→)),1＋λ)＋eq\f(\o(OA,\s\up6(→)),1＋λ)，又eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，eq\f(λ,1＋λ)＋eq\f(1,1＋λ)＝1，故m＋n＝1.思維升華利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù)．(2)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(3)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.跟蹤訓(xùn)練3(1)若a，b是兩個(gè)不共線的向量，已知eq\o(MN,\s\up6(→))＝a－2b，eq\o(PN,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝3a－b，若M，N，Q三點(diǎn)共線，則k等于()A．－1B．1C.eq\f(3,2)D．2答案B解析由題意知，eq\o(NQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＝a－(k＋1)b，因?yàn)镸，N，Q三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(MN,\s\up6(→))＝λeq\o(NQ,\s\up6(→))，即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，整理得(1－λ)a＝[2－λ(k＋1)]b，因?yàn)橄蛄縜，b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λ＝0，,2－λk＋1＝0，))解得λ＝1，k＝1.(2)如圖，△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，AM與CN交于點(diǎn)D，eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))，則λ等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)答案C解析在△ABC中，因?yàn)辄c(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，于是得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3λ,4)eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，因?yàn)辄c(diǎn)C，D，N共線，則有eq\f(3λ,4)＋eq\f(λ,2)＝1，解得λ＝eq\f(4,5).課時(shí)精練1．化簡2(a－3b)－3(a＋b)的結(jié)果為()A．a(chǎn)＋4b B．－a－9bC．2a＋b D．a(chǎn)－3b答案B解析2(a－3b)－3(a＋b)＝2a－6b－3a－3b＝－a－9b.2．下列命題中，正確的是()A．若a∥b，b∥c，則a∥cB．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C．若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等或相反D．如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向與a，b之一的方向一定相同答案C解析對于A選項(xiàng)，0平行于任意向量，若b＝0，滿足a∥b，b∥c，但不一定滿足a∥c，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0而不是數(shù)0，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，兩個(gè)單位向量互相平行，這兩個(gè)單位向量相等或相反(大小相等，方向相反)，故C正確；對于D選項(xiàng)，當(dāng)a＋b＝0時(shí)，零向量的方向是任意的，故D錯(cuò)誤．3．設(shè)a，b是平面內(nèi)兩個(gè)向量，“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案B解析當(dāng)a＝－eq\f(1,2)b時(shí)，|a＋b|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)b＋b))＝eq\f(1,2)|b|＝|a|，推不出|b|＝0；當(dāng)|b|＝0時(shí)，b＝0，則|a＋b|＝|a＋0|＝|a|，故“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的必要不充分條件．4．已知向量a和b不共線，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋mb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則m等于()A．3B．2C．1D．－2答案A解析因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋6b，所以2a＋6b＝λa＋mλb，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,6＝mλ，))解得m＝3.5．在邊長為1的正方形ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則|a－b＋c|等于()A．1B．2C．3D．4答案B解析因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長為1的正方形，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，所以a－b＋c＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，所以|a－b＋c|＝|2eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2.6．如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，且eq\o(FC,\s\up6(→))＝λeq\o(FD,\s\up6(→))＋μeq\o(FE,\s\up6(→))，則λ＋μ等于()A．1 B．2C．3 D．4答案D解析∵eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝4eq\o(FO,\s\up6(→))＝4×eq\f(1,2)(eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→)))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))＋2eq\o(FE,\s\up6(→))，∴λ＝μ＝2，∴λ＋μ＝4.7．已知向量e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，a＝2e1－e2與b＝e1＋λe2共線，則λ等于()A．2B．－2C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)答案C解析因?yàn)閍＝2e1－e2與b＝e1＋λe2共線，所以ka＝b，k≠0，所以k(2e1－e2)＝e1＋λe2.因?yàn)橄蛄縠1，e2是兩個(gè)不共線的向量，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k＝1，,－k＝λ，))解得λ＝－eq\f(1,2).8．已知△ABO中，OA＝OB＝1，∠AOB＝eq\f(π,3)，若OC與線段AB交于點(diǎn)P，且滿足eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，則λ＋μ的最大值為()A.eq\f(2,3)B．1C.eq\r(3)D．2答案D解析∵線段OC與線段AB交于點(diǎn)P，設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OP,\s\up6(→))(x≥1)，則xeq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(λ,x)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(μ,x)eq\o(OB,\s\up6(→))，又∵P，A，B三點(diǎn)共線，則eq\f(λ,x)＋eq\f(μ,x)＝1，即λ＋μ＝x，∵OA＝OB＝1，∴當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)|eq\o(OP,\s\up6(→))|最小，此時(shí)x最大，又∠AOB＝eq\f(π,3)，故此時(shí)|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，又因?yàn)閨eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OP,\s\up6(→))，即x＝2，即λ＋μ的最大值為2.9．設(shè)向量a，b不平行，向量ta＋b與a＋3b平行，則實(shí)數(shù)t的值為________．答案eq\f(1,3)解析∵向量ta＋b與a＋3b平行，∴存在實(shí)數(shù)k使得ta＋b＝k(a＋3b)，化為(t－k)a＋(1－3k)b＝0，∵向量a，b不平行，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t－k＝0，,1－3k＝0，))解得t＝k＝eq\f(1,3).10．已知△ABC的重心為G，經(jīng)過點(diǎn)G的直線交AB于D，交AC于E，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝________.答案3解析如圖，設(shè)F為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,λ)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,μ)eq\o(AE,\s\up6(→))，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3λ)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3μ)eq\o(AE,\s\up6(→))，又G，D，E三點(diǎn)共線，∴eq\f(1,3λ)＋eq\f(1,3μ)＝1，即eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝3.11．已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C，若eq\o(OA,\s\up6(→))－4eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(CA,\s\up6(→))|)等于()A.eq\f(1,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(4,3)答案B解析由eq\o(OA,\s\up6(→))－4eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝3(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝3eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(CA,\s\up6(→))|，即eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(CA,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,4).12．已知M為△ABC的重心，D為BC的中點(diǎn)，則下列等式成立的是()A．|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝|eq\o(MC,\s\up6(→))|B.eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0C.eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))D．S△MBC＝eq\f(1,3)S△ABC答案D解析如圖，M為△ABC的重心，則eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→))，C錯(cuò)誤；由DM＝eq\f(1,3)AD得S△MBC＝eq\f(1,3)S△ABC，D正確．13．設(shè)P，Q為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為()A.eq\f(4,5)B.eq\f(8,5)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,10)答案D解析如圖，設(shè)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))，由平行四邊形法則知NP∥AB，∴△ABP的面積與△ABC的面積之比為eq\f(1,5)，同理，由eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，可得△ABQ的面積與△ABC的面積之比為eq\f(2,3)，∴△ABP的面積與△ABQ的面積之比為eq\f(1,5)∶eq\f(2,3)＝eq\f(3,10).14．(2023·麗江模擬)在△ABC中，點(diǎn)D在線段AC上，且滿足|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(AC,\s\up6(→))|，點(diǎn)Q為線段BD上任意一點(diǎn)，若實(shí)數(shù)x，y滿足eq\o(AQ,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值為________．答案4＋2eq\r(3)解析由題意知點(diǎn)D滿足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故eq\o(AQ,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋3yeq\o(AD,\s\up6(→))，由點(diǎn)Q，B，D三點(diǎn)共線可得x＋3y＝1，x>0，y>0，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))·(x＋3y)＝4＋eq\f(3