期中素養(yǎng)綜合測試(滿分120分,限時100分鐘)一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)1.(2024重慶彭水期末)下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的

是

(

)A.2x-1=4

B.xy+x=3C.x-

=5

D.x2-2x+1=0D解析

A.2x-1=4,該方程是一元一次方程,不符合題意;B.xy+x=3,該方程是二元二次方程,不符合題意;C.x-

=5不是整式方程,所以不是一元二次方程,不符合題意;D.x2-2x+1=0,是一元二次方程,符合題意.故選D.2.(2024陜西城固期中)如圖,Rt△ABC中,D是AB的中點,∠B=

25°,則∠ADC的度數(shù)為

(

)

A.50°

B.48°

C.55°

D.25°A解析∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中點,∴AD=

BD=CD,∵∠B=25°,∴∠BCD=∠B=25°,∴∠ADC=∠B+∠BCD=25°+25°=50°.故選A.3.(2024江西九江期中)關(guān)于x的一元二次方程(m-3)x2+5x+m2-3m=0的常數(shù)項為0,則m的值為

(

)A.3

B.0

C.3或0

D.2B解析∵關(guān)于x的一元二次方程(m-3)x2+5x+m2-3m=0的常數(shù)

項為0,∴m-3≠0且m2-3m=0,解得m=0,故選B.4.(跨學(xué)科·物理)如圖,電路圖上有4個開關(guān)A,B,C,D和1個小燈

泡,現(xiàn)隨機閉合兩個開關(guān),小燈泡發(fā)光的概率為

(

)

A.

B.

C.

D.

B解析畫樹狀圖如下:共有12種等可能的結(jié)果,可以使小燈泡發(fā)光的結(jié)果有4種:(A,

B),(B,A),(C,D),(D,C),∴小燈泡發(fā)光的概率為

=

.故選B.5.下列說法中,正確的是

(

)A.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形B.對角線互相平分的四邊形是菱形C.對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形D.對角線相等的平行四邊形是矩形D解析

A.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形,故

A錯誤;B.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形,故B錯誤;C.

對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,故C錯誤;D.對角線

相等的平行四邊形是矩形,故D正確.故選D.6.從-1,1,2中任取兩個不同的數(shù),分別記為a和b,則a,b是方程x2

-x-2=0的兩個根的概率是

(

)A.

B.

C.

D.

D解析列表如下:

-112-1

(1,-1)(2,-1)1(-1,1)

(2,1)2(-1,2)(1,2)

由表知,共有6種等可能的結(jié)果,其中a,b是方程x2-x-2=0的兩個

根的有(-1,2),(2,-1)這兩種結(jié)果,所以a,b是方程x2-x-2=0的兩個

根的概率為

=

,故選D.7.(2024甘肅蘭州期中)定義運算“*”為a*b=ab2-2ab-3,則3*x

=0的根的情況為(

)A.有兩個不相等的實數(shù)根B.無實數(shù)根C.有兩個相等的實數(shù)根D.不能確定A解析根據(jù)題意得3x2-6x-3=0,∵Δ=b2-4ac=36+36=72>0,∴方

程有兩個不相等的實數(shù)根.故選A.8.(2023黑龍江大慶中考)將兩個完全相同的菱形按如圖所示

的方式放置,若∠BAD=α,∠CBE=β,則β=

(

)

A.45°+

α

B.45°+

αC.90°-

α

D.90°-

αD解析

∵四邊形ABCD和四邊形BGHF是完全相同的菱形,∴∠DBE=∠BAD=α,AB=AD,∴∠ABD=∠CBD=∠CBE+∠DBE=β+α,∴∠ADB=∠ABD=β+α,∵∠BAD+∠ADB+∠ABD=180°,∴α+β+α+β+α=180°,∴β=90°-

α,故選D.9.(2023四川瀘州中考)若一個菱形的兩條對角線長分別是關(guān)

于x的一元二次方程x2-10x+m=0的兩個實數(shù)根,且其面積為11,則該菱形的邊長為

(

)A.

B.2

C.

D.2

C解析設(shè)菱形的兩條對角線長分別為a、b,∵菱形的面積=

兩條對角線積的一半,∴

ab=11,即ab=22.由題意,得

∴菱形的邊長=

=

=

=

=

=

.故選C.10.(2024云南昆明一中期中)形如x2+ax=b2(a>0,b>0)的方程的

一種圖解法是:如圖①,以

和b為兩直角邊長作Rt△EFG,再在斜邊上截取FH=

,則EH的長就是所求方程的正根.現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程x2+mx=16(m>0),按照上述方法,構(gòu)造圖②,

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,連接CD,若

=

,則m的值為(

)

CA.3

B.4

C.6

D.8

解析由題意得BC=BD=

,AC=4,∵∠ACB=90°,∴AB=

=

,∴AD=AB-BD=

-

=

,∵

=

,∴

=

,即

=

,∴5m=3

,∴25m2=9(m2+64),解得m=6或m=-6,∵m>0,∴m=6.

經(jīng)檢驗,m=6是原方程的解.故選C.二、填空題(本大題共8小題,每小題3分,共24分)11.(2024北京大興期末)若關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0有

一個根為1,則m的值為

.2解析∵關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0的一個根為1,∴1-3+m=0,解得m=2.故答案為2.12.(2023湖南長沙雅禮實驗中學(xué)月考)如圖,菱形ABCD的面

積為24,AC=8,則菱形的邊長為

.

5解析設(shè)AC與BD相交于點O,如圖所示:

∵四邊形ABCD是菱形,面積為24,且AC=8,∴

AC·BD=24,AC⊥BD,OB=

BD,OA=

AC=4,∴BD=6,∴OB=3.在Rt△AOB中,AB=

=5.故答案為5.13.(2023湖北武漢實驗中學(xué)月考)一個不透明的袋子里裝有

紅球和白球共m個,它們除顏色外完全相同,每次攪勻后從中

隨機摸出一個球并記下顏色,再放回袋中,不斷重復(fù),統(tǒng)計匯

總數(shù)據(jù)如下表:摸球次數(shù)3006009001500摸到白球的頻數(shù)123247365606摸到白球的頻率0.4100.4120.4060.404已知袋子里白球有10個,根據(jù)表格信息,可估計m的值為

.25解析隨著摸球次數(shù)的增加,摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4,故

可估計摸到白球的概率為0.4,所以可估計袋子中球的總個數(shù)

m=10÷0.4=25.故答案為25.14.(2024江蘇鎮(zhèn)江潤州期中)手卷是國畫裝裱中橫幅的一種

體式,以能握在手中順序展開閱覽得名,它主要由“引首”

“畫心”“拖尾”三部分組成(這三部分都是矩形形狀),分

隔這三部分的部分統(tǒng)稱為“隔水”.圖中手卷長1000cm,寬

40cm,引首和拖尾完全相同,其寬度都為100cm,若隔水的寬

度為xcm,畫心的面積為15200cm2,則根據(jù)題意,可列方程為

(不用化簡).(1000-2×100-4x)(40-2x)=15200解析∵隔水的寬度為xcm,∴畫心的長為(1000-2×100-4x)cm,寬為(40-2x)cm,根據(jù)題意得(1000-2×100-4x)(40-2x)=15200.15.(2023廣東揭陽普寧二中實驗學(xué)校期中)如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,DE⊥AC于點E,若∠EDC∶∠EDA=1∶2,AC=10,則EC的長度是

.

2.5解析∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,∵∠EDC∶∠EDA=1∶2,∴∠EDC=30°,∠EDA=60°,∵DE⊥AC,∴∠DEC=∠DEA=90°,∴∠DAC=30°,∴DC=

AC=5,∴EC=

DC=2.5.16.(2024貴州遵義紅花崗期中改編)將四根長度相等的細木

條首尾相接,用釘子釘成四邊形ABCD,如圖①,當∠B=90°時,

測得A,C兩點間的距離為

.推動四邊形如圖②,當∠B=60°時,A,C兩點間的距離為

,四邊形ABCD的面積為

.

1

解析在題圖①中,∵∠B=90°,AB=BC,∴△ABC是等腰直角

三角形,∴AB2+BC2=2AB2=AC2,∵AC=

,∴AB=BC=1.如題圖②,當∠B=60°時,∵AB=BC=1,∠B=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴AC=AB=BC

=1.在題圖②中,連接BD,設(shè)AC、BD交于點O(圖略),則AC⊥

BD,AO=

AC=

,∴BO=

=

,∴BD=2BO=

,∴S四邊形ABCD=

AC·BD=

×1×

=

.17.(2023陜西涇陽期末)如圖,在矩形ABCD中,AC、BD相交

于點O,AE平分∠BAD,交BC于E,已知∠EAO=15°,AC=6,那么

△BOE的面積為

.

解析如圖所示,過O作OF⊥BC于F,∵四邊形ABCD是矩形,

∴AO=BO=

AC=3,∠BAD=∠ABE=90°,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=45°,又∵∠EAO=15°,∴∠BAO=60°,∴△AOB是等邊三角形,∴AB=AO=3,∵∠BAE=45°,∠ABO=60°,∠ABE=90°,∴∠AEB=45°,∠OBF=30°,∴AB=EB=3,OF=

OB=

,∴△BOE的面積=

BE·OF=

×3×

=

,故答案為

.18.在不透明的口袋中,有五個形狀、大小、質(zhì)地完全相同的

小球,小球上分別標有數(shù)-2、-1、0、2、3,現(xiàn)從口袋中任取

一個小球,將該小球上的數(shù)作為點C的橫坐標,然后放回搖勻,

再從口袋中任取一個小球,將該小球上的數(shù)作為點C的縱坐

標,則點C恰好與點A(-2,2)、B(3,2)構(gòu)成直角三角形的概率是

.

解析畫樹狀圖如下:

共有25種等可能的情況,其中能使A、B、C構(gòu)成直角三角形

的點C的坐標有10種情況:(-2,-2),(-2,-1),(-2,0),(-2,3),(-1,0),(2,

0),(3,-2),(3,-1),(3,0),(3,3),∴P(A、B、C構(gòu)成直角三角形)=

=

.三、解答題(共66分)19.[答案含評分細則](2024黑龍江望奎期末改編)(10分)用適

當?shù)姆椒ń夥匠?(1)x2+12x-2=0.(2)(x+3)(x-1)=12.解析

(1)x2+12x-2=0,∴(x+6)2=2+36,

1分∴x+6=±

,

3分解得x1=-6+

,x2=-6-

.

5分(2)(x+3)(x-1)=12,整理得,x2+2x-15=0,

6分∴(x-3)(x+5)=0,

8分解得x1=3,x2=-5.

10分20.[答案含評分細則](10分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+

m-2=0有兩個不相等的實數(shù)根.(1)求m的取值范圍.(2)若m為正整數(shù),請你寫出一個滿足條件的m值,并求出此時

方程的根.解析

(1)∵關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m-2=0有兩個不相

等的實數(shù)根,∴Δ=(-2)2-4×1×(m-2)>0,

2分即4-4m+8>0,

3分∴m<3.

4分(2)∵m為正整數(shù),且m<3,∴m為2或1,

6分當m=2時,原方程為x2-2x=0,∴x(x-2)=0,

8分∴x1=0,x2=2.

10分(列出一種取值情況即可,m值取1時,x1=1+

,x2=1-

)21.[答案含評分細則](情境題·國防歷史)(10分)某校為紀念歷

史,緬懷先烈,舉行以“致敬抗美援朝,爭做時代新人”為主

題的故事會,校團委將抗美援朝中四位歷史英雄人物頭像制

成編號為A、B、C、D的四張卡片(除編號和頭像外其余完

全相同),活動時先將四張卡片背面朝上洗勻放好,再從中隨

機抽取一張,記下卡片上的英雄人物,然后放回.學(xué)生根據(jù)所

抽取的卡片來講述他們波瀾壯闊、可歌可泣的歷史事跡.請

用列表或畫樹狀圖的方法求小強和小葉抽到的兩張卡片恰

好是同一英雄人物的概率.

A.黃繼光B.邱少云C.蔣道平D.楊根思解析畫樹狀圖如下:

6分共有16種等可能的結(jié)果,其中小強和小葉抽到的兩張卡片恰

好是同一英雄人物的結(jié)果有4種,∴小強和小葉抽到的兩張卡片恰好是同一英雄人物的概率

為

=

.

10分22.[答案含評分細則](12分)某青年旅社有60個客房供游客居

住,在旅游旺季,當每個客房的定價為每天200元時,所有客房

都可以住滿.每個客房定價每提高10元,就會有1個客房空閑,

對有游客入住的客房,旅社還需要對每個房間每天支出20元

的維護費用,設(shè)每個客房的定價提高了x元.(1)填表(不需化簡):

入住的房間數(shù)量(個)每個房間的價格(元)總維護費用(元)提價前6020060×20提價后

(2)若該青年旅社希望每天純收入為14000元且能吸引更多

的游客,則每個客房的定價應(yīng)為多少元?(純收入=總收入-維

護費用)解析

(1)表格從左到右依次填60-

;200+x;

×20.

6分(2)依題意得(200+x)

-

×20=14000,

8分整理,得x2-420x+32000=0,解得x1=320,x2=100.

10分當x=320時,入住的房間數(shù)量是60-

=28個;當x=100時,入住的房間數(shù)量是60-

=50個.所以當x=100時,能吸引更多的游客,則每個客房的定價為200+100=300(元).答:每個客房的定價應(yīng)為300元.

12分23.[答案含評分細則](2024江西九江期中)(12分)如圖,在矩形

ABCD中,M、N分別是AD、BC的中點,P、Q分別是BM、DN

的中點.(1)求證:BM=DN.(2)連接MQ、PN,判斷四邊形MPNQ的形狀,并說明理由.(3)矩形ABCD的邊AB與AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時,四邊形

MPNQ是正方形?請說明理由.解析

(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C=90°,

1分∵M、N分別是AD、BC的中點,∴AM=CN,

2分∴△MBA≌△NDC(SAS),∴BM=DN.

4分(2)四邊形MPNQ是菱形,理由如下:

5分如圖,連接MN,∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC,AD∥BC,AB⊥AD,

6分∵M、N分別是AD、BC的中點,∴AM=

AD=

BC=BN,∴四邊形ABNM是平行四邊形,

7分又∵AB⊥AM,∴四邊形ABNM是矩形,∴∠BNM=90°,∵P是BM的中點,∴MP=PB=PN,

8分同理可得MQ=DQ=NQ,∵BM=DN,∴MP=PN=MQ=NQ,∴四邊形MPNQ是菱形.

9分

(3)當AD=2AB時,四邊形MPNQ是正方形.理由如下:

10分如圖,連接PQ、AP.由(2)可知,四邊形MPNQ是菱形,∴PQ⊥MN,∵四邊形ABNM是矩形,∴AD⊥MN,∴PQ∥AD,易知A,P,N共線,P是AN的中點.又∵Q是DN的中點,∴PQ為△ADN的中位線,

11分∴AD=2PQ.當AD=2AB時,PQ=AB,∵MN=AB,∴MN=PQ,∴菱形MPNQ是正方形.

12分24.[答案含評分細則](新考向·實踐探究題)(2022河南中考)(12分)綜合與實踐綜合與實踐課上,老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開

展數(shù)學(xué)活動.(1)操作判斷操作一:對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合,得到折痕EF,把

紙片展平;操作二:在AD上選一點P,沿BP折疊,使點A落在矩形內(nèi)部點M

處,把紙片展平,連接PM,BM.根據(jù)以上操作,當點M在EF上時,寫出圖1中一個30°的角:

.(2)遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片,繼續(xù)探究,過程如下:將正方形紙片ABCD按照(1)中的方式操作,并延長PM交CD

于點Q,連接BQ.①如圖2,當點M在EF上時,∠MBQ=

°,∠CBQ=

°;②改變點P在AD上的位置(點P不與點A,D重合),如圖3,判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.(3)拓展應(yīng)用在(2)的探究