Page22本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將全部試題的答案涂、寫在答題紙上.選擇題部分（共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將集合中的元素代入集合，驗(yàn)證的元素即可.【詳解】集合中元素為點(diǎn)，故解除A，D；當(dāng)，時(shí)，，故，故C錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，，故，故B正確.故選：B2.若，則的取值可以為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)兩角和的余弦公式，結(jié)合幫助角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得，即，所以，即，當(dāng)時(shí)，.故選：C.3.已知非零向量，，滿意，，若為在上的投影向量，則向量，夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，由平面對(duì)量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的投影向量的計(jì)算公式，結(jié)合其夾角公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由，為在上的投影向量，所以，故故選：B4.設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，a，b是兩條不同的直線，且，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由空間中的線面關(guān)系結(jié)合充分必要條件的推斷得答案【詳解】由，，則，又，所以，故“”是“”的充分條件.當(dāng)滿意，，時(shí)，直線可能平行，可能相交，也可能異面.故“”不是“”的必要條件.故選：A5.杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)火炬9月14日在浙江臺(tái)州傳遞，火炬?zhèn)鬟f路途以“和合臺(tái)州活力城市”為主題，全長(zhǎng)8公里．從和合公園動(dòng)身，途經(jīng)臺(tái)州市圖書館、文化館、體育中心等地標(biāo)建筑．假設(shè)某段線路由甲、乙等6人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有（）A.288種 B.360種 C.480種 D.504種【答案】C【解析】【分析】依據(jù)排列數(shù)以及插空法的學(xué)問(wèn)求得正確答案.【詳解】先支配甲乙以外的個(gè)人，然后插空支配甲乙兩人，所以不同的傳遞方案共有種.故選：C6.函數(shù)的圖象如圖①所示，則如圖②所示的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)給定的函數(shù)圖象，由推理解除CD；由①中函數(shù)當(dāng)時(shí)，分析推斷得解.【詳解】由圖①知，，且當(dāng)時(shí)，，由②知，圖象過(guò)點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，C不行能；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，D不行能；對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，則，A可能；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，則，B不行能.故選：A7.已知二面角的平面角為，，，，，，與平面所成角為．記的面積為，的面積為，則的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)正弦定理、三角形的面積公式、二面角的學(xué)問(wèn)求得正確答案.【詳解】過(guò)作，垂足為，連接，依題意，，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以.由于，所以平面，平面，所以在平面上的射影為，所以，依據(jù)三角形的面積公式以及正弦定理得：，由于，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.故選：D8.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù),，探討得出函數(shù)單調(diào)性遞增后，通過(guò)做差或做商推斷，大小后，即可推斷,的大小，利用下凸函數(shù)與割線的關(guān)系即可推斷,的大小.【詳解】因?yàn)?，連接和,得割線方程,因?yàn)樵谏鲜窍峦购瘮?shù)，所以在上，割線在正切曲線上方，即,所以當(dāng)時(shí)，,令，，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?即，所以在單調(diào)增，即,因?yàn)?，所以，即，故，?故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.袋子中有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取5次，每次取一個(gè)球．記錄每次取到的數(shù)字，統(tǒng)計(jì)后發(fā)覺(jué)這5個(gè)數(shù)字的平均數(shù)為2，方差小于1，則（）A.可能取到數(shù)字4 B.中位數(shù)可能是2C.極差可能是4 D.眾數(shù)可能是2【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于AC：依據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、方差和極差的定義分析推斷；對(duì)于BD：舉例說(shuō)明即可.【詳解】設(shè)這5個(gè)數(shù)字為，對(duì)于A：若取到數(shù)字4，不妨設(shè)為，則，可得，可知這4個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)1，不妨設(shè)為，則這5個(gè)數(shù)字的方差，不合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)檫@5個(gè)數(shù)字的平均數(shù)為2，這5個(gè)數(shù)字至少有1個(gè)1，不妨設(shè)為，若極差是4，這最大數(shù)為5，不妨設(shè)為，則這5個(gè)數(shù)字的平均數(shù)，則，可知這3個(gè)數(shù)有2個(gè)1，1個(gè)2，此時(shí)這5個(gè)數(shù)字的方差，不合題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于BD：例如2，2，2，2，2，可知這5個(gè)數(shù)字的平均數(shù)為2，方差為0，符合題意，且中位數(shù)是2，眾數(shù)是2，故BD正確；故選：BD.10.已知等差數(shù)列中，，公差為，，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】由為等差數(shù)列，先求出，由可推斷選項(xiàng)A；對(duì)于選項(xiàng)B，分為奇數(shù)和偶數(shù)分別求的前項(xiàng)和，從而可推斷;選項(xiàng)C，先得出，從而得出，，再分為奇數(shù)和偶數(shù)分別求的前項(xiàng)和；對(duì)于選項(xiàng)D，由，求出，從而可求出的前項(xiàng)的和.【詳解】由為等差數(shù)列，，公差為，則當(dāng)時(shí)，，則選項(xiàng)A不正確.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，故，所以選項(xiàng)B正確.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，所以，故選項(xiàng)C正確.所以，所以選項(xiàng)D正確故選：BCD11.已知為雙曲線：上位于第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，則（）A.若，則B.若，則的面積為9C.D.的最小值為8【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)題意結(jié)合四邊形的形態(tài)分析A，B；將轉(zhuǎn)化成直線斜率，借助漸近線斜率推斷C；由雙曲線定義，利用與之間的關(guān)系求最值推斷選項(xiàng)D.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，由題意可知，四邊形為平行四邊形，如圖：由雙曲線：可知：，，，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以四邊形為矩形，所以，故A正確；對(duì)于B，據(jù)雙曲線定義可知：，，若，則四邊形為矩形，則，所以，即，所以，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，由雙曲線的方程可知，在中，又因?yàn)殡p曲線漸近線方程為：，所以所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值為8，故D正確.故選：ABD12.已知是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，，，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）C.存在，D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】由原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱性推斷A；令，結(jié)合題設(shè)條件推斷其單調(diào)性后可推斷B，C，D.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，所以是定義域?yàn)榈目蓪?dǎo)函數(shù)，因?yàn)椋缘膱D像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，而，故，所以的圖像關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)?，故時(shí)，，所以，設(shè)，故時(shí)，，故在上為增函數(shù)，同理在上為減函數(shù)，對(duì)于A，因?yàn)?，故，故A正確；對(duì)于B，，故，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，，故恒成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，，所以，故時(shí)，，而，故，故D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：抽象函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的探討中，留意軸對(duì)稱與中心對(duì)稱的轉(zhuǎn)化，另外對(duì)于原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)具有的不等式可適當(dāng)構(gòu)建新函數(shù)，通過(guò)新函數(shù)的性質(zhì)得到原函數(shù)的性質(zhì).非選擇題部分（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若（為虛數(shù)單位），則______．【答案】##【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所?故答案：14.浙江省高考實(shí)行“七選三”選科模式，賜予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán)．甲、乙、丙三所學(xué)校分別有75%，60%，50%的學(xué)生選了物理，這三所學(xué)校的學(xué)生數(shù)之比為，現(xiàn)從這三所學(xué)校中隨機(jī)選取一個(gè)學(xué)生，則這個(gè)學(xué)生選了物理的概率為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】先求得這個(gè)學(xué)生來(lái)自每個(gè)學(xué)校并且選擇了物理概率，最終由分類加法算出總概率.【詳解】設(shè)：事務(wù)：這個(gè)學(xué)生來(lái)自甲學(xué)校；事務(wù)：這個(gè)學(xué)生來(lái)自乙學(xué)校；事務(wù)：這個(gè)學(xué)生來(lái)自丙學(xué)校；事務(wù)：甲學(xué)校學(xué)生選了物理；事務(wù)：乙學(xué)校學(xué)生選了物理；事務(wù)：丙學(xué)校學(xué)生選了物理；由題意知：這個(gè)學(xué)生選擇是物理的概率：.故答案為：.15.在中，角A，，所對(duì)的分別為，，．若角A為銳角，，，則的周長(zhǎng)可能為_(kāi)_____．（寫出一個(gè)符合題意的答案即可）【答案】9（答案不唯一，內(nèi)的任何一個(gè)值均可）【解析】【分析】依據(jù)題意利用余弦定理可得，進(jìn)而可得周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】由余弦定理可得，因?yàn)榻茿為銳角，則，可得，所以的周長(zhǎng).故答案為：9（答案不唯一，內(nèi)的任何一個(gè)值均可）.16.拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)動(dòng)身的光線，經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸．過(guò)拋物線：上的點(diǎn)（不為原點(diǎn)）作的切線，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作，垂足為，直線（為拋物線的焦點(diǎn)）與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，切線的方程為，繼而求得切線的斜率，由可求得的方程，與直線聯(lián)立可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而消參可求得點(diǎn)的軌跡方程，則結(jié)合圖形可求得得范圍.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線：上的點(diǎn)（不為原點(diǎn)），所以可設(shè)點(diǎn)，且當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切點(diǎn)為原點(diǎn)不合題意；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)為，聯(lián)立，消去可得，化簡(jiǎn)可得，令，可得，化簡(jiǎn)可得，即，又，所以的斜率，所以的方程，因?yàn)辄c(diǎn)，所以的斜率為，則的方程為，聯(lián)立，解得，即，當(dāng)時(shí)，的方程為，的方程則或，滿意由兩式相除可得，即由，可得再代入，可得，化簡(jiǎn)可得，可得，可知點(diǎn)軌跡為半徑為的圓，圓心為,結(jié)合圖形可知，又，，則.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，若，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)等比數(shù)列的定義和求和公式求，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）由（1）可得：，利用分組求和結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公比為，因?yàn)?，即，且，可得，解得或（舍去）．又因?yàn)?，解得，所?【小問(wèn)2詳解】由（1）可得：，所以，所以18.已知．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小正周期以及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的值域．【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用幫助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，應(yīng)用公式求得，應(yīng)用整體代入法即可求單調(diào)區(qū)間；（2）應(yīng)用換元法，設(shè)，則函數(shù)轉(zhuǎn)化為，，即可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，令，，得，，所以函數(shù)的最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)，，設(shè)，則，令，，又，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的值域?yàn)椋?9.如圖，已知四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn)，，．將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置．（1）若平面平面，求證：；（2）若點(diǎn)A到直線的距離為，求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）或【解析】【分析】（1）依據(jù)題意利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）分析可知即為二面角的平面角，記為，建系，可得，結(jié)合點(diǎn)到線的距離公式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，且為等邊三角形，所以．又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以為等腰三角形，可得，，即，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，則平面，且平面，所以．【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，取的中點(diǎn)，則，由（1）得，所以，所以即為二面角的平面角，記為．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，因?yàn)?，則，可得；，則點(diǎn)A到直線的距離為，由題意可得，解得，或，所以二面角的平面角的余弦值為或．20.為了了解中學(xué)學(xué)生課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間（分鐘/每天）和他們的數(shù)學(xué)成果（分）的關(guān)系，某試驗(yàn)小組做了調(diào)查，得到一些數(shù)據(jù)（表一）．表一編號(hào)12345學(xué)習(xí)時(shí)間3040506070數(shù)學(xué)成果65788599108（1）請(qǐng)依據(jù)所給數(shù)據(jù)求出，的閱歷回來(lái)方程，并由此預(yù)料每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間為100分鐘時(shí)的數(shù)學(xué)成果：（參考數(shù)據(jù)：，，的方差為200）（2）基于上述調(diào)查，某校提倡學(xué)生周末在校自主學(xué)習(xí)．經(jīng)過(guò)一學(xué)期的實(shí)施后，抽樣調(diào)查了220位學(xué)生．依據(jù)是否參加周未在校自主學(xué)習(xí)以及成果是否有進(jìn)步統(tǒng)計(jì)，得到列聯(lián)表（表二）．依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“周末在校自主學(xué)習(xí)與成果進(jìn)步”是否有關(guān)．表二沒(méi)有進(jìn)步有進(jìn)步合計(jì)參加周末在校自主學(xué)習(xí)35130165未參加周末不在校自主學(xué)習(xí)253055合計(jì)60160220附：，，．0.100.0500100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1），140.5分（2）可以認(rèn)為“周末自主學(xué)習(xí)與成果進(jìn)步”有關(guān)．【解析】【分析】（1）先求出平均數(shù)，利用最小二乘法求出回來(lái)方程，代入數(shù)據(jù)即可預(yù)料；（2）依據(jù)題意計(jì)算出，進(jìn)而由獨(dú)立性檢驗(yàn)得出答案.【小問(wèn)1詳解】，，又的方差為，所以，，故，當(dāng)時(shí)，，故預(yù)料每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間達(dá)到100分鐘時(shí)的數(shù)學(xué)成果為140.5分．【小問(wèn)2詳解】零假設(shè)為：學(xué)生周末在校自主學(xué)習(xí)與成果進(jìn)步無(wú)關(guān)．依據(jù)數(shù)據(jù)，計(jì)算得到：，因?yàn)椋砸罁?jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“周末自主學(xué)習(xí)與成果進(jìn)步”有關(guān)．21.已知橢圓：的上、下頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），中點(diǎn)的軌跡交軸于，兩點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）記直線，的斜率分別為，，求的最小值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系即代入橢圓求解點(diǎn)軌跡，即可由求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程可得韋達(dá)定理，依據(jù)兩點(diǎn)斜率公式可求解，，即可依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)中點(diǎn)