第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值第五章5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值1.理解函數(shù)最值的概念，了解其與函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系.2.會(huì)求某閉區(qū)間上函數(shù)的最值.學(xué)習(xí)目標(biāo)同學(xué)們，上節(jié)課我們?cè)谌荷街g穿梭，感受了每一個(gè)山峰與山谷的優(yōu)美之處，而今天我們誓要尋找最高的山峰和最低的峽谷，我們既要有俯視一切的雄心和氣概，拿出“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的氣勢(shì)，也要有仰望一切的謙虛和胸懷，更要有“可上九天攬?jiān)?，可下五洋捉鱉”的勇氣，這其實(shí)就是我們今天要探究的函數(shù)的最值.導(dǎo)語(yǔ)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、極值與最值的關(guān)系二、求函數(shù)的最值三、利用最值證明不等式內(nèi)容索引一、極值與最值的關(guān)系問(wèn)題1如圖是y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)圖象.顯然f(x1)，f(x3)，f(x5)為極大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)為極小值.你能找到函數(shù)的最大值和最小值嗎？提示最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分別在x＝x3及x＝b處取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4處取得.顯然函數(shù)的最值是函數(shù)的整體性質(zhì)，且要求函數(shù)是連續(xù)不斷的，而最值不同于極值，如果有最大(小)值，則唯一存在.問(wèn)題2開(kāi)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有最值嗎？提示如圖.容易發(fā)現(xiàn)，開(kāi)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值和最小值，若有最值，則一定是在極值點(diǎn)處取到.知識(shí)梳理函數(shù)最值的定義(1)一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，那么它必有最大值和最小值.(2)對(duì)于函數(shù)f(x)，給定區(qū)間I，若對(duì)任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，則稱(chēng)f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值；若對(duì)任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，則稱(chēng)f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值.注意點(diǎn)：(1)開(kāi)區(qū)間不一定有最值，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；(2)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)是f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要條件.例1

如圖是函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象，寫(xiě)出函數(shù)的極大值、極小值、最大值和最小值.解由題圖可知，y＝f(x)在x1，x3處取得極小值，在x2處取得極大值，所以極小值為f(x1)，f(x3)，極大值為f(x2)；比較極值和端點(diǎn)值可知函數(shù)的最小值是f(x3)，最大值在b處取得，最大值為f(b).例1

如圖是函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象，寫(xiě)出函數(shù)的極大值、極小值、最大值和最小值.解由題圖可知，y＝f(x)在x1，x3處取得極小值，在x2處取得極大值，所以極小值為f(x1)，f(x3)，極大值為f(x2)；比較極值和端點(diǎn)值可知函數(shù)的最小值是f(x3)，最大值在b處取得，最大值為f(b).反思感悟最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系(1)極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言，最值是對(duì)函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言.(2)在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大(小)值可能有多個(gè)，但最大(小)值只有一個(gè)(或者沒(méi)有).(3)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為定義域中的內(nèi)點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn).(4)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.跟蹤訓(xùn)練1

設(shè)f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則下列結(jié)論中正確的是A.f(x)的極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn)B.f(x)的最值點(diǎn)一定是極值點(diǎn)C.f(x)在區(qū)間[a，b]上可能沒(méi)有極值點(diǎn)D.f(x)在區(qū)間[a，b]上可能沒(méi)有最值點(diǎn)√解析根據(jù)函數(shù)的極值與最值的概念知，f(x)的極值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn)，f(x)的最值點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).可能是區(qū)間的端點(diǎn)，連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，所以選項(xiàng)A，B，D都不正確，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上沒(méi)有極值點(diǎn)，所以C正確.二、求函數(shù)的最值例2

求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；例2

求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；解因?yàn)閒(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]，所以f′(x)＝6x2－12令f′(x)＝0，因?yàn)閒(－2)＝8，f(3)＝18，當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)取得最大值18.(2)f(x)＝

x＋sinx，x∈[0,2π].又x∈[0,2π]，所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有最小值f(0)＝0；當(dāng)x＝2π時(shí)，f(x)有最大值f(2π)＝π.反思感悟求函數(shù)最值的步驟(1)求函數(shù)的定義域.(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)求極值、端點(diǎn)處的函數(shù)值，確定最值.注意：不要忽略將所求極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較.跟蹤訓(xùn)練2

求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；解f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.又f(0)＝3，f(2)＝－5，f(4)＝35，f(－2)＝－37，∴當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)取最大值35.當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)取最小值－37.即f(x)的最大值為35，最小值為－37.當(dāng)f′(x)＝0時(shí)，x＝2，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示.∴f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增，在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，三、利用最值證明不等式例3

已知函數(shù)f(x)＝ex－e(lnx＋1)，求證f(x)≥0恒成立.設(shè)F(x)＝xex－e(x>0)，則F(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且F(1)＝0.f(x)的最小值為f(x)min＝f(1)＝0，∴f(x)≥0恒成立.反思感悟證不等式恒成立，用導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；有時(shí)也可根據(jù)不等式直接構(gòu)成函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的方法，通過(guò)分類(lèi)討論研究函數(shù)的最值，即可得到結(jié)果.∴當(dāng)x>1時(shí)，g(x)－f(x)>0，即f(x)<g(x)，1.知識(shí)清單：(1)函數(shù)最值的定義.(2)求函數(shù)最值.(3)函數(shù)最值的應(yīng)用.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、分類(lèi)討論.3.常見(jiàn)誤區(qū)：忽視函數(shù)的最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系.課堂小結(jié)隨堂演練12341.下列結(jié)論正確的是A.若f(x)在[a，b]上有極大值，則極大值一定是[a，b]上的最大值B.若f(x)在[a，b]上有極小值，則極小值一定是[a，b]上的最小值C.若f(x)在[a，b]上有極大值，則極小值一定是在x＝a和x＝b處取得D.若f(x)在[a，b]上連續(xù)，則f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值√解析函數(shù)f(x)在[a，b]上的極值不一定是最值，最值也不一定是極值，極值一定不會(huì)在端點(diǎn)處取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值.1234√所以y的最大值為ymax＝π－sinπ＝π.12343.函數(shù)f(x)＝x3－3x(|x|＜1)A.有最值，但無(wú)極值B.有最值，也有極值C.既無(wú)最值，也無(wú)極值D.無(wú)最值，但有極值√解析f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，無(wú)最大值和最小值，也無(wú)極值.12344.函數(shù)f(x)＝(x＋1)ex的最小值是______.解析f(x)＝(x＋1)ex?f′(x)＝(x＋2)ex，當(dāng)x>－2時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x<－2時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.設(shè)M，m分別是函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，則f′(x)A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不確定解析因?yàn)镸＝m，所以f(x)為常函數(shù)，故f′(x)＝0，故選A.√12345678910111213141516√12345678910111213141516解析f′(x)＝1－2sinx，所以sinx∈[－1,0]，所以－2sinx∈[0,2].123456789101112131415163.函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1在區(qū)間[－3,0]上的最大值和最小值分別是A.1，－1 B.1，－17 C.3，－17 D.9，－19解析f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1.又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝－1＋3＋1＝3,1?[－3,0].所以函數(shù)f(x)的最大值為3，最小值為－17.√123456789101112131415164.當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)＝

，則下列大小關(guān)系正確的是A.f2(x)<f(x2)<f(x) B.f(x2)<f2(x)<f(x)C.f(x)<f(x2)<f2(x) D.f(x2)<f(x)<f2(x)√12345678910111213141516所以根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)0<x<1時(shí)，1－lnx>0，從而可得f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x2)<f(x)<f(1)＝0，所以有f(x2)<f(x)<f2(x).12345678910111213141516√12345678910111213141516解析設(shè)h(x)＝f(x)－g(x)則h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，所以當(dāng)x∈[1,3)時(shí)，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(3，＋∞)時(shí)，h(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)h(x)取得極小值也是最小值.因?yàn)閒(x)的圖象始終在g(x)的圖象上方，所以h(x)min>0，即h(3)＝a>0，所以a的取值范圍是(0，＋∞).12345678910111213141516√√√12345678910111213141516解析由f(x)>0得0<x<2，故A正確.f′(x)＝(2－x2)ex，當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)→0，當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→－∞，12345678910111213141516結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)f(x)有最大值無(wú)最小值，故C不正確，D正確.123456789101112131415167.若函數(shù)f(x)＝x3－3x在區(qū)間[0,3]上的最大值、最小值分別為m，n，則m＋n＝______.16解析f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去).f(1)＝－2.又f(0)＝0，f(3)＝18，所以m＝18，n＝－2，m＋n＝16.123456789101112131415168.設(shè)0<x<π，則函數(shù)y＝

的最小值是_____.因?yàn)?<x<π，123456789101112131415169.求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)＝sinx＋cosx，x∈；12345678910111213141516解f′(x)＝cosx－sinx.令f′(x)＝0，即tanx＝1，12345678910111213141516(2)f(x)＝ln(1＋x)－

x2，x∈[0,2].12345678910111213141516化簡(jiǎn)為x2＋x－2＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝1.當(dāng)0≤x<1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)1<x≤2時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，又f(0)＝0，f(2)＝ln3－1>0，f(1)>f(2).123456789101112131415161234567891011121314151610.已知函數(shù)f(x)＝alnx－bx2，a，b∈R，且曲線(xiàn)y＝f(x)在x＝1處與直線(xiàn)y＝－

相切.(1)求a，b的值；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)求f(x)在

上的最大值.12345678910111213141516令f′(x)>0，得0<x<1，令f′(x)<0，得x>1，123456789101112131415綜合運(yùn)用1611.已知函數(shù)f(x)，g(x)均為[a，b]上的可導(dǎo)函數(shù)，在[a，b]上連續(xù)且f′(x)<g′(x)，則f(x)－g(x)的最大值為A.f(a)－g(a) B.f(b)－g(b)C.f(a)－g(b) D.f(b)－g(a)√12345678910111213141516解析令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)<g′(x)，∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，∴F(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a).1234567891011121314151612.已知函數(shù)f(x)＝x3－3x－1，若對(duì)于區(qū)間[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，則實(shí)數(shù)t的最小值是A.20 B.18 C.3 D.0√12345678910111213141516解析因?yàn)閒′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3,2]，所以f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減，在[1,2]和[－3，－1]上單調(diào)遞增.f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在區(qū)間[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由題設(shè)知在[－3,2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20，故選A.12345678910111213141516√12345678910111213141516當(dāng)0<x<e時(shí)，g′(x)>0；當(dāng)x>e時(shí)，g′(x)<0；故選C.1234567891011121314151614.已知函數(shù)f(x)＝－

x3＋2ax2＋3x(a>0)的導(dǎo)數(shù)f′(x)的最大值為5，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程是______________.15x－3y－2＝012345678910111213141516解析∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3＝－2(x－a)2＋3＋2a2，∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，∵a>0，∴a＝1.∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，f′(1)＝－2＋4＋3＝5.即15x－3y－2＝0.拓廣探究1234567891011121314151615.已知f(x)＝－x2＋mx＋1在區(qū)間(－2，－1)上的最大值就是函數(shù)f(x)的極大值，則m的取值范圍是___________.(－4，－2)1234567891011121314151616.已知函數(shù)f(x)＝ex－x2－ax.(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程；解f′(x)＝ex－2x＋1，f′(1)＝e－1，f(1)＝e，切線(xiàn)方程為y－e＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋1.12345678910111213141516(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)≥1－x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.123