專題小卷（16）過拐點(diǎn)作平行線探究角的關(guān)系類型一鉛筆模型1.(2024河南洛陽汝陽期末,10,★★☆)小明同學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)善于自己動(dòng)手操作,以加深對知識(shí)的理解

和掌握.在學(xué)習(xí)了相交線與平行線的知識(shí)后,他又探索起來:將含45°角的直角三角板按如圖所示

的方式放置在直尺上,則∠1+∠2的度數(shù)為

()

A.270°

B.265°C.260°

D.240°A如圖,過點(diǎn)E作EF∥AB,

∴∠2+∠4=180°,∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠1+∠3=180°,∵∠3+∠4=90°,∴∠1+∠2=360°-(∠3+∠4)=270°.2.(★★☆)如圖,∠1=40°,∠2=140°,直線a∥直線b,則∠3的度數(shù)為

.

80°如圖,作直線c∥直線a,則∠4=∠1=40°,∴∠5=∠2-∠4=140°-40°=100°.

∵直線a∥直線b,∴直線c∥直線b,∴∠5+∠3=180°,∴∠3=180°-100°=80°.3.(★★☆)如圖,已知AB∥EF,若α=∠A+∠F,β=∠B+∠C+∠D+∠E,則α與β之間的數(shù)量關(guān)系為

.

β=3α如圖,過點(diǎn)C作CG∥AB,過點(diǎn)D作DH∥EF.∵AB∥EF,∴AB∥CG∥DH∥EF,∴∠B+∠1=180°,∠2

+∠3=180°,∠4+∠E=180°,∴β=∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=∠B+∠1+∠2+∠3+∠4+∠E=180°×3=540°.∵AB∥EF,∴α=∠A+∠F=180°,∴β=3α.

4.(2024重慶北碚期末,16,★★★)如圖,AB∥CD,點(diǎn)E是直線AB,CD之間一點(diǎn).(1)如圖①,求證:∠B+∠D+∠E=360°.(2)如圖②,若∠B=120°,∠BED,∠CDE的平分線相交于點(diǎn)F,求∠DFE的度數(shù).(3)如圖③,若∠D=α,∠EBF=4∠ABF,∠BEF=4∠DEF,請直接寫出∠BFE的度數(shù)(用含α的代數(shù)式

表示).

(1)證明:如圖,過點(diǎn)E作EF∥AB,

∴∠B+∠BEF=180°,∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠D+∠DEF=180°,∴∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=180°+180°=360°,即∠B+∠BED+∠D=360°.(2)由(1)可知∠B+∠BED+∠CDE=360°.∵∠B=120°,∴∠BED+∠CDE=360°-120°=240°,∵∠BED,∠CDE的平分線相交于點(diǎn)F,∴∠DEF=

∠BED,∠EDF=

∠CDE,∴∠DEF+∠EDF=

∠BED+

∠CDE=

(∠BED+∠CDE)=

×240°=120°,∴∠DFE=180°-(∠DEF+∠EDF)=60°.(3)∠BFE=

α-108°.詳解:∵∠EBF=4∠ABF,∠BEF=4∠DEF,∴∠FBE=

∠ABE,∠BEF=

∠BED,由(1)可知∠ABE+∠BED+∠D=360°,∴∠ABE+∠BED=360°-∠D=360°-α,∴∠FBE+∠BEF=

∠ABE+

∠BED=

(∠ABE+∠BED)=

(360°-α)=288°-

α,∵∠BFE+∠FBE+∠BEF=180°,∴∠BFE=180°-(∠FBE+∠BEF)=180°-

=180°-288°+

α=

α-108°.類型二豬蹄模型5.(2024福建泉州鯉城期末,10,★★☆)如圖,AB∥CD,直線l分別交AB,CD于點(diǎn)E,F,且滿足∠BEP=

∠BEF,∠DFP=

∠DFE,則∠P的度數(shù)為

()

A.

B.

C.

D.不確定B如圖,過點(diǎn)P作PG∥AB,

∴∠BEP=∠EPG=

∠BEF,∵AB∥CD,∴CD∥PG,∴∠DFP=∠FPG=

∠DFE,∵AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°,∴∠EPF=∠EPG+∠FPG=

∠BEF+

∠DFE=

(∠BEF+∠DFE)=

.6.一題多解

(★★★)【模型發(fā)現(xiàn)】某校七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在活動(dòng)中發(fā)現(xiàn):如圖①所示

的幾何圖形,很像小豬的豬蹄,于是大家就把這個(gè)圖形稱為“豬蹄模型”,“豬蹄模型”中蘊(yùn)含著

角的數(shù)量關(guān)系.(1)如圖①,AB∥CD,M是AB、CD之間的一點(diǎn),連接BM,DM,則有∠B+∠D=∠BMD.請你證明這個(gè)

結(jié)論.(2)【運(yùn)用】如圖②,AB∥CD,M、N是AB、CD之間的兩點(diǎn),且2∠M=3∠N,請你利用(1)中“豬蹄

模型”的結(jié)論,找出∠B、∠C、∠M三者之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.(3)【延伸】如圖③,AB∥CD,點(diǎn)E、F分別在AB、CD上,EN、FG分別平分∠BEM和∠CFM,且EN

∥MG.如果∠EMF=α,那么∠MGF等于多少?(用含α的代數(shù)式表示,請直接寫出結(jié)論,無需證明)

(1)證明:證法一:如圖,過M作MN∥AB.

∵AB∥CD,∴AB∥MN∥CD,∴∠B=∠BMN,∠D=∠DMN,∴∠B+∠D=∠BMN+∠DMN=∠BMD.證法二:如圖,延長BM,交CD于點(diǎn)F,

∵AB∥CD,∴∠B=∠BFD,∵∠BMD=∠D+∠BFD,∴∠BMD=∠B+∠D.(2)∠B、∠C、∠M三者之間的數(shù)量關(guān)系為

∠M=∠B-∠C.理由如下:如圖,過點(diǎn)N作NE∥AB,

由“豬蹄模型”可知∠M=∠B+∠1,∴∠1=∠M-∠B,∵NE∥AB,AB∥CD,∴NE∥CD,∴∠C=∠2,∴∠1+∠2=∠M-∠B+∠C,即∠MNC=∠M-∠B+∠C,∵2∠M=3∠MNC,∴∠MNC=

∠M,∴

∠M=∠M-∠B+∠C,∴

∠M=∠B-∠C.(3)∠MGF=90°+

α.詳解:∵EN、FG分別平分∠BEM和∠CFM,∴設(shè)∠MEN=∠BEN=x,∠CFG=∠MFG=y,由(1)中的結(jié)論得∠AEM+∠MFC=∠EMF,∴180°-2x+2y=α,∴x-y=90°-

α.∵M(jìn)G∥EN,∴∠GMF+∠EMF+∠MEN=180°,∴∠GMF=180°-α-x,由三角形內(nèi)角和定理得∠MGF=180°-∠GMF-∠GFM=180°-(180°-α-x)-y=α+x-y=α+

=90°+

α.類型三鋸齒模型7.(2023山東淄博臨淄期末,6,★★☆)如圖,AB∥EF,∠C=90°,則α、β和γ的關(guān)系是

()

A.β=α+γ

B.α+β+γ=180°C.α+β-γ=90°

D.β+γ-α=180°C如圖,延長DC交AB于G,延長CD交EF于H.在直角△BGC中,∠1=90°-α,在△EHD中,∠2=β-γ,∵AB∥EF,∴∠1=∠2,∴90°-α=β-γ,即α+β-γ=90°.

8.(2024河南南陽社旗期末,23,★★★)【課題學(xué)習(xí)】平行線的“等角轉(zhuǎn)化”.如圖①,已知點(diǎn)A是BC外一點(diǎn),連接AB,AC.求∠BAC+∠B+∠C的度數(shù).

解:過點(diǎn)A作ED∥BC,∴∠B=

,∠C=

,又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°.∴∠B+∠BAC+∠C=

.【問題解決】(1)閱讀并補(bǔ)全上述推理過程.【解題反思】從上面的推理過程中,我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能,將∠BAC,∠B,∠

C“湊”在一起,得出角之間的關(guān)系,使問題得以解決.【方法運(yùn)用】(2)如圖②所示,已知AB∥CD,BE、CE交于點(diǎn)E,∠BEC=80°,在圖②的情況下求∠B-∠C的度數(shù).(3)如圖③,若AB∥CD,點(diǎn)P在AB,CD外部,請直接寫出∠B,∠D,∠BPD之間的關(guān)系.(1)補(bǔ)全推理過程如下:過點(diǎn)A作ED∥BC,∴∠B=∠EAB,∠C=∠DAC,又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°,∴∠B+∠BAC+∠C=180°.故答案為∠EAB;∠DAC;180°.(2)如圖,過點(diǎn)E作EF∥AB,

∴∠B+∠BEF=180°,∴∠BEF=180°-∠B,∵AB∥CD,∴EF∥