數(shù)學(xué)（二）解析第數(shù)學(xué)（二）解析第11頁(yè)2022全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試（數(shù)學(xué)二）試題解析一、選擇題：1～10550項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在指定位置上.當(dāng)x0時(shí)(x)是非零無(wú)窮小給出以下四個(gè)命題其中所有正確的（ ）①若(x):②若2(x③若(x):

(x)，則2(x): 2(x)2(x)，則(x): (x)(x)，則(x)(x)o((x))④若(x)(x)o((x))，則(x): (x)（A）①② （B）①④（C）①③④ （D）②③④【答案】C

(): ()

lim(x)

2(

()21【解析】當(dāng)x

0時(shí)， x

x

x0(x) x02(x0

(

，則：lim(x(x)0，所以(x(x)o((x正確；x0 (x)當(dāng)x0時(shí)(x): 2(x)則

2(x)

1

(x)1，當(dāng)lim(x)1時(shí)，x02(x)(x與(x)②不正確；

x0(x) x0(x)當(dāng)(x)(x)o((x))時(shí)，lim(x)

lim

(x)

lim(x)

1，④.2）2dy2

x0(x) x0(x)o((x)) x0(x)y dx（ ）0 y 1x32（A）622（C）32

1（B）32（D）3【答案】D【解析】方法：交換積分次序原式2dxx

y dx

12 x

dx (1x3)2210 0 11

20 1x3 3 0 3f(xxx0

處有2階導(dǎo)數(shù)，則（ ）f(xx0

f'(x0

)0當(dāng)f'(x0

0f(xx0

的某鄰域內(nèi)單調(diào)增加f(xx0

f''(x0

)0當(dāng)f''(x0

0f(xx0

的某鄰域內(nèi)是凹函數(shù)【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在xx0

處有2階導(dǎo)數(shù)，則：f''(x)lim

f'(x)f'(x)0

存在limf'(xf'(x；0 x

xx0

xx0 0當(dāng)f'(x0

)00,xU(x0

,)，有f'(x)0，即0,xU(x0

,)，有f'(x)0，故f(x)在x0

的某鄰域內(nèi)單調(diào)增加.設(shè)函數(shù)ft)連續(xù)，令F(x,y)xy(xyt)ft)，則（ ）0F

F,2F

2F

F

,2F

2F2x 2y 2x 2yF

,2

2F

F

,2

2F2x 2y x y 2x 2y【答案】C【解析】原式(xy)x0

ft)dtxytft)dt0Fx

ft)dt(xy)f(xy)(xy)f(xy)xy

f(t)dt，x 0 02Ff(xy)2x同理：Fxy 0

ft)dt(xy)f(xy)(xy)f(xy)xy0

f(t)dt22

f(xy)F綜上所述：

,2

2F.

2x

2y設(shè)p為常數(shù)，若反常積分1 Inx0xp(1x)1p

dx收斂，則p的取值范圍（ ）（A）（B）（C）(,1) （D）(,2)【答案】A【解析】當(dāng)p1時(shí)，1 Inx0xp(1x)1p

dx1Inxdx發(fā)散，排除B和D；0 x當(dāng)p1時(shí)，1 Inx0xp(1

dx1 xInx0(1x)2

dx1(t)In(t)dt，0 t2limt(1t)In(1t)x0 t2

1，發(fā)散，排除C設(shè)有數(shù)列

，xn 2

，則（ ）2若limcos(sin

)存在，則limx存在n n n n若limsin(cosx存在，則limx存在n n n n若limcos(sin

)存在，則limsinx

存在，但limx

不一定存在n

n

n n若limsin(cos

)存在，則limcosx

存在，但limx

不一定存在n n【答案】D

n n

n n

limsin(cos

)alim

不一定存在，2

2

n

n nx

arccos(arcsina),

滿足前面的條件但

lim

不存在.n arccos(arcsina為偶數(shù)

n n

1 x

dx，

1ln(x)dx，I

2xdx，則（ ）1 02(1cos

2 01cosx

3 01sinx（A）II I1 2 3（C）II I1 3 2【答案】A

（B）I II2 1 3（D）I I I3 2 1【解析】令h(x)ln(1x)x，h(x) 1 10，x0, 1，于是h(x)單調(diào)遞增，2 1x 2又由h(0)0可知h(x)ln(1x)x0，其中x0, 1，故 x

ln(1x)，2 2(1cosx) 1cosx故II .當(dāng)x0, 時(shí)，sin<<2x<2x(1+cosx)，則1 2+x)

2x

I.1+cosx 1+sinx

2 31 0 0 設(shè)A為3階矩陣0 1 0則A特征值為的充分必要條件 0 0 0存在可逆矩陣PQAPQ存在可逆矩陣PAPP1存在正交矩陣QAQQ1存在可逆矩陣PAPPT【答案】（B）【解析】若（B）成立，則矩陣A與相似，特征值相等，可推出A特征值為1,1,0A特征值為A與相似，所以為充要條件。1 1 1 設(shè)矩陣Aa a2,b2，則線性方程組Axb的解的情況為（ ）1 b b2 4（A）無(wú)解 （B）有解有無(wú)窮多解或無(wú)解【答案】（D）

有唯一解或無(wú)解A1b1ba，abab1 1 1 1 當(dāng)ab1時(shí)，A,b0 0 0 1，方程無(wú)解，故選 0 0 0 0 1 1 1

1

1

,

與,,1 2 3 4

1 2

1 2 4 1 1 1 1 等價(jià)，則的取值范圍是（ ）22 【答案】C【解析】,,1 2 3

(2)(1)2，,,1 2 4

(1)2(1)2

時(shí)，r,,1 2

r,,1 2

3 ，此時(shí)兩個(gè)向量組等價(jià)；當(dāng)1時(shí)，

a2

a3

a411

，此時(shí)兩個(gè)向量組等價(jià)；當(dāng)1 時(shí)，r(a,a1

a3r(aaa) 23r(a,a1

,a)<3r=(a,a,a3 1

)，此時(shí)兩個(gè)向量組不等價(jià)。綜上，1且2。二、填空題：1116小題，每小題5分，共30分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.1excotxlim x0 2 1【答案】e2【解析】lim

1ex

cot

limcotxIn1exex0 2

lim

ex12tanx

1e21 2

x0x0 yy(xx2xyy33y''(1)【答案】3132x1，代入可得y(1)1][y2(1)y(1)2]0y(1)1，對(duì)隱函數(shù)兩邊3同時(shí)求導(dǎo)可得2xyxy'3y2y0y'(1)

，再對(duì)上式求導(dǎo)可得：43122y'xy6y(y')23y2y''0，代入可得y''(1) .32(13) 1 2x30x2x1

dx8 39【答案】 8 39【解析】原式

2x1

dx1 4 dx0x2x11

0x2x11ln(x2x1)140 0

dx1 (x )2( )1 2 230413

arctan

1x238 381 3 x238 380 3 3 92 2(14)y2y5y0y(x)yC1

ex(C2

cos2xC3

sin2x)2y5y022r5)0,r1

0,r2,3

12i，yC1

ex(C2

cos2xC3

sin2x)已知曲線L的極坐標(biāo)方程為rsin(0，L圍城有界區(qū)域的面積3【答案】121 1 1 1 1 【解析】S 3(sin)2d 3(sin)2d) (sint)2dt 20 60 60 3 2 2 12設(shè)A3階矩陣，交換A232列的-1倍加到第一列，得到2 1 1 矩陣

1 1

，則A1的跡tr(A1) 1 0 0 【答案】1【解析】符合左行右列原則

2 1 1

AE (1)

1 1

，則：23 12

1 0 0 2 1 1 1 1 1A

1 1 0

(1)1 0

，所以23

12 1 0 0 1 1 1EA 1 01)(21)0，解得1

2

i,3

i0 1 所以A1的特征值為1

2

i,3

i，所以trA11.小題，共70分證明過(guò)程或演算步驟.17（本題滿分10分）已知函數(shù)

f(x)

1

lim

f(ex2)3f(1sin2x)2，求2

f'(1).【答案】f'(1)

x0 x2lim[f(ex23f(1sin2xf(1)0f(1)0，則：x0limx0

f(ex2)3f(1sin2xx2

x0

f(ex2)f(1)3[f(1sin2x)f(1)]x2lim

f(ex2)f(1)lim3[f(1sin2x)f(1)]x0 x2 x0 x2

f(ex2)f(1)ex

1lim3[f(1sin2x)f(1)]x0

ex21

x2 x0

sin2xf3f'(1)2f'(1).18（本題滿分12分）y(x是微分方程2xy'4y2lnx1y(1)曲線yy(x)(1xe)的弧長(zhǎng).

1的解，求：4【答案】

1(e21)4

2 2lnx1y

yx 2x

，則：(2

2lnx1 (2

2lnx1 1y(x)e

x

2x e x dxC]x2

2x3

dxC

lnxCx22C為任意常數(shù)，又y(1)

，則C ，故y(x) lnx x2，則弧長(zhǎng)為：1 1 1 4 4 2 41 1 1 Le 1(y'2dx

1(x1)2dxe(x

1)dx1 11 1 1

2 2x

1 2 2x14x22lnx1

(e21)4

219（本題滿分12分）已知平面區(qū)域Dxy2

x,

y2x 4

,0y2，計(jì)算ID

x2y2

dxdy【答案】22【解析】方法一：yy2D D2 122xIxy2Ix2y2D1

dxdy+

xy2x2y2D2

dxdy=d2cossin2rdr 2 cossin2rdr2 sincos0 0 022cossin21 2 2 22方法二：

2sincosdyy2D2D12 2xI1

2xy dxdy x2y2D=S 2DDD

xy x2y21 22D1

xy x2y2222220 2

sincosrdr2242

sincos4

sincosd=2

0 sincos220（本題滿分12分）f(u,v) (u,v)已知可微函數(shù)f(u,v)滿足 uv

2(uv)e(uv)且f(u,0)u2eu（Ⅰ）g(x,y)f(xyx（Ⅱ）求f(u,v)的表達(dá)式和極值.【答案】見(jiàn)解析

g(x,y)x ；gg(x,yf(xyxxf(xyxf(xyx1 2gf'(u,v)f'(u,v)2(uv)e(uv)，所以 2[x(yx)]e(xyx)(4x2y)ey；1 2 xg(x,y)f(x,yx)(4x2y)eydx2x(xy)eyC(y)令xu,yxv，則f(u,v)2uve(uv)C(uv)，f(u,0)u2eu可得：C(u)u2euf(u,v)2uve(uv)v)2e(uv)(u2v2)e(uv)，f'2ue(uv)(u2v2)e(uv)(2uu2v2)e(uv)0 u0u1令u

,f'2ve(uv)(u2v2)e(uv)v

(2vu2v2)e(uv)

0 v0v1f

(22u)e(uv)(2uu2v2)e(uv)(24uu2v2)e(uv)uuf''

2ve(uv)(2uu2v2)e(uv)(2vu2v2)e(uv)uvf''(22v)e(uv)(2vu2v2)e(uv)(24vu2v2)e(uv)vvu0 ACB20當(dāng) ,A2,B0,C2

(0,0)是極小值，且極小值為f(0,0)0v0 A0u1當(dāng)v

,A0,B2,C0ACB20(1,1)不是極值21（本題滿分12分）設(shè)fx在,上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：fx0的充要條件是對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,b，f

ab

1

fxdx. 2

ba 【解析】證明：充分性（方法一）令G(x)x

af(t)dtxa

ax。2 2a 易知G(a0Gxfx

ax1xafax0即可。故 22 2 22將其變形為G'(x

1xaf1xaf'axaxx，再結(jié)合條件2 2 2 2 fx0，不難證出不等式。（方法二）fxab泰勒展開(kāi)有，2 ab

ab ab f ab2

abf x f

2

2

x 2

2 x 2

（介于x和 之2 bfxdxba

abbfxab2dx

a,b間，進(jìn)而

2 2 2

，由于

為任意實(shí)a a fx0時(shí)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,b

ab

1

fxdx. 2

ba a必要性假設(shè)存在一點(diǎn)x0

fx0

0，進(jìn)而根據(jù)fx在,上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，存在x0

fx0，進(jìn)而存在包含x0

的某區(qū)間bfx0，進(jìn)而繼續(xù)fxf

abfab

abx

f ab2 運(yùn)用泰勒展開(kāi)有，

2

2

2 2

2 （介 x

ab2

之間，進(jìn)而bfxdxbafabbfxab2dxbaf

ab a

2a 2 2 2

2 2f