專題15分類討論思想在五種題型中的應(yīng)用通用的解題思路：題型一、等腰三角形的存在問題分類討論1.假設(shè)結(jié)論成立；2.找點：當(dāng)所給定長未說明是等腰三角形的底還是腰時，需分情況討論，具體方法如下：①當(dāng)定長為腰時，找已知條件上滿足直線的點時，以定長的某一端點為圓心，以定長為半徑畫弧，若所畫弧與坐標(biāo)軸或拋物有交點且交點不是定長的另一端點時，交點即為所求的點；若所畫弧與坐標(biāo)軸或拋物線無交點或交點是定長的另一端點時，滿足條件的點不存在；②當(dāng)定長為底邊時，根據(jù)尺規(guī)作圖作出定長的垂直平分線，若作出的垂直平分線與坐標(biāo)軸或拋物線有交點時，那交點即為所求的點，若作出的垂直平分線與坐標(biāo)軸或拋物線無交點時，滿足條件的點不存在；以上方法即可找出所有符合條件的點.3.計算：在求點坐標(biāo)時，大多時候利用相似三角形求解，如果圖形中沒有相似三角形，可以通過添加輔線構(gòu)造相似三角形，有時也可利用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解題型二、直角三角形的存在問題分類討論1.設(shè)出所求點的坐標(biāo)，用變量表示出所求三角形三邊的長的平方的代數(shù)式，如本題，設(shè)點F（1，f），△BCF三邊長為：BF2＝4＋f2，CF2=f2+6f+10，BC=18；2.找點：根據(jù)直角頂點的不確定性，分情況討論：①當(dāng)定長（已知的兩個點連線所成的線段）為直角三角形的直邊時（如本題（4）中的邊BC），分別過定長的某一端點（B和C）做其垂線，與所求點滿足的直線或拋物線（本題是拋物線對稱軸）有交點時，此交點即為符合條件的點；②當(dāng)定長為直角角形的斜邊時，以此定長為直徑作圓，圓弧與所有點滿足條件的直線或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點.3.計算：把圖形中的點的坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出來，從而表示出三角形各邊（表示線段時，注意代數(shù)式的符號），再利用相似三角形得比例線段關(guān)系或利用勾股定理進(jìn)行計算.題型三、不等式（組）中的分類討論思想分類討論思想在不等式（組）中主要體現(xiàn)在含有字母系數(shù)的一元一次不等式（組）的解法問題，在求其解集時要對字母進(jìn)行分類討論。對含字母系數(shù)的不等式或不等式組，在求解時一定要注意字母系數(shù)的取值范圍，要進(jìn)行分類討論。題型四、方程（組）和函數(shù)中的分類討論思想在函數(shù)問題中，分類有兩種情況：一種是對概念進(jìn)行分類，一種是分情況討論問題，對概念進(jìn)行分類，是明確概念的一種邏輯方法，有助于對概念的理解與掌握；分情況討論問題，可以幫助我們?nèi)婵疾煲粋€對象，得出可能的結(jié)論，也可以使問題更容易人手，分類思想方法對于中學(xué)生來是比較難掌握的一種數(shù)學(xué)思想方法，在對概念進(jìn)行分類時，往往把握不住標(biāo)準(zhǔn)，不能堅持用同一個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，出現(xiàn)“重"或“漏"的現(xiàn)象，從而容易導(dǎo)致錯誤的發(fā)生題型五、圓中的分類討論思想由于圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，并且具有旋轉(zhuǎn)不變性，因此有不少題目會出現(xiàn)多解問題。這類題目重在考查同學(xué)們對基礎(chǔ)知識的掌握與運用情況，它有利于培養(yǎng)同學(xué)們嚴(yán)謹(jǐn)周密的邏輯思維能力。如果解題時考慮不嚴(yán)密，理解不透切，形成思維定勢，就會漏解，從而造成錯誤。在圓中解這類問題時，需要利用分類討論思想，在解題時可以多考慮將圓進(jìn)行折疊或旋轉(zhuǎn)。題型一、等腰三角形的存在問題分類討論1．（2023?廣安）如圖，一次函數(shù)為常數(shù)，的圖象與反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象在第一象限交于點，與軸交于點．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．（2）點在軸上，是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點的坐標(biāo)．2．（2023?澄城縣一模）如圖，拋物線與軸交于點、，與軸交于點，直線是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）在對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．（2023?婺城區(qū)模擬）在矩形中，，，是上的一點，且，是直線上一點，射線交直線于點，交直線于點，連結(jié)、，直線交直線于點．（1）①當(dāng)點為中點時，求與的長；②求的值．（2）若為等腰三角形時，求滿足條件的的長．4．（2023?濮陽縣模擬）在等腰直角三角形中，，，點為直線上一個動點，繞點將射線逆時針旋轉(zhuǎn)，交直線于點．在圖1中，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，，又，，．請閱讀上述過程，并完成以下問題：（1）得出的依據(jù)是（填序號）．①②③④（2）在以上條件下，如圖2，當(dāng)點在線段的延長線上時，求證：．（3）在等邊三角形中，，點為射線上一個動點，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)交直線于點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)為直角三角形時，請直接寫出的長．5．（2023?武侯區(qū)校級模擬）如圖，在矩形中，，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)度得到線段，過點作的垂線交射線于點，交射線于點．嘗試初探（1）當(dāng)點在延長線上運動時，與始終相等，且與始終相似，請說明理由；深入探究（2）若，隨著線段的旋轉(zhuǎn)，點的位置也隨之發(fā)生變化，當(dāng)時，求的值；拓展延伸（3）連接，當(dāng)為等腰三角形時，求的值（用含的代數(shù)式表示）．6．（2023?虹口區(qū)一模）如圖，在中，，，點、分別在邊、上，滿足．點是延長線上一點，且．（1）當(dāng)點是的中點時，求的值；（2）如果，求的值；（3）如果是等腰三角形，求的長．7．（2023?文成縣一模）如圖，點，分別為矩形邊，上的點，以為直徑作交于點，且與相切，連結(jié)．（1）若，求證：．（2）若，．①求的長．②連結(jié)，若是以為腰的等腰三角形，求所有滿足條件的的長．（3）連結(jié)，若的延長線經(jīng)過點，且，求的值．8．（2023?涪城區(qū)模擬）如圖，已知：在中，，點是邊上的動點，交于，以為直徑的分別交，于點，．（1）求證：．（2）若，．①當(dāng)，求的長．②當(dāng)為等腰三角形時，請求出所有滿足條件的的腰長．（3）若，且，，在一條直線上，則與的比值為．9．（2023?河南模擬）如圖所示，在中，，點為射線上一動點，作，過點作，交于點，連接．（點、在的兩側(cè)）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1所示，若時，、的數(shù)量關(guān)系為，直線、的夾角為；【類比探究】（2）如圖2所示，若時，（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理由；【拓展延伸】（3）若，，且是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出線段的長．

題型二、直角三角形的存在問題分類討論1．（2022?大連模擬）如圖，中，，，，點在邊上，過點作的垂線與邊或相交于點，將點繞點順時針旋轉(zhuǎn)得點，過點作的垂線與邊或相交于點．設(shè)的長為，四邊形的面積為．（1）求的長；（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量的取值范圍．2．（2022?蓮池區(qū)校級二模）如圖，中，，，．動點從點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿方向繞行一周，與垂直的動直線從開始．以每秒1個單位長度的速度向右平移，分別交，于，兩點．當(dāng)點運動到點時，直線也停止運動，設(shè)點的運動時間為秒．（1）當(dāng)點在上運動時，過點作于，①當(dāng)時，求證：；②設(shè)的面積為，用含的代數(shù)式表示，并求當(dāng)為何值時，有最大值；（2）當(dāng)直線等分的面積時求的值，并判斷此時點落在的哪條邊上；（3）直接寫出時的值．3．（2022?濟南二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，點坐標(biāo)為，四邊形為平行四邊形，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與邊交于點，若，．（1）求反比例函數(shù)解析式；（2）點是軸上一動點，求最大時的值；（3）連接，在反比例函數(shù)圖象上是否存在點，平面內(nèi)是否存在點，使得四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．（2022??？谀M）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，與軸交于、兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點從點出發(fā)，在線段上以每秒3個單位長度的速度向點運動，同時點從點出發(fā)，在線段上以每秒2個單位長度的速度向點運動，其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也停止運動，設(shè)的面積為，點運動時間為秒，試求與的函數(shù)關(guān)系，并求的最大值；（3）在點運動過程中，是否存在某一時刻，使為直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．5．（2023?乳山市二模）過四邊形的頂點作射線，為射線上一點，連接．將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角，連接．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，數(shù)學(xué)興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形是正方形，且．無論點在何處，總有，請證明這個結(jié)論．（2）【類比遷移】如圖2，如果四邊形是菱形，，，連接．當(dāng)，時，求的長；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，如果四邊形是矩形，，，平分，．在射線上截取，使得．當(dāng)是直角三角形時，請直接寫出的長．

題型三、不等式（組）中的分類討論思想1．（2023?淄博）某古鎮(zhèn)為發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，吸引更多的游客前往游覽，助力鄉(xiāng)村振興，決定在“五一”期間對團隊旅游實行門票特價優(yōu)惠活動，價格如下表：購票人數(shù)（人每人門票價（元605040題中的團隊人數(shù)均不少于10人．現(xiàn)有甲、乙兩個團隊共102人，計劃利用“五一”假期到該古鎮(zhèn)旅游，其中甲團隊不足50人，乙團隊多于50人．（1）如果兩個團隊分別購票，一共應(yīng)付5580元，問甲、乙團隊各有多少人？（2）如果兩個團隊聯(lián)合起來作為一個“大團隊”購票，比兩個團隊各自購票節(jié)省的費用不少于1200元，問甲團隊最少多少人？2．（2021?商河縣校級模擬）閱讀下面材料，根據(jù)要求解答問題：求不等式的解集．解：根據(jù)“同號兩數(shù)相乘，積為正”可得：①或②解不等式組①得：．解不等式組②得．不等式的解集為或．請你仿照上述方法解決下列問題：（1）求不等式的解集．（2）求不等式的解集．3．（2024?江門校級一模）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：例題：解一元二次不等式．解：，可化為，．由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，得①，②，解不等式組①，得，解不等式組②，得，的解集為或，即一元二次不等式的解集為或．（1）一元二次不等式的解集為；（2）分式不等式的解集為；（3）解一元二次不等式．4．（2022?泰安三模）某公司推出一款桔子味飲料和一款荔枝味飲料，桔子味飲料每瓶售價是荔枝味飲料每瓶售價的倍．4月份桔子味飲料和荔枝味飲料總銷售60000瓶，桔子味飲料銷售額為250000元，荔枝味飲料銷售額為280000元．（1）求每瓶桔子味飲料和每瓶荔枝味飲料的售價；（2）五一期間，該公司提供這兩款飲料12000瓶促銷活動，考慮荔枝味飲料比較受歡迎，因此要求荔枝味飲料的銷量不少于桔子味飲料銷量的；不多于桔子味飲料的2倍．桔子味飲料每瓶7折銷售，荔枝味飲料每瓶降價2元銷售，問：該公司銷售多少瓶荔枝味飲料使得總銷售額最大？最大銷售額是多少元？

題型四、方程（組）和函數(shù)中的分類討論思想1．（2024?鐘樓區(qū)校級模擬）共享電動車是一種新理念下的交通工具；主要面向的出行市場，現(xiàn)有，兩種品牌的共享電動車，給出的圖象反映了收費（元與騎行時間之間的對應(yīng)關(guān)系，其中品牌收費方式對應(yīng)，品牌的收費方式對應(yīng)，請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：（1）說出圖中函數(shù)、的圖象交點表示的實際意義；（2）求、關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）①如果小明每天早上需要騎行品牌或品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車的平均行駛速度均為，小明家到工廠的距離為那么小明選擇品牌共享電動車更省錢？（填“”或“”②當(dāng)為何值時，兩種品牌共享電動車收費相差3元？2．（2023?西華縣三模）如圖1，拋物線與軸交于、兩點（點在點左邊），與軸交于點．直線經(jīng)過、兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點是拋物線上的一動點，過點且垂直于軸的直線與直線及軸分別交于點、．設(shè)．①點在拋物線上運動，若點恰為線段的中點，求此時的值；②當(dāng)點在拋物線上運動時，是否存在一點，使．若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．（2023?池州三模）在平面直角坐標(biāo)系中，點和點在拋物線上．（1）若，，求拋物線的解析式；（2）已知點，在該拋物線上，且．①比較，，0的大小，并說明理由；②將線段沿水平方向平移得到線段，若線段與拋物線有交點，直接寫出點的橫坐標(biāo)的取值范圍．4．（2023?河北模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點為，與軸相交于、兩點點在點的右側(cè)）．（1）判斷點是否在拋物線上，并說明理由；（2）若點到軸的距離為5，求的值；（3）若線段的長小于等于4，求的取值范圍．5．（2023?鹽城二模）已知點，，，在二次函數(shù)的圖象上，且滿足．（1）如圖，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．①求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；②若，此時二次函數(shù)圖象的頂點為點，求的正切值；③在、之間的二次函數(shù)圖象上的最低點的縱坐標(biāo)為，請直接寫出此時點、的坐標(biāo)；（2）當(dāng)時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為3，點，在對稱軸的異側(cè)，則的取值范圍為．6．（2023?錦州）如圖，拋物線交軸于點和，交軸于點，，頂點為．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若點在第一象限內(nèi)對稱軸右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若點是對稱軸上一點，點是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點，使以點，，，為頂點的四邊形是菱形，且，如果存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．7．（2024?肇東市模擬）綜合與實踐如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和，點的坐標(biāo)是，與軸交于點．．點在拋物線上運動．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖2．當(dāng)點在第四象限的拋物線上運動時，連接，，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求點的坐標(biāo)及的最大面積；（3）當(dāng)點在軸上運動時，借助圖1探究以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，并直接寫出點的坐標(biāo)．8．（2023?扶余市二模）如圖，拋物線與軸交于點，，頂點為．（1）求該拋物線的解析式，并直接寫出點的坐標(biāo)；（2）如圖，把原拋物線軸下方的部分沿軸翻折到軸上方，將翻折得到的部分與原拋物線軸上方的部分記作圖形，在圖形中，回答：①點，之間的函數(shù)圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式為；②當(dāng)時，求的取值范圍；③當(dāng)，且時，若最高點與最低點的縱坐標(biāo)的差為，直接寫出的值．9．（2024?南丹縣一模）如圖，拋物線與軸交于點，點，點是拋物線的頂點，過點作軸的垂線，垂足為點．（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）如圖1，點是拋物線上一點，且位于軸上方，橫坐標(biāo)為，連接，若，求的值；（3）如圖2，將拋物線平移后得到頂點為的拋物線．點為拋物線上的一個動點，過點作軸的平行線，交拋物線于點，過點作軸的平行線，交拋物線于點．當(dāng)以點，，為頂點的三角形與全等時，請直接寫出點的坐標(biāo)．10．（2022?長春二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點為，過點作直線垂直于軸．（1）求拋物線的對稱軸（用含的式子表示）；（2）將拋物線在軸右側(cè)的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，組成圖形，點，，，為圖形上任意兩點．①當(dāng)時，若，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；②若對于，，都有，求的取值范圍；（3）當(dāng)圖象與直線恰好有3個公共點時，直接寫出的取值范圍．題型五、圓中的分類討論思想1．（2023?花都區(qū)一模）如圖1，已知，在射線、上分別截取點、，使．（1）求證：；（2）如圖2，以為直徑在的上方作一個半圓，點為半圓上的一個動點，連接交于點．①當(dāng)時，求的長．②在線段上取一點，連接交于點，若，當(dāng)點在半圓上從點運動到點時，求點經(jīng)過的路徑長．2．（2023?裕華區(qū)二模）如圖1，平行四邊形中，，，，點在延長線上且，為半圓的直徑且，，如圖2，點從點處沿方向運動，帶動半圓向左平移，每秒個單位長度，當(dāng)點與點重合時停止平移，如圖3，停止平移后半圓立即繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒轉(zhuǎn)動，點落在直線上時，停止運動，運動時間為秒．（1）如圖1，；（2）如圖2，當(dāng)半圓與邊相切于點，求的長；（3）如圖3，當(dāng)半圓過點，與邊交于點，①求平移和旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積；②求的長；（4）直接寫出半圓與平行四邊形的邊相切時的值．（參考數(shù)據(jù)：，3．（2022?順平縣二模）如圖1，將半徑為2的剪掉一個的扇形之后，得到扇形，將扇形放置在數(shù)軸上，使點與原點重合且垂直于數(shù)軸，然后將圖形沿數(shù)軸正方向滾動，直至點落在數(shù)軸上時停止?jié)L動．記優(yōu)弧與數(shù)軸的切點為點．過點作直線平行于數(shù)軸，當(dāng)與弧有兩個公共點時，記另一個公共點為點，將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到直線，交數(shù)軸于點．（1）當(dāng)點落在數(shù)軸上時，其對應(yīng)數(shù)軸上的實數(shù)為；（2）當(dāng)直線經(jīng)過圓心時，線段的長度為；（3）當(dāng)與扇形所在圓相切于圓的左側(cè)時，求弦的長及點對應(yīng)數(shù)軸上的實數(shù)；（4）直接寫出整個運動過程中長度的最大值．4．（2022?永嘉縣三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸，軸于點，，以為直徑構(gòu)造圓，點在運動，點在上，交于點，且．（1）求的長．（2）求證：．（3），交圓于另一點，連結(jié)．若為等腰三角形，求所有滿足條件的點的坐標(biāo)．5．（2022?溫州模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，以為直徑的與軸的正半軸交于點．點是劣弧上的一動點．（1）求的值．（2）當(dāng)中有一邊是的兩倍時，求相應(yīng)的長．（3）如圖2，以為邊向上作等邊，線段分別交和于點，．連結(jié)，．點在運動過程中，與存在一定的數(shù)量關(guān)系．【探究】當(dāng)點與點重合時，求的值；【探究二】猜想：當(dāng)點與點不重合時，【探究一】的結(jié)論是否仍然成立．若成立，給出證明：若不成立，請說明理由．專題15分類討論思想在五種題型中的應(yīng)用通用的解題思路：題型一、等腰三角形的存在問題分類討論1.假設(shè)結(jié)論成立；2.找點：當(dāng)所給定長未說明是等腰三角形的底還是腰時，需分情況討論，具體方法如下：①當(dāng)定長為腰時，找已知條件上滿足直線的點時，以定長的某一端點為圓心，以定長為半徑畫弧，若所畫弧與坐標(biāo)軸或拋物有交點且交點不是定長的另一端點時，交點即為所求的點；若所畫弧與坐標(biāo)軸或拋物線無交點或交點是定長的另一端點時，滿足條件的點不存在；②當(dāng)定長為底邊時，根據(jù)尺規(guī)作圖作出定長的垂直平分線，若作出的垂直平分線與坐標(biāo)軸或拋物線有交點時，那交點即為所求的點，若作出的垂直平分線與坐標(biāo)軸或拋物線無交點時，滿足條件的點不存在；以上方法即可找出所有符合條件的點.3.計算：在求點坐標(biāo)時，大多時候利用相似三角形求解，如果圖形中沒有相似三角形，可以通過添加輔線構(gòu)造相似三角形，有時也可利用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解題型二、直角三角形的存在問題分類討論1.設(shè)出所求點的坐標(biāo)，用變量表示出所求三角形三邊的長的平方的代數(shù)式，如本題，設(shè)點F（1，f），△BCF三邊長為：BF2＝4＋f2，CF2=f2+6f+10，BC=18；2.找點：根據(jù)直角頂點的不確定性，分情況討論：①當(dāng)定長（已知的兩個點連線所成的線段）為直角三角形的直邊時（如本題（4）中的邊BC），分別過定長的某一端點（B和C）做其垂線，與所求點滿足的直線或拋物線（本題是拋物線對稱軸）有交點時，此交點即為符合條件的點；②當(dāng)定長為直角角形的斜邊時，以此定長為直徑作圓，圓弧與所有點滿足條件的直線或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點.3.計算：把圖形中的點的坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出來，從而表示出三角形各邊（表示線段時，注意代數(shù)式的符號），再利用相似三角形得比例線段關(guān)系或利用勾股定理進(jìn)行計算.題型三、不等式（組）中的分類討論思想分類討論思想在不等式（組）中主要體現(xiàn)在含有字母系數(shù)的一元一次不等式（組）的解法問題，在求其解集時要對字母進(jìn)行分類討論。對含字母系數(shù)的不等式或不等式組，在求解時一定要注意字母系數(shù)的取值范圍，要進(jìn)行分類討論。題型四、方程（組）和函數(shù)中的分類討論思想在函數(shù)問題中，分類有兩種情況：一種是對概念進(jìn)行分類，一種是分情況討論問題，對概念進(jìn)行分類，是明確概念的一種邏輯方法，有助于對概念的理解與掌握；分情況討論問題，可以幫助我們?nèi)婵疾煲粋€對象，得出可能的結(jié)論，也可以使問題更容易人手，分類思想方法對于中學(xué)生來是比較難掌握的一種數(shù)學(xué)思想方法，在對概念進(jìn)行分類時，往往把握不住標(biāo)準(zhǔn)，不能堅持用同一個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，出現(xiàn)“重"或“漏"的現(xiàn)象，從而容易導(dǎo)致錯誤的發(fā)生題型五、圓中的分類討論思想由于圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，并且具有旋轉(zhuǎn)不變性，因此有不少題目會出現(xiàn)多解問題。這類題目重在考查同學(xué)們對基礎(chǔ)知識的掌握與運用情況，它有利于培養(yǎng)同學(xué)們嚴(yán)謹(jǐn)周密的邏輯思維能力。如果解題時考慮不嚴(yán)密，理解不透切，形成思維定勢，就會漏解，從而造成錯誤。在圓中解這類問題時，需要利用分類討論思想，在解題時可以多考慮將圓進(jìn)行折疊或旋轉(zhuǎn)。題型一：等腰三角形中的分類討論思想1．（2023?廣安）如圖，一次函數(shù)為常數(shù)，的圖象與反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象在第一象限交于點，與軸交于點．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．（2）點在軸上，是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點的坐標(biāo)．【分析】（1）把點、的坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式，列出關(guān)于、的方程組，通過解方程組求得它們的值；然后將點的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求得的值即可；（2）設(shè)，利用兩點間的距離公式和勾股定理以及列出方程，借助于方程求解即可．【解答】解：（1）將、分別代入一次函數(shù)，得．解得．故．將其代入反比例函數(shù)，得．解得．故一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為；（2）由（1）知，、，則．設(shè)，當(dāng)時，．解得或（舍去）．故；當(dāng)時，．解得或．故或．綜上所述，符合條件的點的坐標(biāo)為：或或．【點評】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求得一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)，此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應(yīng)用．2．（2023?澄城縣一模）如圖，拋物線與軸交于點、，與軸交于點，直線是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）在對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）運用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式即可；（2）由于沒有指明等腰的底邊，所以需要分類討論：，，，運用兩點間距離的求法列出相應(yīng)的方程，通過解方程求得答案．【解答】解：（1）把點、點分別代入，得．解得．故該拋物線解析式為：；（2）由（1）知，該拋物線解析式為：．則該拋物線的對稱軸為直線．故設(shè)．、點，，，．①若時，，解得．點的坐標(biāo)為或；②若時，，解得或，點的坐標(biāo)為或．當(dāng)點的坐標(biāo)為時，點、、共線，點的坐標(biāo)為；③當(dāng)時，，解得，點的坐標(biāo)為．綜上所述，符合條件的點的坐標(biāo)為或或或．【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，兩點間的距離公式，等腰三角形的性質(zhì)，解題過程中，需要對等腰三角形的底邊或腰進(jìn)行分類討論，以防漏解．3．（2023?婺城區(qū)模擬）在矩形中，，，是上的一點，且，是直線上一點，射線交直線于點，交直線于點，連結(jié)、，直線交直線于點．（1）①當(dāng)點為中點時，求與的長；②求的值．（2）若為等腰三角形時，求滿足條件的的長．【分析】（1）①過點作于點，易得，為等腰直角三角形，進(jìn)而得到為等腰直角三角形，，由可推出，則為等腰直角三角形，；②過點作于點，易得，，易證，，得到，，于是，，進(jìn)而可得，由等角加同角相等得，在中，；（2）易得，得到，設(shè)，則，，，易證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得，，再分三種情況討論：（Ⅰ）當(dāng)時，過點作于點，則，，進(jìn)而求出，，，再利用平行線分線段成比例得到，以此建立方程求解即可；（Ⅱ）當(dāng)時，過點作于點，則，，，進(jìn)而求出，由平行線的性質(zhì)得到，于是，由等角的余角相等得，則，以此建立方程求解即可；（Ⅲ）當(dāng)時，則，由平行線的性質(zhì)可得，于是，由等角的余角相等得，進(jìn)而得到，以此建立方程求解即可．【解答】解：（1）①當(dāng)點為中點時，如圖，過點作于點，則，四邊形為矩形，，四邊形為矩形，，點為的中點，，，，，為等腰直角三角形，，，為等腰直角三角形，，，，，為等腰直角三角形，，，；②如圖，過點作于點，則，，，，，，，，，，，即，，即，，，，，，即，；（2），，，，即，設(shè)，則，，，由（1）②可知，，，，，，，，即，，，（Ⅰ）當(dāng)時，如圖，過點作于點，則，，，，，，，即，解得：，（舍去），；（Ⅱ）當(dāng)時，如圖，過點作于點，則，，，，，，，，，，解得：，；（Ⅲ）當(dāng)時，如圖，則，，，，，，，解得：，．當(dāng)時，同理可得，，綜上，當(dāng)或1或或時，為等腰三角形．【點評】本題主要考查矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是：（1）①熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)；②利用相似三角形性質(zhì)和銳角三角函數(shù)推出；（2）利用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想解決問題．4．（2023?濮陽縣模擬）在等腰直角三角形中，，，點為直線上一個動點，繞點將射線逆時針旋轉(zhuǎn)，交直線于點．在圖1中，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，，又，，．請閱讀上述過程，并完成以下問題：（1）得出的依據(jù)是②（填序號）．①②③④（2）在以上條件下，如圖2，當(dāng)點在線段的延長線上時，求證：．（3）在等邊三角形中，，點為射線上一個動點，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)交直線于點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)為直角三角形時，請直接寫出的長．【分析】（1）根據(jù)判定的條件看判定的依據(jù)是什么即可做出選擇；（2）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，然后推出判定的條件，得到，在中推出，根據(jù)勾股定理得到等式，再代換即可得證；（3）當(dāng)點在線段上時，不可能是直角三角形，當(dāng)點在線段延長線上時，分和兩種情況，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)分別進(jìn)行計算即可求出結(jié)果．【解答】（1）解：推理過程中判定的條件是兩邊和夾角對應(yīng)相等，得出的依據(jù)是，故答案為：②；（2）證明：如圖1，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，，，，，又，，，，，，，，，，又，，；（3）分兩種情況：①如圖2，當(dāng)時，由旋轉(zhuǎn)可知，又，，，，設(shè)，則，，，，，，，即的長為；②如圖3，當(dāng)時，由旋轉(zhuǎn)可知，又，，，，設(shè)，則，，，，，；綜上所述，的長為或．【點評】本題是幾何變換綜合題，主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識點，深入理解題意是解決問題的關(guān)鍵．5．（2023?武侯區(qū)校級模擬）如圖，在矩形中，，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)度得到線段，過點作的垂線交射線于點，交射線于點．嘗試初探（1）當(dāng)點在延長線上運動時，與始終相等，且與始終相似，請說明理由；深入探究（2）若，隨著線段的旋轉(zhuǎn)，點的位置也隨之發(fā)生變化，當(dāng)時，求的值；拓展延伸（3）連接，當(dāng)為等腰三角形時，求的值（用含的代數(shù)式表示）．【分析】（1）由矩形的四個角是直角，又，容易得到結(jié)果．（2）連接，設(shè)，，求出，由得到，可求出，得到結(jié)果．（3）分類討論：①點在延長線上時，作，設(shè)，，，由勾股定理求出，，得到結(jié)果．②當(dāng)在上時，設(shè)，由，求出，，得出結(jié)果．【解答】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，，又，，．（2）解：，，，四邊形是矩形，，，，，設(shè)，則，，，連接，由勾股定理得，，，，由（1）得，，，，，，．（3）解：分兩種情況討論，①如圖2，當(dāng)在的延長線上時，過點作于，，，，，又，，，，設(shè)，則，，，由勾股定理得，，．②如圖3，當(dāng)在上時，設(shè)，則，由勾股定理得，，，，，綜上得，或．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識是一道綜合題，正確分類討論并畫出圖形，恰當(dāng)添加輔助線，靈活運用所學(xué)知識是解題關(guān)鍵．6．（2023?虹口區(qū)一模）如圖，在中，，，點、分別在邊、上，滿足．點是延長線上一點，且．（1）當(dāng)點是的中點時，求的值；（2）如果，求的值；（3）如果是等腰三角形，求的長．【分析】（1）過點作于點，過點作于點，利用等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理，三角形的中位線定理解答即可；（2）利用等腰三角形的判定與相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（3）利用分類討論的思想方法分①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時三種情形討論解答：利用等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和三角形的內(nèi)角和定理求得前兩種情形不存在，對于③利用等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）過點作于點，過點作于點，如圖，，，，，．．．，，，是的中點，是的中位線，，，．在中，；（2），．，，．，．，，，．，，，，；（3）如果是等腰三角形，①當(dāng)時，則．，，，這與已知條件不符，此種情況不存在；②當(dāng)時，則，，，，，，，，為鈍角，此種情況不存在；③當(dāng)時，過點作于點，如圖，由題意得：，，，，．．，，，，，．由（1）知：，，．．【點評】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．7．（2023?文成縣一模）如圖，點，分別為矩形邊，上的點，以為直徑作交于點，且與相切，連結(jié)．（1）若，求證：．（2）若，．①求的長．②連結(jié)，若是以為腰的等腰三角形，求所有滿足條件的的長．（3）連結(jié)，若的延長線經(jīng)過點，且，求的值．【分析】（1）利用圓周角定理和全等三角形的判定定理解答即可；（2）①利用切線的性質(zhì)定理，矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，通過證明得到，再利用直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可得出結(jié)論；②利用分類討論的思想方法分兩種情況討論解答：Ⅰ．當(dāng)時，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到，設(shè)，則，則，利用勾股定理列出方程解答即可；Ⅱ．當(dāng)時，利用相似三角形的判定得到，進(jìn)而得到，再利用（2）①的結(jié)論，利用勾股定理解答即可得出結(jié)論；（3）利用全等三角形的判定定理證明得到和，得到，利用三角形的中位線得到，設(shè)，則，則，取的中點，連接，利用梯形的中位線定理得到，最后利用相似三角形的判定定理得到，由相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：為直徑，．在和中，，和；（2）解：①與相切，，，．四邊形為矩形，，，，，，．在中，，，；②若是以為腰的等腰三角形，Ⅰ．當(dāng)時，，，，．，．在和中，，，．設(shè)，則，，，，解得：，；Ⅱ．當(dāng)時，，．．．，，，，，．由（2）知：，，，．綜上，若是以為腰的等腰三角形，滿足條件的的長為或；（3）解：為圓的直徑，．在和中，，，，．，，．在和中，，，，，，．，．為的中位線，，．設(shè)，則，．取的中點，連接，如圖，則為梯形的中位線，．，．，，，．【點評】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)三角形的中位線定理，利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．8．（2023?涪城區(qū)模擬）如圖，已知：在中，，點是邊上的動點，交于，以為直徑的分別交，于點，．（1）求證：．（2）若，．①當(dāng)，求的長．②當(dāng)為等腰三角形時，請求出所有滿足條件的的腰長．（3）若，且，，在一條直線上，則與的比值為．【分析】（1）利用切線的判定定理與弦切角定理解答即可；（2）①利用直角三角形的邊角關(guān)系解答即可；②利用分類討論的方法分三種情況討論解答：當(dāng)時，通過證明，利用直角三角形的邊角關(guān)系解答即可；當(dāng)時，利用垂徑定理和直角三角形的邊角關(guān)系解答即可；當(dāng)時，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系和勾股定理解答即可；（3）畫出符合題意的圖形，通過證明，得出比例式，利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，通過等量代換得到關(guān)于與的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：為的直徑，，為的切線，；（2）解：①，，，．．，，．，；②當(dāng)時，，，，．為的直徑，．，在和中，，，．，，；當(dāng)時，，，為的直徑，，，．，，．，，，，．．．．，；當(dāng)時，，．，，，．．，，．設(shè)，，．，．．，．．．．綜上，當(dāng)為等腰三角形時，滿足條件的的腰長為或或．（3）解：當(dāng)，，在一條直線上時，為的直徑，，，，．，．，．，．，．．，．解得：或（不合題意，舍去）．，故答案為：．【點評】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，弦切角定理，求得三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，一元二次方程的解法，勾股定理，利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．9．（2023?河南模擬）如圖所示，在中，，點為射線上一動點，作，過點作，交于點，連接．（點、在的兩側(cè)）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1所示，若時，、的數(shù)量關(guān)系為，直線、的夾角為；【類比探究】（2）如圖2所示，若時，（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理由；【拓展延伸】（3）若，，且是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出線段的長．【分析】（1）證，由全等三角形的性質(zhì)得，，即可解決問題；（2）證，由相似三角形的性質(zhì)得，再證，得，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，①當(dāng)時，②當(dāng)時，由直角三角形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)分別求出的長即可．【解答】解：（1），，是等腰直角三角形，，，同理：，，，，即，，，，，故答案為：，；（2）不成立，，理由如下：，，，又，，，又，，即，，，在中，，，；（3），，，，，分兩種情況：①如圖3，當(dāng)時，同（2）可知，，，；②如圖4，當(dāng)時，則，，，，，，，，，同（2）可知，，，即，解得：；綜上所述，的長為或3．【點評】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及分類討論等知識，本題綜合性強，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．題型二：直角三角形中的分類討論思想1．（2022?大連模擬）如圖，中，，，，點在邊上，過點作的垂線與邊或相交于點，將點繞點順時針旋轉(zhuǎn)得點，過點作的垂線與邊或相交于點．設(shè)的長為，四邊形的面積為．（1）求的長；（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)勾股定理求解即可．（2）根據(jù)正切函數(shù)可知，，分點，在線段上，點在上，點在上，或者點，都在線段上三種情況分析，再分別表示出，，，根據(jù)梯形面積公式即可求解．【解答】解：（1）在中，，，．根據(jù)勾股定理得，，．（2）當(dāng)點，在邊上時，如圖所示；在中，，，．又于點，．在中，，．．．于點，，在中，，．當(dāng)點落在點時，，即，解得，當(dāng)時，．當(dāng)點落在上，點落在上時，如圖所示；．在中，．．當(dāng)點落在點時，．即，解得．當(dāng)時，．當(dāng)點，落在上時，如圖所示；，，，．，，即．在中，，．當(dāng)，．綜上所述：【點評】本題主要考查勾股定理，解直角三角形，求函數(shù)關(guān)系式相關(guān)知識點，分類討論是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022?蓮池區(qū)校級二模）如圖，中，，，．動點從點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿方向繞行一周，與垂直的動直線從開始．以每秒1個單位長度的速度向右平移，分別交，于，兩點．當(dāng)點運動到點時，直線也停止運動，設(shè)點的運動時間為秒．（1）當(dāng)點在上運動時，過點作于，①當(dāng)時，求證：；②設(shè)的面積為，用含的代數(shù)式表示，并求當(dāng)為何值時，有最大值；（2）當(dāng)直線等分的面積時求的值，并判斷此時點落在的哪條邊上；（3）直接寫出時的值．【分析】（1）①由，，，即可證明；②由，可得，求出，則，再由求的最大值即可；（2）分別求出，，再由題意可得，求出的值即可；（3）分兩種情況討論：當(dāng)點在上時，過點作交于，由，可得方程，解得；當(dāng)點在上時，過點作交于，由，可得方程，解得．【解答】（1）①證明：，，，，，；②解：點在上運動，，，由題意可知，，，，，，，，，，，，，時，有最大值；（2）解：由②可知，，，，，直線等分的面積，，解得或，，，，點在邊上；（3）解：當(dāng)點在上時，，過點作交于，，，，，解得；當(dāng)點在上時，過點作交于，，，，，，，解得；綜上所述：的值為或．【點評】本題是三角形的綜合題，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題是關(guān)鍵．3．（2022?濟南二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，點坐標(biāo)為，四邊形為平行四邊形，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與邊交于點，若，．（1）求反比例函數(shù)解析式；（2）點是軸上一動點，求最大時的值；（3）連接，在反比例函數(shù)圖象上是否存在點，平面內(nèi)是否存在點，使得四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先確定出，即可得出點坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；（2）先求出解析式，由平行四邊形的性質(zhì)可得，，，利用待定系數(shù)法可求解析式，求出點的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形關(guān)系可得出當(dāng)點，，三點共線時，最大，求出直線的解析式，令即可求解；（3）若四邊形為矩形，則是直角三角形且為一條直角邊，根據(jù)直角頂點需要分兩種情況，畫出圖形分別求解即可．【解答】解：（1）如圖，過點作軸于，，，，，，，點在反比例函數(shù)圖象上，，反比例函數(shù)解析式為；（2）點，點，解析式為：，四邊形是平行四邊形，，，，點，設(shè)解析式為：，，，解析式為：，聯(lián)立方程組可得：，或（舍去），點；在中，，則當(dāng)點，，三點共線時，，此時，取得最大值，由（1）知，，設(shè)直線的解析式為：，，解得，直線的解析式為：，令，即，得，最大時的值為6．（3）存在，理由如下：若四邊形為矩形，則是直角三角形，則①當(dāng)點為直角頂點時，如圖2，過點作的垂線與交于點，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為點，，由“一線三等角”模型可得，則，，，，，，即，設(shè)，則，，點在反比例函數(shù)的圖象上，則，解得，（負(fù)值舍去），，；②當(dāng)點為直角頂點時，這種情況不成立；綜上，點的坐標(biāo)為，．【點評】本題考查了反比例函數(shù)綜合問題，涉及矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定．第一問的關(guān)鍵是求出點的坐標(biāo)，第二問的關(guān)鍵是知道當(dāng)點，，三點共線時，取得最大值，第三問的關(guān)鍵是利用矩形的內(nèi)角是直角進(jìn)行分類討論，利用相似三角形的性質(zhì)建立等式．4．（2022??？谀M）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，與軸交于、兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點從點出發(fā)，在線段上以每秒3個單位長度的速度向點運動，同時點從點出發(fā)，在線段上以每秒2個單位長度的速度向點運動，其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也停止運動，設(shè)的面積為，點運動時間為秒，試求與的函數(shù)關(guān)系，并求的最大值；（3）在點運動過程中，是否存在某一時刻，使為直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）把點、的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)、的解析式，通過解方程組求得它們的值；（2）設(shè)運動時間為秒，利用三角形的面積公式列出與的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答；（3）分當(dāng)和兩種情況，據(jù)余弦函數(shù)，可得關(guān)于的方程，解方程，可得答案．【解答】解：（1）把點、點分別代入得：，解得，所以該拋物線的解析式為：；（2）設(shè)運動時間為秒，則，，，由題意得，點的坐標(biāo)為，在中，，如圖，過點作于點，，，，即，，，，，、中一個點到達(dá)終點時，另一個點也停止運動，當(dāng)存在時，，當(dāng)時，，答：運動1秒使的面積最大，最大面積是；（3）存在，理由：如圖，在中，，設(shè)運動時間為秒，則，，，當(dāng)時，，即，化簡，得：，解得：；當(dāng)時，，（即在圖中，當(dāng)時，化簡，得：，解得，綜上所述：或時，為直角三角形．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和三角形的面積求法，解題關(guān)鍵是在求有關(guān)動點問題時要注意該點的運動范圍，即自變量的取值范圍．5．（2023?乳山市二模）過四邊形的頂點作射線，為射線上一點，連接．將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角，連接．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，數(shù)學(xué)興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形是正方形，且．無論點在何處，總有，請證明這個結(jié)論．（2）【類比遷移】如圖2，如果四邊形是菱形，，，連接．當(dāng)，時，求的長；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，如果四邊形是矩形，，，平分，．在射線上截取，使得．當(dāng)是直角三角形時，請直接寫出的長．【分析】（1）利用正方形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換證明，即可證得結(jié)論；（2）如圖2，過點作于點，連接，先證明，可得，，再證明：是等邊三角形，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用解直角三角形即可求得答案；（3）分三種情況討論：①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，分別求出的長．【解答】（1）證明：如圖1，四邊形是正方形，，，，，，，將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)至，，，．（2）解：如圖2，過點作于點，連接，四邊形是菱形，，由旋轉(zhuǎn)得：，，即，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，；（3）解：①當(dāng)時，如圖3，連接，，過點作于點，設(shè)交于點，過點作于點，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，即，平分，，，，在中，，，，，，，，在中，，，，，，即，，，，，，，，，，，，；②當(dāng)時，如圖4，過點作于點，于點，則，，，，，四邊形是矩形，，，，，在中，，，，在中，，在中，，，解得：；③當(dāng)時，由②知：，，，，，解得：或，均不符合題意；綜上所述，的長為或．【點評】本題考查了正方形和菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用前面所學(xué)的知識解答后面的題目，運用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，具有很強的綜合性，是中考常考題型．題型三：不等式（組）中的分類討論思想1．（2023?淄博）某古鎮(zhèn)為發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，吸引更多的游客前往游覽，助力鄉(xiāng)村振興，決定在“五一”期間對團隊旅游實行門票特價優(yōu)惠活動，價格如下表：購票人數(shù)（人每人門票價（元605040題中的團隊人數(shù)均不少于10人．現(xiàn)有甲、乙兩個團隊共102人，計劃利用“五一”假期到該古鎮(zhèn)旅游，其中甲團隊不足50人，乙團隊多于50人．（1）如果兩個團隊分別購票，一共應(yīng)付5580元，問甲、乙團隊各有多少人？（2）如果兩個團隊聯(lián)合起來作為一個“大團隊”購票，比兩個團隊各自購票節(jié)省的費用不少于1200元，問甲團隊最少多少人？【分析】（1）設(shè)甲團隊有人，乙團隊人，但需要考慮乙團隊人數(shù)是否大于100，所以分類討論即可．甲團隊按票價是每人80元，乙團隊按票價是每人60元，如果乙超過100人，大概需要繳納4000多元，但是5580元減去4000多元，剩下的錢不足以構(gòu)成甲的人數(shù)，因為此時甲的人數(shù)只能是1人，所以這種情況省略；所以甲人數(shù)在50以下，乙人數(shù)在51到100之間，聯(lián)列方程即可；（2）兩個團隊要合起來購票的話，每人40元，列出一共購票的錢和各自購票的錢之和，然后建立不等式即可求解；【解答】解：（1）設(shè)甲人數(shù)人，乙人數(shù)人；當(dāng)乙大于100人時，此時甲人數(shù)只能是1人，共花的價格不夠5580元；乙人數(shù)在51到100之間，甲人數(shù)在10到50之間；列方程得：；解之得：，；甲48人，乙54人；答：甲團隊48人，乙團隊54人．（2）設(shè)甲人數(shù)人，乙人數(shù)人；甲乙一起買價格：（元；甲乙分開買價格：；；解之得：．甲最少18人；答：甲團隊最少18人．【點評】本題考查學(xué)生不等式的基本應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（2021?商河縣校級模擬）閱讀下面材料，根據(jù)要求解答問題：求不等式的解集．解：根據(jù)“同號兩數(shù)相乘，積為正”可得：①或②解不等式組①得：．解不等式組②得．不等式的解集為或．請你仿照上述方法解決下列問題：（1）求不等式的解集．（2）求不等式的解集．【分析】（1）將不等式轉(zhuǎn)換為兩個不等式組①或②，分別求解；（2）將不等式轉(zhuǎn)換為兩個不等式①或②，分別求解；【解答】解：（1）可得：①或②，解不等式①得：無解；解不等式組②得：；不等式的解集為：；（2）可得：①或②，解不等式①得：；解不等式組②得：；不等式的解集為：或；【點評】本題考查二元一次不等式的解法；能夠?qū)⒍淮尾坏仁睫D(zhuǎn)化為一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．3．（2024?江門校級一模）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：例題：解一元二次不等式．解：，可化為，．由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，得①，②，解不等式組①，得，解不等式組②，得，的解集為或，即一元二次不等式的解集為或．（1）一元二次不等式的解集為或；（2）分式不等式的解集為；（3）解一元二次不等式．【分析】（1）先把不等式的左邊分解因式，然后根據(jù)”兩數(shù)相乘，同號相乘得正“得兩個不等式組，解各個不等式組即可；（2）根據(jù)“兩數(shù)相除，同號得正”得兩個不等式組，解各個不等式組即可；（3）把不等式的左邊分解因式，根據(jù)據(jù)”兩數(shù)相乘，異號相乘得負(fù)“得兩個不等式組，解各個不等式組即可．【解答】解：（1），，，解不等式組①得：，解不等式②得：，一元二次不等式的解集為：或，故答案為：或；（2），，解不等式組①得：，解不等式組②得：，分式不等式的解集為：或，故答案為：或；（3），，，不等式組①得：，解不等式組②無解，不等式的解集為：．【點評】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題關(guān)鍵是熟練掌握把特殊不等式轉(zhuǎn)化成一元一次不等式組的方法和技巧．4．（2022?泰安三模）某公司推出一款桔子味飲料和一款荔枝味飲料，桔子味飲料每瓶售價是荔枝味飲料每瓶售價的倍．4月份桔子味飲料和荔枝味飲料總銷售60000瓶，桔子味飲料銷售額為250000元，荔枝味飲料銷售額為280000元．（1）求每瓶桔子味飲料和每瓶荔枝味飲料的售價；（2）五一期間，該公司提供這兩款飲料12000瓶促銷活動，考慮荔枝味飲料比較受歡迎，因此要求荔枝味飲料的銷量不少于桔子味飲料銷量的；不多于桔子味飲料的2倍．桔子味飲料每瓶7折銷售，荔枝味飲料每瓶降價2元銷售，問：該公司銷售多少瓶荔枝味飲料使得總銷售額最大？最大銷售額是多少元？【分析】（1）根據(jù)題意找到等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列分式方程求解即可．（2）根據(jù)題意找不等關(guān)系列出不等式組，求出解集，再列出銷售數(shù)量與銷售額的函數(shù)關(guān)系，在求出的解集的范圍內(nèi)求銷售額的最大值即可．【解答】解：（1）設(shè)每瓶荔枝味飲料的售價為元，則每瓶桔子味飲料的售價為元，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，，答：每瓶桔子味飲料的售價為10元，每瓶荔枝味飲料的售價為8元．（2）設(shè)銷售荔枝味飲料瓶，則銷售桔子味飲料瓶，根據(jù)題意得：，解得：，設(shè)總銷售額元，則，是的一次函數(shù)，且，當(dāng)時，銷售額最大，最大值是76800元．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用、不等式組的應(yīng)用和一次函數(shù)求最值的應(yīng)用問題，能找出等量關(guān)系和不等關(guān)系，列出分式方程和不等式組是出本題的關(guān)鍵．題型四:方程（組）和函數(shù)中的分類討論思想1．（2024?鐘樓區(qū)校級模擬）共享電動車是一種新理念下的交通工具；主要面向的出行市場，現(xiàn)有，兩種品牌的共享電動車，給出的圖象反映了收費（元與騎行時間之間的對應(yīng)關(guān)系，其中品牌收費方式對應(yīng)，品牌的收費方式對應(yīng)，請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：（1）說出圖中函數(shù)、的圖象交點表示的實際意義；（2）求、關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）①如果小明每天早上需要騎行品牌或品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車的平均行駛速度均為，小明家到工廠的距離為那么小明選擇品牌共享電動車更省錢？（填“”或“”②當(dāng)為何值時，兩種品牌共享電動車收費相差3元？【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可得交點的坐標(biāo)，結(jié)合，所表示的實際意義即可解答；（2）利用待定系數(shù)法即可求解，注意為分段函數(shù)；（3）①先根據(jù)“時間路程速度”求出小明從家騎行到工廠所需時間，再分別求出選擇和品牌共享電動車所需費用，比較即可求解；②分兩種情況討論：當(dāng)時，；當(dāng)時，或．以此列出方程，求解即可．【解答】解：（1）由圖象可得，，交點表示的實際意義是：當(dāng)騎行時間為時，，兩種品牌的共享電動車收費都為8元；（2）設(shè)，將點代入得，，解得：，，由圖象可知，當(dāng)時，，設(shè)當(dāng)時，，將點，代入得，，解得：，當(dāng)時，，；（3）①小明從家騎行到工廠所需時間為，品牌所需費用為（元，品牌所需費用為（元，，選擇品牌共享電動車更省錢；故答案為：；②當(dāng)時，，，解得：，當(dāng)時，或，或，解得：（舍去）或，綜上，當(dāng)?shù)闹禐?.5或35時，兩種品牌共享電動車收費相差3元．【點評】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、解一元一次方程，利用待定系數(shù)法正確求出函數(shù)解析式，并學(xué)會利用分類討論思想解決問題．2．（2023?西華縣三模）如圖1，拋物線與軸交于、兩點（點在點左邊），與軸交于點．直線經(jīng)過、兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點是拋物線上的一動點，過點且垂直于軸的直線與直線及軸分別交于點、．設(shè)．①點在拋物線上運動，若點恰為線段的中點，求此時的值；②當(dāng)點在拋物線上運動時，是否存在一點，使．若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先利用直線求出、兩點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）①對點的位置進(jìn)行分類，一類在點下方，一類在點上方，列方程解答；②根據(jù)條件，對點的位置進(jìn)行分類，將幾何代數(shù)化，列方程解答．【解答】解：（1）在中，當(dāng)時，，，令，則，，，將點，的坐標(biāo)代入拋物線中，得，，拋物線的解析式為．（2）①軸，，，，，Ⅰ、當(dāng)點在點下方時，有，或，當(dāng)時，點，，三點重合，舍去，．Ⅱ、當(dāng)點在點上方時，有，或，當(dāng)時，點，，三點重合，舍去；當(dāng)時，點在點下方，舍去．綜上所述：當(dāng)時，點恰為線段的中點．②當(dāng)在第四象限時：在中，，在中，，，，，，，，（舍或，．當(dāng)在第一象限時：，，，，設(shè)，則，在中，，，，，，設(shè)直線的表達(dá)式為，代入，得，，，（舍或，將代入得，點坐標(biāo)為，．綜上，或，．【點評】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，將幾何代數(shù)化，利用方程解決，還涉及了分類和數(shù)形結(jié)合的思想，關(guān)鍵是讓點動起來，分類時不要漏情況．3．（2023?池州三模）在平面直角坐標(biāo)系中，點和點在拋物線上．（1）若，，求拋物線的解析式；（2）已知點，在該拋物線上，且．①比較，，0的大小，并說明理由；②將線段沿水平方向平移得到線段，若線段與拋物線有交點，直接寫出點的橫坐標(biāo)的取值范圍．【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）①利用分類討論的方法分和兩種情形討論解答：分別求得拋物線對稱軸，利用拋物線的對稱性和二次函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合的思想方法解答即可；②結(jié)合函數(shù)的圖象利用平移的性質(zhì)分別求得的橫坐標(biāo)的最小值與最大值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1），，點和點在拋物線上．，解得：，拋物線的解析式為．（2）①，或．當(dāng)時，拋物線的開口方向向下，經(jīng)過，，拋物線的對稱軸為，為拋物線的頂點，為函數(shù)的最大值且大于0，點在軸上，點在軸的下方，，，，0的大小關(guān)系為：；當(dāng)時，拋物線的開口方向向下，經(jīng)過，，拋物線的對稱軸為，當(dāng)時，隨增大而增大，由拋物線性質(zhì)可知：在拋物線上，，，綜上，當(dāng)時，，當(dāng)時，，②點的橫坐標(biāo)的取值范圍為：當(dāng)時，，當(dāng)時，．理由：由①可知：當(dāng)時，拋物線的對稱軸為，此時向右平移到相切時是最大值，把，代入可得：，則，，拋物線解析式可簡化為，經(jīng)過，的直線解析式為，設(shè)平移后解析式為，直線與拋物線相切時得：，整理得：，令△，則，解得：，所以最大值為，即時，的橫坐標(biāo)的取值范圍為：．由①可知：當(dāng)時，拋物線的對稱軸為，點，關(guān)于對稱軸對稱的點的坐標(biāo)為，，將線段沿水平方向向左平移至與重合時，線段與拋物線有交點，再向左平移就沒有交點了，而由平移到平移了2個單位，的橫坐標(biāo)的最小值為，將線段沿水平方向向右平移至與重合時，線段與拋物線有交點，再向右平移就沒有交點了，而由平移到平移了4個單位，的橫坐標(biāo)的最大值為，即時，的橫坐標(biāo)的取值范圍為：．綜上，點的橫坐標(biāo)的取值范圍為：當(dāng)時，，當(dāng)時，．【點評】本題考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，平移的點坐標(biāo)的特征，數(shù)形結(jié)合法，利用待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合法解答是解題關(guān)鍵．4．（2023?河北模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點為，與軸相交于、兩點點在點的右側(cè)）．（1）判斷點是否在拋物線上，并說明理由；（2）若點到軸的距離為5，求的值；（3）若線段的長小于等于4，求的取值范圍．【分析】（1）將點代入拋物線進(jìn)行驗證即可；（2）將已知拋物線解析式利用配方法轉(zhuǎn)化為頂點式，求得頂點坐標(biāo)；然后由“點到軸的距離為5”列出方程并解答；（3）分和兩種情況下求得線段的長度，結(jié)合“線段的長小于等于4”列出不等式并求得的取值范圍．【解答】解：（1）點在拋物線上，當(dāng)時，，點在拋物線上；（2），點到軸的距離為5，當(dāng)時，，解得，；當(dāng)時，，解得，；綜上所述，的值為或；（3）①當(dāng)時，拋物線開口向下．由（1）知，拋物線與軸的交點為，拋物線的對稱軸為直線，，，，，此種情況不符合題意；②當(dāng)時，拋物線的開口向上，在軸上關(guān)于拋物線的對稱軸對稱且距離為4的兩點的坐標(biāo)為，，，當(dāng)時，，，拋物線與軸有兩個交點，，，．綜上所述，的取值范圍為：．【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題型，綜合考查了二次函數(shù)的三種形式，拋物線與軸的交點坐標(biāo)，兩點間的距離公式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及拋物線的軸對稱性質(zhì)，難度不是很大．5．（2023?鹽城二模）已知點，，，在二次函數(shù)的圖象上，且滿足．（1）如圖，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．①求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；②若，此時二次函數(shù)圖象的頂點為點，求的正切值；③在、之間的二次函數(shù)圖象上的最低點的縱坐標(biāo)為，請直接寫出此時點、的坐標(biāo)；（2）當(dāng)時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為3，點，在對稱軸的異側(cè)，則的取值范圍為．【分析】（1）①將點代入二次函數(shù)中求出即可．②根據(jù)題意，，關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，求出，的坐標(biāo)，如圖，在中，，求出、即可解答．③根據(jù)在、之間的二次函數(shù)圖象上的最低點的縱坐標(biāo)為，列出方程，求解，在分，，，在對稱軸左右側(cè)兩種情況求解即可．（2）根據(jù)二次函數(shù)得到頂點坐標(biāo)，函數(shù)最大值為2，結(jié)合最大值與最小值的差為3，確定函數(shù)的最小值為，根據(jù)函數(shù)的增減性分類計算即可．【解答】解：（1）①二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，．二次函數(shù)的表達(dá)式為：．答：二次函數(shù)的表達(dá)式為：．②，，關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，對稱軸是直線，頂點為，且，，，解得，，，，，如圖，在中，，，，，答：的正切值為．③在、之間的二次函數(shù)圖象上的最低點的縱坐標(biāo)為，或，當(dāng)，在對稱軸左側(cè)時，拋物線隨的增大而增大，且，在、之間的二次函數(shù)圖象上的最低點的縱坐標(biāo)為，，，當(dāng)時，，，；當(dāng)，在對稱軸右側(cè)時，拋物線隨的增大而減小，且，在、之間的二次函數(shù)圖象上的最低點的縱坐標(biāo)為，，，當(dāng)時，，，．綜上，，或，．答：，或，．（2）二次函數(shù)，頂點為，函數(shù)的最大值為2，當(dāng)時，如圖，最大值與最小值的差為3，，設(shè)，的對稱點為，，二次函數(shù)的對稱軸為直線，，，，，根據(jù)題意得，解得，，，，，解得，，解得；當(dāng)時，如圖，最大值與最小值的差為3，，設(shè)，的對稱點為，，二次函數(shù)的對稱軸為直線，，，，，根據(jù)題意得，解得，，，，，解得，，解得；綜上，的取值范圍為．故答案為：．【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和最值是解題的關(guān)鍵．6．（2023?錦州）如圖，拋物線交軸于點和，交軸于點，，頂點為．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若點在第一象限內(nèi)對稱軸右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若點是對稱軸上一點，點是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點，使以點，，，為頂點的四邊形是菱形，且，如果存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【分析】（1）把點和點，代入求拋物線的表達(dá)式；（2）將四邊形分割，，利用建立方程求點的坐標(biāo)；（3）對，，，四個點按順時針和逆時針排成菱形，分別求解．【解答】解：（1）拋物線過點和點，，，，拋物線的表達(dá)式．（2）設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點，過點作軸于點，如圖．設(shè)，，，，四邊形的面積為，，，，，．（3）存在點，使以點，，，為頂點的四邊形是菱形，且，滿足條件的坐標(biāo)為，或，．理由如下：如圖，連接，，四邊形是菱形，且，是等邊三角形，是等邊三角形，，，直線的表達(dá)式為，，，；如圖，連接、、，四邊形是菱形，且，是等邊三角形，是等邊三角形，，，，，，，，直線的表達(dá)式為，，，，綜上，，或，．【點評】本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，與四邊形面積和菱形結(jié)合，對于（2）關(guān)鍵是分割，對于（3）關(guān)鍵是找清分類標(biāo)準(zhǔn)．7．（2024?肇東市模擬）綜合與實踐如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和，點的坐標(biāo)是，與軸交于點．．點在拋物線上運動．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖2．當(dāng)點在第四象限的拋物線上運動時，連接，，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求點的坐標(biāo)及的最大面積；（3）當(dāng)點在軸上運動時，借助圖1探究以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，并直接寫出點的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）連接，過點作于點，設(shè)點的坐標(biāo)為，利用，求得的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（3）利用分類討論的思想方法分兩種情形解答：當(dāng)時，四邊形為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)求得線段即可；②當(dāng)時，四邊形為平行四邊形時，利用平行四邊形的性質(zhì)求得線段即可求得結(jié)論．【解答】解：（1）由題意得：，解得：．拋物線的表達(dá)式為；（2）連接，過點作于點，如圖，點的坐標(biāo)是，點．，，．點在第四象限的拋物線上，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，．，，，當(dāng)時，的面積最大，最大值為6．此時點的坐標(biāo)為；（3）點的坐標(biāo)為或或，或，．理由：①當(dāng)時，四邊形為平行四邊形，如圖，軸，令，則，解得：或3．．．四邊形為平行四邊形，．．；四邊形為平行四邊形，如圖，同理可得：，；②當(dāng)時，四邊形為平行四邊形時，如圖，過點作軸于點，四邊形為平行四邊形，，．．在和中，，．，．令，則，解得：．，，．．．，；如圖，同理可得：，，．令，則，解得：．，．，．．．．，．綜上，點的坐標(biāo)為或或，或，．【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，拋物線上點的坐標(biāo)的特征，利用點的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．8．（2023?扶余市二模）如圖，拋物線與軸交于點，，頂點為．（1）求該拋物線的解析式，并直接寫出點的坐標(biāo)；（2）如圖，把原拋物線軸下方的部分沿軸翻折到軸上方，將翻折得到的部分與原拋物線軸上方的部分記作圖形，在圖形中，回答：①點，之間的函數(shù)圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式為；②當(dāng)時，求的取值范圍；③當(dāng)，且時，若最高點與最低點的縱坐標(biāo)的差為，直接寫出的值．【分析】（1）將，代入，即可求得其解析式和頂點坐標(biāo)；（2）根據(jù)頂點的變換（關(guān)于軸對稱）和變換后開口向下，可以寫出變換后的函數(shù)解析式；（3）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解．【解答】解：（1）將，代入，得：，解得：，拋物線的解析式為：，，點的坐標(biāo)為．（2）①變換后的頂點為，，故答案為：；②當(dāng)時，；當(dāng)時，，的取值范圍為；③當(dāng)時，得：，解得：（舍去），當(dāng)時，得：，解得：（舍去），；由，得：，，當(dāng)時，或，解得：（舍去），，（舍去），；當(dāng)時，，解得：（舍去）；的值為或或．【點評】本題主要考查二次函數(shù)解析式的求法及其性質(zhì)和圖象的變換等，綜合性較強，數(shù)形結(jié)合分類討論是解決問題的關(guān)鍵．9．（2024?南丹縣一模）如圖，拋物線與軸交于點，點，點是拋物線的頂點，過點作軸的垂線，垂足為點．（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）如圖1，點是拋物線上一點，且位于軸上方，橫坐標(biāo)為，連接，若，求的值；（3）如圖2，將拋物線平移后得到頂點為的拋物線．點為拋物線上的一個動點，過點作軸的平行線，交拋物線于點，過點作軸的平行線，交拋物線于點．當(dāng)以點，，為頂點的三角形與全等時，請直接寫出點的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)、兩點的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出解析式；（2）如圖，當(dāng)點在軸上方時，若，則，先求直線的解析式，由點的坐標(biāo)可求出直線的解析式，聯(lián)立直線和拋物線方程可求出點的坐標(biāo)，當(dāng)點在軸下方時，由軸對稱的性質(zhì)可求出直線的解析式，同理聯(lián)立直線和拋物線方程則求出點的坐標(biāo)；（3）先求出的解析式，可設(shè)出點坐標(biāo)，表示、坐標(biāo)及、，根據(jù)以，，為頂點的三角形與全等，分類討論對應(yīng)邊相等的可能性即可求點坐標(biāo)．【解答】解：（1）由題意得：，解得．拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為；（2）當(dāng)時，，，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，如答圖1，當(dāng)點在軸上方時，，，設(shè)直線的解析式為，直線經(jīng)過點，，解得：，直線的解析式為，，解得：，（舍去），，綜合以上可得的值為；（3）拋物線平移后得到，且頂點為，，即．設(shè)，則，，①如答圖2，當(dāng)在點上方時，，，與全等，當(dāng)且時，，，，當(dāng)且時，無解；②如答圖3，當(dāng)點在點下方時，同理：，，，，則，．綜合可得點坐標(biāo)為或．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形全等的判定，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想．10．（2022?長春二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點為，過點作直線垂直于軸．（1）求拋物線的對稱軸（用含的式子表示）；（2）將拋物線在軸右側(cè)的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，組成圖形，點，，，為圖形上任意兩點．①當(dāng)時，若，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；②若對于，，都有，求的取值范圍；（3）當(dāng)圖象與直線恰好有3個公共點時，直接寫出的取值范圍．【分析】（1）直接利用對稱軸公式即可求出；（2）①利用圖象法，根據(jù)函數(shù)的增減性判斷即可；②通過計算可知，點、、為拋物線上關(guān)于對用軸對稱的兩點，分類討論當(dāng)變化時，軸與點、的相對位置：當(dāng)軸在點左側(cè)時（含點，作出圖形，即可得出經(jīng)翻折后，得到點，的縱坐標(biāo)相同，此時，不符題意；當(dāng)軸在點右側(cè)時（含點，作出圖形，即可得出點、分別和點、重合，此時，不符題意；當(dāng)軸在點、之間時（不含、，作出圖形，即可得出經(jīng)翻折后，點在下方，點、重合，在上方，此時，符合題意，即有．即；（3）當(dāng)時，圖象與直線恰好有3個公共點時，可列不等式組，當(dāng)時，圖象與直線恰好有3個公共點時，可列不等式組，分別解出即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）拋物線的對稱軸為直線；（2）①當(dāng)時，二次函數(shù)解析式是，對稱軸為軸，圖形如圖1所示：：圖形上的點的橫縱坐標(biāo)和，滿足隨的增大而減小，，；②通過計算可得，，為拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的兩點，下面討論當(dāng)變化時，軸與點、的相對位置：如圖2所示：當(dāng)軸在點左側(cè)時（含點，經(jīng)翻折后，得到點、的縱坐標(biāo)相同，，不符合題意；如圖3所示：當(dāng)軸在點右側(cè)時（含點，點，分別和點、重合，，不符合題意；如圖4所示：當(dāng)軸在點、之間時（不含、，經(jīng)翻折后，點在下方，點、重合，在上方，，符合題意，此時有，，綜上所述：的取值范圍為；（3）當(dāng)時，如圖所示拋物線翻折后，圖象與直線：恰好有3個公共點在點、之間，，解得；當(dāng)時，如圖所示，圖象與直線恰好有3個公共點時，，解得：．綜上所述，的取值范圍為：或．【點評】本題為二次函數(shù)綜合題，考查拋物線的對稱軸，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)等知識，較難，利用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．題型五：圓中的分類討論思想1．（2023?花都區(qū)一模）如圖1，已知，在射線、上分別截取點、，使．（1）求證：；（2）如圖2，以為直徑在的上方作一個半圓，點為半圓上的一個動點，連接交于點．①當(dāng)時，求的長．②在線段上取一點，連接交于點，若，當(dāng)點在半圓上從點運動到點時，求點經(jīng)過的路徑長．【分析】（1）證明是等邊三角形即可得到結(jié)果．（2）連接，則，，先求出，再利用勾股定理即可求出．（3）分類討論：當(dāng)時，證明得到，點在邊的中垂線上，求出的高即可．②當(dāng)時，，此時點經(jīng)過的路徑為圖中以為弦的弧長，求出弧的圓心角，半徑，再求出弧長即可．【解答】（1）證明：，，是等邊三角形，．（2）解：如圖2，連接，，，是等邊三角形，，，，點為半圓上的一個動點，，，，．（3）解：是等邊三角形，，，①如圖3，當(dāng)時，，，，，，點在邊的中垂線上，此時點經(jīng)過的路徑為．②如圖4，時，即時，，，，，此時點經(jīng)過的路徑為圖中以為弦的弧長，最高點在邊中垂線上，線段的處．．設(shè)弦所在圓的半徑為，由垂徑定理得，，解得，，弦所對的圓心角為弧的長．綜上得，點經(jīng)過的路徑長為或．【點評】本題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，弧長計算公式等知識，合理進(jìn)行分類討論，準(zhǔn)確找到點的運動軌跡是解題關(guān)鍵．2．（2023?裕華區(qū)二模）如圖1，平行四邊形中，，，，點在延長線上且，為半圓的直徑且，，如圖2，點從點處沿方向運動，帶動半圓向左平移，每秒個單位長度，當(dāng)點與點重合時停止平移，如圖3，停止平移后半圓立即繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒轉(zhuǎn)動，點落在直線上時，停止運動，運動時間為秒．（1）如圖1，12；（2）如圖2，當(dāng)半圓與邊相切于點，求的長；（3）如圖3，當(dāng)半圓過點，與邊交于點，①求平移和旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積；②求的長；（4）直接寫出半圓與平行四邊形的邊相切時的值．（參考數(shù)據(jù)：，【分析】（1）連接，根據(jù)勾股定理可表示出，代入求解即可．（2）連接、，根據(jù)角平分線的定理可得是的角平分線，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，根據(jù)度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理即可求解．（3）①作輔助線，根據(jù)度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求出平移中的面積；根據(jù)勾股定理及全等三角形的性質(zhì)與判定，即可求出旋轉(zhuǎn)中的面積．②作輔助線，結(jié)合①，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出，，即可求解．（4）分類討論：當(dāng)半圓與邊相切于點時；當(dāng)半圓與邊相切時，即點與點重合；當(dāng)半圓與邊相切于點時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的角求解即可．【解答】（1）如圖，連接，在中，，，，故答案