第四章圖形的相似4探索三角形相似的條件（第四課時(shí)）數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS課前導(dǎo)入數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版01課前預(yù)習(xí)1.一般地，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC（如圖），如果

，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段

AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比，這個(gè)比值為

，約為0.618.注意：一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn).

數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版02課前導(dǎo)入通過觀察，你覺得下面那副圖最有美感？

事物之間的和諧關(guān)系可以表現(xiàn)為某種恰當(dāng)?shù)谋壤P(guān)系.

黃金分割的概念一個(gè)五角星如下圖所示.問題：度量

C到點(diǎn)

A、B的距離，

與相等嗎？ACBABC點(diǎn)

C把線段

AB分成兩條線段

AC和

BC，如果，

那么稱線段

AB被點(diǎn)

C黃金分割.點(diǎn)

C叫做線段

AB的黃金分割點(diǎn)，AC與

AB的比稱為黃金比.概念學(xué)習(xí)1.計(jì)算黃金比.解：由，得

AC2

=AB·BC.設(shè)

AB=1，AC=x，則

BC=1

–

x.

∴x2=1×(1-

x)，即x2+x–1=0.解方程得：x1=(不合題意，舍去)，x2=.黃金比做一做2.如圖所示，已知線段

AB按照如下方法作圖:1.經(jīng)過點(diǎn)

B作

BD⊥AB，使

BD=

AB.2.連接

AD，在

AD上截取

DE=DB.3.在

AB上截取

AC=AE.思考：點(diǎn)

C是線段

AB的黃金分割點(diǎn)嗎?ABDEC∴點(diǎn)

C是線段

AB的黃金分割點(diǎn).巴臺(tái)農(nóng)神廟（ParthenomTemple）FCAEBD想一想：如果把圖中用虛線表示的矩形畫成如圖所示的矩形

ABCD，以矩形

ABCD

的寬為邊在其內(nèi)部作正方形

AEFD，那么我們可以驚奇地發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)

E是

AB

的黃金分割點(diǎn)嗎？矩形

ABCD的寬與長的比是黃金比嗎？為什么？點(diǎn)

E是

AB的黃金分割點(diǎn)矩形

ABCD的寬與長的比是黃金比寬與長的比等于黃金比的矩形也稱為黃金矩形.ABCDEF（即）是黃金比數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版03典例講練

（1）已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＞PB，則有（

B

）A.AB2＝AP·PBB.AP2＝AB·PBC.PB2＝AP·ABB

【點(diǎn)撥】在黃金分割線段中，較長線段的平方等于較短線段與原線段的乘積，一定要分清長線段和短線段.

【點(diǎn)撥】把一條線段黃金分割后，原線段、較長線段、較短線段中只要知道其中一條線段的長，就可以求出另外兩條線段的長，其計(jì)算過程就是多次運(yùn)用黃金比.

1.下列說法正確的是（

B

）A.每條線段有且僅有一個(gè)黃金分割點(diǎn)B.黃金分割點(diǎn)分一條線段為兩條線段，其中較長的線段約是這條線段的0.618C.若點(diǎn)C把線段AB黃金分割，則AC2＝AB·BCD.以上說法都不對(duì)B2.已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，若AC＞BC，BC＝2，則

AC＝

?.

第一步：作一個(gè)正方形ABCD；第二步：分別取AD，BC的中點(diǎn)M，N，連接MN；第三步：以點(diǎn)N為圓心，ND長為半徑畫弧，交BC的延長線于點(diǎn)

E；第四步：過點(diǎn)E作EF⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)F.

請(qǐng)你根據(jù)以上作法，證明矩形DCEF為黃金矩形.

【點(diǎn)撥】解答本題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)和黃金比的定義.求線段比例問題中，常先設(shè)出基本線段的長（如設(shè)BC＝CD＝2

a），再用其表示其他線段.

圖1圖2

如圖，以定線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連接

PD，在BA的延長線上取點(diǎn)F，使PF＝PD，以AF為邊作正方形

AMEF，點(diǎn)M在線段AD上（AM＞MD）.（1）求證：點(diǎn)M是線段AD的黃金分割點(diǎn).（2）作PN⊥PD交BC于點(diǎn)N，連接ND.

△

PDN與△BPN是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請(qǐng)說明理由.

（2）解：△PDN∽△BPN.

證明如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAP＝∠PBN＝90°.∴∠ADP＋∠APD＝90°.∵PN⊥PD，∴∠DPN＝90°.∴∠APD＋∠BPN＝90°.∴∠ADP＝∠BPN.

∴△DAP∽△PBN.

∵點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，∴AP＝PB.

又∵∠DPN＝∠PBN＝90°，∴△PDN∽△BPN.

如圖，用邊長為a的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對(duì)折正方形

ABDE得折痕MN，連接EN