專題強化六：直線與拋物線的位置關系必刷30道題一、單選題1．拋物線型太陽灶是利用太陽能輻射的一種裝置．當旋轉拋物面的主光軸指向太陽的時候，平行的太陽光線入射到旋轉拋物面表面，經過反光材料的反射，這些反射光線都從它的焦點處通過，形成太陽光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點在它的主光軸上．如圖所示的太陽灶中，灶深CD即焦點到灶底（拋物線的頂點）的距離為1m，則灶口直徑AB為（

）A．2m B．3m C．4m D．5m2．已知拋物線C的焦點為F，準線為l，過F的直線m與C交于A，B兩點，點A在l上的投影為D.若，則（

）A． B．2 C． D．33．已知為拋物線：的焦點，過作兩條互相垂直的直線，直線與交于兩點，直線與交于兩點，則的最小值為（

）A．16 B．14 C．12 D．104．已知點F為拋物線的焦點，過F的直線l與C交于A、B兩點．若中點的縱坐標為2，則(

)A．6 B．7 C．9 D．105．已知均為拋物線上的點，為的焦點，且，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．6．已知點F為拋物線的焦點，A為拋物線的準線與y軸的交點，點B為拋物線上一動點，當取得最大值時，點B恰好在以A，F為焦點的橢圓上，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．7．已知拋物線的焦點為，過且不與軸垂直的直線與拋物線相交于、兩點，為軸上一點，滿足，則（

）A．為定值 B．為定值C．不是定值，最大值為 D．不是定值，最小值為8．設點為拋物線的焦點，，，三點在拋物線上，且四邊形為平行四邊形，若對角線（點在第一象限），則對角線所在的直線方程為A． B．C． D．9．已知F為拋物線的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側，（其中O為坐標原點），則與面積之和的最小值是（

）A． B．3 C． D．10．已知雙曲線的右焦點到其一條漸近線的距離等于，拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則拋物線上一動點M到直線和的距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題11．已知為坐標原點，點在拋物線上，過焦點的直線交拋物線于兩點，則（

）A．的準線方程為B．若，則C．若，則的中點到軸的距離為4D．12．已知拋物線的焦點為，準線為，過的直線與交于兩點，分別為在上的射影，則下列結論正確的是（

）A．若直線的傾斜角為，則 B．若，則直線的斜率為C．若為坐標原點，則三點共線 D．13．設拋物線與直線相交于不同的兩點、，弦的垂直平分線與軸交于，與的準線交于．下列結論正確的是（

）A． B．弦中點的縱坐標是定值C．存在唯一的使得 D．存在唯一的使得14．已知F為拋物線的焦點，點P在拋物線上，過點F的直線l與拋物線交于，兩點，O為坐標原點，拋物線的準線與x軸的交點為M．則下列說法正確的是（

）A．的最大值為B．若點，則的最小值為6C．無論過點F的直線l在什么位置，總有D．若點C在拋物線準線上的射影為D，則B、O、D三點共線15．在平面直角坐標系xOy中，過點的直線l與拋物線C：交于A，B兩點，點為線段AB的中點，且，則下列結論正確的為（

）A．N為的外心 B．M可以為C的焦點C．l的斜率為 D．可以小于216．已知F為拋物線C：（）的焦點，下列結論正確的是（

）A．拋物線的的焦點到其準線的距離為．B．已知拋物線C與直線l：在第一、四象限分別交于A，B兩點，若，則．C．過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點，直線與C交于D，E兩點，則四邊形面積的最小值為．D．若過焦點F的直線l與拋物線C相交于M，N兩點，過點M，N分別作拋物線C的切線，，切線與相交于點P，則點P在定直線上．三、填空題17．已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點，若，則___________.18．已知拋物線，焦點是，為拋物線上一動點，以為直徑的圓與定直線相切，則直線的方程為_________．19．已知點為拋物線的焦點，過作直線與拋物線交于兩點，以為切點作兩條切線交于點，則的面積的最小值為___________.20．已知是拋物線的焦點，過的直線與拋物線交于兩點，的中點為，過作拋物線準線的垂線交準線于，若的中點為，則__________.21．已知點和拋物線，過拋物線的焦點且斜率為的直線與交于兩點．若，則_________．22．已知拋物線C：，焦點為F，過點作斜率為k（）的直線l與拋物線C交于A，B兩點，連接AF，BF（），若，則k=______．23．已知直線與拋物線交于點，與軸交于點，點，都在拋物線上，且直線的斜率為2，點到直線，的距離相等，則的值為______．24．已知拋物線和所圍成的封閉曲線，給定點，若在此封閉曲線上恰有三對不同的點，滿足每一對點關于點對稱，則實數的取值范圍是__.四、解答題25．平面直角坐標系中，已知直線與拋物線相切．(1)求拋物線C的方程；(2)設A，B，P為拋物線C上的三個點，若直線與l平行，線段的中點為M，點N在x軸上且，求面積的取值范圍．26．拋物線焦點為F，過F斜率為的直線l交拋物線于C，D兩點，且．(1)求拋物線的標準方程；(2)過直線上一點P作拋物線兩條切線，切點為A，B．猜想直線AB與直線PF位置關系，并證明猜想．27．過點作直線交拋物線于兩點，為坐標原點，分別過點作拋物線的切線，設兩切線交于點.（1）求證：點在一定直線上；（2）設直線分別交直線于點.（i）求證：；（ii）設的面積為，的面積為，記，求的最小值.28．如圖，已知直線與拋物線和圓都相切，F是的焦點．（1）求m與a的值；（2）設A是上的一動點，以A為切點作拋物線的切線，直線交y軸于點B，以為鄰邊作平行四邊形，證明：點M在一條定直線上；（3）在（2）的條件下，記點M所在的定直線為，直線與y軸的交點為N，連接交拋物線于兩點，求的面積S的取值范圍．29．已知拋物線C：（p>0），過C的焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，當⊥x軸時，|AB|=4.(1)求拋物線C的方程；(2)如圖，過點F的另一條直線與C交于M、N兩點，設，的斜率分別為，，若（），且，求直線的方程.30．如圖，設拋物線的焦點為F，圓與y軸的正半軸的交點為A，為等邊三角形.(1)求拋物線C的方程；(2)設拋物線C上的點處的切線與圓E交于M，N兩點，問在圓E上是否存在點Q，使得直線，均為拋物線C的切線，若存在，求Q點坐標；若不存在，請說明理由.參考答案：1．C【分析】建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的方程為，根據是拋物線的焦點，求得拋物線的方程，進而求得的長.【詳解】由題意，建立如圖所示的平面直角坐標系，O與C重合，設拋物線的方程為，由題意可得是拋物線的焦點，即，可得，所以拋物線的方程為，當時，，所以.故選：C.2．A【分析】過點作，垂足為點，作，垂足為點，分析出點為的中點，利用拋物線的定義可求得結果.【詳解】過點作，垂足為點，作，垂足為點，，所以，四邊形為矩形，所以，，因為，所以，，故，由拋物線的定義可得，，所以，，即.故選：A.3．A【分析】設的方程為，，，直線方程代入拋物線方程用韋達定理是，由弦長公式求得弦長，由垂直得方程，同理可得，求出，應用基本不等式可得最小值．【詳解】因為兩條互相垂直的直線均過，且所以設的方程為，，，聯立，故，．則，同理，，當且僅當時，取“”，故選：A【點睛】關鍵點點睛：有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．4．D【分析】設的中點為，則﹒根據A和B在拋物線上，滿足拋物線方程得到兩個方程，兩個方程作差即可得到直線l斜率，故可得直線l方程，從而可求M的橫坐標，從而可求．【詳解】焦點為，p＝4，設的中點為，∴，∴，即，故，由題意可知直線l的斜率存在，設直線l的斜率為k，故，故，∴，∴．故選：D．5．A【分析】當直線的斜率大于0時，過作準線的垂線，作，根據，設，推出，的值,計算，同理計算當直線的斜率小于0時的，即得答案.【詳解】當直線的斜率大于0時，如圖，過作準線l的垂線，垂足分別為，過B作為垂足,因為，所以可設，因為均在C上，所以,,故，則，當直線的斜率小于時，同理可得，故直線的斜率為，故選：A.6．A【分析】首先利用坐標表示，再利用基本不等式求最值取得時的值，再結合橢圓的定義求，即可求得離心率.【詳解】設點，，,其中，當時，；當時，，因為，，當，即時，等號成立，當時，取得最大值，此時；根據橢圓的定義可知，即，橢圓的離心率故選：A.7．A【分析】根據題意，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，求出，求出點的坐標，可求得，即可計算出的值.【詳解】若直線與軸重合，此時，直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意；由題意，，設直線的方程為，設點、，聯立可得，，由韋達定理可得，則，所以，，線段的中點為，所以，直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點，所以，，因此，.故選：A.8．B【分析】根據拋物線定義和性質，可得點的坐標為，線段的中點的坐標為，再根據點差法可得，再根據點斜式即可求出結果.【詳解】如圖所示，設點的坐標為，則，所以，點的坐標為.所以線段的中點的坐標為.設，.有，，且.所以，所以，所以.對角線所在的直線方程為，即.故選：B.【點睛】本題主要考查了拋物線的定義、性質，以及點差法的應用，屬于中檔題.9．D【分析】設（）且直線，聯立拋物線應用韋達定理，結合向量數量積的坐標表示求得，進而可得，最后應用基本不等式求最小值，注意取值條件.【詳解】設（）且直線，聯立拋物線得，由，而，所以，得或，又A，B位于x軸的兩側，故，故，由，且過定點，又，，所以，當且僅當時等號成立.故與面積之和的最小值是.故選：D10．D【分析】根據給定條件，借助雙曲線求出拋物線焦點F的坐標，再結合拋物線定義及幾何意義求解最值作答.【詳解】雙曲線的漸近線，右焦點，依題意，，解得，因此拋物線的焦點為，方程為，其準線為，由消去x并整理得：，，即直線與拋物線相離，過點F作于點P，交拋物線于點M，過M作于點Q，交直線于點N，則有，在拋物線上任取點，過作于點，作于點，交準線于點，連，如圖，顯然，當且僅當點與點重合時取等號，所以拋物線上一動點M到直線和的距離之和的最小值為.故選：D【點睛】思路點睛：涉及拋物線上的點到定點與到焦點距離和或到定直線與準線距離和的最小值問題，利用拋物線定義轉化求解即可.11．ABD【分析】利用拋物線的定義可分析A,B選項，利用直線與拋物線相交結合韋達定理，弦長公式,基本不等式可分析C,D選項.【詳解】因為點在拋物線上，所以解得，所以拋物線方程為，所以準線方程為，所以A正確;由拋物線的定義得由,所以.所以B正確;設，聯立整理得，由韋達定理得，所以，解得，，所以C錯誤;,由拋物線定義知，所以,當且僅當時取得等號，所以D正確.故選:ABD.12．ACD【分析】對于A，求出直線的方程，代入拋物線方程中，整理后利用根與系數的關系，然后利用弦長公式可求出，對于B，設1，代入拋物線方程，整理后利用根與系數的關系，再由，得，從而可求出的坐標，進而可求出直線的斜率，對于C，同選項B，利用根與系數關系后，計算即可，對于D，同選項B，利用根與系數關系后，計算即可【詳解】若直線的傾斜角為，則，令，由消可得，所以，故正確；設1，令，由，消可得，，所以，所以，所以或所以.即，故錯誤；設，令，，消可得，所以，即三點共線，故C正確；設，令，由消可得，，所以，即，故正確.故選：ACD.13．BCD【分析】將直線的方程與拋物線的方程聯立，由可判斷A選項；利用韋達定理結合中點坐標公式可判斷B選項；利用弦長公式可判斷CD選項.【詳解】對于A選項，聯立可得，則，解得，A錯；對于B選項，設點、，則，，所以，弦中點的縱坐標為，B對；對于C選項，，易知線段的中點為，線段的垂直平分線所在直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點，所以，，因為，且弦的垂直平分線與軸交于，則為等邊三角形，所以，，可得，解得，C對；對于D選項，拋物線的準線方程為，則，因為，則，解得，合乎題意，D對.故選：BCD.14．ACD【分析】根據拋物線的性質，結合題意，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】根據題意，可得，設，且點在軸上方.對A：過點作軸交軸與點，如下圖所示：容易知：，且則，當且僅當，即時取得等號.故可得的最大值為，當且僅當垂直于軸時取得最大值，故A正確；對B：根據題意，過點作垂直于拋物線的準線，垂足為，作圖如下：因為，數形結合可知，當且僅當與重合，與重合時，取得最小值，此時，故B錯誤；對C：根據題意，作圖如下：設過點的直線方程為，聯立拋物線方程，可得：，故可得，故可得，故可得，故C正確；對D：根據題意，作圖如下：因為，故可得，又，，故共線，且有公共點，故B,O,D三點共線，故D正確.故選：ACD.【點睛】本題考查直線與拋物線相交，利用韋達定理以及拋物線定義處理最值、共線等問題，處理問題的關鍵是充分利用拋物線定義和韋達定理，進行合理的轉化，屬綜合中檔題.15．AC【分析】由可得，即可判斷A選項；設出直線，聯立拋物線，由求出，即可判斷B選項；由點差法即可求出l的斜率判斷C選項；求出即可判斷D選項.【詳解】由可得，則N為的外心，A正確；易得直線斜率不為0，設，，聯立可得，，則，則，由可得，即，則，則焦點為，B錯誤；由作差得，即，C正確；，則，D錯誤.故選：AC.16．BCD【分析】A：根據焦點到準線的距離等于即可判斷A選項；B：聯立，得，進而結合焦半徑公式得到與進而可以求出的值，從而判斷B選項；C：由題意可知直線，的斜率均存在，且不為0，設直線，聯立，結合韋達定理表示出弦長，同理，進而得到的面積，結合均值不等式即可求出結果，進而判斷C選項；D：設，不妨設，利用導數的幾何意義求出在處的切線方程和在處的切線方程進而求出交點的坐標，即可判斷D選項.【詳解】A：拋物線的的焦點到其準線的距離為，故A錯誤；B：聯立，則，解得，由題意可知，，故，所以，故B正確；C：由題意可知直線，的斜率均存在，且不為0，設直線，聯立，則，設兩交點為，結合韋達定理，所以；同理,所以，當且僅當時，等號成立；所以四邊形面積的最小值為，故C正確；D：設，不妨設因為（），若，則，所以，所以在點處的切線的斜率為，因此在處的切線方程為，即，同理在處的切線方程為，則，解得，因為直線過點，所以，即，所以，故點P在定直線上，故D正確；故選：BCD.【點睛】（1）直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系；（2）有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用過焦點的公式，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．17．16【分析】準線方程為，拋物線準線與軸交點為，作于，于，則，在直角梯形中由平行線得比例線段，從而可得，即，從而可得．【詳解】易知焦點的坐標為，準線方程為，如圖，拋物線準線與軸交點為，作于，于，，則，由，得，又，，所以，，，，所以.故答案為：16．18．【分析】設點，可得出，求出線段的中點的坐標，可知圓心到軸的距離恒等于半徑，即可得出定直線的方程.【詳解】易知為拋物線的焦點，設點，由拋物線的定義可得，線段的中點為，所以，圓心到軸的距離恒等于半徑，所以定直線的方程為．故答案為：.19．4【分析】設直線的方程為，聯立直線與拋物線方程，得到關于y的一元二次方程，利用根與系數的關系寫出，，再利用導數的幾何意義求出兩條切線的斜率和方程，聯立兩切線方程求出，利用平面向量的數量積為0判定，再利用三角形的面積公式進行求解.【詳解】由題意，得，設直線的方程為，，，且，聯立，得，則，，且，當時，由，得，，即在點處的切線斜率為，方程為；當時，由，得，，即在點處的切線斜率為，方程為；聯立、的方程，解得，即；因為，，所以，所以，則，，所以因為，，（當且僅當時取等號）所以的面積的最小值為4.故答案為：4.20．##【分析】先設，的坐標，根據，滿足拋物線方程將其代入得到兩個關系式，再將兩個關系式相減根據直線的斜率，求出的方程，代入拋物線方程，利用縱坐標的值可求出的值．【詳解】解：設，，拋物線的準線為，中點的坐標為，，，，所以的斜率，所以直線的方程為，代入拋物線方程可得，，可得，．故答案為：．21．或2【分析】首先得到拋物線標準方程和焦點坐標，假設直線方程，與拋物線方程聯立，表示出韋達定理的形式，得到，，，；根據，由向量數量積運算可構造出關于的方程，解方程求得結果.【詳解】由已知可得拋物線標準方程為：

焦點坐標為：設直線的方程為：由得：設，，則，，，又，即解得：或本題正確結果：或【點睛】本題考查直線與拋物線綜合應用問題，關鍵是能夠通過直線與拋物線方程聯立，得到韋達定理的形式，利用韋達定理表示出向量數量積的各個構成部分，從而得到關于變量的方程.22．【分析】設直線l的方程，代入拋物線方程，利用韋達定理及拋物線的焦點弦公式，聯立即可求得，，由，即可求得k的值．【詳解】解：拋物線的焦點，直線AB的方程為，．設，代入拋物線化簡可得，，①，②由拋物線的焦半徑公式可知：，，由，則，③由①②解得：，，，整理得：，解得：，由，則，故答案為．【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理及拋物線的焦半徑公式，考查計算能力，屬于中檔題．23．8【分析】解法一：設，，，表示出，，，因為點到直線，的距離相等，所以，整理結合，即可求出.解法二：設，，，直線的方程為，與聯立，得到關于的一元二次方程，所以．因為點到直線，的距離相等，所以，結合題目代入即可得出答案.【詳解】解法一：設，，，則，同理可得，．因為點到直線，的距離相等，所以，即，整理得，所以，，故，所以．解法二：設，，，直線的方程為，與聯立，整理得，所以．因為點到直線，的距離相等，所以，又，同理可得，所以，整理得，所以，，故，所以．故答案為：8.24．【詳解】試題分析：由圖可知過兩曲線的交點的直線與軸的交點為，所以，當對稱的兩個點分屬兩段曲線時，設其中一個點為，則其對稱點為，將其代入曲線，得到關于的方程的解有且只有兩個，當時，不符合題意，所以，所以，即，所以答案應填：．考點：拋物線的簡單幾何性質．25．(1)(2)【分析】（1）聯立直線方程與拋物線方程消元，由判別式等于0可得；（2）設直線聯立拋物線方程，由判別式大于0可得t的范圍，再由韋達定理可得M坐標，根據已知可得N為PM中點，從而可得P、N坐標，然后表示出三角形面積，根據t的范圍可得.(1)聯立直線與拋物線的方程得，由題意，，解得，所以拋物線的方程為．(2)依題意設直線，與拋物線的方程聯立，得．由得，由韋達定理可知，線段的中點的縱坐標，橫坐標．由于點在軸上且，所以為線段的中點，故，代入拋物線方程可得點的坐標為，點的橫坐標．于是，的面積，因為，所以面積的取值范圍是．26．(1)；(2)直線AB與直線PF垂直；證明見解析.【分析】（1）利用直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理及拋物線的定義即得；（2）設，，，利用導數的幾何意義可得切線方程，進而可得直線的方程，然后分類討論即得.（1）設直線l的方程為：，與拋物線交于，，聯立拋物線方程，可得，∴，，又由拋物線的定義知，即，所以拋物線的方程為；（2）直線AB與直線PF垂直，理由如下：由（1）得，，設，，，所以直線PA方程為：，又因為點A在拋物線上，聯立，得到直線PA方程為，同理可得PB方程為：，由AB兩點可以確定一條直線，PA，PB經過點P，所以AB所在直線方程為：，當時，顯然成立，當時，直線AB斜率，PF直線所在斜率，，直線AB與直線PF垂直；綜上，直線AB與直線PF垂直．27．（1）證明見解析；（2）（i）證明見解析；（ii）.【分析】（1）由題意，設，，聯立拋物線方程可得，寫出、處的切線方程，聯立求的坐標，即可證在一定直線上；（2）（i）由（1）可求得、，即可知都平行于y軸即，進而有，即且，結論即得證.（ii）由（i）知，結合（1）得，利用換元、函數與方程的思想，應用導數求其最小值即可.【詳解】（1）由題意，設，代入得：，令，則.拋物線在點處的切線方程為：，即，拋物線在點處的切線方程為：，即，聯立得：點的坐標為，即.∴點在定直線上.（2）（i）聯立與得：，聯立與得：，由（1）知：，軸，同理軸，，即，，即且，∴得證.（ii）由（1）得：令，則，令，即在上遞增，，當時，.【點睛】關鍵點點睛：（1）由直線與拋物線的位置關系，應用韋達定理，聯立切點處的切線方程求證其交點在定直線上；（2）（i）求交點坐標并確定平行關系，根據三角形相似得，即可證結論；（ii）應用換元法，結合函數與方程的思想，并利用導數研究函數單調性求最值.28．（1）；（2）證明見解析；（3）．【解析】（1）由直線與圓相切的條件建立方程可求得a，設與拋物線的切點為，又，由導函數的幾何意義可求得．（2）證明由（1）知拋物線的方程為，焦點．設，由向量的線性運算求得的坐標，可得證．（3）解由（2）知的方程為．設，表示的面積S，可求得其取值范圍．【詳解】解：（1）由已知，圓的圓心為，半徑.由題設圓心到直線的距離，解得（舍去）．設與拋物線的切點為，又，得.代入直線方程得：．．（2）證明由（1）知拋物線的方程為，焦點．設，由（1）知以A為切點的切線l的方程為．令，得切線l與y軸的交點B的坐標為，，．的坐標為，∴點M在定直線上．（3）解由（2）知的方程為．設，直線，將代入得：，則.．，即的面積S的取值范圍為．【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線與拋物線的位置關系之綜合性的問題，求證點在定直線上，求三角形的面積的范圍，解決的關鍵在于，將所求的量表示到拋