第7課時指數(shù)與指數(shù)函數(shù)[考試要求]1．掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).2．通過實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，會畫指數(shù)函數(shù)的圖象.3．理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用．1．根式(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)式子na叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a(3)(na)n＝a當(dāng)n為奇數(shù)時，nan＝當(dāng)n為偶數(shù)時，nan＝|a2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，amn＝nam(a>0，m，n∈N正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，a?mn＝1amn＝1nam(a>0，0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．3．指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．4．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R，a是底數(shù)．(2)形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，那么k還應(yīng)滿足k≠1；a＞0且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)．(3)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)項(xiàng)目a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時，y＝1當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1當(dāng)x<0時，y>1；當(dāng)x>0時，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)[常用結(jié)論]指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)(1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)(0，1)，(1，a)，?1，(2)函數(shù)y＝ax與y＝1ax(a＞0，且a≠1)的圖象關(guān)于(3)在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)nan＝(na)n＝a(2)函數(shù)y＝a－x是R上的增函數(shù)． ()(3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，則m＜n． ()[答案](1)×(2)×(3)×二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第一冊P109習(xí)題4.1T1改編)化簡3?5A．5 B．5C．－5 D．－5B[原式＝35232．(人教A版必修第一冊P114例1改編)若函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)2，13A．1 B．2C．3 D．3C[依題意可知a2＝13，解得a＝33，所以f(x)＝33x，所以f(－1)＝3．(多選)(人教A版必修第一冊P117例3改編)下列各式比較大小正確的是()A．1.72.5＞1.73 B．1C．1.70.3＞0.93.1 D．233BCD[因?yàn)閥＝1.7x為增函數(shù)，所以1.72.5＜1.73，故A錯誤；因?yàn)??43＝1243，y＝12x為減函數(shù)，所以1223＞1243＝2?43，故B正確；因?yàn)?.70.3＞1，而0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3＞0.4．(人教A版必修第一冊P120習(xí)題4.2T9改編)已知函數(shù)f(x)＝a12x+b的圖象過原點(diǎn)，且無限接近直線y＝1，但又不與該直線相交，則34[因?yàn)閒(x)的圖象過原點(diǎn)，所以f(0)＝a120＋b＝0，即a＋b＝0．又因?yàn)閒(x)的圖象無限接近直線y＝1，但又不與該直線相交，所以b＝1，a＝－1，所以f(x)＝－12x＋1，所以f考點(diǎn)一指數(shù)冪的運(yùn)算[典例1](1)(多選)已知a＋a-1＝3，則下列正確的是()A．a(chǎn)2＋a-2＝7 B．a(chǎn)3＋a-3＝18C．a(chǎn)12+a?12＝±5 D．a(chǎn)(2)計算：14?12·4ab(1)ABD(2)85[(1)因?yàn)閍＋a-1＝3，所以a2＋a-2＝(a＋a-1)2－2＝9－2＝7，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)閍＋a-1＝3，所以a3＋a-3＝(a＋a-1)(a2－1＋a-2)＝(a＋a-1)·[(a＋a-1)2－3]＝3×6＝18，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)閍＋a-1＝3，所以(a12+a?12)2＝a＋a-1＋2＝5，且a＞0，所以a12+a?12＝5，故選項(xiàng)C錯誤；因?yàn)閍3＋a-3＝18，且a＞0，所以aa(2)原式＝2·43指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算．(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先化成假分?jǐn)?shù)．(4)運(yùn)算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式要求統(tǒng)一．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)已知x<0，y>0，化簡49A．－3x2y B．3x2yC．－3x2y D．3x2y(2)計算：278?23＋0.002?(1)B(2)－1679[(1)由題意得49x8y4＝914x814(2)原式＝32?2＋50012－105+25?2考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用[典例2](1)(多選)已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式2022a＝2023b，則下列式子可以成立的是()A．a(chǎn)＝b＝0 B．a(chǎn)<b<0C．0<a<b D．0<b<a(2)若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的圖象有兩個公共點(diǎn)，則a的取值范圍為________．(1)ABD(2)0，12[(1)如圖，觀察易知，a<b<0或0<b<a或a(2)y＝|ax－1|的圖象是由y＝ax的圖象先向下平移1個單位長度，再將x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的．當(dāng)a>1時，如圖①，兩個圖象只有一個交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)0<a<1時，如圖②，要使兩個圖象有兩個交點(diǎn)，則0<2a<1，得0<a<12.綜上可知，a的取值范圍為0](1)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論．(2)掌握函數(shù)y＝f(|x|)，y＝f(x)，y＝|f(x)|的圖象之間的變換與聯(lián)系．(3)定點(diǎn)與漸近線是作圖的關(guān)鍵．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)(2023·棗莊二模)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象如圖所示，則y＝ax2＋x圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是()A．?∞，?12C．0，12(2)若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________．(1)A(2)[－1，1][(1)由圖象知函數(shù)為減函數(shù)，則0＜a＜1，二次函數(shù)y＝ax2＋x圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝－12a∵0＜a＜1，∴12a＞12，－12a即橫坐標(biāo)的取值范圍是?∞，(2)曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖象可得：如果曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點(diǎn)，則b應(yīng)滿足的條件是b∈[－1，1].]【教師備選資源】在同一平面直角坐標(biāo)系中，指數(shù)函數(shù)y＝bax，二次函數(shù)y＝ax2－ABCDB[指數(shù)函數(shù)y＝bax圖象位于x軸上方，據(jù)此可區(qū)分兩函數(shù)圖象．二次函數(shù)y＝ax2－bx＝(ax－b)x有零點(diǎn)ba，0.A，B選項(xiàng)中，指數(shù)函數(shù)y＝bax在R上單調(diào)遞增，故ba>1，故A錯誤，B正確．C，D選項(xiàng)中，指數(shù)函數(shù)y＝考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用比較指數(shù)式的大小[典例3](1)(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c＞a＞b B．c＞b＞aC．a(chǎn)＞b＞c D．b＞a＞c(2)若2x＋5y≤2－y＋5－x，則有()A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0(1)D(2)B[(1)由y＝1.01x在R上單調(diào)遞增，則a＝1.010.5＜b＝1.010.6，由y＝x0.5在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則a＝1.010.5＞c＝0.60.5．所以b＞a＞c.故選D.(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x－5－x，易知f(x)為增函數(shù)．又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.故選B.]【教師備選資源】已知函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c滿足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系為()A．f(cx)≥f(bx) B．f(cx)≤f(bx)C．f(cx)>f(bx) D．f(cx)＝f(bx)A[根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c滿足f(x＋1)＝f(1－x)，則有b2＝1，即b＝又由f(0)＝3，得c＝3，所以bx＝2x，cx＝3x.若x<0，則cx<bx<1，而f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，此時有f(bx)<f(cx)；若x＝0，則cx＝bx＝1，此時有f(bx)＝f(cx)；若x>0，則有1<bx<cx，而f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，此時有f(bx)<f(cx)．綜上可得f(bx)≤f(cx)．]解簡單的指數(shù)方程或不等式[典例4](1)已知實(shí)數(shù)a≠1，函數(shù)f(x)＝4x，x≥0，2a?x，x<0，(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝12x?7，x<0，x(1)12(2)(－3，1)[(1)當(dāng)a<1時，41-a＝21，解得a＝1當(dāng)a>1時，2a－(1-a)＝4a-1無解，故a的值為12(2)當(dāng)a<0時，原不等式化為12則2－a<8，解得a>－3，所以－3<a<0.當(dāng)a≥0時，則a<1，0≤a<1.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－3，1)．]指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用[典例5](1)(2023·新高考Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0，1)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，＋∞)(2)(2023·全國乙卷)已知f(x)＝xexeaxA．－2 B．－1C．1 D．2(3)不等式4x－2x+1＋a>0對任意x∈R都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(1)D(2)D(3)(1，＋∞)[(1)法一(復(fù)合函數(shù)法)：因?yàn)閥＝2x在R上單調(diào)遞增，所以y＝x(x－a)在區(qū)間(0，1)單調(diào)遞減，所以x＝a2≥1，解得a≥2.故法二(特值法)：取a＝3，則y＝x(x－3)＝x?322－94在(0，1)單調(diào)遞減，所以f(x)＝2x(x(2)法一：f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)，即xexeax?1＝?xe?xe?ax?1，即e(1-a)x－ex＝－e(a-1)x＋e－x，即e(1-a)x＋e(a-1)x＝ex＋e－法二：f(x)＝xexeax?1＝xea?1x?e?x，f(x)是偶函數(shù)，又y＝x是奇函數(shù)，所以y＝e(a-1)(3)原不等式可化為a>－4x＋2x+1對x∈R恒成立，令t＝2x，則t>0，∴y＝－4x＋2x+1＝－t2＋2t＝?t?12＋1≤1，當(dāng)t＝1，即x＝0時，ymax＝1，∴a【教師備選資源】在人工智能領(lǐng)域的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，常用到在定義域D內(nèi)單調(diào)遞增且有界的函數(shù)f(x)，即?M＞0，?x∈D，|f(x)|≤M.則下列函數(shù)中，所有符合上述條件的序號是________．①f(x)＝x；②f(x)＝x1+x2；③f(x)＝ex?e?x③④[對于①，f(x)＝x無界，不符合題意；對于②，f(x)＝x1+x對于③，f(x)＝ex?e?xex+e?x＝e2x?1e2x+1對于④，f(x)＝11+e?x單調(diào)遞增，且f(x)∈(0，1)，則|(1)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量．(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)(2024·江蘇沭陽模擬)設(shè)12＜12bA．a(chǎn)a＜ab＜ba B．a(chǎn)a＜ba＜abC．a(chǎn)b＜aa＜ba D．a(chǎn)b＜ba＜aa(2)若函數(shù)f(x)＝13ax2+2x+3(1)C(2)(－∞，－1][(1)∵12＜12b＜12a＜1且y∴0＜a＜b＜1.當(dāng)0＜a＜1時，指數(shù)函數(shù)y＝ax在R上是減函數(shù)，∴ab＜aa.當(dāng)0＜a＜1時，冪函數(shù)y＝xa在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴aa＜ba，∴ab＜aa＜ba.故選C.(2)∵y＝13t是減函數(shù)，且f(x)的值域是0，19，∴t＝則a>0且12a?224a因此t＝x2＋2x＋3的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－1]，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1].]課時分層作業(yè)(十二)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)一、單項(xiàng)選擇題1．已知指數(shù)函數(shù)f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的值為()A．12 C．32 A[由題意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝12當(dāng)a＝2時，f(x)＝2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)a＝12時，f(x)＝12x符合題意，∴a＝122．設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．b<a<c D．b<c<aC[由指數(shù)函數(shù)y＝0.6x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，可知0<0.61.5<0.60.6<1，又1.50.6>1，所以b<a<c.]3．若函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，則()A．a(chǎn)>1，b>1 B．a(chǎn)>1，0<b<1C．0<a<1，b>1 D．0<a<1，0<b<1D[根據(jù)題圖知，函數(shù)f(x)＝ax－b是減函數(shù)，所以a∈(0，1)，根據(jù)圖象的縱截距，令x＝0，y＝1－b∈(0，1)，解得b∈(0，1)，即a∈(0，1)，b∈(0，1)．]4．若2x2＋1≤14x?2，則函數(shù)y＝2A．18，2C．?∞，18 B[因?yàn)?x2＋1≤14x?2＝24-2x，所以x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以函數(shù)y＝2x的值域是5．(2023·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)＝e?x?12.記a＝f22，b＝f32，A．b>c>a B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>bA[函數(shù)f(x)＝e?x?12是由函數(shù)y＝eu和u＝－(x－1)2復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，y＝eu為R上的增函數(shù)，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．易知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以c＝f62＝f2?62，又22<2－62<32<1，所以f22<f2?6．當(dāng)x∈(－∞，－1]時，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－2，1) B．(－4，3)C．(－3，4) D．(－1，2)D[原不等式變形為m2－m<12因?yàn)楹瘮?shù)y＝12x在(－所以12當(dāng)x∈(－∞，－1]時，m2－m<12x恒成立等價于m2－m<2，解得－1<m<2二、多項(xiàng)選擇題7．已知函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象如圖所示，則下列四個函數(shù)圖象與函數(shù)解析式對應(yīng)正確的是()ABCDABD[由題圖知，函數(shù)y＝ax為增函數(shù)，即a>1，且當(dāng)x＝1時，y＝2，即a＝2.則A項(xiàng)，y＝12B項(xiàng)，y＝x-2＝1xC項(xiàng)，y＝2|x|，當(dāng)x>0時，函數(shù)y＝2x單調(diào)遞增，不滿足條件，D項(xiàng)，y＝|log2x|的圖象，滿足條件．故選ABD.]8．(2024·重慶巴蜀中學(xué)模擬)若f(x)＝e1?A．f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增B．f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減C．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝0對稱D．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，0)中心對稱BC[因?yàn)閥＝1－x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－∞，0)上單調(diào)遞增，y＝ex在定義域R上單調(diào)遞增，所以f(x)＝e1?x2在(0，＋∞又f(－x)＝e1??x2＝e1?x2＝f(x)，所以f(x)＝e1?x2三、填空題9．(2021·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函數(shù)，則a＝________．1[法一(定義法)：因?yàn)閒(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域?yàn)镽，且是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)對任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)對任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0對任意的x∈R恒成立，所以a＝1.法二(取特殊值檢驗(yàn)法)：因?yàn)閒(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域?yàn)镽，且是偶函數(shù)，所以f(－1)＝f(1)，所以－a2?2＝2a－12，解得a＝1，經(jīng)檢驗(yàn)，f(x)＝x3(2x－2－x)為偶函數(shù)，所以法三(轉(zhuǎn)化法)：由題意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域?yàn)镽，且是偶函數(shù)．設(shè)g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因?yàn)間(x)＝x3為奇函數(shù)，所以h(x)＝a·2x－2－x為奇函數(shù)，所以h(0)＝a·20－2-0＝0，解得a＝1，經(jīng)檢驗(yàn)，f(x)＝x3(2x－2－x)為偶函數(shù)，所以a＝1．]10．若函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)在[0，1]上的最大值與最小值的和為54，則函數(shù)y＝3a2x-112[因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，又y＝ax在[0，1]上的最大值與最小值的和為54，所以a0＋a1＝1＋a＝54，解得a＝14，所以y＝3a2x-1＝3×142x?1＝12×116x.因?yàn)楹瘮?shù)y＝116x在定義域上為減函數(shù)，所以y＝12×116x在[0，1]上單調(diào)遞減，所以四、解答題11．已知函數(shù)f(x)＝b·ax(其中a，b為常數(shù)，且a>0，a≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1，6)，B(3，24)．(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式1ax＋1bx－m≥0在(－[解](1)因?yàn)閒(x)的圖象過點(diǎn)A(1，6)，B(3，24)，所以b所以a2＝4.又a>0，所以a＝2，b＝3．所以f(x)＝3·2x.(2)由(1)知a＝2，b＝3，則當(dāng)x∈(－∞，1]時，12x＋13x即m≤12x＋13又因?yàn)閥＝12x與y＝13x在(－∞，1]上均單調(diào)遞減，所以y＝12x＋13x在(－∞，1]上也單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝1時，y＝12x＋1312．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝?2(1)求a，b的值；(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求