第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題（52）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，共50.（）分）

1.在△ABC中，/-ACD；,AB=2BC,將△4BC繞8c所在直線旋轉(zhuǎn)到△P8C,設(shè)二面角

P-BC-4的大小為火0＜。＜兀），PB與平面A8C所成角為a,則a的最大值為（）

2.長(zhǎng)方體4BC。一4/1。1/中，AB=V2,BC=BB1=1,E為線段8道的中

點(diǎn)，/是棱GDi上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P為線段BDi上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最

小值為（）

A.V2

3.如圖，已知平行六面體力BCD-&8傳1￡）1中，底面4BCD是邊長(zhǎng)為1的正

方形，44=2,乙1/B=乙4〃。=120°,則線段4G的長(zhǎng)為（）

A.V2

B.1

C.2

D.V3

4.如圖所示，PA垂直于圓。所在的平面，AB是圓。的直徑，p

PA=AB=2,C是圓。上的一點(diǎn)，E、F分別是點(diǎn)A在刊％PC

上的投影，當(dāng)三棱錐P-AEF的體積最大時(shí)，PC與底面ABC所成A-VE

角的余弦值是（）IX.--

B.至

C.史

3

已知三棱錐A-BCD的頂點(diǎn)均在球0的球面上，且AB=AC=AD=yf3,4BCD=p若H是點(diǎn)

A在平面BCD內(nèi)的正投影，且C，=O,則球。的表面積為

A.4A/3TTB.2V37TC.97rD.4兀

如圖，已知三棱錐。一ABC,記二面角C-48-D的平面角是仇直線QA與平面ABC所成的角

是4,直線ZM與8c所成的角是。2，則其中正確的是（）

D

如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某幾何體的三視

圖，則該幾何體的體積是（）

正視用

:2"...u

在矩形A8C￡>中，AD=a,AB=b,b>a.將團(tuán)ACD沿著AC翻折，使。點(diǎn)在平面ABC上的投

影E恰好在直線AB上，則此時(shí)二面角B-AC-D的余弦值為（）

9.如圖，正方體ABCD—Z/iGDi的棱長(zhǎng)為“,E,尸分別是棱44rCCi的

中點(diǎn)，過點(diǎn)E,F的平面分別與棱DDi交于點(diǎn)G,H,設(shè)BG=X,

xe[0,可.給出以下四個(gè)命題：①平面EGF”與平面A8CZ）所成角的

最大值為45。；②四邊形EGFH的面積的最小值為a?；③四棱錐

G-EGFH的體積為貯；④點(diǎn)當(dāng)?shù)狡矫鍱GFH的距離的最大值為叵.

63

其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

10.如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，現(xiàn)有下列結(jié)論:

②AC〃截面PQMN③AC=BD

④異面直線2例與8。所成的角為45。.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）

A.①③B.①②④C.③④D.②③④

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，共12.0分）

11.如圖，在直三棱柱ZBC—4B1C1中，AC=BC=AAt=2,々1CB=90°,

。、E、尸分別為AC、A4i、AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AC】與所相交

B.BiG〃平面。Ef

C.EF14cl

D.Bi到平面。EF的距離為斗

12.如圖，點(diǎn)M是正方體4BC0-4公加%中的側(cè)面AODMi上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

A.點(diǎn)M存在無數(shù)個(gè)位置滿足CM1AL?i，

B.若正方體的棱長(zhǎng)為1,三棱錐8-GMD的體積最大值為

C.在線段/d上存在點(diǎn)M,使異面直線與C￡>所成的角是30。,

D.滿足到直線AD和直線GJ的距離相等的點(diǎn)M的軌跡是拋物線.

13.如圖，正三棱柱48。-4道傳1中，點(diǎn)。為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E為

四邊形BCCiBi內(nèi)（包含邊界）的動(dòng)點(diǎn)則以下結(jié)論正確的是（）

>1---->---->>

A.DA=-（A1A-B^A+BQ

B.若。E〃平面則動(dòng)點(diǎn)E的軌跡的長(zhǎng)度等于乎/lC

C.異面直線AD與BQ,所成角的余弦值為9

D.若點(diǎn)E到平面ACG4的距離等于號(hào)EB，則動(dòng)點(diǎn)E的軌跡為拋物線的

一部分

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

14.已知菱形A8CQ邊長(zhǎng)為3,/.BAD=605,E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，力C=64E.將△力BD沿8。翻

折到AdB。的位置，E記為E'且二面角4'一8。-。的大小為120。，則三棱錐A-BCD的外接球

的半徑為;過E'作平面a與該外接球相交，所得截面面積的最小值為.

4

15.如圖，在△ABC中，/-BAC",AB=3,4C=2,點(diǎn)。為邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△4BD沿

?/

AD翻折，使得點(diǎn)B到達(dá)夕的位置，且平面4夕。_L平面ACD.當(dāng)CD=時(shí)，B'C的長(zhǎng)度取

到最小值.

16.在梯形ABCZ）中，ADHBC,AB1BC,AD=2AB=2BC=2,將△4BC沿對(duì)角線AC翻折到

△4MC,連結(jié)MD當(dāng)三棱錐M—ACD的體積最大時(shí)，該三棱錐的外接球的表面積為.

17.如下圖①，在直角梯形ABCO中，4ABC=LCDB=LDAB=90°,/.BCD=30°,BC=4,點(diǎn)

E在線段CO上運(yùn)動(dòng).如下圖②，沿BE將^BEC折至ABEC',使得平面BEC'1平面ABED,則

4C'的最小值為.

四、解答題（本大題共12小題，共144.0分）

18.如圖，在四棱錐S-4BCO中，底面ABC。是正方形，SAIjgqffiABCD,S4=4B,點(diǎn)/是S￡>

的中點(diǎn)，AN1SC,且交SC于點(diǎn)N.

(1)求證：SC1平面力MN;

(2)求平面D4C與平面ACM的余弦

19.如圖，四棱柱中，底面ABCQ和側(cè)面BCC$i都是矩形，E是CQ的中點(diǎn),

DrE1CD,AB=2BC=2.

(1)求證：平面CCi。1。_L底面4BCC；

(2)若平面BCCiBi，與平面BED1所成的銳二面角的大小為會(huì)求直線C&和平面BCC/1所成角的

正弦值.

20.如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。沿對(duì)角線8。折疊，使得平面ABCJ?平面CB。，且4E，平面

ABD.

B

(1)若4E=&，求直線DE與直線8c所成角的大??；

(2)若二面角4-BE-D的大小為以求AE的長(zhǎng)度.

21.已知梯形ABCD中，Z.ABC=^BAD=pAB=BC=2AD=4,E,F分別是A8,

C￡＞上的點(diǎn)，EF//I3C,AE=x,沿EF將梯形ABCD翻折,使平面4EF01平面EBCF（如圖）.

ADAD

BNCBC

(1)當(dāng)x=2時(shí)，①證明：EF1平面ABE；②求二面角D_BF-E的余弦值;

(2)三棱錐D-FBC的體積是否可能等于幾何體ABEFDC體積的［?并說明理由.

22.如圖，長(zhǎng)方體4BCD中，AB=AD=2,A&=4,E為棱CG的中點(diǎn).

(I)求證：BD1.A\E\

(II)求直線BE與平面A&E所成角的大??；

(HI)求平面B&E和平面44E所成銳二面角的大小?

23.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABC。是正方形，四邊形AOPQ是梯形，PD//QA,zPDA=p

平面ADPQJ"平面ABCD,且AD=PD=2QA=2.

(I)求證：QB〃平面PDC；(^)求二面角C-PB-Q的大?。?/p>

(DI)在棱PC上是否存在一點(diǎn)H,使得異面直線AH與PB所成角的余弦值為華，求?！钡拈L(zhǎng).

24.在梯形ABCD中，AB//CD,^BAD=1,AB=2AD=2CD=4,P為A8的中點(diǎn)，線段4C與OP

交于。點(diǎn)(如圖1).將2L4CD沿AC折起到ZL4CD'的位置，使得二面角AB-AC-D'為直二面角(如

圖2).

(I)求證：BC〃平面P。。'；

(n)線段PD'上是否存在點(diǎn)Q,使得CQ與平面BC。'所成角的正弦值為《？若存在，求出券的值;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

25.如圖，三棱柱4BC-&B1G的側(cè)面4&C1C是矩形，側(cè)面441GC_L側(cè)面力必當(dāng)口，且A8=444=

4,ABAAT=60°,。是A8的中點(diǎn).

(1)求證：HQ〃平面COB1；

(2)求證：DA11平面441GC.

26.如圖，在多面體A8CDEF中，梯形AOEF與平行四邊形A8CZ)所在平面互相垂直，AF//DE,

1

DE1AD,AD1BE,AF=AD=-DE=1,AB=V2.

(1)求二面角B-EF-。的余弦值；

(2)判斷線段BE上是否存在點(diǎn)Q,使得平面CDQ工平面B￡F?若存在，求出黑的值，若不存在,

說明理由.

27.如圖，在四棱錐S—4BCZ)中，底面ABC。是直角梯形，AD//BC,AB1BC,△SAB是等邊三角

形，側(cè)面S4B底面ABC。，AB=273-BC=3,40=1,點(diǎn)M是棱SB上靠近點(diǎn)S的一個(gè)三

等分點(diǎn).

(1)求證：4M〃平面sen；

(2)求平面SCQ與底面A8CQ所成的二面角的大小.

28.如圖，在多面體A8CDP中，回ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，PA=AC,BD=CD=2幾

PC=PB=4&，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，平面BDC_L平面ABC.

(1)求證：0E〃平面PAC

(2)線段BC上是否存在一點(diǎn)T,使得二面角r-ZM-B為直二面角？若存在，試指出點(diǎn)T的位

置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

29.如圖，在三棱錐S-4BC中，SA=SB=SC=m.^BSC=9,乙CSA=B，Z.ASB=y,且

sin2￡+sin2￡=sin2r.

(1)證明：平面S4B1平面ABC；

(2)若。=全口=看了=拳試問在線段SC上是否存在點(diǎn)。，使直線80與平面SAB所成的角

為60。.若存在，請(qǐng)求出。點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案與解析】

1.答案：。

解析：

本題考查二面角的定義，考查直線與平面所成的角，考查三棱錐的體積公式，屬于較難題.

可設(shè)8C=a,可得48=PB=2a,AC=CP=V3a.由二面角的定義，可得乙4cp即為二面角

的平面角，設(shè)尸到平面A8C的距離為d,根據(jù)等積法和正弦函數(shù)的定義和性質(zhì)，即可得

到尸8與平面ABC所成角a的最大值.

解：在AABC中，/-ACB:;,AB=2BC,

可設(shè)8C=a,可得4B=PB=2a,AC=CP=yj3a>

由AAC'D:,則BC1AC,BC1CP,

可得〃CP即為二面角P-BC-A的平面角，

貝ij乙4cp=e,

設(shè)尸到平面42c的距離為d,

vBC1AC,BC1CP,ACnCP=C,AC,CPu平面PAC,

則BC1平面PAC,

^B-ACP=^P-ABC<

叫8。0心=/應(yīng)神，

即:a2V3a?V3a-sin0=|d?1?V3a?a,

解得d=V3asin0,

Ulil.dy/3asiivffv/3

火IIsine=——=------W-，

PB2a2

即有cW；,即a的最大值為;.

故選D

2.答案：A

解析:

本題考查了空間兒何體中距離和的計(jì)算問題，解題的關(guān)鍵是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解答，是難

題.

連接8Q,得出點(diǎn)尸、E、尸在平面中，問題轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)直線BD］上取一點(diǎn)尸，求點(diǎn)P到定

點(diǎn)E的距離與到定直線的距離的和的最小值問題，利用平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)E關(guān)于直線BL*］對(duì)

稱的點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

解：連接BQ,則BGnBiC=E,點(diǎn)P、E、F在平面BG5中，

且BGJ.QD1，6。1=近，BCr=V2>

在中，以GDi為x軸，GB為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

如圖2所示;

則0式或,0),B(0,V2),E(0,y):

設(shè)點(diǎn)E關(guān)于直線BO】的對(duì)稱點(diǎn)為E',過點(diǎn)E'作E'Flx軸，垂足為凡交BO】于點(diǎn)尸,

???的方程為x+y=VI①，

^EE'=1，

???直線EE'的方程為y=%+4②，

(x=-V2

由①②組成方程組，解得，3"

y=—

V4

直線EE，與BDi的交點(diǎn)M哼,乎);

所以對(duì)稱點(diǎn)E，(冬&)，

???PE+PF=PE'+PF>E'F=V2.

故選A.

3.答案：A

解析：

本題考查利用空間向量求解空間距離，用空間向量解答即可.

利用空間向量求出兩點(diǎn)間的距離即可.

解：???ACr=AB+AD+AA^

->2—>—>—>—>—>—>2—>—>—>—>—>—>

???4C1=(48+40+441)2=482+402+441+248?AD+2AB-4力1+24。?

=1+1+224-2X1X2Xcos12()0+2x1x2xco?120o

=6-2-2

=2,

:.AC1=V2.

故選A.

4.答案：D

解析：

本題考查求三棱錐的體積，考查求線面角，考查線面垂直的判定，考查利用基本不等式求最值，考

查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，是較難題.

由題意可證出P81平面AEF,可得出VPTEF=|XS—EFxPE=；x4FxEFxPE,求出當(dāng)三棱錐

36

P-力EF體積最大時(shí)A尸的值，即可.

解：連接AC,設(shè)ZB4C=O,由題意可知，設(shè)PC與底面A8C所成的角為夕，則cos"夢(mèng)

由圓的性質(zhì)可知：AC1BC,

由PA垂直于圓。所在的平面，BCu平面A8C,故P4J.BC,

又P4C4C=4PA,4Cu平面ACP,

故BC1平面ACP,又AFu平面ACP,則BC1AF,

結(jié)合4F1PC同理可證4F1平面PBC,EFu平面PBC,

據(jù)此有AF1EF,則SDAEF=^xAFxEF,

由4F1平面PBC,PBu平面PBC,

可知4F1PB,結(jié)合4E1PB同理可得PB1平面AEF,

則Vp_4EF=_XSAAEFXPE

=-xAFxEFxPE.

6

在Rt^BAC中，AC=ABxcos。,

利用面積相等可得：

4/_PAxAC_2x2cos0_2cos0

-PC~j22+(2cos赤-Vl+cos20,

在RtZiP/1打中，AE=PE=則EF=W1E2--F2,

1

Vp-AEF=TxAFxEFxPE

6

=yXy/2-AF2xV2=AF2(2-AF2)<爭(zhēng)

結(jié)合均值不等式的結(jié)論可知，當(dāng)4片=Q_AF2},

即4F=1時(shí)三棱錐的體積最大，

此時(shí)006°=cosZ.PAF=—.

故選D.

5.答案：C

解析：

本題主要考查了三棱錐外接球的表面積計(jì)算、簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

由48=4。=40=遮，乙BCD嗎若”是點(diǎn)A在平面8CQ內(nèi)的正投影,

可得H為底面直角三角形的外心，球心在AH上，由求出A”，設(shè)外接球的半徑為R

由直角三角形可求出R進(jìn)而求出外接球的表面積.

解：因?yàn)榱=AC=AD=V5，

所以由三角形全等可得HB=HC=HD,

即H是△BCD的外心，

即，是斜邊8。的中點(diǎn)，

則球心。在A”上，

由勾股定理可得AB?-B"2=a"2,得AH=1,

設(shè)球。的半徑為R,則R2=(R-1)2+2,

所以R=|.

所以球。的表面積為4?rR—ITTX0f)7T,

故選：C.

6.答案：A

解析：

本題考查二面角、線面角、異面直線所成角的大小的判斷，是較難題.

設(shè)三棱錐D-4BC是棱長(zhǎng)為2的正四面體，取AB中點(diǎn)E,OC中點(diǎn)M,4c中點(diǎn)N,連接￡>E、CE、

MN、EN,過。作D01CE,交CE于0,連結(jié)A。，則/DEC=9,乙DAO=%,￡.MNE=62,由

此能求出結(jié)果.

解：設(shè)三棱錐ABC是棱長(zhǎng)為2的正四面體，

取AB中點(diǎn)E,0c中點(diǎn)例，4c中點(diǎn)N,連接。E、CE、MN、EN,

D

過。作DOICE,交CE于O,連接AO,

貝比DEC=0,ADAO=elt乙MNE="，

DE=CE=V4^I=V3.DC=2,

八3+3-41

???COSd=F~F=一

2XV3XV33

40=C0=|CE=|g=^

2V3_

AOy/3

???C0Sn&=—=-^―=——9，

1AD23

取BC中點(diǎn)F,連接。尸、AF,貝ijDFIBC,AF1BC,

乂DFCAF=F,

BC_L平面AFD,ADu平面AFD,

BCLAD,：.d2=90°,

d2>9>01.

故選：A.

7.答案：A

解析：

本題主要考查幾何體的三視圖和幾何體的體積。依題意，把該兒何體嵌入棱長(zhǎng)為2的正方體中，畫

出圖形，即可得到該幾何體的體積.

解：如圖所示，把該幾何體嵌入棱長(zhǎng)為2的正方體中，求得力MBC=5x2x等=|,

故選A.

D

B

8.答案：A

解析：

【試題解析】

本題考查利用向量法求二面角的大小，是中檔題.

先作出二面角B-AC-D的平面角4EGD,然后可把4EGD看作兩向量而、"的夾角，利用而與麗

的數(shù)量積可求夾角得答案.

解：作EGJ.4C于點(diǎn)G,BH14C于點(diǎn)”，連接。G,

由于。點(diǎn)在平面ABC上的投影E恰好在直線A3上，所以0E，平面ABC,

而ACu平面ABC,所以DE14C,因?yàn)镋G1AC,DE,EGu平面。EG,DEnEG=E,

所以力Cl平面DEG,因?yàn)镈Gu平面力EG,

所以4c1DG,

得NEG。即為二面角B-AC-。的平面角.

又BH//EG,NEG。即為向量而、麗的夾角的大小.

令NDAC=4ACB=a,則cosa=7^=,HB=GD=-^=,AG=HC=-7^=.

Vaz+dzy/a2+b2>la2+b2

TIB-GD=(WC+CF)-(GX+AD)

=-|77C||M|+|7/C||AD|cosa+\CB\\GA\cosa+CB-(AE+ED')

一嚴(yán)4a?aJ?.產(chǎn)a卜0—a4,

\/a2+b2Va2+b2Va2+d2Va2+d2Va2+b2Va2+d2a2+b2

從而msNEG。

而百而j一京

故選A.

D

折疊前折疊后

9.答案：C

解析：

本題考查空間立體幾何中的面面垂直關(guān)系以及空間幾何體的體積公式，本題巧妙的把立體幾何問題

和函數(shù)進(jìn)行的有機(jī)的結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，設(shè)計(jì)巧妙，對(duì)學(xué)生的解題能力要求較高.

①當(dāng)點(diǎn)G為SB1中點(diǎn)時(shí)，平面EGFH〃平面A8CZ),平面EGFH與平面ABC。所成的角為0。.當(dāng)點(diǎn)G

與點(diǎn)8重合時(shí)，平面EaFG與平面A8C。所成的角最大，這時(shí)點(diǎn)”與點(diǎn)5重合，平面￡”FG與平面

ABCQ所成的角為=45°,即平面EGFH與平面ABCQ所成角的最大值為45。成立，故①正確.

②因?yàn)镋FLG“，所以四邊形EGF”是菱形.所以，四邊形EGFH的面積為S=》EF-GH,關(guān)鍵是

求出GHG[V2a,V3a],從而得到S四邊彬EGFH=-EFGHe|a2,絡(luò)i2)，即當(dāng)平面EGFH〃平面

ABC。時(shí)，四邊形EGF”的面積的最小值為a，所以②正確.

③連結(jié)GE,C、G,CH,則四棱錐則分割為兩個(gè)小三棱錐，它們以GEF為底，以G,〃分別為頂點(diǎn)

的兩個(gè)小棱錐,因?yàn)槿切蜧EF的面積是個(gè)常數(shù)，G,”到平面GEF的距離是個(gè)常數(shù)，所以四棱錐

G-EGFH的體積V=/i(x)為常函數(shù)，所以③正確.

④取EF的中點(diǎn)Q,連接BiQ,當(dāng)當(dāng)Q1平面GEF”時(shí)，點(diǎn)當(dāng)?shù)狡矫鍱GF”的距離的取最大值BiQ.注

意到點(diǎn)。是正方體的中心，即⑶過二^人當(dāng)二日0故點(diǎn)名到平面日方舊的距離的最大值為苧心故④錯(cuò)

誤，故答案為C

【題答】

解：①當(dāng)點(diǎn)G為BBi中點(diǎn)時(shí)，平面EGFH〃平面ABCQ,平面E4FG與平面ABCD所成的角為0。.

當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)8重合時(shí)，平面EGFH與平面ABCQ所成的角最大，這時(shí)點(diǎn)“與點(diǎn)。1重合，

平面EGFH與平面A8CD所成的角為2劣8。=45°.

即平面EGFH與平面ABCD所成角的最大值為45。成立，

故①正確.

②因?yàn)镋F，G〃，所以四邊形EGF”是菱形.

所以，四邊形EGFH的面積為S=?EF-GH,

因?yàn)檎襟w中，BD=伍，BD、=痘a,EF=&a，所以，GHe[V2a,V3a].

所以，$四必+ECFH[EF-GH6[rJ,乎。',

即當(dāng)平面EGFH〃平面ABCD時(shí)，四邊形EGFH的面積的最小值為

所以②正確.

③連結(jié)GE,QG,C.H,則四棱錐則分割為兩個(gè)小三棱錐，它們以GEF為底，以G,H分別為頂點(diǎn)

的兩個(gè)小棱錐.

因?yàn)槿切蜧EF的面積是個(gè)常數(shù)，G,H到平面GEF的距離是個(gè)常數(shù)，

所以四棱錐G-EGFH的體積U=無。）為常函數(shù)，

所以③正確.

④取EF的中點(diǎn)Q,連接BiQ,當(dāng)BiQ,平面EGFH時(shí)，點(diǎn)當(dāng)?shù)狡矫鍱GFH的距離的取最大值BiQ.

注意到點(diǎn)。是正方體的中心,即&Q=豹a=苧a,

故點(diǎn)當(dāng)?shù)狡矫鍱GFH的距離的最大值為當(dāng)a.

故④錯(cuò)誤.

綜上所述，真命題為3個(gè)，

故答案為C.

10.答案：B

解析：

本題主要考查空間中的線與線、線與面的位置關(guān)系，異面直線的夾角，屬于中檔題.

根據(jù)相關(guān)定理和性質(zhì)逐個(gè)分析即可.

解：因?yàn)镻QMN是正方形，

所以PQ//MN,MNu平面ACD,PQ，平面ACD,

所以PQ〃平面ACZ),

又平面4C0n平面ABC=AC,PQu平面ABC,

所以PQ//AC,

又PQu截面PQMN,AC仁截面PQMN,

所以AC〃截面PQMN,

故②正確；

同理可得MQ//BD,

又MN1MQ,

所以4C1BD,即①正確；

又MQ〃BD,乙PMQ=45°,

所以異面直線PM與8。所成的角為45。，

故④正確；

由以上條件可知：

PN_ANMN_DN

BD~ADfAC~ADf

將以上兩式相除再結(jié)合PN=MN,

可得器=警，因?yàn)镺N與AN不一定相等，

所以4c與不一定相等，故③錯(cuò).

故答案為①②④.

故選注

11.答案：BCD

解析：

本題主要考查異面直線的位置關(guān)系，線面平行的判定，異面直線所成角以及點(diǎn)到面的距離，利用空

間直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的思維能力及綜合分析能力，屬難題.

利用異面直線的位置關(guān)系，線面平行的判定方法，利用空間直角坐標(biāo)系異面直線所成角和點(diǎn)到面的

距離，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一判斷.

解：對(duì)選項(xiàng)A,由圖知AC】u平面4CCia,EFC平面4CG1Al=E,且EC4G.

由異面直線的定義可知AG與EF異面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,在直三棱柱ABC-AiBiCi中，B、C\〃BC.

vD,F分別是AC,AB的中點(diǎn)，

:?FD//BC,???BjCi//FD.

又；BQ,平面DEF,DFu平面DEF,

???81的〃平面DEF,故5正確；

則C(0,0,0),4(2,0,0),B(0,2,0),4式2,0,2),8式0,2,2),30,0,2),0(1,0,0),E(2,0,1),F(1,1,0).

?1.EF=(-1,1)—1)，4G=(—2,0，2).

vEF-AC1=2+0—2=0，EF±4C1，

vEF與aq所成的角為90。.故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)。，設(shè)向量元=(x,y,z)是平面OEF的一個(gè)法向量.

"'DE=(1,0,1),DF=(0,1，0),

..?由匹，即E?晝=。，得里/仇

場(chǎng)10F,(n-DF=0,(y-0?

取％=1,則z=-1,?,?記=(1,0,—1),

設(shè)點(diǎn)Bi到平面DE尸的距離為d.

又?.?西=（一1,2,2）,

,_|而7?殖_|-1+0-2|_3^2

???d=-~7?~~=~9

.?.點(diǎn)/到平面DEF的距離為平，故。正確.

故選BCD.

12.答案：ABD

解析：

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，空間想象能力，計(jì)算能力，分析轉(zhuǎn)化能力，要求綜合能力較高.

逐個(gè)分析每個(gè)選項(xiàng)，對(duì)A，證明M滿足ZD11DM即可，對(duì)B,當(dāng)M到平面BGD內(nèi)距離最大時(shí)，三

棱錐B-GMD的體積最大，對(duì)C,求出B］M的長(zhǎng)度范圍，即可求得異面直線所成角的范圍，對(duì)

把問題轉(zhuǎn)化為拋物線的定義即可.

解：若CMlADi，因?yàn)镃D1AC1，所以ASI平面COM,DMu平面COM,所以力DilDM,又由

正方體的性質(zhì)易得：?平面C&D,所以只要M在乙。上即可，A正確；

Sgo=fx（應(yīng)>=當(dāng)，所以當(dāng)M到平面C/D的距離最大時(shí)，三棱錐B—GMD的體積最大，此

時(shí)M在為處，最大距離為|xg=等，

所以三棱錐B-GMD的體積最大值卜=工x式x2=工，B正確；

3233

若正方體的棱長(zhǎng)為1,當(dāng)M在線段2D1上時(shí)，在△BMD1中，可求得［乎,企］,假設(shè)"在平面

BCGBi上的射影為N,則MN〃CD,

NBIMN為兩異面直線所成的角，cos乙BiMN=器,

又如=工6代耳

81MBiML23J

即cos/BiMNe償，孚,又cos30。=與〉日

^BrMN>30°,C錯(cuò)誤；

M到直線65的距離就是MD】，在平面442。內(nèi)，由拋物線的定義滿足到直線A。和點(diǎn)5的距離相

等的點(diǎn)M的軌跡是拋物線，。正確.

故選ABD.

13.答案：BCD

解析：

本題考查了空間向量的加減運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算、利用空間向量求線線的夾角，利用空間向量求點(diǎn)、面

之間的距離，屬于較難題.

由空間向量的加減運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算，建系，根據(jù)空間向量平行，異面直線夾角公式，點(diǎn)到平面的距

離，逐一進(jìn)行判斷即可

解：對(duì)于選項(xiàng)A,而=^（〒一瓦/+就），選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,過點(diǎn)。作4公的平行線交41cl于點(diǎn)

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，~DA，麗，西分別為x,），，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。xyz.

設(shè)棱柱底面邊長(zhǎng)為。，側(cè)棱長(zhǎng)為6,則岐,0,0）,8（0,^a,0），G（一2b）,所以

BQ=（一］,-］a,b）,4G=（一］，,a，b）?

???8G1ABlt跖?福=0.

即（—/2—ga）2+b2=0,解得b=^a.

因?yàn)镺E〃平面ABB14,則動(dòng)點(diǎn)E的軌跡的長(zhǎng)度等于|BBi|=乎|44選項(xiàng)B正確.

對(duì)于選項(xiàng)C,在選項(xiàng)A的基礎(chǔ)上，嗎0,0）,F（0,ya,0）,0（0,0，0）,6（-|,0,當(dāng)a）,

所以=（*0,0）,BCi=a,——a）＞

/222

因?yàn)閏os＜鬲，用＞=篇繇=篇=當(dāng)選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)。，設(shè)點(diǎn)E在底面A8C的射影為品,作E/14C,垂足為凡

則E/為點(diǎn)E到平面4CC1%的距離，

故E/=

12

在直角三角形CFEi中，sin6（T="

E^C2

故E/=^EiC

即EiC=E]B

且曷C為點(diǎn)E到直線CG的距離，

故點(diǎn)E滿足拋物線的定義，且點(diǎn)E為四邊形BCGBi內(nèi)（包含邊界）的動(dòng)點(diǎn),

故動(dòng)點(diǎn)E的軌跡為拋物線的一部分，故。正確；

故選BCD.

14.答案：叵，變.

2‘4

解析：

本題考查了棱錐與球的位置關(guān)系，屬于中檔題.

根據(jù)三角形形狀確定球心位置，根據(jù)三角形知識(shí)和勾股定理計(jì)算球的半徑，進(jìn)而可求出球的表面積.

B

取B3的中點(diǎn)H,連接AH,CH,

則BO1,BD1CH,,

NA'HC為二面角A-BD-4HC的平面角，

故乙A'HC=120°,

由題意可知△48。和^BCD都是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，

設(shè)M,N分別是和△BC。的中心，過M,N分別作兩平面的垂線,

則垂線的交點(diǎn)就是三棱錐外接球的球心，

vA'H=CH=卜一(I?=當(dāng),

MH=NH=―,CN=V3，

2

由^OMH*ONH可得上OHM=Z.OHN=60°,

3

??.ON=

2

OC=VON^+NC^=J(|)2+(V3)2=即外接球的半徑為亨;

由條件可知過E'且與OE'垂直的截面圓面積最小,

又4c=6AE=3百,

所以4E號(hào)，即E為AC的三等分點(diǎn)，靠近A端,

所以E'M號(hào)

由圖可知0E'=VOAf2+E'M2=冉,

則。E'與。E'垂直的截面圓半徑和圓的半徑構(gòu)成直角三角形,

所以半徑等于

S截而2)n=4n

故答案為亨丹

15.答案：弋

解析：

本題考查空間中的線段長(zhǎng)度的計(jì)算與解三角形的綜合應(yīng)用，屬于較難題.

設(shè)4B4C=a,aG(0,1),作BE_LAD交AQ或A。的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，作CF14。交AD或A。的延長(zhǎng)

線于F點(diǎn)，由條件可得EF=\AF-AE\=|V5sina-2cosa|,即可得B'C?=BE2+CF2+EF2=10-

6sin(2a+"結(jié)合三角函數(shù)性及余弦定理可解得黑=|,從而可得結(jié)果.

oCD2

解：設(shè)NB40=a,a6(0(),作BE_L40交AO或AD的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，作CF_L4D交AO或AD的

延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，

vBE=3sina>AE=3cosa,CF=2cos(a+-)=V3cosa-sina,

6

AF=2sin(a+￡)=V3sina+cosa,

???EF=\AF—AE\=|V3sina—2cosa|,

???B'C2=BE2+CF2+EF2

=(3sina)24-(v3cosa-sina)2+(V3sina-2cosa)2

=7+6sin2a—6V3sinacosa

=10—6sin(2a+》

???當(dāng)sin(2a+?)=l,即Q=￡時(shí)，夕C的長(zhǎng)度取得最小值，此時(shí)AD平分乙

oo

在△ABC中，BC2=32+22-2X3X2XCOS^=7,BC=四,

由角平分線定理得*=黑，即黑=|，

AC0UOU乙

:.CD=-BC

55

16.答案:47r

解析：

本題考查空間幾何體的體積、球的表面積問題，可利用題設(shè)條件分析，三角形棱長(zhǎng)關(guān)系，得知三角

形AC。、三角形4MC均為等腰直角三角形，然后利用該三棱錐的外接球定義進(jìn)行解答.

解：因?yàn)槿忮FM-ACD底面ACQ固定，因此其體積最大時(shí)，

即點(diǎn)M到底面ACD距離最長(zhǎng)，此時(shí)必有平面4cM垂直于平面ACZ),

由題設(shè)知三角形AMC為等腰直角三角形，三棱錐M-4CZ),

根據(jù)題意和勾股定理，有AC=y/AB2+BC2=&，

設(shè)中點(diǎn)為E,于是4E=DE=1,

因此四邊形A8CE為正方形，CD=y/DE2+CE2=V2,

三角形AC。為等腰直角三角形，

因此三棱錐M-ACD外接球的球心必在底面ACD邊AO過E的法線上，

又設(shè)AC中點(diǎn)為F,因?yàn)槠矫鍹4C_L平面AC。，EFLAC,MF1AC,

于是三角形MFE為直角三角形，其中E尸=一C0=立，MF=-AC=^,

2222

于是三角形MFE為等腰直角三角且ME=/xMF=1,

于是點(diǎn)E到三棱錐M-ACC的四個(gè)頂點(diǎn)距離相等，均為1,

顯然E為三棱錐M-4CD的外接球球心，

即該外接球的半徑為1,于是其表面積為4小

故答案為47T.

17.答案：V19-4V3

解析：

本題考查面面垂直的性質(zhì)，立體幾何中翻折問題，屬于較難題.

延長(zhǎng)BE至H,使得OH1BH,連接A”，過A作AFIBE于F點(diǎn)，通過面面垂直的性質(zhì)以及勾股定

理，得出MC'|2=+田42+（|B*-|FB|）2,再引入三角函數(shù)求解最值即可.

解：由題意，延長(zhǎng)2E至H,使得C'HIBH,連接AH,過A作AF_LBE于F點(diǎn)，如圖所示：

又因?yàn)槠矫鍮EC'J■平面ABE。，C'Hu平面BEC',且平面BEC'n平面ABED=BH,

所以C'H!_平面ABED,又AHu平面ABED,

所以C'HJ.4”,

故14cl2=|C'H|2+\HA\2=\C'H\2+\FH\2+\FA\2=\C'H\2+\FA\2+(\BH\-\FB\)2,

在直角梯形ABC。中，AABC=A.CDB=ADAB=90°,NBC。=30。，BC=4,

所以B。=2,AB=電

設(shè)NC'BE=0,易知()<&<；,貝IJ/B凡4=0,

?)

所以|C'H|=4sina|B〃|=4cos仇|尸川=V3cos0,\FB\=V3sin0,

所以|AC'|2=(4sin0)2+(V3cos0)2+(4cos0—V3sin0)2=19—8>/3sin0cos0=19—4V3sin20，

因?yàn)樗援?dāng)20:,即。:時(shí)，14cl2取得最小值19_4g，

所以MC'lmin=119一4百.

故答案為J19-46.

18.答案：證明：(1)???在四棱錐S-4BCD中，底面ABCD是正方形,S41底面ABCO

???以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AO為x軸，A8為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

由S4=ABf設(shè)48=AD=4S=1,

則4(0,0,0),B(0,l,0),C(l,l,0),0(1,0,0),S(0,0,1),M(|,0,|),

AM=G，0}CS=(-1,-1,1).

AM-CS=—^+^=0,'AM1CS>

ASC11AM,

又SCJLAN,且ANCiAM=A,

SC1平面AMN.

解：(2)「S41底面A8CD,.?.荏是平面ABC。的一個(gè)法向量，且而=(0,0,1),

設(shè)平面ACM的法向量為元=(x,y,z),

AC=(1,1，0),初=G，0,},

(AC-n=x+y=0,

則E-i,ic，取x=-1,得元=(-1,1,1),

AM-n=-x+-z=0

22

tASn1V3

cos<AS'n>^-^wr^=-'

由圖形知二面角。-ac-M為銳二面角，

???二面角0-AC-M的余弦值為史.

3

解析：本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注

意向量法的合理運(yùn)用.

(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AO為x軸，A3為)，軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明

SC1平面AMN.

（2）求出平面ABCD的一個(gè)法向量和平面ACM的法向量，利用向量法能求出二面角。-AC-M的余

弦值.

19.答案：（1）證明：???底面ABCD和側(cè)面BCQBi都是矩形，??.BC1CD,BC1CQ,

CDneg=C,CD,CGu平面DCGDi，BC1平面DCGD1，

■:DXEu平面OCCi。］,BC1D1E,

DXE1CD,BCCCD=C,BC,CDu底面ABCD,：.DXE1底面ABCD,

vDrEu平面。。也。，

平面CGDiD1底面ABCD.

（2）解：取A8的中點(diǎn)F,

???E是C￡＞的中點(diǎn)，底面ABCD是矩形,

???EF1CD,

以E為原點(diǎn)，以EF、EC、ED1所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz如圖所示.

設(shè)EDi=a(a>0),則E(0,0,0),0),。式0,0,a),C(0,l,0),G(0,2,a),

設(shè)平面BED1的法向量溫=Qi，%,Zi),EB=(1,1,0)，西=(0,0,a).

五.麗=0加1+月=0

由可得:

拓?.西=0azi=0

令=1可得y1=—1,zx-0.n7=(1,—1,0),

設(shè)平面BCC$i的法向量荻=(x2,y2,z2),CB=(1,0,0).CC;=(0,1,a).

n^-CB=0田徨(x=

石?鬲=0尋'iy22+az2=

令Z2=l可得丫2=-。，二底=（。，-a，l），

由于平面BCG位與平面BE%所成的銳二面角的平面角為g,

ayr

所以|cos（席的I=I=廣——=COS二

同時(shí)V2xVa2+i3

解得a=l.

???平面BCGBi的法向量元(0,-1.1),

由于4(1,-1,0),C(0,l,0),￡)(0,-1,0),Di(0,0,1),

所以西=~CA+TA［=~CA+~DO1=(1,-2,0)+(0,1,1)=(1,

設(shè)直線C4和平面BCG當(dāng)所成的角為。，則

〈inF)-ICi'71??_1+1_口

s"1…兩司一兩一三.

解析：本題考查線面垂直的判定，考查面面垂直的判定，考查利用空間向量求二面角及線面角，難

度較大.

(1)先證明8C1平面DCCWi得BCLDiE,又以E1CD,可證得QE，底面4BCD,再根據(jù)面面垂直

的判定定理即可得證.

(2)取AB的中點(diǎn)F,則EF1CD,所以以E為原點(diǎn)，以EF、EC、ED1所在直線分別為x,y,z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,設(shè)EDi=a(a>0),寫出點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面BE%和平面BCCiB］的法

向量，根據(jù)平面BCC1B］與平面BE以所成的銳二面角的大小為會(huì)求出a即可求解.

20.答案：解：因?yàn)檎叫蜛BC。的邊長(zhǎng)為2,

所以AB1AD,CB1CD,AB=AD=CD=BC=2.

又4EJ■平面ABO,AB,ADc^F?ABD,所以4E14B,AE1AD,

以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB,AD,AE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

作CFJ.BD,垂足為F.

因?yàn)槠矫媪D1平面CBD,CFc5F?CBD,平面ABDn平面CBD=BD,

所以CF_L平面ABD

因?yàn)镃B=CO=2,所以點(diǎn)尸為8。的中點(diǎn)，CF=V2.

(1)因?yàn)?所以E(0,0,夜)，8(2,0,0),0(0,2,0),((1,1,0),

所以屁=(0,—2,混)，BC=(-1,1,72).所以屁?元=0，

所以屁1就，所以直線OE與直線BC所成角為宏

(2)設(shè)AE的長(zhǎng)度為a(a>0),則E(0,0,a).

由ADJ.4E,ADLAB,AE,ABu平面ABE,且4EcAB=4,

得4D工平面ABE,所以平面4BE的一個(gè)法向量為心=(0,1,0).

設(shè)平面BOE的法向量為五2=(Xi，yi，zj,又麗=(-2,0,a)，防=(-2,2,0)，所以％S-BE,n21BD，

云？?BE=-2%+az1=0,(Xi=7zi>^?

「一1