2025屆新高考數(shù)學沖刺復習不等式的性質與基本不等式

知識梳理

＜＞

≤

2

②

如果和

x

＋

y

是定值

S

，那么當且僅當

x

＝

y

時，積

xy

有最大

值

?.注意點：運用基本不等式求最值時要注意：“一正、二定、三

?

”；連續(xù)兩次使用基本不等式求最值時，要注意不等號的方向是否

一致，且等號能否同時成立；利用基本不等式求最值的常用方法：

“1”的代換、配湊法、消元法、換元法等.

相

等

a

－

b

＜0

a

＜

b

＞

＜

≥

√???回歸課本2.（RA一P43習題2.1第8題）下列命題為真命題的是（

B

）A.若

a

＞

b

＞0，則

ac

2＞

bc

2B.若

a

＞

b

＞0，則

a

2＞

b

2C.若

a

＜

b

＜0，則

a

2＜

ab

＜

b

2B3.（RA一P49習題2.2第5題改編）下列說法正確的是（

D

）D4.（多選）（RA一P42練習第2題改編）下列說法正確的有

（

ACD

）A.若

a

＞

b

，

c

＜

d

，則

a

－

c

＞

b

－

d

B.若

a

＞

b

＞0，

c

＜

d

＜0，則

ac

＞

bd

ACD5.（RA一P46例3改編）用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形

菜園，墻長18m，則當這個矩形菜園的長為

m，寬為

?m

時，菜園的面積最大.15

7.5

考點一

不等式的性質例1（1）

（多選）若0＜

a

＜1，

b

＞

c

＞1，則下列結論正確的是

（

AD

）C.

ca

－1＜

ba

－1D.log

ca

＜log

ba

AD

B.｜

a

｜＋

b

＞0D.ln

a

2＞ln

b

2AC

總結提煉

解決此類問題的常用方法（1）

直接利用不等式的性質逐個驗證；（2）

利用特殊值排除錯誤項；（3）

利用函數(shù)的單調性.

[對點訓練]

1.（多選）若

a

＞

b

＞

c

＞0，則下列結論錯誤的是（

ABC

）B.

a

－

b

＞

b

－

c

ABC

A.6B.8C.12D.16B

（2）

（多選）設

a

＞0，

b

＞0，

a

＋

b

＝1，則下列不等式中，一定成

立的是（

ABD

）ABD

（3）

若正實數(shù)

x

，

y

滿足2

x

＋

y

＋6＝

xy

，則

x

的取值范圍是

?；

xy

的最小值是

?.

（1，＋

∞）

18

A.6B.8C.12D.16

B

2

總結提煉

1.用基本不等式求多元最值問題的基本策略是減元.2.“1”的代換的好處是變形后可直接使用基本不等式求最值.

[對點訓練]

2.若正實數(shù)

x

，

y

滿足4

x

2＋

y

2＋

xy

＝1，則

xy

的最大值為

，2

x

＋

y

的最大值為

?.

考向2

基本不等式在實際問題中的應用例3（1）

有一個體積為2的長方體，它的長、寬、高依次為

a

，

b

，1.

現(xiàn)將它的長增加1，寬增加2，且保持其體積不變，則所得新長方體的高

h

的最大值為

?.（2）

某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉

的價格為1800元，面粉的保管費及其他費用為平均每噸每天3元，購買

面粉每次需支付運費900元.該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天

所支付的總費用最少？

[變式演練]3.有一個體積為2的長方體，它的長、寬、高依次為

a

，

b

，1，則其表

面積

S

的最小值為

?.

總結提煉

利用基本不等式求解實際應用題的注意點（1）

解題時需先弄清題意，從中提煉出有用的信息，建立數(shù)學模

型，轉化為數(shù)學問題求解，最后要下結論.（2）

利用基本不等式求最值時，要注意驗證等號是否成立，當使等

號成立的自變量不在定義域內時，可利用函數(shù)的單調性求解.

對接高考1.（多選）（2022·新高考Ⅱ卷）對任意

x

，

y

，

x

2＋

y

2－

xy

＝1，則下列

結論正確的是（

BC

）A.

x

＋

y

≤1B.

x

＋

y

≥－2C.

x

2＋

y

2≤2D.

x

2＋

y

2≥1BC

2.（2023·全國甲卷改編）已知

f

（

x

）＝2｜

x

－

a

｜－

a

，

a

＞0，則不

等式

f

（

x

）＜

x

的解集為

?.

A——基礎過關1.

（RA一教參P91本章學業(yè)水平測試題第3題）設

a

，

b

∈R，則下列命

題正確的是（

D

）A.

若

a

＞

b

，則

a

2＞

b

2B.

若

a

≠

b

，則

a

2≠

b

2C.

若

a

＜｜

b

｜，則

a

2＜

b

2D.

若

a

＞｜

b

｜，則

a

2＞

b

2解：當

a

＝1，

b

＝－2時，滿足

a

＞

b

，但

a

2＜

b

2，故A錯誤.當

a

＝1，

b

＝－1時，滿足

a

≠

b

，但

a

2＝

b

2，故B錯誤.當

a

＝－2，

b

＝1時，滿

足

a

＜｜

b

｜，但

a

2＞

b

2，故C錯誤.易知D正確.D12345678910高效練習2.

若

a

，

b

∈R，且

ab

＞0，則下列不等式中，恒成立的是（

D

）A.

a

2＋

b

2＞2

ab

D12345678910

A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件

A12345678910

C.

3D.

4

C123456789105.

（多選）已知正實數(shù)

a

，

b

滿足

a

＋

b

＝1，則下列結論正確的是

（

BCD

）C.

log2

a

＋log2

b

≤－2BCD12345678910

123456789106.

（多選）（2022·南通模考）下列函數(shù)中，最小值為6的是（

BC

）C.

y

＝3

x

＋32－

x

BC12345678910

123456789107.

已知

x

＞0，

y

＞0，

x

2＋

y

2＝18，則

xy

的最大值為

?.

9

12345678910

123456789109.

若正數(shù)

a

，

b

滿足2

a

＋

b

＝1.（1）

求

ab

的最大值；

12345678910

1234567891010.

（2022·南通海安模考）為宣傳2022年北京冬奧會，某公益廣告公司

擬在一張矩形海報紙（記為矩形

ABCD

，如圖）上設計三個等高的宣傳

欄（欄面分別為一個等腰三角形和兩個全等的直角梯形），宣傳欄（涂

色部分）的面積之和為1

440cm2.為了美觀，要求海報上所有水平方向和

豎直方向的留空寬度均為2cm.設直角梯形的高為

x

cm.（1）

當

x

＝20時，求海報紙的面積；

12345678910（2）

為了節(jié)約成本，應如何選擇海報紙的尺寸，使得用紙量最少

（即

矩形

ABCD

的面積最?。?？

12345678910B——能力提升

A.

1B.

4C.

9D.

16D12345

A12345

123453.

（多選）已知正數(shù)

a

，

b

滿足

a

＋2

b

＝1，則下列結論正確的是

（

BD

）BD12345

123454.

已知函數(shù)

f

（

x

）＝2

x

2－ln

x

，則

f

（

x

）的單調增區(qū)間為??

?

；若

f

（

x

）