編號：019課題:§11.3余弦定理、正弦定理的應(yīng)用

目標(biāo)要求

1、理解并掌握解三角形中的常見術(shù)語問題.

2、理解并掌握測量距離、高度問題.

3、理解并掌握測量角度問題.

4、理解并掌握正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用問題.

學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)

解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容，它涉及三角形的邊、角、面積，以及三角函數(shù)、

圓等知識，綜合性較強.在解三角形的教學(xué)中，重點講解如何運用正弦定理和余弦定理解三

角形問題，以及判斷三角形的解.做好解三角形的教學(xué)，不但可以提高學(xué)生的解題能力，而

且還對學(xué)生的數(shù)學(xué)思路的發(fā)展有幫助.

重點難點

重點：測量距離、高度、角度問題；

難點：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用問題.

教學(xué)過程

基礎(chǔ)知識點

1.解三角形中的常見術(shù)語

術(shù)語

術(shù)語意義圖形表示

名稱

啰

與目標(biāo)視線在同一鉛直平面內(nèi)的水

仰角與平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線鉛角

直—水平視線

俯角在水平視線_______時叫仰角，目標(biāo)視線線\俯角

在水平視線——時叫俯角.

視線

北

從正北方向___________轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所西卡東

方位成的水平角，如點8的方位角為a（如

角圖所示）.方位角的取值范圍：0°?

360°.南

方向指以觀測者為中心，指北或指南的方向線與目如圖，左圖中表示北偏東

角標(biāo)方向線所成的小于90。的水平角，它是方位30°,右圖中表示南偏西

角的另一種表示形式.60°.

2.本質(zhì)：仰角、俯角、方位角等都是在生產(chǎn)、生活中為方便使用而人為定義的.方向角亦是在

測量中人為設(shè)置的量.

3.應(yīng)用：仰角、俯角、方向角、方位角等經(jīng)常用于求距離、高度和角度的題目中.選擇合適的

角可以簡化運算,提高測量的精確度.

【課前基礎(chǔ)演練】

題1.（多選）下列命題正確的是（）

A.若尸在。的北偏東44°方向，則Q在尸的東偏北44°方向.

B.方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的,均是確定觀察點與目標(biāo)點之間的位置關(guān)系,其范圍均

71

是［0,耳）?

C.方位角210°的方向與南偏西30°的方向一致.

D.方位角是指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角.

題2.如圖，為了測量隧道A8的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時應(yīng)選用數(shù)據(jù)（）

A.a,a,bB.a,13,aC.a,b,yD.a,/3,b

題3.已知兩座建筑A,B與規(guī)劃測量點C的距離相等,A在C的北偏東40°,B在C的南偏東

60°,則A在B的（）

A.北偏東10°A北偏西10°C.南偏東10°D南偏西10°

關(guān)鍵能力?合作學(xué)習(xí)

類型一測量距離、高度問題（數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算）

【題組訓(xùn)練】

題4.如圖所示，設(shè)A,B兩點在河的兩岸，一測量者與A在河的同側(cè)，在A所在的河岸邊先確定一

點C,測出A,C的距離為50m,/AC3=45°,NCAB=105°后，

可以計算出AB兩點的距離為（）

OSB

A.50^2mB.50yf^mC.25A/2mD.--------m

2

B

題5.已知船A在燈塔C北偏東85°且到。的距離為2km,船3在燈塔。北偏西65°且到

C的距離為ekm,則A、8兩船的距離為()

A.2^3kmB.3-J2kmC.kmD.A/T3km

題6.如圖所示,D,C,B在地平面同一直線上,DC=1Qm,從D,C兩地測得A點的仰角分

別為30°和45°,則A點離地面的高A3等于()

A.10mB.5y/3mC.5(A/3—l)mD.5(\/3+1)m

【解題策略】

1.求距離問題時應(yīng)注意的兩點

(1)選定或確定所求量所在的三角形,若其他量已知，則直接求解;若有未知量,則先把未知量

放在另一確定三角形中求解.

(2)確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用，就選擇更便于計算的定理.

2.解決測量高度問題的一般步驟

(1)畫圖：根據(jù)已知條件畫出示意圖.

(2)分析三角形:分析與問題有關(guān)的三角形,在高度問題中，經(jīng)常用到直角三角形.

(3)求解:運用正、余弦定理,有序地解相關(guān)的三角形,逐步求解.在解題中,要綜合運用平面幾

何知識,注意方程思想的運用.

【補償訓(xùn)練】

題7.如圖所示,為了測定河的寬度,在一岸邊選定兩點A、B,望對岸標(biāo)記物C,測得/

CAB=30°,NCA4=75°,42=120S則河的寬度為()

C

、—1------?'

-------------/--------

A30°75°B

A.230mB.240mC.50mD.60m

題&在一幢20m高的樓頂測得對面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0°,塔基的俯角為45°,那么這座

塔吊的高是()

A.20(1+—)mB.20(1+73)mC.10(6+72)mD.20(76+A/2)m

類型二測量角度問題(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算)

【典例】題9.在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距離A為6-1海里的B處有一艘走私船,

在A處北偏西75。方向,距離A為2海里的C處有一艘緝私艇奉命以100海里/時的速度

追截走私船，此時，走私船正以10海里/時的速度從2處向北偏東30°方向逃竄.

(1)問C與B相距多少海里?C在B的什么方向？

(2)問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船?并求出所需時間.

【解題策略】

解決測量角度的常用方法與注意點

(1)測量角度問題的關(guān)鍵是弄清題意，畫出圖形,并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦

定理或余弦定理解三角形,最后將結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解.

(2)求角的度數(shù)時,多用余弦定理求角.因為余弦函數(shù)在(0,乃)上是單調(diào)遞減的,而正弦函數(shù)

不單調(diào),一個正弦值可能對應(yīng)兩個角.若角在(0,萬］上時,用正、余弦定理皆可.

【跟蹤訓(xùn)練】

題10.甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60°方向的2處，兩船相距anmile,乙船向

正北方向行駛.若甲船的速度是乙船速度的血倍，問甲船應(yīng)沿什么方向前進才能最快追上

乙船?相遇時乙船行駛了多少nmile?

【拓展延伸】

1.函數(shù)與方程思想在距離問題中的應(yīng)用

⑴函數(shù)思想的應(yīng)用

將三角形中邊角之間的關(guān)系問題借助余弦定理和正弦定理建立函數(shù)關(guān)系，結(jié)合有關(guān)函數(shù)的圖

象和性質(zhì)，加以分析、轉(zhuǎn)化、解決有關(guān)求取值范圍、最大(小)值問題.

(2)方程思想的應(yīng)用

余弦定理和正弦定理涉及三個邊和三個角共六個量，只要知道其中三個獨立的量(必須有邊)

就能求出其余三個量.因此,解三角形的實際應(yīng)用問題中,直接求相關(guān)量較難時,通常將問題

的數(shù)量關(guān)系運用這兩個定理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、方程組)加以解決.

【拓展訓(xùn)練】

題11.某港口。要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上,在小艇出發(fā)時,輪船

位于港口。北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/小時的航行速度沿

正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛,經(jīng)過/小時

與輪船相遇.

(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

(2)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇,試確定小艇航行速度的最小值.

類型三余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)

角度1余弦定理、正弦定理在立體幾何中的應(yīng)用

【典例】題12.如圖,為了測量河對岸的塔高有不同的方案,其中之一是選取與塔底2在

同一水平面內(nèi)的兩個測點C和D,測得8=200米，在C點和D點測得塔頂A的仰角分別是

45°和30。，且/CB￡)=30°,求塔高AA

角度2余弦定理、正弦定理在三角形中的應(yīng)用

【典例】題13.如圖，在△ABC中，乙4BC=90°,48=石，嵐：=1,「為△ABC內(nèi)一點，NBPC

=90°.

⑴若求朋；

2

(2)若NAPB=150°，求tanZPBA.

【解題策略】

在復(fù)雜圖形中利用正弦定理、余弦定理解題的方法

(1)分析復(fù)雜圖形,找準(zhǔn)需要解決的問題所在的三角形，找出該三角形與其他三角形之間的關(guān)

系.

(2)根據(jù)題目給出的條件,適當(dāng)選用正弦定理或余弦定理解題.

【題組訓(xùn)練】

題14.瑞云塔是福清著名的歷史文化古跡.如圖,一研究小組同學(xué)為了估測塔的高度,在塔底

D和A,2(與塔底D同一水平面)處進行測量,在點A,B處測得塔頂C的仰角分別為

45°,30°,且兩點相距91m,由點?？吹膹埥菫?50°,則瑞云塔的高度。=

A.91mB.13y/21mC.13^7mD.916m

題15.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇

險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的。處的乙船,

現(xiàn)乙船朝北偏東6的方向沿直線CB前往B處救援,則cos。=.

【補償訓(xùn)練】

題16.某海域的東西方向上分別有A,B兩個觀測點(如圖)，它們相距5(3+石)海里.現(xiàn)有一

艘輪船在。點發(fā)出求救信號，經(jīng)探測得知。點位于A點北偏東45。，2點北偏西60。，這時,

位于B點南偏西60°且與3點相距206海里的C點有一救援船,其航行速度為30海里/

小時.

(1)求B點到D點的距離2D;

(2)若命令C處的救援船立即前往。點營救,求該救援船到達(dá)D點需要的時間.

題17.如圖,某公園內(nèi)有兩條道路現(xiàn)計劃在AP上選擇一點C,新建道路BC,并把△

JT

ABC所在區(qū)域改造成綠化區(qū)域，已知ABAC=-,AB=2km.

（1）若綠化區(qū)域△ABC的面積為1km2,求道路BC的長度；

（2）綠化區(qū)域△ABC每平方千米的改造費用與新建道路2C每千米修建費用都是的函

數(shù),其中綠化區(qū)域△ABC改造費用為％=10sinNACB（單位:萬元/平方千米），新建道路

27r

BC新建費用為為=5sin2ZACB（單位:萬元/千米），設(shè)ZABC=8（0＜。W后），某工程

隊承包了該公園的綠化區(qū)域改造與新道路修建,已知綠化區(qū)域改造費與道路新建費用越高，

則工程隊所獲利潤也越高,試問當(dāng)。為何值時,該工程隊獲得最高利潤？

課堂檢測?素養(yǎng)達(dá)標(biāo)

題18.如圖,兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°,燈塔

2在觀察站南偏東60°,則燈塔A在燈塔3的（）

A.北偏東10。B.北偏西10°C.南偏東80°D.南偏西80°

題19.一海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后

到達(dá)B處.在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,

其方向是北偏東65°,那么8,C兩點間的距離是（）

A10月海里A10近海里C.20j§■海里。20拒海里

題20.如圖所示,在山底A處測得山頂2的仰角NCAB=45°,沿傾斜角為30°的山坡向山頂

走1000m到達(dá)S點，又測得山頂仰角/。$2=75°,則山高2C為（）

A.5000mB.200mC.1000A/2mD.1000m

題21.一輪船從A點沿北偏東70°的方向行駛10海里至海島民又從B沿北偏東10°的方

向行駛10海里至海島C,若此輪船從A點直接沿直線行駛至海島C,則此船沿方向

行駛海里至海島C.

題22.海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75。，距離為12癡海里;在A處看燈塔C,

在貨輪的北偏西30°,距離為8月海里;貨輪向正北由A處航行到D處時看燈塔B在南偏東

60°,求：

(1)4處與。處之間的距離；

(2)燈塔C與。處之間的距離.

編號：019課題:§11.3余弦定理、正弦定理的應(yīng)用

目標(biāo)要求

1、理解并掌握解三角形中的常見術(shù)語問題.

2、理解并掌握測量距離、高度問題.

3、理解并掌握測量角度問題.

4、理解并掌握正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用問題.

學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)

解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容，它涉及三角形的邊、角、面積，以及三角函數(shù)、

圓等知識，綜合性較強.在解三角形的教學(xué)中，重點講解如何運用正弦定理和余弦定理解三

角形問題，以及判斷三角形的解.做好解三角形的教學(xué)，不但可以提高學(xué)生的解題能力，而

且還對學(xué)生的數(shù)學(xué)思路的發(fā)展有幫助.

重點難點

重點：測量距離、高度、角度問題；

難點：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用問題.

教學(xué)過程

基礎(chǔ)知識點

1.解三角形中的常見術(shù)語

術(shù)語

術(shù)語意義圖形表示

名稱

啰

與目標(biāo)視線在同一鉛直平面內(nèi)的水

仰角與平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線鉛角

直—水平視線

俯角在水平視線—上方一時叫仰角，目標(biāo)視線線\俯角

在水平視線—下午一時叫俯角.

視線

北

從正北方向—順時針—轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所西卡東

方位成的水平角，如點8的方位角為a（如

角圖所示）.方位角的取值范圍：0°?

360°.南

方向指以觀測者為中心，指北或指南的方向線與目如圖，左圖中表示北偏東

角標(biāo)方向線所成的小于90。的水平角，它是方位30°,右圖中表示南偏西

角的另一種表示形式.60°.

2.本質(zhì)：仰角、俯角、方位角等都是在生產(chǎn)、生活中為方便使用而人為定義的.方向角亦是在

測量中人為設(shè)置的量.

3.應(yīng)用：仰角、俯角、方向角、方位角等經(jīng)常用于求距離、高度和角度的題目中.選擇合適的

角可以簡化運算,提高測量的精確度.

【課前基礎(chǔ)演練】

題1.（多選）下列命題正確的是（）

A.若尸在。的北偏東44°方向，則Q在尸的東偏北44°方向.

B.方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的,均是確定觀察點與目標(biāo)點之間的位置關(guān)系,其范圍均

71

是［0,耳）?

C.方位角210°的方向與南偏西30°的方向一致.

D.方位角是指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角.

【答案】選CD

提示:AX.因為若P在。的北偏東44。方向，則。應(yīng)在尸的南偏西44°方向.

BX.因為方向角的范圍為0。?90°,而方位角的范圍為0°-360°.

CV.由方位角與方向角的定義知正確.

。，方位角是指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角，這是方位角的定義.

題2.如圖，為了測量隧道A8的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時應(yīng)選用數(shù)據(jù)（）

A.a,a,bB.a,/3,aC.a,b,yD.a,/3,b

【解析】選C.選擇a,b,尸可直接利用余弦定理AB=揚+"2"cos7求解,而名尸無

法測量得到,故排除A,B,D.選C.

題3.已知兩座建筑A,B與規(guī)劃測量點C的距離相等,A在C的北偏東40°,B在C的南偏東

60°,則A在B的（）

A.北偏東10°A北偏西10°C.南偏東10°D南偏西10°

【解析】選A如圖，由題意可知△ABC為等腰三角形，NACB=80°,

所以NCB4=L（180°-80°）=50°,又60°-50°=10°.所以A在8的北偏西10°.

2

關(guān)鍵能力?合作學(xué)習(xí)

類型一測量距離、高度問題（數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算）

【題組訓(xùn)練】

題4.如圖所示，設(shè)A乃兩點在河的兩岸，一測量者與A在河的同側(cè)，在A所在的河岸邊先確定一

點C,測出A,C的距離為50m,NACB=45°,NCAB=105°后，

可以計算出AB兩點的距離為（）

A.50^/2mB.50y/3mC.25A/2mD.----------m

2

AB50

【解析】選A.NABU180°-45°-105°=30°,在△ABC中由

sin45°sin30°

得A5=100x走=500(m).

2

題5.已知船A在燈塔C北偏東85。且到C的距離為2km,船B在燈塔C北偏西65。且到

C的距離為也km,則A、8兩船的距離為()

A.2y/3kmB.3A/2kmC.yfl5kmD.A/13km

【解析】選D如圖可知NAC5=85°+65°=150°,AC=2km,gkm,

所以AB?=人。2+BC2_2AC.5C?cos150°=13,所以AB二屈km.

北

?

題6.如圖所示,D,C,B在地平面同一直線上,DC=10m,從C兩地測得A點的仰角分

別為30°和45°,則A點離地面的高AB等于()

A.10mB.5A/3mC.5(A/3—l)mD.5(\/3+1)m

【解析】選D方法一：設(shè)m,則BC=xm,所以B￡?=(10+x)m.

所以tan/AD5=&_=^^=3,解x=5(G+l).

AD10+x3

所以A點離地面的高AB等于5(G+l)m.

方法二：因為NACB=45°,所以NACD=135°,所以NCAD=180°-135°-30°=15

由正弦定理,得AC=———?sinZADC=3一?sin30°=二。尸(m),

sinZCADsin15°J6-J2

所以4B=ACsin45°AB=ACsin45°=5(^/^+1)m.

【解題策略】

1.求距離問題時應(yīng)注意的兩點

(1)選定或確定所求量所在的三角形,若其他量己知,則直接求解;若有未知量,則先把未知量

放在另一確定三角形中求解.

(2)確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用,就選擇更便于計算的定理.

2.解決測量高度問題的一般步驟

(1)畫圖:根據(jù)已知條件畫出示意圖.

(2)分析三角形:分析與問題有關(guān)的三角形,在高度問題中，經(jīng)常用到直角三角形.

(3)求解:運用正、余弦定理,有序地解相關(guān)的三角形,逐步求解.在解題中,要綜合運用平面幾

何知識,注意方程思想的運用.

【補償訓(xùn)練】

題7.如圖所示,為了測定河的寬度,在一岸邊選定兩點A、B,望對岸標(biāo)記物C,測得/

CA8=30°,NCA4=75°,AB=120犯則河的寬度為()

C

A30°75°B

A.230mB.240mC.50mD.60m

【解析】選D在△ABC中，N042=30°,NCBA=75：

所以ZACB=75°,ZACB=NABC.所以AC=AB=]20m.

如圖，作CD±AB,垂足為D,則CD即為河的寬度.

心“?工、、巾2ACCD-120CD

在Rt^ACD中，由正弦定理，得----------=----------,所以-------=-------

sinZADCsinZCADsin90°sin30°

所以CD=60,所以河的寬度為60m.

題&在一幢20m高的樓頂測得對面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0°,塔基的俯角為45°,那么這座

塔吊的高是()

A.20(1+—)mB.20(1+73)mC.10(6+^)mD.20(76+72)m

【解析】選B如圖，由條件知四邊形ABC。為正方形，

所以AB=CZXBC=Ar)=20m.在△OCE中，NEDC=60",

ZDCE=90°,CD=2Qm,所以EC=CD?tan60°=20A/3(m),

所以BE=BC+CE=(20+20有)=20(1+百)m.

類型二測量角度問題（數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算）

【典例】題9.在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距離A為6-1海里的B處有一艘走私船,

在A處北偏西75。方向，距離A為2海里的C處有一艘緝私艇奉命以10通海里/時的速度

追截走私船，此時，走私船正以10海里/時的速度從8處向北偏東30°方向逃竄.

（1）問C與B相距多少海里?C在8的什么方向？

（2）問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船?并求出所需時間.

四步內(nèi)容

條件：已知人.B.C三個位置.八，B兩處的距

離及方向.A.C兩處的距離及緝私艇的時速

理解和走私船的時速.已知走私船的航行方向.

題意結(jié)論：（1）求B.C之間的距離及（'在B的什

么方向；（2）緝私艇沿什么方向能最快追上

走私船并求追上的時間.

思路先畫出示意圖.再利用正弦、余弦定理解三

探求角形.

(1)根據(jù)題意作出示意圖.如圖.①

則八8=6一1.八('=2.

Z/M('=12O".

在△八3(,中由余弦定理0

—東

得：BC:=AB2+AC--

南

2AB,AC,cos12()0=6.

所以3('=病，由正弦定理得

AC,BC加2V_6

sinz^ABCsin/^BACsinz^ABCV23

解得sinN/W（'=容.所以/八3（'=45°.

所以（'在8的正西方向.

（2）由（1）知BC=76,ZDBC=120°,

書寫設(shè)/小時后緝私艇在處追上走私船.

表達(dá)則BD=18.CD=10而.在ABCD中由正弦定

理得羋黑=.%子）?解得疝上比刀=??

sin120sinZ_/x.u2

所以NBCD=30°?所以△BCD是等腰三角形.

所以10，=而?即

fa

所以緝私艇沿東偏北3（）°方向行駛3小時才

能最快追上走私船.②

注意書寫的規(guī)范性：

①根據(jù)題意作出示意圖有利于分析問題.故

解三角形的實際問題如果沒有圖.需先作出

圖.而且作圖要規(guī)范；

②從圖中找到某一三角形的三個元素后方

可求解.同時注意實際問題應(yīng)該有設(shè)有答.

（1）解決角度問題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化

為具體的解三角形問題.即確定所求角.找

出三角形中已知的邊和角：

題后

（2）利用余弦定理、正弦定理將這些邊和角

反思

聯(lián)系起來求解：

（3）關(guān)于追擊問題通常利用相遇時的時間相

等設(shè)出時間變量后建立關(guān)系式求解.

【解題策略】

解決測量角度的常用方法與注意點

（1）測量角度問題的關(guān)鍵是弄清題意,畫出圖形,并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離,再用正弦

定理或余弦定理解三角形,最后將結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解.

（2）求角的度數(shù)時，多用余弦定理求角.因為余弦函數(shù)在（0,不）上是單調(diào)遞減的，而正弦函數(shù)

不單調(diào),一個正弦值可能對應(yīng)兩個角.若角在（0,萬］上時,用正、余弦定理皆可.

【跟蹤訓(xùn)練】

題10.甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60°方向的8處，兩船相距anmile,乙船向

正北方向行駛.若甲船的速度是乙船速度的血倍，問甲船應(yīng)沿什么方向前進才能最快追上

乙船?相遇時乙船行駛了多少nmile?

r

【解析】如圖所示,設(shè)兩船在C處相遇，并設(shè)NCA5=e,

乙船行駛距離BC為尤nmile,則AC二小x,

由正弦定理得sine='C,sm120=工,而。＜60°,

AC2

所以。=30°,所以/4(78=30°,8。=48=0

所以甲船應(yīng)沿北偏東30°方向前進才能最快追上乙船，兩船相遇時乙船行駛了anmile.

【拓展延伸】

1.函數(shù)與方程思想在距離問題中的應(yīng)用

⑴函數(shù)思想的應(yīng)用

將三角形中邊角之間的關(guān)系問題借助余弦定理和正弦定理建立函數(shù)關(guān)系，結(jié)合有關(guān)函數(shù)的圖

象和性質(zhì)，加以分析、轉(zhuǎn)化、解決有關(guān)求取值范圍、最大(小)值問題.

(2)方程思想的應(yīng)用

余弦定理和正弦定理涉及三個邊和三個角共六個量，只要知道其中三個獨立的量(必須有邊)

就能求出其余三個量.因此,解三角形的實際應(yīng)用問題中,直接求相關(guān)量較難時,通常將問題

的數(shù)量關(guān)系運用這兩個定理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、方程組)加以解決.

【拓展訓(xùn)練】

題11.某港口。要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上,在小艇出發(fā)時,輪船

位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/小時的航行速度沿

正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛,經(jīng)過t小時

與輪船相遇.

(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

(2)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇,試確定小艇航行速度的最小值.

【思路導(dǎo)引】(1)設(shè)相遇時小艇的航行距離為S海里,根據(jù)余弦定理可得S關(guān)于t

的表達(dá)式為S900(1--)2+300,進而可知當(dāng)。=工時,S有最小值為10石，進而求得此

V33

時的速度V.

(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇.根據(jù)余弦定理可得v關(guān)于t的表達(dá)式,再根據(jù)t的范圍及二次

函數(shù)的單調(diào)性求得v的最小值及此時t的值.

【解析】⑴設(shè)相遇時小艇航行的距離為S海里,

22

則S=7(300+20-2X30tX20cos(90--30°)

=4900/一600f+400=小900?—3+300.

故當(dāng)f=g時，Smin=IOAV=粵1=30G(海里/小時).

3

即小艇以30j§■海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小.

⑵設(shè)小艇與輪船在B處相遇,如圖所示.

由題意可得：(匕)2=202+(30/)2—2x20X30/xcos(90°—30°),

2

化簡得聲=^2-^22+900=400(j-1)+675,

由于0</w1,即122,所以當(dāng)』=2時V取得最小值10屈，

2tt

即小艇航行速度的最小值為10而海里/小時.

類型三余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)

角度1余弦定理、正弦定理在立體幾何中的應(yīng)用

【典例】題12.如圖,為了測量河對岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是選取與塔底B在

同一水平面內(nèi)的兩個測點C和D,測得。=200米，在C點和D點測得塔頂A的仰角分別是

45°和30。，且/CBD=30°，求塔高AA

A

D

【思路導(dǎo)引】設(shè).表示出BC=h,BD=^3h,然后在△BCD中利用余弦定理求解.

【解析】在RtAABC中，ZACB=45°,若設(shè)則BC=h.

在RtAABD中，ZADB=3Q°,則BD=-j3h.在ABCD中，

由余弦定理可得CD1=BC2+BD1-2BC-BDcosZCBD,

222

即200=h+(3)2—2丸?血?乎，所以/?=200,解得/i=200(行-200舍去),

即塔高42=200米.

角度2余弦定理、正弦定理在三角形中的應(yīng)用

【典例】題13.如圖，在△A2C中，NA8C=90°為AABC內(nèi)一點，/BPC

=90°.

⑴若PB=L求朋；

2

(2)若NAPB=150°，求tanZPBA.

【思路導(dǎo)引】（1）根據(jù)PB,BC的值及NBPC求出NPBC的值,再在△ABP中，求出NPBA,利

用余弦定理求出PA的長.

⑵根據(jù)/PA4+NE43=30°,用/P8A表示NE48,再利用正弦定理求出tanZPBA.

【解析】⑴由已知得，NPBC=60°，所以NPft4=30°,在AAB尸中，

由余弦定理得出2=3+』—2義出><工《?30。=1，所以巳4=立（負(fù)值舍去）.

4242

(2)設(shè)/P8A=a,所以,PB=sina.

0s’11”---,化簡得6cosa=4sin?,

在△PBA中，由正弦定理得，—

sin150°sin(30o-a)

所以tana=—,即tanZPBA=—

44

【解題策略】

在復(fù)雜圖形中利用正弦定理、余弦定理解題的方法

（D分析復(fù)雜圖形,找準(zhǔn)需要解決的問題所在的三角形,找出該三角形與其他三角形之間的關(guān)

系.

（2）根據(jù)題目給出的條件,適當(dāng)選用正弦定理或余弦定理解題.

【題組訓(xùn)練】

題14.瑞云塔是福清著名的歷史文化古跡.如圖,一研究小組同學(xué)為了估測塔的高度,在塔底

D和A,2（與塔底D同一水平面）處進行測量,在點A,B處測得塔頂C的仰角分別為

45°,30°,且A,B兩點相距91m,由點?？吹膹埥菫?50°,則瑞云塔的高度CD=

A.91mB.13-721mC.13^7mD.91A/3m

c

【解析】選C設(shè)CD=h,因為在點A,B處測得塔頂C的仰角分別為45°,30°，

所以3。=6加4。=瓦

因為AB2=BD2+AD1-2BDADcos150°，所以9付=7A2，即”=1377（負(fù)值舍去）.

題15.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇

險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船,

現(xiàn)乙船朝北偏東6的方向沿直線CB前往B處救援,則cos。=.

二一^—

【解析】在△ABC中,AB=40,AC=20,NBAC=120°,

由余弦定理知BC~=AB2+AC2-2AB-ACcos1200=2800nBC=20s.

由正弦定理

nsinNACB=——sinABAC=--,ABAC=120°,

sinNACBsinABACBC7

則ZACB為銳角，cosZACB=二一.由8=ZACB+3O0,

7

J21

則cos9=cos(/AC8+30°)=cosZACB?cos30°-sinZACB,sin30°=----.

【補償訓(xùn)練】

題16.某海域的東西方向上分別有兩個觀測點（如圖），它們相距5（3+6）海里.現(xiàn)有一

艘輪船在。點發(fā)出求救信號，經(jīng)探測得知。點位于A點北偏東45°,2點北偏西60°,這時,

位于B點南偏西60°且與B點相距20月海里的C點有一救援船,其航行速度為30海里/

小時.

D

⑴求B點到。點的距離2D;

(2)若命令C處的救援船立即前往D點營救,求該救援船到達(dá)。點需要的時間.

【解析】(1)由題意知45=5(3+6)海里，/。氏4=90°-60°=30°,ZDAB=90°-45°

二45。，

所以NAZ)B=180°-(45°+30°)=105°,在△ZM8中，由正弦定理得

DBAB

sinZDAB~sinZADB，

AB.sinZDAB5(3+^-sm45°5(3+Ji)?sm45°

所以DB=----------------------=-----------------------------=-------------------------------------------------

sinZADBsin105°sin45°cos60°+cos45°sin60°

=浮殳口2=10機海里)

V3+1

2

⑵在△O8C中，NO8C=/D3A+/ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20百(海里)，

由余弦定理得

CD2=BD-+BC~-2BD-BC-cosZDBC=300+1200-2x1073x2073x-=900,

2

30

所以CD=30(海里)，則需要的時間/=——=1(小時).

30

答:救援船到達(dá)。點需要1小時.

題17.如圖,某公園內(nèi)有兩條道路AB,AP,現(xiàn)計劃在AP上選擇一點C,新建道路BC,并把△

JT

ABC所在區(qū)域改造成綠化區(qū)域，已知ABAC=-,AB=2km.

6

(1)若綠化區(qū)域△ABC的面積為1km2,求道路BC的長度；

(2)綠化區(qū)域△ABC每平方千米的改造費用與新建道路8C每千米修建費用都是/ACB的函

數(shù),其中綠化區(qū)域△ABC改造費用為％=10sinNACB(單位:萬元/平方千米)，新建道路

27r

BC新建費用為%=5sin2ZACB(單位:萬元/千米)，設(shè)ZABC=8(0＜。W瓦-),某工程

隊承包了該公園的綠化區(qū)域改造與新道路修建，已知綠化區(qū)域改造費與道路新建費用越高，

則工程隊所獲利潤也越高,試問當(dāng)。為何值時,該工程隊獲得最高利潤?

【解析】（1）因為綠化區(qū)域△ABC的面積為1km2,

所以工?ACAB-sinN8AC=l.

2

TT1TT

因為A3=2,NR4C=—,所以一?AC2?sin—=1,得AU2,

626

由余弦定理得

222

BC=AB+AC-2AB-ACcosABAC=4+4-2x2x2x與=8-46

所以BC=,8-4退="-后

即BC的長度為（卡-應(yīng)）km.

⑵設(shè)綠化區(qū)域改造費與道路新建費用之和為y萬元.

7TS77-

因為NABC=e,/BAC=—，所以NAC3=——6,

66

由正弦定理-----------=------=——,得BC=-------------,AC=-------------

?/5萬xjx?冗sin0?,5萬zj\?(、兀/n\

sin(-----0)sin—sin(------0)sin(------0)

6666

則由題意可得y=yrgAB-AC-sinNR4C+%-5C

、八.4萬八、1八2sin°1「.?5萬八、1

=10sm(-----0)-2-------------------F5sin2(-----3)--------------

62sin(*6)26sin(*6)

=10sin+cos(--0)=10sin^+10(-^-cos^+—sin0)

622

=15sin6-5gcos0=106sin（^-—）,

6

因為o<ew二，所以—王<e—工

3662

所以loGsin（"令WIOG,當(dāng)且僅當(dāng)"彳="即6=g時取等號，

27r

所以當(dāng)6=」時，該工程隊獲得最高利潤.

3

課堂檢測?素養(yǎng)達(dá)標(biāo)

題18.如圖,兩座燈塔A和8與海岸觀察站C的距離相等,燈塔