第2節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值高考總復習優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025課標解讀1.借助函數(shù)圖象,會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性,掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本方法.2.理解函數(shù)最大值、最小值的概念,理解它們的作用和實際意義,會求簡單函數(shù)的最值.3.能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問題.1強基礎(chǔ)固本增分2研考點精準突破目錄索引

1強基礎(chǔ)固本增分知識梳理1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,區(qū)間I?D,如果?x1,x2∈Ix1,x2的取值具有任意性且屬于同一區(qū)間當x1<x2時,都有

,那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增.特別地,當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時,就稱它是增函數(shù)

當x1<x2時,都有

,那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減.特別地,當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時,就稱它是減函數(shù)

f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的微點撥函數(shù)單調(diào)性定義的等價形式

(2)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上

或

,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間I叫做y=f(x)的

.

微思考“函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是M”與“函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞增”的含義相同嗎?提示

不相同.“函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是M”是指函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間恰好是M,在其他的區(qū)間上f(x)不是單調(diào)遞增的;而“函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞增”是指函數(shù)f(x)在區(qū)間M以外的區(qū)間或包含M的更大區(qū)間上也可能是單調(diào)遞增的.單調(diào)遞增

單調(diào)遞減單調(diào)區(qū)間2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈D,都有

;

(2)?x0∈D,使得

函數(shù)的最值一定是某個自變量對應(yīng)的函數(shù)值(3)?x∈D,都有

;

(4)?x0∈D,使得

結(jié)論M是y=f(x)的最大值

最大值是所有函數(shù)值中最大的一個M是y=f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M微點撥1.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.當函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時,最值一定在端點處取到.2.開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值或最小值.微思考已知函數(shù)f(x)=,對于?x∈{x|x≠0}都有f(x)>0,能否認為f(x)=的最小值為0?提示

不能.盡管f(x)>0,但不存在x∈{x|x≠0}使得f(x)=0,所以不能說f(x)=的最小值為0.常用結(jié)論1.若函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性,則在區(qū)間I上具有以下性質(zhì):(1)當f(x),g(x)都是增(減)函數(shù)時,f(x)+g(x)是增(減)函數(shù);(2)若k>0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同;若k<0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反;(5)當f(x),g(x)都是增(減)函數(shù)時,若兩者都恒大于0,則f(x)g(x)是增(減)函數(shù);若兩者都恒小于0,則f(x)g(x)是減(增)函數(shù).3.復合函數(shù)的單調(diào)性:對于復合函數(shù)y=f(g(x)),先將函數(shù)分解為y=f(u)和u=g(x),則有:u=g(x)增增減減y=f(u)增減增減y=f(g(x))增減減增自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,則f(1)>f(2).(

)2.若函數(shù)f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,4)上單調(diào)遞增,則f(1)<f(3).(

)3.函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,1)∪(1,+∞).(

)4.若函數(shù)f(x)在[1,6]上的最小值是f(6),則f(x)在[1,6]上單調(diào)遞減.(

)√×××題組二回源教材5.(人教A版必修第一冊3.2.1節(jié)例5改編)已知函數(shù)f(x)=,x∈[2,6],則函數(shù)的最大值是

,最小值是

.

20.4解析

因為函數(shù)f(x)=在區(qū)間[2,6]上單調(diào)遞減,所以,函數(shù)f(x)=在區(qū)間[2,6]上的兩個端點上分別取得最大值與最小值.在x=2時取得最大值,最大值是2;在x=6時取得最小值,最小值是0.4.6.(人教B版必修第一冊3.1.2節(jié)練習B第1題)已知函數(shù)f(x)的定義域為[-1,5],且在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[2,5]上單調(diào)遞減,那么下列說法中,一定正確的是

.

(1)f(0)<f(2);(2)f(3)>f(2);(3)f(x)在區(qū)間[-1,5]上有最大值,而且f(2)是最大值;(4)f(0)與f(3)的大小關(guān)系不確定;(5)f(x)在區(qū)間[-1,5]上有最小值;(6)f(x)在區(qū)間[-1,5]上的最小值是f(5).(1)(3)(4)(5)解析

∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增,∴f(0)<f(2),故(1)正確.∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,5]上單調(diào)遞減,∴f(3)<f(2),故(2)錯誤.∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[2,5]上單調(diào)遞減,∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,5]上有最大值,也有最小值,且f(2)是最大值,f(-1)或f(5)是最小值,故(3)(5)正確,(6)不一定正確.而f(0)與f(3)的大小不確定,故(4)正確.題組三連線高考7.(2023·新高考Ⅰ,4)設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,則a的取值范圍是(

)A.(-∞,-2] B.[-2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)D8.(2020·新高考Ⅱ,7)已知函數(shù)f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是(

)A.(-∞,-1] B.(-∞,2]C.[2,+∞) D.[5,+∞)D解析

由x2-4x-5>0,解得x>5或x<-1,所以函數(shù)定義域為(-∞,-1)∪(5,+∞),又因為函數(shù)y=x2-4x-5在(2,+∞)上單調(diào)遞增,由復合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(5,+∞),而f(x)在(a,+∞)單調(diào)遞增,所以a≥5,故選D.2研考點精準突破考點一函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明例1利用單調(diào)性的定義證明:函數(shù)f(x)=+2x-1在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增.[對點訓練1](2024·山東德州模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),當x>0時,有f(x)<0,則不等式f(5-x2)+f(3x-x2)<0的解集為(

)B解析

由f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=0,可得f(0)=2f(0),f(0)=0.由于函數(shù)f(x)的定義域為R,令y=-x,可得f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),則f(x)為奇函數(shù).任取x1,x2∈R,且x1<x2,則x2-x1>0,f(x2-x1)<0,所以f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,即f(x1)>f(x2),因此函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù).由f(5-x2)+f(3x-x2)<0可得f(5-x2+3x-x2)<f(0),則5-x2+3x-x2>0,整理得2x2-3x-5<0,解得-1<x<,故選B.考點二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2(1)(2024·四川成都模擬)已知函數(shù)f(x)=ax+1在R上單調(diào)遞減,則函數(shù)g(x)=a(x2-4x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A.(-2,+∞) B.(2,+∞)C.(-∞,2) D.(-∞,-2)C解析

由函數(shù)f(x)=ax+1在R上單調(diào)遞減,可知a<0,所以函數(shù)g(x)=a(x2-4x+3)圖象開口向下,對稱軸為直線x=2,因此g(x)在(-∞,2)上單調(diào)遞增,故選C.(2)(2024·湖北宜昌模擬)函數(shù)f(x)=|x-2|x的單調(diào)遞減區(qū)間是(

)A.[1,2] B.[-1,0]C.(0,2] D.[2,+∞)A解析

當x≤2時,f(x)=-x2+2x,則f(x)在區(qū)間(-∞,1]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減;當x>2時,f(x)=x2-2x,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)=|x-2|x的單調(diào)遞減區(qū)間是[1,2],故選A.(3)(2024·江蘇南通模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+2x+8,g(x)=logax(0<a<1),則函數(shù)y=g(f(x))的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A.(-∞,1) B.(-2,1)C.(1,+∞) D.(1,4)B解析

依題意,g(f(x))=loga(-x2+2x+8),則-x2+2x+8>0得-2<x<4,即函數(shù)y=g(f(x))的定義域為(-2,4),顯然函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,4)上單調(diào)遞減,而g(x)=logax(0<a<1)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,因此函數(shù)y=g(f(x))在區(qū)間(-2,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,4)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)y=g(f(x))的單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,1),故選B.考點三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(多考向探究預測)考向1利用單調(diào)性比較大小例3(2024·黑龍江綏化模擬)若正數(shù)a,b滿足2a-4b=log2b-log2a,則a與2b大小關(guān)系為

.

a<2b

解析

因為2a-4b=log2b-log2a,所以2a+log2a=4b+log2b=22b+log2b+log22-1=22b+log22b-1.設(shè)f(x)=2x+log2x(x>0),則f(a)=f(2b)-1,所以f(a)<f(2b),又因為y=2x與y=log2x在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)=2x+log2x在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以a<2b.[對點訓練2](2024·江蘇徐州模擬)已知函數(shù)f(x)=2x+x3,記a=f(log0.32),b=f(20.3),c=f(0.32),則(

)A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.c<a<bB解析

因為y=2x,y=x3在x∈R上單調(diào)遞增,所以f(x)=2x+x3在x∈R上單調(diào)遞增,又log0.32<log0.31=0,1=20<20.3<21=2,0<0.32=0.09<1,所以f(log0.32)<f(0.32)<f(20.3),所以a<c<b,故選B.考向2利用單調(diào)性解函數(shù)不等式

A[對點訓練3](2024·山東濰坊模擬)已知函數(shù),若f(a-2)>3,則實數(shù)a的取值范圍是

.

(0,1)

考向3利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例5(1)(2024·湖北武漢模擬)已知f(2x)=|x-a|,