§4平面向量基本定理及坐標(biāo)表示4.2平面向量及運(yùn)算的坐標(biāo)表示自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、平面向量的坐標(biāo)表示【問(wèn)題思考】1.如圖2-4-3,向量i,j是兩個(gè)互相垂直的單位向量,向量a與i的夾角是30°,且|a|=4,以向量i,j為基,如何表示向量a?圖2-4-32.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),給定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1),則點(diǎn)A的位置確定了嗎?給定向量a的坐標(biāo)為(1,1),則向量a的位置確定了嗎?提示:對(duì)于點(diǎn)A,若給定A的坐標(biāo)為(1,1),則點(diǎn)A的位置確定.對(duì)于向量a,給定a的坐標(biāo)為(1,1),此時(shí)給出了a的方向和大小,但因向量的位置由起點(diǎn)和終點(diǎn)確定,且向量可以任意平移,因此a的位置不確定.4.想一想:相等向量的坐標(biāo)相同嗎?相等向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)一定相同嗎?提示:由向量坐標(biāo)的定義知,相等向量的坐標(biāo)一定相同,但是相等向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同.二、平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示【問(wèn)題思考】1.設(shè)i,j是分別與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量,若設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,根據(jù)向量的線性運(yùn)算性質(zhì),向量a+b,a-b,λa(λ∈R)如何分別用基i,j表示?提示:a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j,a-b=(x1-x2)i+(y1-y2)j,λa=λx1i+λy1j.2.(1)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算①運(yùn)算法則:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)和實(shí)數(shù)λ,那么a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=λ(x1,y1)=(λx1,λy1).②語(yǔ)言敘述:兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差;實(shí)數(shù)與向量數(shù)乘的坐標(biāo)等于這個(gè)實(shí)數(shù)與向量的相應(yīng)坐標(biāo)的乘積.②語(yǔ)言敘述:一個(gè)向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).(3)若點(diǎn)A(x1,y1),點(diǎn)B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),3.若向量a=(2,3),b=(-1,2),則a-b的坐標(biāo)為(

).A.(1,5) B.(1,1) C.(3,1) D.(3,5)答案:C三、平面向量平行的坐標(biāo)表示【問(wèn)題思考】1.已知下列幾組向量:①a=(1,3),b=(2,6);②a=(-1,2),b=(3,-6);(1)上面幾組向量中,a,b有什么關(guān)系?(2)以上幾組向量中,a,b共線嗎?(3)當(dāng)a∥b時(shí),a,b的坐標(biāo)成比例嗎?提示:(1)①中b=2a,②中b=-3a,③中b=-a.(2)共線.(3)坐標(biāo)不為(0,0)時(shí)成比例.2.在平面直角坐標(biāo)系中,a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0,則向量a,b共線的充要條件是

x1y2-x2y1=0.3.想一想:如果兩個(gè)非零向量共線,那么你能通過(guò)其坐標(biāo)判斷它們是同向還是反向嗎?提示:能.將b寫(xiě)成λa的形式,當(dāng)λ>0時(shí),b與a同向,當(dāng)λ<0時(shí),b與a反向.

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究一

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算A.(2,1) B.(-2,1) C.(1,2) D.(-1,2)答案:D

分析:(1)可直接運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算;(2)應(yīng)先求出相關(guān)向量的坐標(biāo),再運(yùn)用法則計(jì)算.反思感悟平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧:(1)若已知向量的坐標(biāo),則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行.(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則可先求出向量的坐標(biāo),再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算.(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.探究二

平面向量共線的條件及應(yīng)用【例2】

已知向量a=(1,2),b=(λ,1),若(a+2b)∥(2a-2b),則λ的值等于(

).解析:(方法一)a+2b=(1,2)+2(λ,1)=(1+2λ,4),2a-2b=2(1,2)-2(λ,1)=(2-2λ,2).由(a+2b)∥(2a-2b)可得2(1+2λ)-4(2-2λ)=0,答案:A本例條件不變,若a+b與4b-2a平行,則實(shí)數(shù)λ的值是

.

解析:因?yàn)閍=(1,2),b=(λ,1),所以a+b=(1+λ,3),4b-2a=(4λ-2,0).由a+b與4b-2a平行,得3(4λ-2)-0=0,解得λ=.

反思感悟根據(jù)向量共線條件求參數(shù)問(wèn)題,一般有兩種思路,一是利用向量共線定理a=λb(b≠0),列方程組求解,二是利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2-x2y1=0求解.易

錯(cuò)

辨

析處理向量共線時(shí),忽視零向量的特殊情況致誤【典例】

已知a=(3,2-m)與b=(m,-m)平行,求m的值.以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:本題