江蘇省無(wú)錫市南菁高級(jí)中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理模擬試

卷含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共5()分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.若命題“？yG(0,+8),都有(x+y)29"為真命題，則正實(shí)數(shù)a的最小值是()

A.2B.4

C.6D.8

參考答案：

B

略

2.已知函數(shù)/(x)=(x-o)(x-b)(其中a＞方)的圖象如下面右圖所示，則函數(shù)

A.B.C.D.

參考答案:

A

3.加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于

如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為60。，每只胳膊的拉力大小均為400N,則該

學(xué)生的體重（單位：kg）約為（）

（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為廣10"http://力”】.732）

A.63B.69C.75D.81

參考答案：

B

【分析】

根據(jù)平行四邊形法則得到該學(xué)生的體重iq二四，利用余弦定理即可求出得解.

【詳解】

如圖，設(shè)該學(xué)生的體重為6,則6==.

|FpsOtf+W-lx400x400x006（—）=3x400\I

由余弦定理得3^

所以|G|=400\￡69電

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的平行四邊形法則和余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些

知識(shí)的理解掌握水平.

4.函數(shù)/3）=21-6.+7在（0,2）內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2

D.4

參考答案：

B

5.下列四個(gè)判斷，正確的是

①某校高二某兩個(gè)班的人數(shù)分別是血爪懵*n）,某次測(cè)試數(shù)學(xué)平均分分別是a/（a工坊,

則這兩個(gè)班的數(shù)學(xué)平均分為六一；

②10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,設(shè)其平均數(shù)

為。，中位數(shù)為5,眾數(shù)為C,則有a<3<c；

5J2）<占J2）.…若記X=

③從總體中抽取的樣本,則回歸

直線y=bx+a必過(guò)點(diǎn)（X.y）.

④已知6服從正態(tài)分布及（°,曷，且《2"40）=04,則的>2）=0」.

（A）①②③（B）①③④（C）②③④（D）

①②③④

參考答案：

C

7T

6.已知函數(shù)f(x)=Asin(3x+巾)(A>0,w>0,小IV2)的部分圖象如圖所示,

為了解函數(shù)g(x)=Asin(wx)的圖象，只要將y=f(x)的圖象()

71

B.向右平移下個(gè)單位長(zhǎng)度

7T兀

C.向左平移了個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移百個(gè)單位長(zhǎng)度

參考答案:

D

【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(ax+e)的圖象變換.

【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出3,由五點(diǎn)法作圖求出4)的值,

可得函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)尸Asin(sx+e)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論.

7T

【解答】解：根據(jù)函數(shù)f(x)=Asin(3x+6)(A>0,3>0,|6|<攵)的部分圖

象，可得A=2,

T2兀17171

4^-GT?4=T-T2,求得3=2.

7T7THTT

再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2?12+6=2,求得3,/.f(x)=2sin(2x+3),

兀冗

故把f(x)=2sin(2x+3)的圖象向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，可得g(x)=2sin[2(x-

7T兀

6)+3]=2sin(2x)的圖象,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由函數(shù)y=Asin(3x+e)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂

點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出3,由五點(diǎn)法作圖求出6的值，函數(shù)y=Asin(3x+小)的圖

象變換規(guī)律，屬于中檔題.

3

_7TX14

7.在下列命題中，①“0一￡”是“sina=l”的充要條件;②T?'的展開(kāi)式中的常

數(shù)項(xiàng)為2；③設(shè)隨機(jī)變量若汽CD=P,則"7"<3"廠匕其中所有正

確命題的序號(hào)是()

A.②B.②③c.③D.①③

參考答案：

A

略

8.已知函數(shù)/&》的定義域?yàn)镽,對(duì)任意的.葡0>3卻(-[)=3,則

/(x)<3x+6的解集為()

A.(-1,1)B.(-1,8)C.(-00,-1)D.(-00,+

8)

參考答案：

C

9.己知集合A={x|0WxW2},B={y|l<y<3},則AC1B=()

A.[1,2)B.[0,3)C.(1,2]D.[0,3]

參考答案：

C

10.已知集合M=(肛-3},N=卜附+71+3<0,1詞,如果則，"等

于

3

A.-1B.-2C.一二或1D.2

參考答案：

C

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

XTV,

Cz―??f=1(。>b>0)c-JAJ

11.已知橢圓ab‘和圓+V=b,若C上存在點(diǎn)尸，使得過(guò)點(diǎn)

P引圓。的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,8,滿足ZAPB=12O。,則橢圓C的離心率的取值范圍

是.

參考答案：

12.函數(shù)/(X),歐0的定義域都是Q,直線工=4(蒼>04)，與尸={?,尸=8”)

的圖象分別交于4,6兩點(diǎn)，若I/仞I的值是不等于0的常數(shù)，則稱曲線>=/(勸，

y=爪工)為“平行曲線”，設(shè)=(a>0,c,0),且>={勸，

產(chǎn)D為區(qū)間3同的“平行曲線”，*)=?,虱在區(qū)間(Z笏上的零點(diǎn)唯一，則

a的取值范圍是.

參考答案：

試麴分析：在為y=*(x)為區(qū)間(QXD)的“書(shū)亍曲線”，麗龍市工㈤是由由H/(x)的圖象

SU上下平修再到的，?入+A,又fd)，*一0hl,c+A?-+c?人??,

BDKx)=，-ahx,4x)=/-olnx=0傅。=^-=Hx),明gOO在區(qū)間(2.3)上

lax

?Yhx—)

有唯一尊與等價(jià)于的By="幻與硼y=。有唯一交治，*r(x>=——T?,當(dāng)x>2呵，*(勸>0,

伽X)

的的Mx)在區(qū)閽(2.3)±￡i?￡?，所I油熱y=鬣外與由觸y=。即應(yīng)一交點(diǎn)等價(jià)于*(2)<fl<M3>,

不<a<=7'即。3串配8度IT~Z.T-T|.

1B2IB3\ln2h3J

考點(diǎn)：1.新定義問(wèn)題；2,函數(shù)與方程；3.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性.

【名師點(diǎn)睛】本題考查新定義問(wèn)題、函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，以及學(xué)生綜合運(yùn)

用知識(shí)的能力及運(yùn)算能力，屬難題；高考對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的考查多以選擇題或填空題形式出

現(xiàn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)或方程的根所在區(qū)間求參數(shù)的范圍應(yīng)分三步：1.判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.

利用函數(shù)存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式；3.解不等式求參數(shù)范圍.

13.設(shè)/1（X）=COSX,定義41（1）為工《（X）的導(dǎo)數(shù)，即4.1。）=/'*（力，*CN,若

AX5C的內(nèi)角/滿足'⑷⑷+…則sin24的值是.

參考答案：

逑

14.集合S={】23.?】0；的四元子集7={/@?0?4）中，任意兩個(gè)元素的差的絕對(duì)

值都不為1,這樣的四元子集T的個(gè)數(shù)為X用數(shù)字作答）

參考答案：

35

略

15.函數(shù)尸4cl的圖象在點(diǎn)廣）處的切線與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為％*其中

JteN*,q=0,則為+%+%=.

參考答案：

6

n

一4Ae=-SwK）

16.在極坐標(biāo)系中，圓戶"451nd的圓心到直線6的距離

是.

參考答案：

招

17.定義在我上的偶函數(shù)外幻滿足/卜*1)=-/卜)，且在［-1,0］上是增函數(shù)，下面

是關(guān)于/(x)的判斷：

2

①了(外關(guān)于點(diǎn)p(5'0。)對(duì)稱②/G)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱；

③?、嗽冢?),1］上是增函數(shù)；④/⑵=").

其中正確的判斷是.(把你認(rèn)為正確的判斷都填上)

參考答案：

①②④

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

18.(12分)設(shè)"'"=1+以2,其中a>0.

4

(1)當(dāng)°=弓時(shí)-，求/5)的極值點(diǎn)；

(2)若為R上的單調(diào)函數(shù)，求”的取值范圍.

參考答案：

對(duì)/(x)求導(dǎo)得,。+4)’①

(1)當(dāng)“■5時(shí),若」'(x)=0,則4i-8x+3=0,解得“￥"5

結(jié)合①，可知

:3、

X

22(產(chǎn)

+0—0+

/（x）/極大值、極小值

3J

所以，"=2是極小值點(diǎn)，"=2是極大值點(diǎn).-6分

（2）若/（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，則/'（x）在R上不變號(hào)，結(jié)合①與條件a〉0,知

o?-2ax+l>0^R±-|g^,因此4=4。2_4tf=4a（a_［）so,

由此并結(jié)合a>0,知0<a41.12分

19.在一次水稻試驗(yàn)田驗(yàn)收活動(dòng)中，將甲、乙兩種水稻隨機(jī)抽取各6株樣品，單株籽粒數(shù)

制成如圖所示的莖葉圖：

（1）一粒水稻約為0.1克，每畝水稻約為6萬(wàn)株，估計(jì)甲種水稻畝產(chǎn)約為多少公斤？

（2）分別從甲、乙兩種水稻樣品中任取一株，甲品種中選出的籽粒數(shù)記為a,乙品種中選

出的籽粒數(shù)記為b,求aW[180,189]且be[180,189]的概率.

f乙

8L6

961715

8618246

5194

參考答案:

【考點(diǎn)】CC：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；BA：莖葉圖.

【分析】（1）由莖葉圖能求出甲種水稻樣本單株平均數(shù)，由此能求出甲種水稻畝產(chǎn).

（2）甲種水稻樣品按從小到大編號(hào)為a”az…比，乙種水稻樣品按從小到大編號(hào)為b”

也…be,分別從甲、乙兩種水稻樣品中任取一株共有36中，利用列舉法能求出aG[180,

189]且be[180,189]的概率.

【解答】解：（1）由莖葉圖知：

1

甲種水稻樣本單株平均數(shù)為：1=182粒，

把樣本平均數(shù)看做總體平均數(shù)，則甲種水稻畝產(chǎn)約為:

]

60000X182X0.1X1000=1092（公斤）.

（2）甲種水稻樣品按從小到大編號(hào)為a”az…ac,乙種水稻樣品按從小到大編號(hào)為b”

b?…b(s,

分別從甲、乙兩種水稻樣品中任取一株共有36中，其中ad[180,189]且be[180,189]

有：

,,,,,共6種情況,

二甲種水稻樣本單株平均數(shù)為182?！敢?6-6.

x=5cost

{廠4sint(t為參數(shù))，

(1)化3為直角坐標(biāo)方程，化Cz為普通方程；

(2)若M為曲線C?上一動(dòng)點(diǎn)，N為曲線G上一動(dòng)點(diǎn)，求MN|的取值范圍.

參考答案：

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；配方法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程.

【分析】(1)直接根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式求解即可；

(2)利用已知，得到|MC?|-WlMCzl+1,然后,得到小?「=(5cos4>-1)

■+16sin"4)=9cos2<l>-lOcos4>+17,借助于三角函數(shù)的取值情況進(jìn)行求解即可.

【解答】解：⑴；曲線3：P=2cos。,

PJ2Pcos0,

/.x2+y2=2x,

故它的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0,

即：Ci：(x-1)2+y2=L

Jx=5cost

?.?曲線Cz：ly=4sint(t為參數(shù))，

f

X

cost二丁

5

?一工

：.sint-彳1為參數(shù))，

平方相加后可得：25|+16=I.

(2)設(shè)點(diǎn)M(5cost,4sint),則

|MC2|-1W|MNWlMCj+1,

222

MC2=(5cost-1)'+16sin't=9cost-10cost+17=9(cost-m)+9^1,

當(dāng)cost=-l時(shí)，得|MC2k=36,|MC2|.ax=6,

d鳴8A/2

當(dāng)COStV時(shí)，得,9LIMC2111in=3,

8&

3-IWlMCzl-1W|MN|W|MCz|+lW5+l,

8A/2

.?JMN|的取值范圍［三,6L

【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式、距離問(wèn)題處理思路和方法等知識(shí),

屬于中檔題.

21.(本小題滿分12分)

s2

已知函數(shù)/(x)-3-I--(o+1")1+r--3('aeJ?)

(1)若a＜。，求函數(shù)〃◎的極值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)。使得函數(shù)〃。在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，若存在，求出a的取值范

圍；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案：

八1)-￡-(4+1)“+1

(1)

(V卜1(汕

(L+9〉

a

/(￡)?T3T

幔卜。極大遇，

加).◎4"

(2)舟-"?如-1-(0~1/14>1)

6a*

/(2)=|(2a-l)

1當(dāng)“<2時(shí)?,/(力在剛上為增函數(shù)，在心】上為減函數(shù)，八°A產(chǎn)，

/0尸-1(。-1//(2)-；3-1)4。

0,3,

所以/(X)在區(qū)間［叫，(以上各有一個(gè)零點(diǎn)，即在［0?2］上有兩個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，/㈤在回1上為增函數(shù)，在(七)上為減函數(shù)，(1)上為增函

數(shù)，小尸卜，川尸加小，電卜^

"2'*-'X,所以/(x)只在區(qū)間【川上有一個(gè)零點(diǎn)，故在1°?2|上只有一個(gè)零

點(diǎn)；

2當(dāng)aX時(shí)，/(*)在,2上為增函數(shù)，在(?)上為減函數(shù)，(；)上為增函

數(shù)，

m)T<。mT(-)e所以

/(x)只在區(qū)間婚)上有一個(gè)零點(diǎn)，故在［0?2］上只有一個(gè)零點(diǎn)；

故存在實(shí)數(shù)4,當(dāng)"G時(shí)，函數(shù)/W在區(qū)間102|上有兩個(gè)零點(diǎn)。

22.在如圖所示的空間幾何體中，平面ACDJ_平面ABC,4ACD與AACB是邊長(zhǎng)為2的等邊

三角形，BE=2,BE和平面ABC所成的角為60°,且點(diǎn)E在平面ABC上的射影落在NABC的

平分線上.

(I)求證：DE〃平面ABC；

(II)求二面角E-BC-A的余弦值.

D

E

參考答案：

【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何

綜合題.

【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間向量及應(yīng)用.

【分析】（I）取AC中點(diǎn)0,連接BO,D0,由題設(shè)條件推導(dǎo)出DO,平面ABC,作EFL平

面ABC,由已知條件推導(dǎo)出/EBF=60°,由此能證明DE〃平面ABC.

（1【）法—：作FGLBC,垂足為G,連接EG,能推導(dǎo)出/EGF就是二面角E-BC-A的平

面角，由此能求出二面角E-BC-A的余弦值.

法二：以0A為x軸，以0B為y軸，以0D為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系0-xyz,利用向

量法能求出二面角E-BC-A的余弦值.

【解答】（本小題滿分12分）

解：