教考銜接8?破解解析幾何問(wèn)題常見(jiàn)的技巧

真題展示

A.（1，1）B.

（－1，2）C.（1，3）D.

（－1，－4）

解法分析解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題中中學(xué)數(shù)學(xué)的重要分支，解題的

第一步通常是把幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)語(yǔ)言，即轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)問(wèn)

題；第二步再對(duì)代數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化、化簡(jiǎn)與求值.因其條件復(fù)雜，運(yùn)算量

大，一直是學(xué)生的“痛點(diǎn)”.如何在求解解析幾何問(wèn)題時(shí)簡(jiǎn)化運(yùn)算步

驟，減少運(yùn)算量，提升解題效率，下面就從常見(jiàn)的五種技巧入手，予

以例析.

破解解析幾何問(wèn)題常見(jiàn)的技巧技巧1

回歸定義，化繁為簡(jiǎn)回歸定義的實(shí)質(zhì)是重新審視概念，并用相應(yīng)的概念解決問(wèn)題，是

一種樸素而又重要的策略和思想方法.圓錐曲線的定義既是有關(guān)圓錐曲

線問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)，又是新知識(shí)、新思維的生長(zhǎng)點(diǎn).對(duì)于相關(guān)的圓錐曲線

中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，若能根據(jù)已知條件，巧妙靈活應(yīng)用定義，往往能達(dá)到

化難為易、化繁為簡(jiǎn)、事半功倍的效果.

反思感悟

本題巧妙運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義建立｜

AF

1｜，｜

AF

2｜的等

量關(guān)系，從而快速求出雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)

a

的值，進(jìn)而求出雙曲線的離

心率，大大降低了運(yùn)算量.技巧2

設(shè)而不求，整體代換對(duì)于直線與圓錐曲線相交所產(chǎn)生的中點(diǎn)弦問(wèn)題，在涉及求中

點(diǎn)弦所在直線的方程或弦的中點(diǎn)的軌跡方程等問(wèn)題時(shí)，常用“點(diǎn)

差法”求解.

反思感悟

本題設(shè)出

A

，

B

兩點(diǎn)的坐標(biāo)，卻不求出

A

，

B

兩點(diǎn)的坐標(biāo)，巧妙

地表達(dá)出直線

AB

的斜率，通過(guò)將直線

AB

的斜率“算兩次”建立幾何

量之間的關(guān)系，從而快速解決問(wèn)題.技巧3

巧用“根與系數(shù)的關(guān)系”化繁為簡(jiǎn)某些涉及線段長(zhǎng)度關(guān)系的問(wèn)題可以通過(guò)解方程、求坐標(biāo)，用距離

公式計(jì)算長(zhǎng)度的方法來(lái)解；也可以利用一元二次方程，使相關(guān)的點(diǎn)的

同名坐標(biāo)為方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根間的關(guān)系或有關(guān)線

段長(zhǎng)度間的關(guān)系.后者往往計(jì)算量小，解題過(guò)程簡(jiǎn)捷.

（1）當(dāng)直線

AM

的斜率為1時(shí)，求點(diǎn)

M

的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)直線

AM

的斜率變化時(shí)，直線

MN

是否過(guò)

x

軸上的一定

點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，并求出該定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

反思感悟

技巧4

巧妙“換元”減少運(yùn)算量變量換元的關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是

變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而將非標(biāo)

準(zhǔn)型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.變量換元法常用于求

解復(fù)合函數(shù)的值域、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)或求值等問(wèn)題.

（1）求橢圓

E

的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求△

F

1

MN

的內(nèi)切圓半徑

r

最大時(shí)，直線

l

的方程.

技巧5

妙借向量，更換思路平面向量是銜接代數(shù)與幾何的紐帶，溝通“數(shù)”與“形”，融數(shù)

形于一體，是數(shù)形結(jié)合的典范，具有幾何形式與代數(shù)形式的雙重身

份，是數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)和聯(lián)系多項(xiàng)知識(shí)的媒介.妙借向量，可以

有效提升圓錐曲線的解題方向與運(yùn)算效率，達(dá)到良好效果.

反思感悟

本題通過(guò)相關(guān)向量坐標(biāo)的確定，結(jié)