8.4.1平面

『知識導學』

知識點一平面的概念

平面的概念及表示

⑴概念：幾何里所說的“平面”是從生活中的物體中的，是的.

（2）平面的畫法：①常用，即平行四邊形表示平面.當平面水平放置時，常把平行四邊形的

一邊畫成；當平面豎直放置時，常把平行四邊形的一邊畫成.

如圖a.

②在畫兩個相交平面時，如果其中一個平面的一部分被另一個平面擋住，通常

,這樣可使畫出的圖形立體感更強一些.如圖b.

⑶表示法：可以用等來表示；用（表示平面的平行四邊形的相對的兩個頂點）來表示；用（表

示平面的平行四邊形的）來表示.

知識點二點、線、面之間的關系點、直線、平面之間的基本位置關系及語言表達

文字語言表達圖形語言表達符號語言表達

點A在宜線1上A1

?

點八在直線/外A_______

I

點A在平面a內/,k-網(wǎng)八Sa

.A

點A在平面a外z__/網(wǎng)―&a

直線/在平面a內J,一/Ua

宜線/在平面a外/y

平面a,相交于2加匠0=/

知識點三平面的基本性質

基本

內容圖形符號作用

事實

物八，B.C

過回不在一條用來

三點不共線

基本直線上的三個〃?確定

/a/B.4?C~/7=＞存在唯一

事實1虎，有且只有一一個

的平面a使

個平面平面

A,B,C€a

如果圓一條直網(wǎng)八用來

線上的兩個點畫Bei.且證明

基本

在一個平面內,國八6a,宜線

事實2Z57

那么這條直線國Be…在平

在這個平面內/UQ面內

如果跑兩個不

用來證

重合的平面有?Pe_a-

明空間

基本一個公共點，那=a

的點共

事實3么它們有且只口尸/,且P

線和線

有一條畫過該0

共點

點的公共直線

作用、

推論內容圖形符號

經(jīng)過一條宜線和A&BC=>存

這條直線外一在唯一的平

推論1

點，有且只有一面a使八e

個平面a,BCUa

々n6=p=1用來

經(jīng)過兩條相交直

存在唯一的確定

推論2線，有且只有一

平面a,使a一個

個平面

Ua,〃UQ平面

aHb令存在

經(jīng)過兩條平行直

唯一的平面

推論3線，有且只有一

a,使aUa，b

個平面

Ua

『新知拓展』

1.解決立體幾何問題首先應過好文字語言、符號語言和圖形語言三大語言關，即實現(xiàn)這三

種語言的相互轉換，正確理解集合符號所表示的幾何圖形的實際意義，恰當?shù)赜梅栒Z言描

述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來，再轉換為符號語言.文字語言和符號語言在

轉換的時候，要注意符號語言所代表的含義，作直觀圖時，要注意線的實虛.

2.對于證明幾點（或幾條直線）共面的問題，先由其中幾個點（或幾條直線）確定一個平面后,

再證明其他點（或直線）也在該平面內即可.

3.證明三點共線通常采用以下方法：（1）首先找出兩個平面，然后證明這三個點都是這兩個

平面的公共點，由基本事實3可知這些點都在交線上；（2）先由其中任意兩點確定一條直線，

再證明另一點也在這條直線上.

4.證明三線共點，可先由兩條直線交于一點，而這個點分別在兩個平面內，這兩個平面的

交線就是第三條直線，由基本事實3可知該點在第三條直線上，即三線共點.

『基礎自測』

1.判一判（正確的打W"，錯誤的打“x”）

（1）平行四邊形是一個平面.（）

⑵若AGq,aua,貝!|AGa.（）

（3）兩個平面的交線可能是一條線段.（）

⑷經(jīng)過一條直線和一個點，有且只有一個平面.（）

2.做一做

(1)如圖所示，用符號語言表示以下各概念:

①點A,B在直線a上：；

②直線a在平面a內：；

③點。在直線b上，點C在平面a內：.

(2)若平面a與平面￡相交于直線/，點AGa,則點A/；其理由是

⑶根據(jù)圖，填入相應的符號：A平面ABC,A平面BCD,BD平

面ABC,平面ABS平面ACO=.

『題型探究』

題型一平面概念的理解

例1(1)下列命題：①書桌面是平面；②8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚；③有

一個平面的長是50m,寬為20m；④平面是絕對平的、無厚度、可以無限延展的抽象的數(shù)

學概念.其中正確命題的個數(shù)為;

(2)下圖中的兩個相交平面，其中畫法正確的是.

『規(guī)律方法』平面概念的理解及特點

(1)平面是一個只描述而不定義的原始概念，它是由平時生活中常見的平面抽象出來的，是

理想的，是無限延展的，是無厚薄、大小的.

(2)要注意平面具有如下特點：

①平面是平的；②平面是沒有厚度的；③平面是無限延展而沒有邊界的；④平面是由空間的

點、線組成的無限集合；⑤平面圖形是空間圖形的重要組成部分.

『跟蹤訓練1』

下列四種說法正確的是.

①平面的形狀是平行四邊形；

②任何一個平面圖形都可以表示平面；

③平面ABCD的面積為100cm2；

④空間圖形中，后作的輔助線都是虛線.

題型二文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉化

例2根據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關系.

(1)點P與直線AB；

⑵點C與直線AB；

⑶點M與平面AC;

(4)點Ai與平面AC；

(5)直線AB與直線BC；

(6)直線AB與平面AC；

(7)平面AiB與平面AC.

『規(guī)律方法』三種語言的轉換方法

(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相

互之間的位置關系如何，試著先用文字語言表示，再用符號語言表示.

(2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別.

『跟蹤訓練2』

(1)把下列符號敘述所對應的圖形的字母編號填在題后橫線上.

@A^a,ac.a：；

②aC0=a,P莊a旦P在;

(§)aCa,af~la=A：；

④aC°=a,ar\y=c,￡Cy=b,aC\br\c=O：.

(2)根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關系，并畫出相應的圖形.

①Ada,B氏a；②/ua,mHa^A,Aih③P0,Pia,Q^l,Q^a.

題型三線共面問題

例3已知直線6〃c,且直線a與6,c都相交，求證：直線a,b,c共面.

『條件探究』在本例中，若直線a〃b〃c,直線lCb=B,/Cc=C,又該如何證

明直線a,b,c,/共面？

『規(guī)律方法』證明多線共面的兩種方法

(1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內.

(2)重合法：即先證明一些元素在一個平面內，再證明另一些元素在另一個平面內，然后證

明這兩個平面重合，即證得所有元素在同一個平面內.

『跟蹤訓練3』

下列說法中正確的是()

A.空間不同的三點確定一個平面

B.空間兩兩相交的三條直線確定一個平面

C.空間有三個角為直角的四邊形一定是平面圖形

D.和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內

題型四點共線問題

例4如圖，已知AABC的三個頂點都不在平面a內，它的三邊AB,BC,AC延長后分別交

平面a于點P,Q,R.

『規(guī)律方法』

點共線問題就是證明三個或三個以上的點在同一條直線上,主要依據(jù)是基本事實3.此類問題

的證明常用以下兩種方法：

(1)首先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)基本事實3知這些

點都在這兩個平面的交線上；

(2)選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在這條直線上.

『跟蹤訓練4』

如圖，在正方體ABCD—AiBiCQi中，點N,E,尸分別是棱CD,AB,DDi，上的

點，若MN與EF交于點、Q,求證：D,A,0三點共線.

題型五線共點問題

例5如圖，在三棱柱ABC—AiBCi中，81P=2以1，CiQ=2Qh.求證：直線A4i，BP,CQ

相交于一點.

『規(guī)律方法』證明線共點問題的步驟

證明三線共點的思路是：先證明兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過這個點，把問題

歸結為證明點在直線上的問題.

『跟蹤訓練5』

在四面體ABC。中，E,G分別為BC,A8的中點，尸在上，〃在上，MWDF：FC

=DH：HA=1：3.求證：EF,GH,3。交于一點.

『隨堂達標』

1.在空間中，下列結論正確的是（）

A.三角形確定一個平面

B.四邊形確定一個平面

C.一個點和一條直線確定一個平面

D.兩條直線確定一個平面

2.兩個平面若有三個公共點，則這兩個平面（）

A.相交B.重合

C.相交或重合D.以上都不對

3.三條兩兩平行的直線可以確定平面的個數(shù)為（）

A.0B.1C.0或1D.1或3

4.如圖，已知正方體ABCD-AiBGP.

⑴Acrwo=；

(2)平面ABC平面4G=；

(3)AiBiC\B[BC\B\Ci—.

5.如圖，AABC與△A/iG不全等，MA\B\//ABfB、C\〃BC,G4〃CA.求證：AA\,BBi，

CCi交于一點.

——★參*考*答*案★——

『知識導學』

知識點一平面的概念

(1)抽象出來向四周無限延展

⑵矩形的直觀圖橫向豎向

②把被擋住的部分畫成虛線或不畫

(3)希臘字母a,p,7兩個大寫的英文字母

四個大寫的英文字母四個頂點)

『基礎自測』

1.『答案」(l)x(2)Y(3)X(4)X

2.『答案」(1)①AGa,BWa②aua③D?b,C^a(2)e同時在兩個不重合平面

上的點一定在兩個平面的交線上(3)6在UAC

『題型探究』

題型一平面概念的理解

例1

M解析』』(1)由平面的概念，知它是平滑、無厚度、可無限延展的，可以判斷命題④正

確，其余的命題都不符合平面的概念，所以命題①、②、③都不正確.

(2)對于①，圖中沒有畫出平面a與平面￡的交線，另外圖中的實、虛也沒有按照畫法原則

去畫，因此①的畫法不正確.同樣的道理，也可知②、③圖形的畫法不正確，④中圖形的畫

法正確.

『『答案』」(1)1⑵④

『跟蹤訓練1』

『答案』②

『解析』①錯誤，通常用平行四邊形表示平面，但平面的形狀不一定是平行四邊形；③

錯誤，平面不能度量；④錯誤，看不到的線畫成虛線.

題型二文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉化

例2

『解』⑴P6A8

(2)CgAB.

(3)Me平面AC.

(4)A便平面AC.

(5)ABnBC=B.

(6)A8u平面AC.

⑺平面A/n平面AC^AB.

『跟蹤訓練2』

『答案」⑴①C②D③A?B⑵見『解析』

『解析』(2)①點A在平面a內，點8不在平面a內，如圖①.

②直線/在平面a內，直線相與平面a相交于點A,且點A不在直線/上，如圖②.

③直線/經(jīng)過平面a外一點尸和平面a內一點。，如圖③.

題型三線共面問題

例3

『證明』.,.不妨設6,c共面于平面a,

設anb=A,aC\c—B,.,.A^a,BGa,A^b,BGc,

又bua,.,.A^a,同理即qua,...三線共面.

『條件探究』

證明如圖所示.

'.'a//b,.,.a,6可確定一個平面a.

XlC\a=A,ir\b=B,

：.A^a,BGb,AEct,B^a.

；.ABua.又AG/,BGI,lea.

又6〃c,...b,c可確定一個平面少同理七夕.

???平面a,￡均經(jīng)過直線6,I,且b和/是兩條相交直線,

；?/與b確定的平面是唯一的.

'.a,b,c,l四線共面.

『跟蹤訓練3』

『答案』D

「解析」經(jīng)過同一條直線上的三點有無數(shù)個平面，故A不正確；當兩兩相交的三條直線

相交于一點時，可能確定三個平面，故B不正確；有三個角為直角的四邊形不一定是平面

圖形，如圖，在正方體ABCD—AiBiGA中，四邊形ACCQi滿足/ACCi=/CCQi=/GAA

=90。，但四邊形ACC15不是平面圖形，故C不正確；和同一條直線相交的三條平行直線

一定共面，故選D.

題型四點共線問題

例4

『證明』證法一：由已知AB的延長線交平面a于點P,

根據(jù)基本事實3,平面ABC與平面a必相交于一條直線，設為/.

直線AB,."e平面ABC.

又A8na=P,；.尸6平面a,

：.P是平面ABC與平面a的公共點.

「平面ABCna=/,同理，QWl,RGL

：.P,Q,R三點在同一條直線/上.

證法二：；APrUR=A,

直線AP與直線AR確定平面APR.

又A8na=P,ACHa^R,APRC\a^PR.

：Be平面APR,Ce平面APR,...BCu平面APR.

\"Q^BC,平面APR,又QGa,:.QGPR,

：.P,Q,R三點共線.

『跟蹤訓練4』

證明,:MNCEF=。,直線MN,QG直線EF,

又MG直線CD,Nd直線AB,

CDu平面ABC。，ABu平面A8CD

：.M,NG平面ABC。，ABCD.AQeABCD.

同理，可得EFu平面ADAAi，平面ADOiAi.

又平面ABCDn平面ADDAi^AD,

；.Qe直線A。，即。，A,Q三點共線.

題型五線共點問題

例5

『證明』如圖，連接PQ.

由BiP=2E4i,GQ=2Q4，得PQ〃8iG,且PQ=：BiG.

又BdiCi,：.PQ//BC,且P0=；BC,

.??四邊形BC。尸為梯形，.,.直線BP,CQ相交，

設交點為R,貝URG8P,RGCQ.

又BPu平面AAiBiB,CQu平面AAiCiC,

.?.7?6平面4418田，且RG平面AA1CC，

：.R在平面AA,B\B與平面A41GC的交線上，即R^AAi,

直線A4i，BP,C。相交于一點.

『跟蹤訓練5』

證明如圖所示，連接GE,HF.

■:E,G分別為BC,AB的中點，J.GE//