第四章

1/

;函數(shù)應(yīng)用

§1函數(shù)與方程

1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根與圖像交點(diǎn)三者之間的關(guān)系2會(huì)借助零點(diǎn)存在性定

理判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間3能借助函數(shù)單調(diào)性及圖像判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).

問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)新知夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)概念

思考函數(shù)的“零點(diǎn)”是一個(gè)點(diǎn)嗎？

答案不是，函數(shù)的“零點(diǎn)”是一個(gè)數(shù)，一個(gè)使段）=0的實(shí)數(shù)X.實(shí)際上是函數(shù)y=Kx）的圖像

與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

梳理概念：函數(shù)y=*x）的零點(diǎn)是函數(shù)y="）的圖像與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

方程、函數(shù)、圖像之間的關(guān)系：

方程式x）=0有實(shí)數(shù)根㈡函數(shù)y=fix）的圖像與x軸有交點(diǎn)分函數(shù)y=，x）有零點(diǎn).

知識(shí)點(diǎn)二零點(diǎn)存在性定理

思考函數(shù)零點(diǎn)有時(shí)是不易求或求不出來的.如兀r）=lgx+x.但函數(shù)值易求，如我們可以求

出/古）=愴10+10=-1+10=~^月1）=21+1=L

那么能判斷危）=lgx+x在區(qū)間1）內(nèi)有零點(diǎn)嗎？

答案能.因?yàn)開/（x）=lgx+x在區(qū)間1）內(nèi)是連續(xù)的，函數(shù)值從一卷變化到I,勢(shì)必在

（京，1）內(nèi)某點(diǎn)處的函數(shù)值為0.

梳理若函數(shù)y=/（x）在閉區(qū)間［外”上的圖像是連續(xù)曲線,并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相

反，即版)帥)<0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi)，函數(shù)y=y(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)的方程凡0=0

在區(qū)間(a,6)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解.這個(gè)結(jié)論可稱為函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理.

思考辨析判斷正誤

1.犬x)=f的零點(diǎn)是0.(V)

2.若—a)?膽)>0,則火龍)在［a,切內(nèi)無零點(diǎn).(X)

3.若Ax)在［a,句上為單調(diào)函數(shù)，且九0由與<0,則危)在3,6)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).(V)

4.若.*x)在(。，勿內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則人幻:火力<0.(X)

題型探究-----------------啟迪思維探究重點(diǎn)

類型一求函數(shù)的零點(diǎn)

例1函數(shù)兀t)=(lgx)2-lgx的零點(diǎn)為.

考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的概念

題點(diǎn)求函數(shù)的零點(diǎn)

答案x=1或x=10

解析由(lgx)2—lgx=0,得lgx(lgx—1)=0,

??lgX—--0或1gx-—1,??x-—1或x--10.

反思與感悟函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是方程式x)=0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y=?x)的圖像與x

軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)點(diǎn).在寫函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，所寫的一定

是一個(gè)數(shù)字，而不是一個(gè)坐標(biāo).

跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)火工)=(/-l)(x+2)2(f-2x-3)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.

考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的概念

題點(diǎn)求函數(shù)的零點(diǎn)

答案4

解析Xx)=(x+l)(x-l)(x+2)2(x-3)(%+1)

=(X+1)2(X-1)(X+2)2(X-3).

可知零點(diǎn)為±1,-2,3,共4個(gè).

類型二判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間

例2根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程e'—(x+2)=0(eQ2.72)的一個(gè)根所在的區(qū)間是()

X-10123

ex0.3712.727.4020.12

x+212345

A.(-1,O)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理

題點(diǎn)判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間

答案C

解析令於)=厘一(苫+2),則/一1)=0.37—1<0,/0)=1-2<0,#1)=2.72—3<0,42)=740

-4=3.40>0.由于近1)由2)<0,...方程e'-(x+2)=0的一個(gè)根在(1,2)內(nèi).

反思與感悟在函數(shù)圖像連續(xù)的前提下，犬“)十份<0,能判斷在區(qū)間(。，份內(nèi)有零點(diǎn)，但不一

定只有一個(gè)；而穴。他)>0,卻不能判斷在區(qū)間3,3內(nèi)無零點(diǎn).

跟蹤訓(xùn)練2若函數(shù)y(x)=3x-7+lnx的零點(diǎn)位于區(qū)間(〃，〃+l)("GN)內(nèi)，貝U”=.

考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理

題點(diǎn)判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間

答案2

解析?.?函數(shù)式x)=3x—7+lnx在定義域上是增函數(shù)，

函數(shù)?x)=3x—7+lnx在區(qū)間(〃,"+1)上只有一個(gè)零點(diǎn).

??70)=3—7+ln1=—4<0,：2)=6—7+十2<0,式3)=9—7+ln3>0,

函數(shù)式x)=3x—7+lnx的零點(diǎn)位于區(qū)間(2,3)內(nèi)，

?,?幾=2.

類型三函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

命題角度1判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

例3求函數(shù)兀v)=2，+lg(x+l)-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

考點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

題點(diǎn)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

解方法一；人0)=1+0—2=—1<0,川)=2+lg2—2>0,."x)在(0,1)上必定存在零點(diǎn).又

顯然火x)=2'+lg(x+1)—2在(-1,十8)上為增函數(shù).

故函數(shù)人的有且只有一個(gè)零點(diǎn).

方法二在同一坐標(biāo)系下作出〃(x)=2—2、和g(x)=lg(x+l)的草圖.

由圖像知g(x)=lg(x+l)的圖像和力a)=2—2、的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

即y(x)=2'+lg(x+1)-2有且只有一個(gè)零點(diǎn).

反思與感悟判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法主要有：(1)可以利用零點(diǎn)存在性定理來確定零點(diǎn)的存

在性，然后借助函數(shù)的單調(diào)性判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)利用函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判定函數(shù)零點(diǎn)的

個(gè)數(shù).

跟蹤訓(xùn)練3求函數(shù)段)=lnx+2x—6零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

考點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

題點(diǎn)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

解方法一由于/2)=1112—2<0,/3)=1113>0,即_/(2)7(3)<0,說明這個(gè)函數(shù)在區(qū)間(2,3)

內(nèi)有零點(diǎn).又因?yàn)楹瘮?shù)_/U)在定義域(0,+8)內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個(gè)零點(diǎn).

方法二通過作出函數(shù)y=lnx,y=-2x+6的圖像，觀察兩圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出結(jié)論.也就

是將函數(shù)<x)=lnx+2x—6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與y——2x+6的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

由圖像可知兩函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)兀0有一個(gè)零點(diǎn).

命題角度2根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍

例4兀v)=2±(x-a)-1在(0,+8)內(nèi)有零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

A.(—8,H-oo)B.(—2,+°0)

C.(0,+8)D.(-1,+8)

考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理

題點(diǎn)與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題

答案D

解析由題意可得“=X—Q)vU>0).

令g(x)=x-該函數(shù)在(0,+8)上為增函數(shù)，可知g(x)的值域?yàn)?-1,+°°),故a>一1

時(shí)，/U)在(0,+8)內(nèi)有零點(diǎn).

反思與感悟?yàn)榱吮阌谙拗屏泓c(diǎn)個(gè)數(shù)或零點(diǎn)所在區(qū)間，通常要對(duì)已知條件進(jìn)行變形，變形的

方向是：(1)化為常見的基本初等函數(shù)；(2)盡量使參數(shù)與變量分離，實(shí)在不能分離，也要使含

參數(shù)的函數(shù)盡可能簡(jiǎn)單.

跟蹤訓(xùn)練4若函數(shù)於)=『+2松+2〃?+1在區(qū)間(-1,0)和(1⑵內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

的取值范圍是()

A.(一8,1一的“1+啦，+8)

B.(-8,I-啦)U(l+啦，+°o)

c

[~i4]

考點(diǎn)一元二次方程根的分布

題點(diǎn)兩根分別在兩不同區(qū)間

答案D

解析函數(shù),/(x)=d+2〃Lv+2m+l的零點(diǎn)分別在區(qū)間(一1,0)和(1,2)內(nèi)，

即函數(shù)ytAOuf+Z/nx+Z/n+l的圖像與x軸的交點(diǎn)一個(gè)在(一1,0)內(nèi)，一個(gè)在(1,2)內(nèi),

^-1)=2>0,

[0)=2加+1<0,

根據(jù)圖像列出不等式組《

犬1)=4機(jī)+2<0,

32)=6機(jī)+5>0,

f1

w<—2，

解得《***―1<7W<—

%>一大

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

達(dá)標(biāo)檢測(cè)-----------------檢測(cè)評(píng)價(jià)達(dá)標(biāo)過關(guān)

1.函數(shù)y=x的零點(diǎn)是()

A.(0,0)B.x=0C.x=lD.不存在

考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的概念

題點(diǎn)求函數(shù)的零點(diǎn)

答案B

2.函數(shù)./U)=/—2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的概念

題點(diǎn)求函數(shù)的零點(diǎn)

答案C

3.若函數(shù)兀v)的圖像在R上連續(xù)不斷，且滿足犬0)<0,川)>0,12)>0,則下列說法正確的是

()

A./(X)在區(qū)間(0,1)上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上一定沒有零點(diǎn)

B./U)在區(qū)間(0,1)上一定沒有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上一定有零點(diǎn)

C.?r)在區(qū)間(0,1)上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上可能有零點(diǎn)

D../(X)在區(qū)間(0,1)上可能有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上一定有零點(diǎn)

考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理

題點(diǎn)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否有零點(diǎn)

答案c

4.下列各圖像表示的函數(shù)中沒有零點(diǎn)的是（)

考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的概念

題點(diǎn)判斷函數(shù)有無零點(diǎn)

答案D

5.函數(shù)兀v）=V-的零點(diǎn)有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.無數(shù)個(gè)

考點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

題點(diǎn)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

答案B

規(guī)律與方法

1.方程/（x）=g（x）的根是函數(shù)火x）與g（x）的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也是函數(shù)g（x）的圖像

與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

2.在函數(shù)零點(diǎn)存在性定理中，要注意三點(diǎn)：（1）函數(shù)是連續(xù)的：（2）定理不可逆；（3）至少存在

一個(gè)零點(diǎn).

3.解決函數(shù)的零點(diǎn)存在性問題常用的辦法有三種：

（1）用定理；（2）解方程；（3）用圖像.

4.函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，有些方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解，同樣，函數(shù)問題有

時(shí)化為方程問題，這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ).

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)

一、選擇題

考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的概念

題點(diǎn)判斷函數(shù)有無零點(diǎn)

答案A

解析B,C,D的圖像均與x軸有交點(diǎn)，故函數(shù)均有零點(diǎn)，A的圖像與x軸沒有交點(diǎn)，故函

數(shù)沒有零點(diǎn).

2.已知函數(shù)代r)在區(qū)間口，句上單調(diào)，且圖像是連續(xù)不斷的，若人①皿6)<0,則方程1x)=0

在區(qū)間句上()

A.至少有一實(shí)數(shù)根B.至多有一實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.必有唯一的實(shí)數(shù)根

考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理

題點(diǎn)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否有零點(diǎn)

答案D

解析由題意知函數(shù)次x)為連續(xù)函數(shù).二7(“求切<0,函數(shù)兀0在區(qū)間心，b］上至少有一個(gè)零

點(diǎn)、.又???函數(shù)段)在區(qū)間團(tuán)，團(tuán)上是單調(diào)函數(shù)，.?.函數(shù)次x)在區(qū)間［a,團(tuán)上至多有一個(gè)零點(diǎn).故

函數(shù)?r)在區(qū)間［a,句上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程式x)=0在區(qū)間［a,切內(nèi)必有唯一的實(shí)數(shù)根.故

選D.

3.已知函數(shù)yu)=3—iog2x,在下列區(qū)間中，包含y(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+?>)

考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理

題點(diǎn)判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間

答案C

解析由題意知，函數(shù)/U)在(0,+8)上為減函數(shù).汽1)=6—0=6>0,五2)=3—1=2>0,14)

=卜叫24=,-2=一；<0.由零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)於)在區(qū)間(2,4)上必存在零點(diǎn).

4.對(duì)于函數(shù)於)=1+"a+〃，若/(a)>0,則函數(shù)凡0在區(qū)間(a,3)內(nèi)()

A.一定有零點(diǎn)B.一定沒有零點(diǎn)

C.可能有兩個(gè)零點(diǎn)D.至少有一個(gè)零點(diǎn)

考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理

題點(diǎn)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否有零點(diǎn)

答案C

解析若函數(shù)/(x)的圖像及給定的區(qū)間(a,b),如圖(1)或圖(2)所示，可知A,D錯(cuò)，若如圖(3)

所示,可知B錯(cuò).

5.+8),則()

A.於|)<0,式X2)<0B.y(xi)<0,人及)>0

C.於|)>0,Xx2)<0D.危1)>0,危2)>0

考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理

題點(diǎn)與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題

答案B

解析方法一由犬x)=0得2*+±=0,

在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)>1=2。竺=士?的圖像(圖略)，

觀察圖像可知，當(dāng)xie(i,xo)時(shí)，9勺2；

當(dāng)X2G(Xo,+8)時(shí)，y1>了2,..JUi)<0,X^2)>0.

方法二?.,函數(shù)y=2*,在(1,+8)上均為增函數(shù)，，函數(shù)在(1,+8)上為增函

數(shù)，

.?.由xiG(I,沏),兀臉=0,得式由)勺由))=0,

由及丘(須),+°°),Xxo)=O,得?X2)次xo)=O.

6.若函數(shù)7(x)在定義域｛MxeR且xWO｝上是偶函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)，*2)=0,則

函數(shù)兀v)的零點(diǎn)有()

A.一個(gè)B.兩個(gè)C.至少兩個(gè)D.無法判斷

考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的綜合應(yīng)用

題點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題

答案B

解析人x)在(0,+8)上是減函數(shù)，<2)=0,

所以7U)在①，+8)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)2.

又兀V)是偶函數(shù)，所以人龍)在(-8,0)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)一2.

因此函數(shù)兀0有兩個(gè)零點(diǎn)一2與2.

二、填空題

7.若函數(shù)火x)=〃u—1在。1)內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理

題點(diǎn)與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題

答案(1,十8)

解析10)=—1,要使函數(shù)-1在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，需41)=加一i>o,即心>1.

8.若函數(shù)/U)=3/—5x+a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(一2,0)內(nèi),另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,3)內(nèi)，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是

考點(diǎn)一元二次方程根的分布

題點(diǎn)兩根分別在兩不同區(qū)間

答案(-12,0)

解析根據(jù)二次函數(shù)及其零點(diǎn)所在區(qū)間可畫出大致圖像，如圖.

僅-2)>0,

由圖可知《“°卜3

川)<0,

［火3)>0,

<12+10+a>0,

。<0,

即《解得一

3—5+?<0,

、27-15+。>0,

12-*-4,xWO,

9.函數(shù)式x)=的零點(diǎn)是________.

[lgx,x>0

考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的概念

題點(diǎn)求函數(shù)的零點(diǎn)

答案一2,1

解析當(dāng)xWO時(shí)，令2r—4=0,得》=-2,滿足要求；當(dāng)x>0時(shí)，令lgx=O,得x=l,

滿足要求.所以函數(shù)_/(x)的零點(diǎn)是一2,1.

10.已知函數(shù)人此=優(yōu)一2|+1,g(x)=kx,若方程兀v)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)左的

取值范圍是.

考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理

題點(diǎn)與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題

答案&1)

解析畫出函數(shù)yu)的圖像，如圖所示.若方程y(x)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則函數(shù)./(X),

g(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知&>3，且A<1.

三、解答題

11.試判斷方程爐=2,在區(qū)間［L2］內(nèi)是否有實(shí)數(shù)解.

考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理

題點(diǎn)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否有零點(diǎn)

解設(shè)函數(shù)兀v