課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(三十九)1．如圖，已知在空間幾何體ABCDE中，△ABC，△ECD是全等的正三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面ECD⊥平面BCD．(1)若BD＝2BC，求證：BC⊥ED．(2)探索A，B，D，E四點(diǎn)是否共面．若共面，請(qǐng)給出證明；若不共面，請(qǐng)說(shuō)明理由．(1)證明：因?yàn)椤鰽BC，△ECD是全等的正三角形，所以CD＝BC．因?yàn)锽D＝2BC，所以BD2＝BC2＋DC2，所以BC⊥DC．因?yàn)槠矫鍱CD⊥平面BCD，平面ECD∩平面BCD＝CD，BC?平面BCD，所以BC⊥平面ECD．因?yàn)镈E?平面ECD，所以BC⊥ED．(2)解：A，B，D，E四點(diǎn)共面．證明如下：如圖，分別取BC，DC的中點(diǎn)M，N，連接AM，EN，MN.因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以AM⊥BC，AM＝32因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AM?平面ABC，所以AM⊥平面BCD．同理EN⊥平面BCD，且EN＝32CD＝32所以AM∥EN，且AM＝EN，所以四邊形AMNE是矩形，所以AE∥MN.又因?yàn)镸N∥BD，所以AE∥BD，所以A，B，D，E四點(diǎn)共面．2．如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面PAC⊥平面ABC，在△PAC中，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)．(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)記平面AEF與平面ABC的交線為直線l，點(diǎn)Q為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求直線PQ與平面AEF所成的角的取值范圍．(1)證明：因?yàn)镃是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，所以BC⊥AC．因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，所以BC⊥平面PAC．(2)解：因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，所以BC∥EF.因?yàn)镋F?平面AEF，BC?平面AEF，所以BC∥平面AEF.因?yàn)锽C?平面ABC，平面AEF∩平面ABC＝l，所以BC∥l.以C為原點(diǎn)，CA，CB所在直線分別為x軸、y軸，過(guò)點(diǎn)C且垂直于平面ABC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，4，0)，P(1，0，3)，所以E12，0，所以AE＝?32，因?yàn)锽C∥l，所以可設(shè)Q(2，t，0)，平面AEF的法向量為m＝(x，y，z)，則AE·m取z＝3，則x＝1，y＝0，所以m＝(1，0，3)為平面AEF的一個(gè)法向量．又PQ＝(1，t，－3)，則|cos〈PQ，m〉|＝PQ·mPQm＝所以直線PQ與平面AEF所成的角的取值范圍為0，3．(2024·鹽城模擬)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為BD和BB1的中點(diǎn)，P為棱C1D1上的動(dòng)點(diǎn)．(1)是否存在點(diǎn)P，使得PE⊥平面EFC？若存在，求出滿足條件時(shí)C1P的長(zhǎng)并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)當(dāng)C1P為何值時(shí)，平面BCC1B1與平面PEF夾角的正弦值最小？解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)P(0，t，2)(0≤t≤2)，則E(1，1，0)，F(xiàn)(2，2，1)，C(0，2，0)．(1)存在．PE＝(1，1－t，－2)，EF＝(1，1，1)，CF＝(2，0，1)．設(shè)平面CEF的法向量為m＝(x，y，z)，則m·EF取x＝1，則y＝1，z＝－2，所以m＝(1，1，－2)為平面CEF的一個(gè)法向量．假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)P，則PE∥m，所以11＝1?t1＝?2?2，所以t＝0，滿足0≤即點(diǎn)P與點(diǎn)D1重合時(shí)，PE⊥平面EFC，此時(shí)C1P＝2.(2)易知平面BCC1B1的一個(gè)法向量為n＝(0，1，0)．設(shè)平面PEF的法向量為r＝(x0，y0，z0)，又PF＝(2，2－t，－1)，PE＝(1，1－t，－2)，則r所以2取y0＝1，則x0＝t3－1，z0＝－t所以r＝t3?1，設(shè)平面BCC1B1與平面PEF的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n，r〉|＝n＝1＝1＝129t?32所以當(dāng)t＝32時(shí)，(cosθ)max＝63，(sinθ)min＝此時(shí)C1P＝2－32＝14．如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE⊥AD于點(diǎn)E，且DE＝2BC＝2BE，將梯形ABCD沿BE折疊成如圖2所示的幾何體，∠AED＝60°，F(xiàn)為直線AD上一點(diǎn)，且CF⊥AD于點(diǎn)F，G為線段ED的中點(diǎn)，連接FG，CG.(1)證明：AD⊥FG；(2)如圖1中，AD＝6，求當(dāng)四棱錐A-BCDE的體積最大時(shí)，平面ABC與平面CFG的夾角的正弦值．圖1圖2(1)證明：由已知得BE⊥ED，BE⊥AE，且AE∩ED＝E，AE，ED?平面AED，所以BE⊥平面AED．因?yàn)锳D?平面AED，所以BE⊥AD．在梯形EBCD中，DE＝2BC＝2BE，因?yàn)镚為線段ED的中點(diǎn)，所以CG∥BE，故CG⊥AD．又因?yàn)镃F⊥AD，且CG∩CF＝C，CG，CF?平面CFG，所以AD⊥平面CFG.因?yàn)镕G?平面CFG，所以AD⊥FG.(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DE于點(diǎn)M.因?yàn)锽E⊥平面AED，AM?平面AED，所以BE⊥AM.因?yàn)锳M⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE?平面BCDE，所以AM⊥平面BCDE，所以線段AM的長(zhǎng)度為點(diǎn)A到平面BCDE的距離．設(shè)DE＝2BC＝2BE＝2x，則AE＝6－2x(0＜x＜3)，AM＝AEsin∠AED＝32(6－2x所以四棱錐A-BCDE的體積V＝13×x+2xx2×32(6－2x)＝－32x3令f(x)＝－32x3＋332x2，則f′(x)＝33x1?x當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(2，3)時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(2)，即當(dāng)x＝2時(shí)，四棱錐A-BCDE的體積最大，此時(shí)AE＝2，DE＝4.以E為原點(diǎn)，EB，ED所在直線分別為x軸、y軸，在平面AED內(nèi)過(guò)點(diǎn)E作與DE垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，1，3)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，所以AD＝(0，3，－3)，AB＝(2，－1，－3)，BC＝(0，2，0)．設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，則n·AB取x＝3，則y＝0，z＝2，所以n＝(3，0，