第第頁第10講圓的方程【題型歸納目錄】題型一：圓的標準方程題型二：圓的一般方程題型三：點與圓的位置關(guān)系題型四：二元二次曲線與圓的關(guān)系題型五：圓過定點問題題型六：軌跡問題【知識點梳理】知識點一：圓的標準方程SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑．知識點詮釋：(1)如果圓心在坐標原點，這時SKIPIF1<0，圓的方程就是．有關(guān)圖形特征與方程的轉(zhuǎn)化：如：圓心在x軸上：SKIPIF1<0；圓與y軸相切時：SKIPIF1<0；圓與x軸相切時：SKIPIF1<0；與坐標軸相切時：SKIPIF1<0；過原點：SKIPIF1<0(2)圓的標準方程SKIPIF1<0圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點．(3)標準方程的優(yōu)點在于明確指出了圓心和半徑．由圓的標準方程可知，確定一個圓的方程，只需要a、b、r這三個獨立參數(shù)，因此，求圓的標準方程常用定義法和待定系數(shù)法．知識點二：點和圓的位置關(guān)系如果圓的標準方程為SKIPIF1<0，圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，則有(1)若點SKIPIF1<0在圓上SKIPIF1<0(2)若點SKIPIF1<0在圓外SKIPIF1<0(3)若點SKIPIF1<0在圓內(nèi)SKIPIF1<0知識點三：圓的一般方程當SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0叫做圓的一般方程．SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑．知識點詮釋：由方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0(1)當SKIPIF1<0時，方程只有實數(shù)解SKIPIF1<0．它表示一個點．(2)當SKIPIF1<0時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形．(3)當SKIPIF1<0時，可以看出方程表示以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓．知識點四：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系數(shù)法”．用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：(1)根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程．(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的方程組．(3)解方程組，求出SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程．知識點五：軌跡方程求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量SKIPIF1<0之間的方程．1、當動點滿足的幾何條件易于“坐標化”時，常采用直接法；當動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義(如圓)時，常采用定義法；當動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法(或稱相關(guān)點法)．2、求軌跡方程時，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗，去掉不合題設(shè)條件的點或線等．3、求軌跡方程的步驟：(1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，用SKIPIF1<0表示軌跡(曲線)上任一點SKIPIF1<0的坐標；(2)列出關(guān)于SKIPIF1<0的方程；(3)把方程化為最簡形式；(4)除去方程中的瑕點(即不符合題意的點)；(5)作答．【典例例題】題型一：圓的標準方程例1．圓SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱的圓是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】圓SKIPIF1<0圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱的點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱的點為SKIPIF1<0，所以圓SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱的圓是SKIPIF1<0.故選：D.例2．已知圓C的圓心在直線2x－y－7＝0上，且圓C與y軸交于兩點A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的標準方程為(

)A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5【解析】設(shè)圓心SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則半徑為SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0.即圓C的標準方程為SKIPIF1<0.故選：B例3．已知圓SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且圓心在直線SKIPIF1<0上，則圓SKIPIF1<0的標準方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】設(shè)圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0，因為圓SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且圓心在直線SKIPIF1<0上，所以有SKIPIF1<0，因此圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0，故選：A題型二：圓的一般方程例4．SKIPIF1<0三個頂點的坐標分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0外接圓的方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】設(shè)所求圓方程為SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點都在圓上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即所求圓方程為：SKIPIF1<0.故選：C.例5．已知圓SKIPIF1<0經(jīng)過兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且圓心SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，則圓SKIPIF1<0的方程為()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】設(shè)圓的一般方程為SKIPIF1<0，圓心坐標為SKIPIF1<0，因為圓SKIPIF1<0經(jīng)過兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且圓心SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.故選：C.題型三：點與圓的位置關(guān)系例6．點P(m，3)與圓(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置關(guān)系為(

)A．點在圓外 B．點在圓內(nèi) C．點在圓上 D．與m的值有關(guān)【解析】將點P(m，3)坐標代入(x－2)2＋(y－1)2＝2中，有：SKIPIF1<0恒成立，故點P在圓外，故選：A.例7．點SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的位置關(guān)系是(

)．A．在圓內(nèi) B．在圓外 C．在圓上 D．不確定【解析】因為SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0外.故選：B題型四：二元二次曲線與圓的關(guān)系例8．(多選題)方程SKIPIF1<0表示圓，則實數(shù)a的可能取值為(

)A．4 B．2 C．0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【解析】把方程SKIPIF1<0整理成SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，若表示圓則滿足SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，觀察答案中只有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0符合題意.故選：AD例9．(多選題)已知方程SKIPIF1<0，下列敘述正確的是(

)A．方程表示的是圓.B．當SKIPIF1<0時，方程表示過原點的圓.C．方程表示的圓的圓心在SKIPIF1<0軸上.D．方程表示的圓的圓心在SKIPIF1<0軸上.【答案】BC【解析】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0；對于A，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則方程不表示圓，A錯誤；對于B，當SKIPIF1<0時，方程為SKIPIF1<0，則方程表示以SKIPIF1<0為圓心，半徑為SKIPIF1<0的圓，此圓經(jīng)過原點，B正確；對于CD，若方程表示圓，則該圓圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，則圓心在SKIPIF1<0軸上，不在SKIPIF1<0軸上，C正確，D錯誤.故選：BC.題型五：圓過定點問題例10．對任意實數(shù)SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0恒過定點，則定點坐標為__．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以定點的坐標是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.例11．對任意實數(shù)SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0恒過定點，則其坐標為______.【答案】SKIPIF1<0、SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0由得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故填：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.例12．已知方程SKIPIF1<0表示圓，其中SKIPIF1<0，且a≠1，則不論a取不為1的任何實數(shù)，上述圓恒過的定點的坐標是________________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由已知得SKIPIF1<0，它表示過圓SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交點的圓.由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0即定點坐標為SKIPIF1<0.故答案為SKIPIF1<0題型六：軌跡問題例13．已知線段AB的端點B的坐標為SKIPIF1<0，端點A在圓C：SKIPIF1<0上運動，求線段AB的中點P的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么．【解析】設(shè)點P的坐標為SKIPIF1<0，點A的坐標為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且P為線段AB的中點，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因為點A在圓C：SKIPIF1<0上運動，即有SKIPIF1<0，代入可得，SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，化為標準方程可得SKIPIF1<0.所以，中點P的軌跡方程為SKIPIF1<0，該軌跡為以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓.例14．已知方程SKIPIF1<0表示圓，其圓心為SKIPIF1<0.(1)求圓心坐標以及該圓半徑SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的端點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，端點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上運動，求線段SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0的軌跡方程.【解析】(1)方程SKIPIF1<0可變?yōu)椋篠KIPIF1<0由方程表示圓，所以SKIPIF1<0，即得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.圓心坐標為SKIPIF1<0.(2)當SKIPIF1<0時，圓SKIPIF1<0方程為：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，由端點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上運動，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0線段SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0.例15．已知圓SKIPIF1<0經(jīng)過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點.(1)求圓SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上運動，點SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，記點SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的方程.【解析】(1)設(shè)圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，將三點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別代入方程，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上運動，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0.【過關(guān)測試】一、單選題1．若圓SKIPIF1<0的圓心到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則實數(shù)a的值為(

)A．0或2 B．0或-2C．0或SKIPIF1<0 D．-2或2【答案】A【解析】將圓的方程化為標準方程為：SKIPIF1<0，所以，圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0.因為圓心SKIPIF1<0到直線的距離為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：A.2．已知圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱，則圓SKIPIF1<0的方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題意知,圓SKIPIF1<0的圓心與SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱，且兩圓半徑相等，因為圓SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以圓心SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，設(shè)圓SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：A.3．若點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0的內(nèi)部，則a的取值范圍是().A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題可知，半徑SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，把點SKIPIF1<0代入方程，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以故a的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：D4．動直線SKIPIF1<0SKIPIF1<0平分圓SKIPIF1<0的周長，則SKIPIF1<0的最小值(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意，動直線SKIPIF1<0過圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，等號成立，故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：D.二、填空題5．若l是經(jīng)過點SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0的圓心的直線，則l在y軸上的截距是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】將圓化為標準方程可得，SKIPIF1<0，所以圓心為SKIPIF1<0.代入直線SKIPIF1<0的兩點式方程SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0.所以，l在y軸上的截距是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.6．圓過點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求面積最小的圓的一般方程為________________．【答案】SKIPIF1<0【解析】當SKIPIF1<0為圓的直徑時，過SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的圓的半徑最小，從而面積最?。驗辄cSKIPIF1<0、SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故所求圓的半徑為SKIPIF1<0，所以，所求圓的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.7．過圓SKIPIF1<0外一點SKIPIF1<0作圓的兩條切線，切點A、B，則SKIPIF1<0的外接圓的方程是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由圓SKIPIF1<0，得到圓心O坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的外接圓為四邊形SKIPIF1<0的外接圓，如圖所示，又SKIPIF1<0，∴外接圓的直徑為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，外接圓的圓心C為線段OP的中點，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的外接圓方程是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<08．在平面直角坐標系中，已知點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上運動，則線段AP的中點SKIPIF1<0的軌跡方程是______．【答案