2021屆河北省張家口市高三年級(jí)一模考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知4,3都是R的子集，且則BU（a^=（）

A.AB.BC.0D.R

6

2.)

1^3/—

3M3V10

B.—c.D.2

51010

3.小明同學(xué)從9種有氧運(yùn)動(dòng)和3種無(wú)氧運(yùn)動(dòng)中選4種運(yùn)動(dòng)進(jìn)行體育鍛煉，則他至少選中1種無(wú)氧運(yùn)動(dòng)的選

法有（）

A.261種B.360種C.369種D.372種

4.溶液酸堿度是通過(guò)pH計(jì)算的，pH的計(jì)算公式為pH=—lg[/T],其中表示溶液中氫離子的濃

度，單位是摩爾/升，人體血液的氫離子的濃度通常在1x10-7.45—1x10-735之間，如果發(fā)生波動(dòng)，就是病理

現(xiàn)象，那么，正常人體血液的pH值的范圍是（）

A.[7.25,7.55]B.[7.25,7.45]C.[7.25,7.35]D.[7.35,7.45]

5.己知兩條不同的直線/,小和不重合的兩個(gè)平面a,/?,且/，尸，有下面四個(gè)命題:①若，〃，夕，則///加；

②若。//夕，則/_La；③若a_L尸，貝”//?；④若/_La，則，〃//4.其中真命題的序號(hào)是()

A.①@B.②③C.②③④D.①④

6.某大學(xué)進(jìn)行“羽毛球”、“美術(shù)”、“音樂(lè)”三個(gè)社團(tuán)選拔.某同學(xué)經(jīng)過(guò)考核選拔通過(guò)該校的“羽毛球”“美

術(shù)”、“音樂(lè)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為"已知三個(gè)社團(tuán)中他恰好能進(jìn)入兩個(gè)的概率為,，假設(shè)該同學(xué)

25

經(jīng)過(guò)考核通過(guò)這三個(gè)社團(tuán)選拔成功與否相互獨(dú)立，則該同學(xué)一個(gè)社團(tuán)都不能進(jìn)入的概率為()

x~V2

7.已知橢圓C：r+T=1(。＞匕＞0)的左焦點(diǎn)為R上頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)為8,若NQABN0LF的平

ah

分線分別交X軸于點(diǎn)D石，且I3|2+布|2年|2=2|聞|在］，則橢圓。的離心率為()

>/2>/3-145-1

---B.-----C.-----

222

8.設(shè)/(x)是R上的奇函數(shù)，且/(x)在(ro,0)上是減函數(shù)，又/(—4)=0,則不等式

/(X+4)―/(一X-4)〉0的解集是()

x

A.(0,4)B.(―8,T)C.(-4,0)u(0,4)D.(-8,T)u(0,4)

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如果平面向量(2,—4),5=(—6,12),那么下列結(jié)論中正確的是()

A.出|=3|汗|B.a!!bC.乙與5的夾角為30°D.汗在B方向上的投影為

10.袋子中有2個(gè)黑球，1個(gè)白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次，取到白球記0分，黑球記1分，記

4次取球的總分?jǐn)?shù)為X,則()

(?、822

A.X~IB.P(X=2)=—C.X的期望E(X)=]D.X的方差O(X)=]

11.已知a>0力>0,且2a+8/?=l,貝U()

A.3"">B.\[u.+2.\[b?1C.log2a+log,b?—6D.<7~+16b~<—

12.已知函數(shù)/(x)=x+2tanx,其導(dǎo)函數(shù)為/'(x),設(shè)g(x)=/'(x)cosx,貝!]()

A.7(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B./(x)在R上單調(diào)遞增

C.2萬(wàn)是g(x)的一個(gè)周期D.g(x)在(0,']上的最小值為2近

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若P(4,l)為拋物線。：1=2勿5>0)上一點(diǎn)，拋物線C的焦點(diǎn)為凡則|尸產(chǎn)|=.

14.寫出一個(gè)公差為2且“前3項(xiàng)之和小于第3項(xiàng)”的等差數(shù)列6,=.

15.己知函數(shù)/(x)=sin〃x+acos；rx圖象的一條對(duì)稱軸為x=1,則。=，函數(shù)/(無(wú))在區(qū)

6

間的值域?yàn)?

63

16.早期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派學(xué)者注意到：用等邊三角形或正方形為表面可構(gòu)成四種規(guī)則的立體圖形，即正

四面體、正六面體、正八面體和正二十面體，它們的各個(gè)面和多面角都全等.如圖，正二十面體是由20個(gè)

等邊三角形組成的正多面體，共有12個(gè)頂點(diǎn)，30條棱，20個(gè)面，是五個(gè)柏拉圖多面體之一.如果把sin36。

按3計(jì)算，則該正二十面體的表面積與該正二十面體的外接球表面積之比等于.

5

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)

17

已知公比小于1的等比數(shù)列｛4｝中，其前"項(xiàng)和為5",%=—,53=—.

48

(1)求；

(2)求證：—?S<1.

2〃

18.(12分)

在E1A6C中，cosB(y/3a-/?sinC)=/?sinBcosC.

(1)求8；

(2)若c=2a,[jABC的面積為2叵，求的周長(zhǎng).

3

19.(12分)

如圖，四邊形ABCZ)是正方形，/%，平面48。。,/%//￡8,且PA=AB=3.

p.

E

（1）求證：CE〃平面P4O；

（2）若BE=」PA,求直線P￡）與平面PCE所成角的正弦值.

3

20.（12分）

某電器企業(yè)統(tǒng)計(jì)了近10年的年利潤(rùn)額y（千萬(wàn)元）與投入的年廣告費(fèi)用x（十萬(wàn)元）的相關(guān)數(shù)據(jù)，散點(diǎn)圖如

圖，對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理：令4=lnx,,巳=lny.,得到相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：

年廣告我用/卜萬(wàn)元

（1）從①y=+②y=■（機(jī)＞0,女＞0）；③y=ex?+^+三個(gè)函數(shù)中選擇一個(gè)作為年廣告費(fèi)

用x和年利潤(rùn)額》的回歸類型，判斷哪個(gè)類型符合，不必說(shuō)明理由：

（2）根據(jù)（1）中選擇的回歸類型，求出y與x的回歸方程；

（3）預(yù)計(jì)要使年利潤(rùn)額突破1億，下一年應(yīng)至少投入多少?gòu)V告費(fèi)用？（結(jié)果保留到萬(wàn)元）

10

參考數(shù)據(jù):B3.6788,3.678TB49.787

參考公式：回歸方程丫=。+邑中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為

b=--------------------，&=y-bT

za-n2

i=l

21.（12分）

22

已知雙曲線C:5—］=1（。＞0,。＞0）上一動(dòng)點(diǎn)尸，左、右焦點(diǎn)分別為￡,場(chǎng)，且居（2,0）,定直線

aZr

/：x=』，PM_L/,點(diǎn)M在直線/上，且滿足了”=走.

2|PF2\2

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線/。的斜率攵=1,且過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)與雙曲線右支交于A,6兩點(diǎn)，求口/18￡的外接圓方程.

22.（12分）

已知函數(shù)/（x）=a\nx+—（aGR）.

x

（1）討論函數(shù)/（X）在區(qū)間［1,2］上的最小值；

x

p+CCSX

（2）當(dāng)4=1時(shí)?，求證：對(duì)任意X€（0,M）,恒有/（x）＜^一絲土成立.

X

2021屆河北省張家口市高三年級(jí)一?？荚嚁?shù)學(xué)

參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.D【解析】由Venn圖，易知8D（?/D=R.故選D.

.,666卬力

2.A【解析】----=-------=/---=------.故選A.

1-3/|l-3z|JF+E5

3.C【解析】從9種有氧運(yùn)動(dòng)和3種無(wú)氧運(yùn)動(dòng)中選4種運(yùn)動(dòng)進(jìn)行體育鍛煉，則他至少選中1種無(wú)氧運(yùn)動(dòng)

的選法有C；C；+C；C；+C：C；=369（種）.故選C.

745-735

4.D【解析】依題意，pH,=-1g[1xIO_]=7.45,pH2=-1g[1x10]=7.35,因此，正常人體血

液的pH值的范圍是[7.35,7.45].故選D.

5.A【解析】對(duì)于①，由/可得///相，故①正確;

對(duì)于②，若/，/?,。//用，可得/_Lc,故②正確；

對(duì)于③，若lA./3,a10,則有可能/ua,故③錯(cuò)誤;

對(duì)于④，當(dāng)/，⑸/_L/〃時(shí)，則有可能mu/7,故④錯(cuò)誤.

綜上，真命題的序號(hào)是①②.故選A.

6.D【解析】由題知，三個(gè)社團(tuán)中他恰好能進(jìn)入兩個(gè)的概率為:，則占-H

+?g卜一￥

1117

所以一（a+份——ab=~,所以。+匕一。6=一，所以該同學(xué)一個(gè)社團(tuán)都不進(jìn)入的概率

2255

P=(l-a)(l-&)4l-|Uy[l-(?+Z>)+?M=|{l-[(?+/?)-aZ?])=|xM-|U^.故選D.

7.C【解析】如下圖所示:

因?yàn)閨AO『+|AE|2—|OE|2=&|AO"AE|,所以由余弦定理得

回三四—西回回=也又如E』O兀

2\AD\-\AE\~2\AD\-\AE\"21心,所以ND4E=45°.因?yàn)锳D,AE分

別為NOABNQ4E的平分線，所以ZR4尸=2ND4E=90°,所以ABJ_AF.由題意可知，點(diǎn)

F(-c,O),A(0,b),B(a,0),則而=(—c,—切，而=(a,—b).

由福?麗=-ac+/=0,可得〃2_。2_4。=0,即。2+。。一。2=0,在等式c2+ac—〃=0的兩邊同

時(shí)除以標(biāo),可得e2+e-l=0,因?yàn)?<e<l,解得e=避二L故選C.

2

8.B【解析】因?yàn)?(X)是R上的奇函數(shù)，且在(—oo,0)上是減函數(shù)，所以/(X)在(0,+8)上是減函數(shù),

又因?yàn)?(-4)=0,所以"4)=0,則函數(shù)/(x)的大致圖象如下圖所示：

由人+4)-/(*4),°得2+4)]〉o,即2/Q+4),°

XXX

[/(x+4)<0,f/(x+4)>0,f-4<x+4<0,[0<x+4<4,

則《八或八則八或〈八解得一

x<0,[x>0,[x<0,[x>0,

故仆+4)-仆-4)>0的解集是(_&-4).故選B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.AB【解析】因?yàn)镚=(2,—4),5=(—6,12),所以5=—3H.

在A中，因?yàn)?=-31,所以|5|=3|初，故A正確；

在B中，因?yàn)?=-3@,所以1//B,故B正確；

在c中，因?yàn)?=—3萬(wàn)，所以日與5的夾角為180。，故c錯(cuò)誤；

在D中，G在5方向上的投影為吆=(214)?(-6.12)=_2后,故D錯(cuò)誤.故選AB.

出?7(-6)2+122

10.ACD【解析】由于每次取球互不影響，故所有結(jié)果有4類:

①4次全是白球，X=0,記其概率為P(X=0)=

y(i

②4次只有1次是黑球,x=i,記其概率為p(x=i)=c：§(3

③4次只有2次是黑球，X=2,記其概率為P(X=2)=C：(g)=|y；

④4次只有3次是黑球，X=3,記其概率為。(*=3)=《(|)：=||；

故*~5(4,'],故A正確，B錯(cuò)誤；

因?yàn)閄~8(4,gj,所以X的期望E(X)=4x|=g,故C正確；

/2、?18

因?yàn)閄~B4,一,所以X的方差。(X)=4x—x—=—,故D正確.故選ACD.

I3J339

11.ABC【解析】對(duì)于A,因?yàn)閍>0,b>0,且2a轉(zhuǎn)8T，所以2a-8b=2a-(1-2。)=4。-1>一1,

所以3?。-昉〉3-1=_1,所以34-獨(dú)>也，故A正確；

33

對(duì)于B,(A/2674-8/7+2\j2a-Sb=1+2。2a?8),,1+(2。+8b)=2,所以42a夜，

當(dāng)且僅當(dāng)2a=助，即。=工,。=^-時(shí)取等號(hào)，故6+2J&J，故B正確；

416

對(duì)于C,log,2a+log2Sb=log,16ab?log,=-2,當(dāng)且僅當(dāng)2a=8人，即〃=；,"=上時(shí)取

等號(hào)，log22a+log28/?=1+log2a+3+log2b?-2,log2a+log2b?-6,故C正確；

對(duì)于D,已知a>0力〉0,且2a+8b=l,所以(2。+助產(chǎn)”2(2。/+2(昉>,即L,8a?+128/,則

1+16尸…一，當(dāng)且僅當(dāng)2a=8b,即a=—力=一時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤.故選ABC.

8416

12.AC【解析】/(x)=x+2tan尤的定義域是{x|XH仔+Z肛Zez},其關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，且

/(-%)=-x+2tan(-x)=-x-2tanx=-(x+2tanx)--/(x)，所以/(x)是奇函數(shù)，所以/(x)的圖象

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A項(xiàng)正確；

,2,2

由/(x)=x+2tanx,Wf(x)=1+---—，則g(x)=/(X)COSX=COSXH-----.

cosxcosx

f(x)=l+——>0恒成立，所以/(x)在(-&+版■，&+Z萬(wàn)](ZeZ)上單調(diào)遞增，并不是在R上單調(diào)

cos*-%V22)

遞增，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

2

由g(x)=cosx+----，得函數(shù)g(x)的定義域是

COSX

<Rx手N-+k7v,kGZ1,g(x+2乃)=cos(x+2乃)+-----------=cosxd——--=g(x)，故C項(xiàng)正確；

[2Jcos(x+2%)cosx

設(shè)/=COSX,當(dāng)xe0微時(shí)，/e(O,l),此時(shí)g(x)>3,故D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選AC

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.5

,,8

【解析】由P(4,l)為拋物線。：/=2〃)，(〃>0)上一點(diǎn)，得42=2pxl,可得〃=8,則|P曰4+1&

14.2/?-6(答案不唯一)

【解析】要滿足“前3項(xiàng)之和小于第3項(xiàng)”，則4+々<0,則不妨設(shè)4=—4,4=一2,則

=-4+(〃-1)x2=2〃一6.

15.>/3[1,2(第一空2分，第二空3分)

【解析】為函數(shù)/(x)的對(duì)稱軸為％=工，

6

由輔助角公式可得/(x)=CT^sin(;rx+e)(tane=。),

所以-j-JiW,即sin工+acos工一J1+4?,即上+近a—J1+Y,兩端平方,

6622

11'|?7t「乃2乃

可得a=6.所以/(%)=sin+V3cos7rx=2sinTVX+—由——，z得萬(wàn)尤+一￡—,——

63363

所以sin[;rx+m)e，所以2sinj;rx+?]e[l,2],故函數(shù)/(x)在區(qū)間

上的值域?yàn)閇1,2].

55百

16.

36%

【解析】由圖，知正二十面體的外接球即為上方正五棱錐的外接球，設(shè)其半徑為R,正五邊形的外接圓半徑

O35/

為八正二十面體的棱長(zhǎng)為/,則2=sin36。=士，得〃=二，所以正五棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離是

r56

而［，解得

h=J/2一平I,所以小戶+代療，即R2W+R—

6

2

/?=今:/.所以該正二十面體的外接球表面積為S球=4萬(wàn)R2=4%X367rj2--r-._r--.?

=----廣，而該正一十

111）11

面體的表面積是S正二卜面體=20乂5*/、八《1160。=5石/2,所以該正二十面體的表面積與該正二十面體的

外接球表面積之比等于更叵

367r

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）

⑴解：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為g.

_11

——,Clj=一，

4相

由,得V~417分

_71117

——，----1---1—q=—,

8包448

_1

——,

4T

解得]或＜一4,（舍去）,4分

q--，=2

2

n-2\

所以“〃；2

=x6分

27

（2）證明：由（1）得4=（；）

2、〃

所以。1-8分

27

因?yàn)樵赗上為減函數(shù)，且＞0恒成立，

所以當(dāng)〃eN*,即“..1時(shí)，9分

所以;”S.=1一出＜1.10分

18.(12分)

解：(1)由cos8(Ga-/?sinC)=hsin8cosC,得6。€：058—。＜：0585由。=/?5巾8(：05(7,

即VSt/cosB=Z?sinBcosC+Z?cosBsinC，

V3?cosB=/?sin(B+C),2分

V3tzcosB=/?sinA.3分

由正弦定理，得GsinAcos8=sin8sinA,4分

因?yàn)閟inAw0,

所以百cos8=sin8,所以tanB二百.5分

TT

因?yàn)?<B〈萬(wàn)，所以8=—.6分

3

(2)因?yàn)閏=2a「ABC的面積為拽,

3

1.D

所以S=-acsmB

ABC223

2月

解得。

亍8分

所以c=2a=逑

9分

3

由余弦定理〃=ci2+c2-2accosB

解得b=2.11分

所以口ABC的周長(zhǎng)為。+人+。=冬叵+2+型=2+26.12分

33

19.（12分）

（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以5C//AD.1分

又ADu平面PAD,BCu平面PAD，

所以BC//平面B4Z）.2分

因?yàn)镻A//E5,3分

同理，可證EB//平面PA。，4分

又BCcEB=B,所以平面EBC//平面PAD,5分

又因?yàn)镃Eu平面EBC,所以CE//平面PAD.6分

解：分別以A￡>,AB,AP為蒼y,z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)镼4=AB=3,所以BE=』PA=1,

3

則P(0,0,3),￡)(3,0,0),C(3,3,0),E(0,3,1),7分

則PD=(3,0,-3),PC=(3,3,-3),PE=(0,3,-2).8分

設(shè)平面PCE的法向量為比=(x,y,z),則由

z

X———，

m-PC=(x,y,z)-(3,3,-3)-3x+3y-3z=°，得3

m-PE-(x,y,z)-(0,3,-2)=3y-2z=0,2z

y=-

3

令z=3,得平面PCE的一個(gè)法向量為比=(1,2,3).10分

PDffi(3,0,-3)?(1,2,3)二也

設(shè)直線P0與平面PCE所成角為8,貝Usin9=

|孫訓(xùn)3A/2XV14-7

所以直線PO與平面PCE所成角的正弦值為立

12分

7

20.(12分)

解：(1)由散點(diǎn)圖知，年廣告費(fèi)用x和年利潤(rùn)額)，的回歸類型并不是直線型的，而是曲線型的，所以選擇回

歸類型y=更好.3分

(2)對(duì)￥=〃??一兩邊取對(duì)數(shù)，得Iny=lnm+Zlnx,即t>=ln〃2+U,4分

10

Vuv-\Guv

由表中數(shù)據(jù)得，*年—=30-5-10x1.5x1.5

6分

。2-246.5-10x1.5x1.53

-1i0nM

i=\

所以=萬(wàn)=l.5-」xl.5=l,所以加=e,7分

所以年廣告費(fèi)用x和年利潤(rùn)額y的回歸方程為y=e?戶.8分

(3)由(2),知y=6X,

1i10-

令y=e-％3＞10,得爐＞、，得力＞36788,10分

所以x>3.67883a49.787,11分

所以xa49.8（十萬(wàn)元）=498（萬(wàn)元）.

故下一年應(yīng)至少投入498萬(wàn)元廣告費(fèi)用.12分

21.（12分）

解：（1）由題意，可知世2=亞，設(shè)點(diǎn)P（x,y）,

\PM\3

貝苻T+L空

33

X——

2

“3、2

得（x-2）2+y_=§x——,

得爐-4x+4+V=^x2-4x+3

得l+y2=；/,4分

即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為二-y2=i.5分

3

（2）由題意，可知直線/o：y=x-2,設(shè)4（不乂）,3（工2，%），

y=x-2,

則《尤2可得2/_12%+15=06分

1——3y=1，

則AB中點(diǎn)為M（3,l）口ABg外接圓圓心在AB的垂直平分線上，設(shè)為11,

故4方程為y=-x+4,

又由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，可知|A5|=26.8分

%=—x0+4,

設(shè)圓心(七,%)滿足/22R/0、22

[(%—3)+(%-1)+3=(/+2)+%,

1

%=修

故45io分

8；V8J32

22.(12分)

(1)解：函數(shù)/(x)=alnx+，的定義域是(0,+oo),

X

ax-\

1分

①當(dāng)④0時(shí)，依一1<0,^^<0,則/'(x)<0,

X

則函數(shù)/(幻在(0,+8)上單調(diào)遞減，即函數(shù)/(X)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減,

故函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,2］上的最小值為/(2)=aln2+1.3分

②