極化恒等式從入門到精通極化恒等式從入門到精通一、初識極化恒等式我們知道，對于任意，恒有，將實數(shù)中的結(jié)論類比到平面向量中，有類似結(jié)論：，①，②將兩式相減可得，這個等式在數(shù)學(xué)上我們稱為極化恒等式．極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關(guān)系．平面向量是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，是數(shù)形結(jié)合的完美典范．對于極化恒等式，可以借助圖形給出它的兩個幾何意義．幾何解釋1（平行四邊形模型）以，為一組鄰邊構(gòu)造平行四邊形，，則，由，得．即“從平行四邊形一個頂點出發(fā)的兩個邊向量的數(shù)量積是和對角線長與差對角線長平方差的”．幾何解釋2（三角形模型）在平行四邊形模型結(jié)論的基礎(chǔ)上，若設(shè)M為對角線的交點，則由變形為，得，該等式即是極化恒等式在三角形中的體現(xiàn)，也是我們最常用的極化恒等式的幾何模型．正因為極化恒等式可以有效地建立向量的數(shù)量積與幾何圖形長度大小的關(guān)聯(lián)，可以搭建代數(shù)與幾何的橋梁，因此極化恒等式在解決向量數(shù)量積問題中占據(jù)著重要的作用．【類型一】兩向量共同的起點為動點在面積為2的平行四邊形中，點P為直線上的動點，則的最小值是_______．解：取的中點O，則．如圖所示，當(dāng)點P運動到點H且使與時，等號成立，故有最小值為．【類型二】兩向量終點均為動點已知點O為坐標(biāo)原點，為圓的內(nèi)接正三角形，則的最小值為_________．解：取的中點N，連結(jié)，取其中點D，如圖所示，則：．當(dāng)正沿圓周運動時，點D在以M圓心，以為半徑的小圓上運動．由外接圓半徑為1，可求得，從而．所以的最小值是，故所求最小值為．【類型三】兩向量的起點和終點均為動點如圖，已知是邊長為的正三角形，為的外接圓O的一條直徑，M為的邊上的動點，則的最大值為________．解：由已知易求得外接圓半徑為2．因為圓心O是的中點，所以：．當(dāng)M為正三角形三邊的中點時，最小值均為1，故的最大值為3．二、經(jīng)典例題例1已知中，，且的最小值為，若為邊上任意一點，求的最小值．解：令（其中），則三點共線（如圖），從而的幾何意義表示點到直線的距離為，這說明是等邊三角形，為邊上的高，故．取的中點，則由向量極化恒等式可得，其中為點到邊的距離．即當(dāng)點在垂足（非端點）處時，達(dá)到最小值．例2已知直線與拋物線交于兩點，為的中點，為拋物線上一個動點，若滿足，求證：（是拋物線過點的切線）．解析：由極化恒等式知，由于是固定的，故當(dāng)最小時，最?。虼?，本題等價于在拋物線上找一點使得最?。鐖D所示，以點為圓心，逐步增大圓的半徑，當(dāng)圓剛好碰到拋物線時那個點恰為圓與拋物線的公共切點，故（是拋物線過點的切線）．三、極化恒等式中的轉(zhuǎn)化思想1、化動為定，破不定之惑一般地，使用極化恒等式化解平面向量數(shù)量積問題具有較好的效果，但有些極化恒等式問題因涉及動點問題或運動變化等因素，使得問題的化解增加了難度，有時甚至?xí)箻O化恒等式的功效發(fā)揮不了，使解題者陷入困境．但若能將動態(tài)問題定態(tài)化處理，那么問題便可柳暗花明又一村．例1：已知的斜邊的長為4，設(shè)是以為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，則的取值范圍是（）．A．B．C．D．解析：此題符合運用極化恒等式速解平面向量問題的基本要求，但在具體使用中遇到了點是運動的點這一特殊情況，動點問題是突破極化恒等式應(yīng)用的瓶頸．結(jié)合條件中是以為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，通過極化恒等式，不妨將的最值問題轉(zhuǎn)化為圓心距的最值問題，這樣問題便可迎刃而解．如圖所示，在上，不妨取的中點，則．設(shè)圓的半徑為，而，則：．因此的取值范圍是．反思：極化恒等式的應(yīng)用，由一般的直接運用到結(jié)合具體問題的巧用，需要學(xué)生恰當(dāng)?shù)剡\用轉(zhuǎn)化思想，注意化動為定，特別是要結(jié)合題中的隱性特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理，如此題中圓的半徑是“定”這一重要信息的使用至關(guān)重要；化動為定可破不定之惑，也可使一些壓軸問題成為得分題．2、化動為靜，破多動點之惑極化恒等式使用的難點是動點問題，而其中涉及多個動點問題則是難上加難，讓許多學(xué)生束手無策，使平面向量問題的難度增加，因此尋求破解的方法和策略顯得尤其重要．一般地，可以通過將動態(tài)問題靜態(tài)化來處理，這樣的策略可以使得多動點問題轉(zhuǎn)化為少動點問題，通過這樣類似的轉(zhuǎn)化直至降到一個動點問題或定點問題，然后再采用“化動為定”的策略，問題便迎刃而解．例2：如圖，圓為的內(nèi)切圓，已知，過圓心的直線交圓于兩點，則的取值范圍是_________．解析：此題初看也是可以使用極化恒等式求解平面向量問題，但學(xué)生一經(jīng)分析便遇到了兩個動點的困難，成了許多學(xué)生的“攔路虎”，即便學(xué)生掌握了極化恒等式的知識和方法，也無法突破這個困惑．因此學(xué)生需要結(jié)合轉(zhuǎn)化思想，挖掘題中靜態(tài)條件進(jìn)行突破．此題中圓是相對靜態(tài)的，若能將，則為定，為動，、呈現(xiàn)動態(tài)但都涉及一個定點C，再結(jié)合圓的特征，可得，則動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題，多動點之惑得以化解．圓O的半徑為1，考慮到P、Q兩點都是動點，不妨將，這樣一轉(zhuǎn)化，，，而，若，則．若Q在的投影為的中點時，，因此的取值范圍是．反思：遇到多動點問題時，學(xué)生要考慮“化動為靜”的策略，如此題先將點P過渡轉(zhuǎn)化到點C，余下一個動點Q，則問題便可如例1進(jìn)行處理，這樣的處理手段實際上是一個逐漸將多動點化為少動點的過程，這是一個重要的解題思想，即轉(zhuǎn)化思想．3、化曲為直，破最值之惑極化恒等式問題的破解之中，有些問題涉及動點的運動狀態(tài)是一個曲線狀態(tài)或曲折狀態(tài)，如果直接運用極化恒等式往往使學(xué)生無從下手，一籌莫展，而對這類問題突破的基本原則或策略應(yīng)是“化曲為直”，主要是借助有關(guān)平面幾何性質(zhì)將“曲折問題”得以化解．例3：在中，，若點A、B分別在直角坐標(biāo)系的兩坐標(biāo)軸上運動時，的最大值是_____________．分析：初看此題，學(xué)生一般想通過極化恒等式進(jìn)行處理，不妨取的中點為M，得等式，但在如何處理時，陷入困境．分析原因是在變化，使得長度不定，但與直角三角形的斜邊中點有一定的關(guān)聯(lián)，不妨取中點為N，得，再結(jié)合三角形邊長關(guān)系（兩邊之和大于第三邊），最大值可求．如圖所示，不妨取的中點為M，的中點為N，則由極化恒等式可得，結(jié)合三角形邊長關(guān)系（兩邊之和大于第三邊），對于，答案為18．反思：這是一個運用極化恒等式求最值的典型示例，這類問題的處理除理解和掌握極化恒等式的基本性質(zhì)還不夠，還需要靈活地運用有關(guān)邊長關(guān)系或隱性條件，再結(jié)合定理性質(zhì)，最值問題便可突破化解．4、化普通為特殊，破極限之惑平面向量極化恒等式應(yīng)用問題，如果涉及的幾何圖形具有一般性，那么這類問題就更有“攔路虎”功能．解題的一個重要策略是取問題極限狀態(tài)或特殊位置法進(jìn)行，極限狀態(tài)問題的化解是解決一般性問題的特殊情況，當(dāng)然也要驗證特殊狀態(tài)位置是運動狀態(tài)的兩個極限，否則就不一定成立．例4：在銳角中，已知，則的取值范圍是____________．解析：考慮到題中的形式，學(xué)生一般是想通過極化恒等式進(jìn)行處理．由題意，取的中點為M，立即可得等式，但要突破顯得困難重重．此題的突破關(guān)鍵在于“銳角”兩個字，銳角的極限狀態(tài)就是直角，要注意從特殊狀態(tài)來研究一般狀態(tài)，即化普通狀態(tài)為特殊狀態(tài)進(jìn)行極限化處理．如圖，取的中點M，可得，應(yīng)長度變化的極限位置是為直角三角形時的狀態(tài)，而成為直角的可能有兩種情況，即為直角和為直角．下面分兩種情況進(jìn)行分析：過點C作，垂足為，此時；過點C作，垂足為C，此時，，因此，故取值范圍是．反思：破解這類問題，因通過極化恒等式轉(zhuǎn)化后，線段的最值求解沒有一定的現(xiàn)成條件可以推理，對學(xué)生往往會造成困惑，突破的關(guān)鍵是“化一般為特殊，破極限之惑”，要注意從極限位置入手，理解極限時的特殊狀態(tài)，問題的化解會有意想不到的效果．四、專題強(qiáng)化訓(xùn)練1．設(shè)向量滿足，，則=A．1 B．2 C．3 D．52．設(shè)，是邊上一定點，滿足，且對于邊上任一點P，恒有.則（

）A． B． C． D．3．若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上點的任意一點，則的最大值為A．2 B．3 C．6 D．84．已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是A．1 B．2 C． D．5．已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是A． B． C． D．6．在中，則_________.7．在銳角三角形中，已知，，則的取值范圍為_________.8．如圖放置的邊長為的正方形的頂點A,D分別在軸、軸正半軸（含原點）滑動，則的最大值為__________．9．在正三角形中，是上的點，，則________．10．若平面向量滿足：；則的最小值是_________11．如圖，在中，是的中點，是上的兩個三等分點，，，則的值是_______.

12．已知向量，若對任意單位向量，均有,則的最大值是．13．如圖在平行四邊形中，已知，，，，則的值是______________.14．如圖，△是邊長為的等邊三角形，P是以C為圓心、1為半徑的圓上的任意一點，則的取值范圍為__________.15．在平行四邊形ABCD中,AD=1,,E為CD的中點.若,則AB的長為_____.極化恒等式從入門到精通極化恒等式從入門到精通一、初識極化恒等式我們知道，對于任意，恒有，將實數(shù)中的結(jié)論類比到平面向量中，有類似結(jié)論：，①，②將兩式相減可得，這個等式在數(shù)學(xué)上我們稱為極化恒等式．極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關(guān)系．平面向量是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，是數(shù)形結(jié)合的完美典范．對于極化恒等式，可以借助圖形給出它的兩個幾何意義．幾何解釋1（平行四邊形模型）以，為一組鄰邊構(gòu)造平行四邊形，，則，由，得．即“從平行四邊形一個頂點出發(fā)的兩個邊向量的數(shù)量積是和對角線長與差對角線長平方差的”．幾何解釋2（三角形模型）在平行四邊形模型結(jié)論的基礎(chǔ)上，若設(shè)M為對角線的交點，則由變形為，得，該等式即是極化恒等式在三角形中的體現(xiàn)，也是我們最常用的極化恒等式的幾何模型．正因為極化恒等式可以有效地建立向量的數(shù)量積與幾何圖形長度大小的關(guān)聯(lián)，可以搭建代數(shù)與幾何的橋梁，因此極化恒等式在解決向量數(shù)量積問題中占據(jù)著重要的作用．【類型一】兩向量共同的起點為動點在面積為2的平行四邊形中，點P為直線上的動點，則的最小值是_______．解：取的中點O，則．如圖所示，當(dāng)點P運動到點H且使與時，等號成立，故有最小值為．【類型二】兩向量終點均為動點已知點O為坐標(biāo)原點，為圓的內(nèi)接正三角形，則的最小值為_________．解：取的中點N，連結(jié)，取其中點D，如圖所示，則：．當(dāng)正沿圓周運動時，點D在以M圓心，以為半徑的小圓上運動．由外接圓半徑為1，可求得，從而．所以的最小值是，故所求最小值為．【類型三】兩向量的起點和終點均為動點如圖，已知是邊長為的正三角形，為的外接圓O的一條直徑，M為的邊上的動點，則的最大值為________．解：由已知易求得外接圓半徑為2．因為圓心O是的中點，所以：．當(dāng)M為正三角形三邊的中點時，最小值均為1，故的最大值為3．二、經(jīng)典例題例1已知中，，且的最小值為，若為邊上任意一點，求的最小值．解：令（其中），則三點共線（如圖），從而的幾何意義表示點到直線的距離為，這說明是等邊三角形，為邊上的高，故．取的中點，則由向量極化恒等式可得，其中為點到邊的距離．即當(dāng)點在垂足（非端點）處時，達(dá)到最小值．例2已知直線與拋物線交于兩點，為的中點，為拋物線上一個動點，若滿足，求證：（是拋物線過點的切線）．解析：由極化恒等式知，由于是固定的，故當(dāng)最小時，最?。虼耍绢}等價于在拋物線上找一點使得最?。鐖D所示，以點為圓心，逐步增大圓的半徑，當(dāng)圓剛好碰到拋物線時那個點恰為圓與拋物線的公共切點，故（是拋物線過點的切線）．三、極化恒等式中的轉(zhuǎn)化思想1、化動為定，破不定之惑一般地，使用極化恒等式化解平面向量數(shù)量積問題具有較好的效果，但有些極化恒等式問題因涉及動點問題或運動變化等因素，使得問題的化解增加了難度，有時甚至?xí)箻O化恒等式的功效發(fā)揮不了，使解題者陷入困境．但若能將動態(tài)問題定態(tài)化處理，那么問題便可柳暗花明又一村．例1：已知的斜邊的長為4，設(shè)是以為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，則的取值范圍是（）．A．B．C．D．解析：此題符合運用極化恒等式速解平面向量問題的基本要求，但在具體使用中遇到了點是運動的點這一特殊情況，動點問題是突破極化恒等式應(yīng)用的瓶頸．結(jié)合條件中是以為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，通過極化恒等式，不妨將的最值問題轉(zhuǎn)化為圓心距的最值問題，這樣問題便可迎刃而解．如圖所示，在上，不妨取的中點，則．設(shè)圓的半徑為，而，則：．因此的取值范圍是．反思：極化恒等式的應(yīng)用，由一般的直接運用到結(jié)合具體問題的巧用，需要學(xué)生恰當(dāng)?shù)剡\用轉(zhuǎn)化思想，注意化動為定，特別是要結(jié)合題中的隱性特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理，如此題中圓的半徑是“定”這一重要信息的使用至關(guān)重要；化動為定可破不定之惑，也可使一些壓軸問題成為得分題．2、化動為靜，破多動點之惑極化恒等式使用的難點是動點問題，而其中涉及多個動點問題則是難上加難，讓許多學(xué)生束手無策，使平面向量問題的難度增加，因此尋求破解的方法和策略顯得尤其重要．一般地，可以通過將動態(tài)問題靜態(tài)化來處理，這樣的策略可以使得多動點問題轉(zhuǎn)化為少動點問題，通過這樣類似的轉(zhuǎn)化直至降到一個動點問題或定點問題，然后再采用“化動為定”的策略，問題便迎刃而解．例2：如圖，圓為的內(nèi)切圓，已知，過圓心的直線交圓于兩點，則的取值范圍是_________．解析：此題初看也是可以使用極化恒等式求解平面向量問題，但學(xué)生一經(jīng)分析便遇到了兩個動點的困難，成了許多學(xué)生的“攔路虎”，即便學(xué)生掌握了極化恒等式的知識和方法，也無法突破這個困惑．因此學(xué)生需要結(jié)合轉(zhuǎn)化思想，挖掘題中靜態(tài)條件進(jìn)行突破．此題中圓是相對靜態(tài)的，若能將，則為定，為動，、呈現(xiàn)動態(tài)但都涉及一個定點C，再結(jié)合圓的特征，可得，則動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題，多動點之惑得以化解．圓O的半徑為1，考慮到P、Q兩點都是動點，不妨將，這樣一轉(zhuǎn)化，，，而，若，則．若Q在的投影為的中點時，，因此的取值范圍是．反思：遇到多動點問題時，學(xué)生要考慮“化動為靜”的策略，如此題先將點P過渡轉(zhuǎn)化到點C，余下一個動點Q，則問題便可如例1進(jìn)行處理，這樣的處理手段實際上是一個逐漸將多動點化為少動點的過程，這是一個重要的解題思想，即轉(zhuǎn)化思想．3、化曲為直，破最值之惑極化恒等式問題的破解之中，有些問題涉及動點的運動狀態(tài)是一個曲線狀態(tài)或曲折狀態(tài)，如果直接運用極化恒等式往往使學(xué)生無從下手，一籌莫展，而對這類問題突破的基本原則或策略應(yīng)是“化曲為直”，主要是借助有關(guān)平面幾何性質(zhì)將“曲折問題”得以化解．例3：在中，，若點A、B分別在直角坐標(biāo)系的兩坐標(biāo)軸上運動時，的最大值是_____________．分析：初看此題，學(xué)生一般想通過極化恒等式進(jìn)行處理，不妨取的中點為M，得等式，但在如何處理時，陷入困境．分析原因是在變化，使得長度不定，但與直角三角形的斜邊中點有一定的關(guān)聯(lián)，不妨取中點為N，得，再結(jié)合三角形邊長關(guān)系（兩邊之和大于第三邊），最大值可求．如圖所示，不妨取的中點為M，的中點為N，則由極化恒等式可得，結(jié)合三角形邊長關(guān)系（兩邊之和大于第三邊），對于，答案為18．反思：這是一個運用極化恒等式求最值的典型示例，這類問題的處理除理解和掌握極化恒等式的基本性質(zhì)還不夠，還需要靈活地運用有關(guān)邊長關(guān)系或隱性條件，再結(jié)合定理性質(zhì)，最值問題便可突破化解．4、化普通為特殊，破極限之惑平面向量極化恒等式應(yīng)用問題，如果涉及的幾何圖形具有一般性，那么這類問題就更有“攔路虎”功能．解題的一個重要策略是取問題極限狀態(tài)或特殊位置法進(jìn)行，極限狀態(tài)問題的化解是解決一般性問題的特殊情況，當(dāng)然也要驗證特殊狀態(tài)位置是運動狀態(tài)的兩個極限，否則就不一定成立．例4：在銳角中，已知，則的取值范圍是____________．解析：考慮到題中的形式，學(xué)生一般是想通過極化恒等式進(jìn)行處理．由題意，取的中點為M，立即可得等式，但要突破顯得困難重重．此題的突破關(guān)鍵在于“銳角”兩個字，銳角的極限狀態(tài)就是直角，要注意從特殊狀態(tài)來研究一般狀態(tài)，即化普通狀態(tài)為特殊狀態(tài)進(jìn)行極限化處理．如圖，取的中點M，可得，應(yīng)長度變化的極限位置是為直角三角形時的狀態(tài)，而成為直角的可能有兩種情況，即為直角和為直角．下面分兩種情況進(jìn)行分析：過點C作，垂足為，此時；過點C作，垂足為C，此時，，因此，故取值范圍是．反思：破解這類問題，因通過極化恒等式轉(zhuǎn)化后，線段的最值求解沒有一定的現(xiàn)成條件可以推理，對學(xué)生往往會造成困惑，突破的關(guān)鍵是“化一般為特殊，破極限之惑”，要注意從極限位置入手，理解極限時的特殊狀態(tài)，問題的化解會有意想不到的效果．四、專題強(qiáng)化訓(xùn)練1．設(shè)向量滿足，，則=A．1 B．2 C．3 D．52．設(shè)，是邊上一定點，滿足，且對于邊上任一點P，恒有.則（

）A． B． C． D．3．若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上點的任意一點，則的最大值為A．2 B．3 C．6 D．84．已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是A．1 B．2 C． D．5．已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是A． B． C． D．6．在中，則_________.7．在銳角三角形中，已知，，則的取值范圍為_________.8．如圖放置的邊長為的正方形的頂點A,D分別在軸、軸正半軸（含原點）滑動，則的最大值為__________．9．在正三角形中，是上的點，，則________．10．若平面向量滿足：；則的最小值是_________11．如圖，在中，是的中點，是上的兩個三等分點，，，則的值是_______.

12．已知向量，若對任意單位向量，均有,則的最大值是．13．如圖在平行四邊形中，已知，，，，則的值是______________.14．如圖，△是邊長為的等邊三角形，P是以C為圓心、1為半徑的圓上的任意一點，則的取值范圍為__________.15．在平行四邊形ABCD中,AD=1,,E為CD的中點.若,則AB的長為_____.參考答案：1．A【詳解】因為，，兩式相加得：，所以，故選A.考點：本小題主要考查平面向量的模、平面向量的數(shù)量積等平面向量知識，熟練基礎(chǔ)知識與基本題型是解答好本類題目的關(guān)鍵．2．D分析：取的中點D，由極化恒等式可得，，從而可得，即可得出，由，得出答案.【詳解】如圖，取的中點D，由極化恒等式可得：，同理，，由于，則，所以，因為，D是的中點，于是.故選：D.3．C【詳解】由橢圓方程得F(－1,0)，設(shè)P(x0，y0)，則＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝＋x0＋∵P為橢圓上一點，∴＋＝1.∴＝＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.∵－2≤x0≤2.∴的最大值在x0＝2時取得，且最大值等于6.4．C【詳解】試題分析：由于垂直，不妨設(shè)，，，則，，表示到原點的距離，表示圓心，為半徑的圓，因此的最大值，故答案為C．考點：平面向量數(shù)量積的運算．5．B分析：根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計算即可．【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點為坐標(biāo)原點，則，，，設(shè)，則，，，則當(dāng)，時，取得最小值，故選：．6．分析：直接構(gòu)造極化恒等式的結(jié)構(gòu)，即可求解.【詳解】解析：即為和的和向量；即為和的差向量，所以原問題可轉(zhuǎn)化成兩向量和向量模與兩向量差向量模的比.再觀察條件，若利用極化恒等式可將原條件轉(zhuǎn)化如下：.所以，所以，即.所以.故答案為：37．分析：因為，故以B為原點，BA所在的直線為x軸建立坐標(biāo)系，則C(1,)，設(shè)點A(x,0)，分析圖象可得x的取值范圍，則根據(jù)數(shù)量積的公式可得的表達(dá)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出值域即可.【詳解】以B為原點，BA所在的直線為x軸建立坐標(biāo)系，如圖.因為，，所以C(1,)，設(shè)點，又△ABC是銳角三角形，所以，所以，即A在如圖的線段DE上（不與D，E重合），所以.則.所以的取值范圍.故答案為：.【點睛】方法點睛：平面向量的數(shù)量積計算問題，往往有兩種形式：一是利用數(shù)量積的定義式；二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式