2024年廣東省深圳市寶安實驗學校中考數(shù)學三模試卷一.選擇題（共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）﹣|﹣2025|的倒數(shù)是（）A． B．2025 C．﹣2025 D．2．（3分）紫砂壺，被譽為中國非物質文化遺產(chǎn)的瑰寶，以其獨特的成型工藝和多樣的造型式樣著稱，下面四幅圖是此紫砂壺的俯視圖的是（）A． B． C． D．3．（3分）長久以來，青少年的體質健康始終是人們關注的焦點，而體育鍛煉則被視為促進青少年體質增強的最佳途徑．小深本學期的體育成績分別為：平時成績90分，期末成績96分．若學校規(guī)定：平時成績、期中成績、期末成績?nèi)椀梅职?：3：5的比例確定最終成績，則小深的最終成績?yōu)椋ǎ〢．92.5分 B．92.7分 C．93.6分 D．93.8分4．（3分）如圖，將直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于點H，EF＝4cm，則陰影部分的面積為（）A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm25．（3分）光在不同介質中的傳播速度是不同的，因此當光線從水中射向空氣時要發(fā)生折射．如圖，∠1＝70°，則∠3的度數(shù)是（）A．70° B．80° C．85° D．75°6．（3分）下列計算結果正確的是（）A．（4a2+2a）÷2a＝2a B．2a2?3a3＝6a6 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣ab3）2＝a2b67．（3分）如圖，兩座建筑物在同一水平面上，從A點測得D點的俯角為α，則建筑物AB與CD的高度之比為（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，將?ABCD放置在第一象限，在平移過程中直線被平行四邊形截得的線段長度l與直線在x軸上平移的距離m的函數(shù)圖象如圖2所示，則?ABCD的面積為（）A．20 B． C．10 D．二.填空題（共5小題，每小題3分，共15分）9．（3分）分解因式：mn2﹣12mn+36m＝．10．（3分）在科學技術日新月異的推動下，某地積極籌劃并成功建立了兩個水果種植基地A和B，為了助力當?shù)剞r(nóng)民迅速走上致富之路，他們每兩人一組分別去A和B基地現(xiàn)場指導，該地為了公平、公正、采用抽簽的方式隨機讓兩位專家去對應的水果種植基地，王專家和劉專家分成一組去B基地的概率是．11．（3分）已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的兩根，則a2+4a+b﹣3＝．12．（3分）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象分別與x軸，B，以線段AB為邊向第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC，反比例函數(shù)y＝（k≠0），與AC邊交于點E．若△ODE的面積為，則k的值為．13．（3分）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，點C和點E關于BM對稱，AE與BM交于點F，若AE＝5，EF＝2，則．三、解答題（共8小題，共61分）14．（5分）計算：．15．（6分）化簡：，請你從﹣1，1，2中選一個合適的數(shù)代入求值．16．（7分）“呵護眼睛，從小做起”，每年6月6日為全國愛眼日．某校必考為了解該校八年級和九年級學生視力健康狀況，進行了如下的整理分析．收集數(shù)據(jù)：八年級學生視力數(shù)據(jù)如下：4.14.14.24.44.84.95.05.24.34.54.64.65.15.34.44.35.25.34.64.7九年級學生視力數(shù)據(jù)如下：5.24.24.34.55.05.14.64.84.54.14.24.34.14.54.54.44.85.24.94.9整理數(shù)據(jù)：將數(shù)據(jù)分為A.5.1≤x≤5.3，B.4.9≤x＜5.1，C.4.7≤x＜4.9，E.4.3≤x＜4.5，F(xiàn).4.1≤x＜4.3六組數(shù)據(jù)分析：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)八年級4.68a4.6九年級4.6054.5b請根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）填空：a＝，b＝；并將頻數(shù)分布直方圖補充完整．（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“C.4.7≤x＜4.9”這一組所在扇形圓心角的度數(shù)為°．（3）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，你認為哪個年級學生的視力健康狀況更好一些？并結合相關統(tǒng)計量說明理由．17．（8分）如圖，在△ABC中，∠C是鈍角．（1）尺規(guī)作圖：在AB上取一點O，以O為圓心，作出⊙O，交AB于點D，連接CD；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）所作的圖中，若∠BCD＝∠A，①求證：BC是⊙O的切線；②求⊙O直徑的長．18．（9分）圍棋起源于中國，被列為“琴棋書畫”四大文化之一；象棋也是中華民族的文化瑰寶，趣味濃厚．國家“雙減”政策實施后，某校為參加棋類社團的同學購買象棋和圍棋，已知購買1副象棋比1副圍棋少花10元．（1）求每副象棋和圍棋的單價；（2）隨著社團活動的開展和同學們對棋類運動的熱愛，學校決定再次購買40副圍棋和m（m≥20）副象棋，恰逢商場推出了優(yōu)惠活動，活動的方案如下：方案一：購買圍棋超過20副時，超過部分每購買1副圍棋贈送1副象棋；方案二：按購買總金額的八折付款．分別求出按照方案一、二購買的總費用y1、y2關于m的函數(shù)解析式；（3）請直接寫出該校選擇哪種方案購買更劃算．19．（7分）閱讀材料：北師大版七年級下冊教材24頁為大家介紹了楊輝三角．楊輝三角如果將（a+b）n（n為非負整數(shù)）的展開式的每一項按字母a的次數(shù)由大到小排列，就可以得到下面的等式：（a+b）0＝1，它只有一項，系數(shù)為1；（a+b）1＝a+b，它有兩項，系數(shù)分別為1，1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三項，系數(shù)分別為1，2，1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四項，系數(shù)分別為1，3，3，1；將上述每個式子的各項系數(shù)排成該表．觀察該表，可以發(fā)現(xiàn)每一行的首末都是1，并且下一行的數(shù)比上一行多1個，且等于它們的和．按照這個規(guī)律可以將這個表繼續(xù)往下寫．該表在我國宋朝數(shù)學家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，而他是摘錄自北宋時期數(shù)學家賈憲著的《開方作法本源》中的“開方作法本源圖”，因而人們把這個表叫做楊輝三角或賈憲三角（B．Pascal，1623——1662）是1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年（1）應用規(guī)律：①直接寫出（a+b）4的展開式，（a+b）4＝；②（a+b）6的展開式中共有項，所有項的系數(shù)和為；（2）代數(shù)推理：已知m為整數(shù)，求證：（m+3）3﹣（m﹣3）3能被18整除．20．（9分）綜合與實踐【生成概念】拋物線L：y＝x2+2mx+n與y軸交于點A，若拋物線L′上的點和拋物線L上的點關于點A中心對稱，則稱L′是L的“兄弟拋物線”．【感知特例】（1）已知拋物線L：y＝x2+2x+2，寫出L的“兄弟拋物線”L′的解析式，并畫出拋物線L和L′．【代數(shù)推理】通過代數(shù)推理證明拋物線L圖象的性質：從特定的條件開始，利用代數(shù)的定義、公式、運算法則，以及等式和不等式的性質，以驗證已知的結果或得出結論，這一過程稱為代數(shù)推理．我們不妨來試試．運用代數(shù)推理證明：拋物線L：y＝x2+2x+2的圖象是軸對稱圖形，對稱軸是直線x＝﹣1．證明：在拋物線L上任取一點M（a，b），則b＝a2+2a+2點M關于直線x＝﹣1對稱的點N（﹣2﹣a，b），∵（﹣2﹣a）2+2（﹣2﹣a）+2＝a2+2a+2＝b，∴點N也在拋物線L：y＝x2+2x+2的圖象上，∵點M（a，b）是拋物線L：y＝x2+2x+2上的任意一點，它關于直線x＝﹣1對稱的點N（﹣2﹣a，b）都在拋物線L：y＝x2+2x+2的圖象上，∴拋物線L：y＝x2+2x+2的圖象是軸對稱圖形，對稱軸是直線x＝﹣1．（2）仿照上述方法，運用代數(shù)推理證明：拋物線L：y＝x2+2x+2與L的“兄弟拋物線”L′關于點A中心對稱．【拓展延伸】（3）智慧小組發(fā)現(xiàn)拋物線L：y＝x2+2mx+n和L的“兄弟拋物線”L這兩拋物線的頂點所連直線l和mn有一定的關系，請你求出直線l與x軸正半軸夾角θ的正切值tanθ（可用m、n表示）．21．（10分）【問題提出】在旋轉專題復習課中，王老師引導同學們積極探究以下問題：將一大一小兩個等腰直角三角板如圖1放置，∠BAC＝∠AFD＝90°，點F在△ABC內(nèi)，使EF＝BF，連接BD，DE．探究線段DE與CD的關系．【思路探究】“勤學小組”的解題思路：將線段DE借助平行線進行平移，如圖2，過點B作BG平行DE交DF的延長線于點G；“善思小組”的解題思路：結合F為BE的中點構造三角形的中位線，如圖3，過點B作BH平行DF交ED延長線于點H，將DE和CD的關系轉化為DH和CD的關系．（1）請你寫出線段DE與CD的關系并證明（寫出一種方法即可）；【思維訓練】王老師為了進一步讓學生體會平行線在圖形證明中的作用，又出示了下列問題：（2）如圖4，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB上一點，將CD繞點C逆時針旋轉60°得到CE，DE，O為DE中點，若∠EBO＝2∠BCE，探究OF，BE之間的數(shù)量關系，并說明理由；【能力提升】（3）“創(chuàng)新小組”的同學在【問題提出】的基礎上對該問題又進一步拓展：連接CE，若F為平面內(nèi)一點，AD∥CE，AC＝3，其他條件不變

2024年廣東省深圳市寶安實驗學校中考數(shù)學三模試卷參考答案與試題解析一.選擇題（共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）﹣|﹣2025|的倒數(shù)是（）A． B．2025 C．﹣2025 D．【分析】利用絕對值的定義可得原數(shù)為﹣2025，再根據(jù)倒數(shù)的定義即可求得答案．【解答】解：﹣|﹣2025|＝﹣2025，其倒數(shù)為﹣，故選：D．【點評】本題考查倒數(shù)，相反數(shù)及絕對值，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．2．（3分）紫砂壺，被譽為中國非物質文化遺產(chǎn)的瑰寶，以其獨特的成型工藝和多樣的造型式樣著稱，下面四幅圖是此紫砂壺的俯視圖的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)俯視圖的定義，從上面看所得到的圖形即為俯視圖．【解答】解：根據(jù)俯視圖的定義，選項A中的圖形符合題意，故選：A．【點評】本題考查簡單組合體的三視圖，理解視圖的定義是正確判斷的前提．3．（3分）長久以來，青少年的體質健康始終是人們關注的焦點，而體育鍛煉則被視為促進青少年體質增強的最佳途徑．小深本學期的體育成績分別為：平時成績90分，期末成績96分．若學校規(guī)定：平時成績、期中成績、期末成績?nèi)椀梅职?：3：5的比例確定最終成績，則小深的最終成績?yōu)椋ǎ〢．92.5分 B．92.7分 C．93.6分 D．93.8分【分析】利用加權平均數(shù)公式即可求解．【解答】解：小深的學期平均成績?yōu)椋?0×+92×＝93.6（分）．故選：C．【點評】本題考查了加權平均數(shù)公式，理解加權平均數(shù)公式是解題的關鍵．4．（3分）如圖，將直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于點H，EF＝4cm，則陰影部分的面積為（）A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2【分析】由平移的性質可知BC＝EF，BE＝AD＝2，∠ABC＝∠E＝90°，進而得出BH的長，S陰影＝S直角梯形BEFH，最后根據(jù)面積公式得出答案．【解答】由平移的性質可知BC＝EF＝4，BE＝AD＝2，S陰影＝S直角梯形BEFH，∴BH＝BC﹣CH＝6cm．∴陰影部分的面積＝直角梯形BEFH的面積＝（BH+EF）×BE＝2）．故選：A．【點評】本題主要考查了平移的性質，求陰影部分的面積等，將陰影部分的面積轉化為規(guī)則圖形面積是解題的關鍵．5．（3分）光在不同介質中的傳播速度是不同的，因此當光線從水中射向空氣時要發(fā)生折射．如圖，∠1＝70°，則∠3的度數(shù)是（）A．70° B．80° C．85° D．75°【分析】根據(jù)“兩直線平行，同位角線段”求出∠MND＝∠1＝70°，根據(jù)角的和差求出∠END＝105°，再根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”求解即可．【解答】解：如圖，∵AB∥CD，∠1＝70°，∴∠MND＝∠1＝70°，∵∠MND+∠END＝∠6＝175°，∴∠END＝105°，∵CD∥EF，∴∠END+∠3＝180°，∴∠3＝75°，故選：D．【點評】此題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質定理是解題的關鍵．6．（3分）下列計算結果正確的是（）A．（4a2+2a）÷2a＝2a B．2a2?3a3＝6a6 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣ab3）2＝a2b6【分析】計算出各個選項中式子的正確結果，即可判斷哪個選項符合題意．【解答】解：（4a2+6a）÷2a＝2a+2，故選項A錯誤；2a2?5a3＝6a5，故選項B錯誤，不符合題意；（a+b）2＝a2+4ab+b2，故選項C錯誤，不符合題意；（﹣ab3）6＝a2b6，故選項D正確，符合題意；故選：D．【點評】本題考查整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．7．（3分）如圖，兩座建筑物在同一水平面上，從A點測得D點的俯角為α，則建筑物AB與CD的高度之比為（）A． B． C． D．【分析】過點D作DE⊥AB于點E，根據(jù)矩形的性質得到BE＝CD，BC＝DE，設DE＝BC＝x，解直角三角形即可得到結論．【解答】解：過點D作DE⊥AB于點E，則四邊形BCDE是矩形，∴BE＝CD，BC＝DE，設DE＝BC＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝β，∴AB＝BC?tanβ，在Rt△ADE中，∠ADE＝α，∴AE＝DE?tanα＝BC?tanα，∴CD＝AB﹣AE＝BC?tanβ﹣BC?tanα，∴＝＝，故選：C．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，將?ABCD放置在第一象限，在平移過程中直線被平行四邊形截得的線段長度l與直線在x軸上平移的距離m的函數(shù)圖象如圖2所示，則?ABCD的面積為（）A．20 B． C．10 D．【分析】根據(jù)直線經(jīng)過點A、點D、點B求出AG＝4，AB＝5，利用相似求出DH＝4，再根據(jù)面積公式計算即可解答．【解答】解：如圖，當直線經(jīng)過點A時，m＝4，易求EF：y＝﹣2x+7，∴OF＝8，∴EF＝4，當直線經(jīng)過點D時，m＝8，即AG＝2，作DH⊥AB于H，∵△OEF∽△DHG，∴EF：DG＝OF：DH，∴DH＝4，當直線經(jīng)過點B時，m＝6，∴S＝AB?HD＝5×4＝20．故選：A．【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，準確的分析動點的運動位置，獲得相應的解題條件是本題的解題關鍵．二.填空題（共5小題，每小題3分，共15分）9．（3分）分解因式：mn2﹣12mn+36m＝m（n﹣6）2．【分析】提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：原式＝m（n2﹣12n+36）＝m（n﹣6）6，故答案為：m（n﹣6）2．【點評】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．10．（3分）在科學技術日新月異的推動下，某地積極籌劃并成功建立了兩個水果種植基地A和B，為了助力當?shù)剞r(nóng)民迅速走上致富之路，他們每兩人一組分別去A和B基地現(xiàn)場指導，該地為了公平、公正、采用抽簽的方式隨機讓兩位專家去對應的水果種植基地，王專家和劉專家分成一組去B基地的概率是．【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中王專家和劉專家分成一組去B基地的結果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：把四位專家王專家、李專家、乙、丙和丁，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中王專家和劉專家分成一組去B基地的結果有2種，∴王專家和李專家分成一組去A基地的概率是，故答案為：．【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．11．（3分）已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的兩根，則a2+4a+b﹣3＝﹣2．【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2+3a﹣4＝0，a2＝﹣3a+4，再根據(jù)根與系數(shù)的關系得到a+b＝﹣3，然后把要求的式子進行變形，再代入計算即可．【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣5＝0的根，∴a2+6a﹣4＝0，∴a7＝﹣3a+4，∵a，b是方程x3+3x﹣4＝2的兩根，∴a+b＝﹣3，∴a2+5a+b﹣3＝﹣3a+4+4a+b﹣3＝a+b+3＝﹣3+1＝﹣5．故答案為：﹣2．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝，也考查了一元二次方程的解．12．（3分）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象分別與x軸，B，以線段AB為邊向第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC，反比例函數(shù)y＝（k≠0），與AC邊交于點E．若△ODE的面積為，則k的值為．【分析】由一次函數(shù)解析式可得B（0，b），A（b，0），∠BAO＝30°，繼而發(fā)現(xiàn)AC∥y軸，得到C（b，2b），根據(jù)中點坐標公式可得D（，）．再根據(jù)反比例函數(shù)k值幾何意義得到S△ODE＝S△ODG+S△DEG＝S梯形AEDH代入數(shù)據(jù)計算即可．【解答】解：∵一次函數(shù)解析式為y＝﹣x+b，∴B（8，b）b，0），∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠OAC＝90°，∴AC∥y軸，在Rt△OAB中，∠BAO＝30°，∴AB＝BC＝AC＝3b，∴C（b，2b），∵點D是線段BC的中點，∴D（，）．過點D作，DH⊥x軸，交OE于點G，根據(jù)反比例函數(shù)k值的幾何意義，S△ODH＝S△OAE，∴S△OGD＝S四邊形AEGH，∴S△ODE＝S△ODG+S△DEG＝S梯形AEDH＝（DH+AE）×AH＝（?＝，∵xE?yE＝xD?yD＝，∴yE＝，E（b，），∴（+）?＝，∴b2＝，又∵k＝xD?yD＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，交點坐標滿足兩個函數(shù)解析式．13．（3分）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，點C和點E關于BM對稱，AE與BM交于點F，若AE＝5，EF＝2，則．【分析】通過證明A、D、E、C四點共圓，可得∠ADC＝∠AEC＝120°，可證△EFC是等邊三角形，可得EC＝EF＝2，GF＝，EG＝1，由勾股定理可求BE的長，即可求解．【解答】解：如圖，作BH⊥AE于H，設EC與BF的交點為G，設BE＝x，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∴△ABD，△BDC是等邊三角形，∴BA＝BD＝BC，∵E、C關于BM對稱，∴BC＝BE＝BD＝BA，F(xiàn)E＝FC，∴A、D、E、C四點共圓，∴∠ADC＝∠AEC＝120°，∴∠FEC＝60°，∴△EFC是等邊三角形，∴EC＝EF＝2，GF＝，∴BG＝，∵AE＝5，∴AH＝HE＝3.5，∴FH＝4.6，設BE＝x，∵BH2＝BF2﹣HF5＝BE2﹣HE2，即（+）7﹣4.54＝x2﹣2.52，∴x＝，∴BE＝＝BC＝AD，∴BF＝+＝3，∴＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了菱形的性質，圓的有關知識，等邊三角形的性質，勾股定理等知識，添加恰當輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．三、解答題（共8小題，共61分）14．（5分）計算：．【分析】利用特殊銳角三角函數(shù)值，絕對值的性質，負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪計算即可．【解答】解：原式＝4×+﹣3﹣2+8＝2+4＝4﹣4．【點評】本題考查實數(shù)的運算，特殊銳角三角函數(shù)值，絕對值的性質，負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．15．（6分）化簡：，請你從﹣1，1，2中選一個合適的數(shù)代入求值．【分析】先根據(jù)分式的混合運算結合因式分解化簡原式，再取使分式有意義的一個數(shù)代入求解即可．【解答】解：＝＝＝＝，∵a≠1，a≠4，∴a＝﹣1，∴原式＝＝．【點評】本題考查分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解題的關鍵．16．（7分）“呵護眼睛，從小做起”，每年6月6日為全國愛眼日．某校必考為了解該校八年級和九年級學生視力健康狀況，進行了如下的整理分析．收集數(shù)據(jù)：八年級學生視力數(shù)據(jù)如下：4.14.14.24.44.84.95.05.24.34.54.64.65.15.34.44.35.25.34.64.7九年級學生視力數(shù)據(jù)如下：5.24.24.34.55.05.14.64.84.54.14.24.34.14.54.54.44.85.24.94.9整理數(shù)據(jù)：將數(shù)據(jù)分為A.5.1≤x≤5.3，B.4.9≤x＜5.1，C.4.7≤x＜4.9，E.4.3≤x＜4.5，F(xiàn).4.1≤x＜4.3六組數(shù)據(jù)分析：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)八年級4.68a4.6九年級4.6054.5b請根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）填空：a＝4.65，b＝4.5；并將頻數(shù)分布直方圖補充完整．（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“C.4.7≤x＜4.9”這一組所在扇形圓心角的度數(shù)為36°．（3）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，你認為哪個年級學生的視力健康狀況更好一些？并結合相關統(tǒng)計量說明理由．【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可求出a、b的值，根據(jù)TMD數(shù)據(jù)可補全頻數(shù)分布直方圖；（2）用360°乘C所占的百分比即可；（3）利用平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)的意義分析即可．【解答】解：（1）八年級的中位數(shù)a＝＝6.65，九年級的眾數(shù)b＝4.5，八年級3.3≤x＜4.8的人數(shù)為3個，5.8≤x≤5.3的人數(shù)為3個，補全統(tǒng)計圖：故答案為：4.65，4.4；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“C.4.7≤x＜8.9”這一組所在扇形圓心角的度數(shù)為，故答案為：36；（3）八年級學生的視力情況誰更健康，理由如下：∵八年級學生的視力的平均數(shù)高于九年級，且八年級學生的視力的中位數(shù)和眾數(shù)均高于九年級，∴八年級學生的視力情況誰更健康．【點評】本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)以及用樣本估計總體，掌握眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)定義是解題的關鍵．17．（8分）如圖，在△ABC中，∠C是鈍角．（1）尺規(guī)作圖：在AB上取一點O，以O為圓心，作出⊙O，交AB于點D，連接CD；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）所作的圖中，若∠BCD＝∠A，①求證：BC是⊙O的切線；②求⊙O直徑的長．【分析】（1）作線段AC的垂直平分線交AB于點O，以O為圓心，OA為半徑作⊙O交AB于點D；（2）①證明OC⊥CB即可；②證明△BCD∽∠BAC，推出＝＝＝，由此可得結論．【解答】（1）解：圖形如圖所示；（2）①證明：連接OC．∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AD是直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠A+∠ADC＝90°，∵∠BCD＝∠A，∴∠OCD+∠BCD＝90°，∴∠OCB＝90°，即OC⊥BC，∵OC經(jīng)過圓心O，∴直線BC是⊙O的切線；②在Rt△ACD中，tanA＝＝，∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A，∴△BCD∽∠BAC，∴＝＝＝，∵BC＝12，∴AB＝36，BD＝4，∴AD＝AB﹣BD＝36﹣6＝32，∴⊙O的直徑為32．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，切線的判定，相似三角形的判定和性質以及解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．18．（9分）圍棋起源于中國，被列為“琴棋書畫”四大文化之一；象棋也是中華民族的文化瑰寶，趣味濃厚．國家“雙減”政策實施后，某校為參加棋類社團的同學購買象棋和圍棋，已知購買1副象棋比1副圍棋少花10元．（1）求每副象棋和圍棋的單價；（2）隨著社團活動的開展和同學們對棋類運動的熱愛，學校決定再次購買40副圍棋和m（m≥20）副象棋，恰逢商場推出了優(yōu)惠活動，活動的方案如下：方案一：購買圍棋超過20副時，超過部分每購買1副圍棋贈送1副象棋；方案二：按購買總金額的八折付款．分別求出按照方案一、二購買的總費用y1、y2關于m的函數(shù)解析式；（3）請直接寫出該校選擇哪種方案購買更劃算．【分析】（1）設每副象棋的價格是x元，每副圍棋的價格是y元，列出關于x，y的二元一次方程組：，解之即可得出結論；（2）根據(jù)題目給出的優(yōu)惠方案，列出關系式即可求解；（3）根據(jù)方案一、二購買的總費用y1＝40m+1200；、y2＝32m+1600，列出不等式40m+1200＜32m+1600求解即可．【解答】解：（1）設每副象棋的價格是x元，每副圍棋的價格是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：每副象棋的價格是40元，每副圍棋的價格是50元；（2）根據(jù)購買圍棋超過20副時，超過部分每購買1副圍棋贈送1副象棋，可得y8＝50×40+40（m﹣20）＝40m+1200；根據(jù)按購買總金額的八折付款，可得y2＝0.2×（50×40+40m）＝32m+1600．（3）當y1＜y2時，40m+1200＜32m+1600，解得，m＜50，所以，當20≤m＜50時；當y6＝y(tǒng)2時，40m+1200＝32m+1600，解得，m＝50，所以，當m＝50時；當y1＞y7時，40m+1200＞32m+1600，解得，m＞50，所以，當m＞50時．綜上，當20≤m＜50時；當m＝50時；當m＞50時．【點評】本題考查了二元一次方程、一元一次不等式和列函數(shù)解析式，解題關鍵是準確把握題目中的數(shù)量關系，正確列出方程或不等式．19．（7分）閱讀材料：北師大版七年級下冊教材24頁為大家介紹了楊輝三角．楊輝三角如果將（a+b）n（n為非負整數(shù)）的展開式的每一項按字母a的次數(shù)由大到小排列，就可以得到下面的等式：（a+b）0＝1，它只有一項，系數(shù)為1；（a+b）1＝a+b，它有兩項，系數(shù)分別為1，1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三項，系數(shù)分別為1，2，1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四項，系數(shù)分別為1，3，3，1；將上述每個式子的各項系數(shù)排成該表．觀察該表，可以發(fā)現(xiàn)每一行的首末都是1，并且下一行的數(shù)比上一行多1個，且等于它們的和．按照這個規(guī)律可以將這個表繼續(xù)往下寫．該表在我國宋朝數(shù)學家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，而他是摘錄自北宋時期數(shù)學家賈憲著的《開方作法本源》中的“開方作法本源圖”，因而人們把這個表叫做楊輝三角或賈憲三角（B．Pascal，1623——1662）是1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年（1）應用規(guī)律：①直接寫出（a+b）4的展開式，（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；②（a+b）6的展開式中共有7項，所有項的系數(shù)和為64；（2）代數(shù)推理：已知m為整數(shù)，求證：（m+3）3﹣（m﹣3）3能被18整除．【分析】（1）直接利用已知式子中系數(shù)變化規(guī)律進而得出答案；（2）直接利用已知式子中系數(shù)變化規(guī)律進而得出答案．【解答】（1）解：根據(jù)規(guī)律得：①（a+b）4＝a4+3a3b+6a2b2+4ab6+b4；②∵（a+b）6＝a6+6a5b+15a7b2+20a3b5+15a2b4+2ab5+b6，∴（a+b）3的展開式中共有7項，所有項的系數(shù)和為1+2+15+20+15+6+1＝64；故答案為：①a7+4a3b+5a2b2+7ab3+b4，②2，64；（2）證明：∵（a+b）3＝a3+2a2b+3ab4+b3，∴（m+3）4﹣（m﹣3）3＝（m7+9m2+27m+27）﹣（m3﹣9m2+27m﹣27）＝m3+9m2+27m+27﹣m3+9m2﹣27m+27＝18m6+54＝18（m2+3），∴（m+7）3﹣（m﹣3）6能被18整除．【點評】本題考查了學生解決實際問題的能力和閱讀理解能力，找出本題的數(shù)字規(guī)律是正確解題的關鍵．20．（9分）綜合與實踐【生成概念】拋物線L：y＝x2+2mx+n與y軸交于點A，若拋物線L′上的點和拋物線L上的點關于點A中心對稱，則稱L′是L的“兄弟拋物線”．【感知特例】（1）已知拋物線L：y＝x2+2x+2，寫出L的“兄弟拋物線”L′的解析式，并畫出拋物線L和L′．【代數(shù)推理】通過代數(shù)推理證明拋物線L圖象的性質：從特定的條件開始，利用代數(shù)的定義、公式、運算法則，以及等式和不等式的性質，以驗證已知的結果或得出結論，這一過程稱為代數(shù)推理．我們不妨來試試．運用代數(shù)推理證明：拋物線L：y＝x2+2x+2的圖象是軸對稱圖形，對稱軸是直線x＝﹣1．證明：在拋物線L上任取一點M（a，b），則b＝a2+2a+2點M關于直線x＝﹣1對稱的點N（﹣2﹣a，b），∵（﹣2﹣a）2+2（﹣2﹣a）+2＝a2+2a+2＝b，∴點N也在拋物線L：y＝x2+2x+2的圖象上，∵點M（a，b）是拋物線L：y＝x2+2x+2上的任意一點，它關于直線x＝﹣1對稱的點N（﹣2﹣a，b）都在拋物線L：y＝x2+2x+2的圖象上，∴拋物線L：y＝x2+2x+2的圖象是軸對稱圖形，對稱軸是直線x＝﹣1．（2）仿照上述方法，運用代數(shù)推理證明：拋物線L：y＝x2+2x+2與L的“兄弟拋物線”L′關于點A中心對稱．【拓展延伸】（3）智慧小組發(fā)現(xiàn)拋物線L：y＝x2+2mx+n和L的“兄弟拋物線”L這兩拋物線的頂點所連直線l和mn有一定的關系，請你求出直線l與x軸正半軸夾角θ的正切值tanθ（可用m、n表示）．【分析】（1）根據(jù)定義直接寫出即可，然后列表、描點、連線畫圖即可；（2）在L任取一點M，寫出M關于（0，2）對稱的點的坐標，證明其在L'上即可；（3）根據(jù)前面思路分別寫出兩頂點坐標，再將坐標轉化為線段長度求解即可．【解答】（1）L的“兄弟拋物線”L的解析式為y＝﹣x2+2x+8，圖象如圖所示：（2）運用代數(shù)推理證明：拋物線L；y＝x2+2x+8與L的“兄弟拋物線”L關于點A中心對稱，證明：在拋物線L上任取一點M（a，b）2+2a+8，點M關于點A（0，2）成中心對稱的N（﹣a，L′的解析式為y＝﹣x7+2x+2，∵﹣（﹣a）2+2（﹣a）+2＝a2﹣2a+2＝4﹣b，∴點N在拋物線U：y＝﹣x2+2x+5的圖象上，∵點M（a，b）是拋物線L2+2x+5上的任意一點，它關于點A（0，4﹣b）都在拋物線L：y＝﹣x7+2x+2的圖象上，∴拋物線L：y＝x6+2x+2的圖象上的任意一點關于點A（7，2）中心對稱的點都在拋物線U：y＝﹣x2+2x+2的圖象上．同理，拋物線L：y＝﹣x2+7x+2的圖象上的任意一點關于點A（0，2）中心對稱的點都在拋物線L：y＝x2+2x+4的圖象上．∴拋物線L：y＝x2+2x+8與L的“兄弟拋物線”L關于點A中心對稱．（3）∵拋物線L：y＝x2+2mx+n的頂點坐標為（﹣m，n﹣m3），點A（0，∴拋物線L：y＝﹣x2+6x+2的頂點坐標為（m，n+m2），∴tanθ＝m．【點評】本題主要考查了中心對稱的性質、二次函數(shù)的圖象與性質、二次函數(shù)上點的坐標特征等內(nèi)容，熟練掌握相關知識和理解題意是解題關鍵．21．（10分）【問題提出】在旋轉專題復習課中，王老師引導同學們積極探究以下問題：將一大一小兩個等腰直角三角板如圖1放置，∠BAC＝∠AFD＝90°，點F在△ABC內(nèi)，使EF＝BF，連接BD，DE．探究線段DE與CD的關系．【思路探究】“勤學小組”的解題思路：將線段DE借助平行線進行平移，如圖2，過點B作BG平行DE交DF的延長線于點G；“善思小組”的解題思路：結合F為BE的中點構造三角形的中位線，如圖3，過點B作BH平行DF交ED延長線于點H，將DE和CD的關系轉化為DH和CD的關系．（1）請你寫出線段DE與CD的關系并證明（寫出一種方法即可）；【思維訓練】王老師為了進一步讓學生體會平行線在圖形證明中的作用，又出示了下列問題：（2）如圖4，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB上一點，將CD繞點C逆時針旋轉60°得到CE，DE，O為DE中點，若∠EBO＝2∠BCE，探究OF，BE之間的數(shù)量關系，并說明理由；【能力提升】（3）“創(chuàng)新小組”的同學在【問題提出】的基礎上對該問題又進一步拓展：連接CE，若F為平面內(nèi)一點，AD∥CE，AC＝3，其他條件不變【分析】（1）方法一，延長DF至G，使FG＝DF，連接AG，延長CD，交BG的延長線于點H，可證得△BAG≌△