極限定理§5－1隨機(jī)變量的兩種收斂性一、幾乎處處收斂（以概率1收斂）二、依概率收斂一、幾乎處處收斂（以概率1收斂）二、依概率收斂§5－2大數(shù)定理車(chē)貝雪夫定理設(shè)X1,…,Xn獨(dú)立,E(Xi)，i=1,…,n存在,且存在常數(shù)C,使得D(Xi)<C,i=1,…,n,則對(duì)任意正數(shù)ε有式中表示N個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的平均值對(duì)其數(shù)學(xué)期望平均值的偏差,它是一個(gè)隨機(jī)變量,車(chē)貝雪夫定理表明,當(dāng)n→∞時(shí),這種偏差的絕對(duì)值幾乎肯定(依概率)小于任意正數(shù)ε。貝努里定理

設(shè)貝努里試驗(yàn)中事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率p(0≤p≤1)，以nA表示在n次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù),則對(duì)任意ε>0,有我們知道,是在n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的頻率，因此這個(gè)定理說(shuō)明,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無(wú)限增大時(shí),事件A出現(xiàn)的頻率依概率收斂于事件的概率,這就是頻率穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)表達(dá)，也是用大量試驗(yàn)中事件的頻率作為概率近似值的理論根據(jù)?；虿此啥ɡ碓O(shè)在一個(gè)試驗(yàn)序列中,事件A在第i次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為pi,若在前n次試驗(yàn)中,A出現(xiàn)了nA次,則對(duì)任意ε>0,有辛欽定理設(shè)Xi(i=1,2,…)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且具有相同的數(shù)學(xué)期望E(Xi)=μ,(i=1,2,…),則對(duì)任意ε>0,有強(qiáng)大數(shù)定律

定義

設(shè){Xn}為隨機(jī)序列,且各Xi的數(shù)學(xué)期望值E(Xi),i=1,…,n均存在,若幾乎處處(或以概率1)收斂到,則稱{Xn}服從強(qiáng)大數(shù)定理。包括

1.波雷爾定理

2.柯?tīng)柲缏宸蚨ɡ?.波雷爾定理設(shè)在貝努里試驗(yàn)中,事件A每次出現(xiàn)的概率為p(0≤p≤1),以nA表示在n次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù),則事件A的頻率幾乎收斂到概率p,即波雷爾定理表明:

頻率nA/n幾乎對(duì)所有ω∈Ω都趨于概率p,換句話說(shuō),成立的概率為1,而發(fā)生這一事件的概率為0。(盡管不能說(shuō)這是不可能事件,但至少是幾乎不可能發(fā)生)。這就更進(jìn)一步闡明了大量重復(fù)試驗(yàn)中,事件出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定于其概率這一客觀規(guī)律的確切含義。2.柯?tīng)柲缏宸蚨ɡ?/p>

(1)設(shè)X1,X2,…為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,若<∞,則{Xn}服從強(qiáng)大數(shù)定律,即(2)設(shè)X1,X2,…為相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,若E(Xi)

<∞,i=1,2…(即各Xi的數(shù)學(xué)期望存在),則{Xn}服從強(qiáng)大數(shù)定律。即有§5－2中心極限定理定義:設(shè){Xn}為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,各Xi數(shù)學(xué)期望和方差均存在,記

ai=E(Xi),=D(Xi),i=1,2…,Yn=記Yn的標(biāo)準(zhǔn)化變量為若對(duì)所有的x∈R,一致地有(即當(dāng)n→∞時(shí),的分布函數(shù)趨于標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布),則稱隨機(jī)變量序列{Xn}服從中心極限定理。林德伯格——勒維定理設(shè)X1,X2,…Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且E(Xi)=a,D(Xi)=,i=1,2…,n,若0<<+∞,則隨機(jī)變量

當(dāng)n→∞時(shí),服從正態(tài)分布N(0,1),即對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有上述定理表明,當(dāng)n→∞時(shí),這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布。因此應(yīng)服從N（a，）分布。德莫佛——拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量Zn(n=1,2,…)服從參數(shù)為n,p(0≤p≤1)的二項(xiàng)分布,則隨機(jī)變量

當(dāng)n→∞時(shí),服從正態(tài)分布N(0,1),即對(duì)任意x,有

由此可知,當(dāng)n→∞時(shí),二項(xiàng)分布變量漸近地服從正態(tài)分布N(np,)。林德伯格定理設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列{Xn}滿足林德伯條件，即對(duì)任意ε>0,有其中Fi(x)為Xi的分布函數(shù)，i=1,2…，Bn的意義同前,則{Xn}服從中心極限定理。即對(duì)所有x∈R，一致地有李雅普諾夫定理設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差,E(Xi)=ai

,

D(Xi)=≠0,(i=1,2…，n),記若存在正數(shù)δ,使得則隨機(jī)變量當(dāng)n→∞時(shí),服從正態(tài)分布N(0,1),

即對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有本定理表明無(wú)論各個(gè)隨機(jī)變量Xi具有怎樣的分布,只要滿足定理的條件,那么它們的和,當(dāng)n很大時(shí),就近似地服從正態(tài)分布。本章小結(jié)本章介紹了大數(shù)定律和中心極限值定理的概念