九年級(jí)數(shù)學(xué)（上）人教版

探究四點(diǎn)共圓的條件（二）學(xué)習(xí)教案年級(jí)：九年級(jí)學(xué)科：數(shù)學(xué)上（人教）提出問(wèn)題經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A，B，

在平面內(nèi)作圓：提出問(wèn)題經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A，B，C，

在平面內(nèi)作圓：結(jié)論：不在同一條直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓.提出問(wèn)題經(jīng)過(guò)平面內(nèi)四點(diǎn)，

在平面內(nèi)作圓：過(guò)任意一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？探究猜想引例：過(guò)下列四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？正方形矩形平行四邊形等腰梯形直角梯形正方形過(guò)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，可以作一個(gè)圓.探究猜想引例：過(guò)下列四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？正方形矩形平行四邊形等腰梯形直角梯形矩形過(guò)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，可以作一個(gè)圓.平行四邊形過(guò)任意平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，不一定能作圓.探究猜想引例：過(guò)下列四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？正方形矩形平行四邊形等腰梯形直角梯形等腰梯形過(guò)等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)，可以作一個(gè)圓.探究猜想引例：過(guò)下列四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？正方形矩形平行四邊形等腰梯形直角梯形直角梯形過(guò)直角梯形的四個(gè)頂點(diǎn)，不能作圓.探究猜想引例：過(guò)下列四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？正方形矩形平行四邊形等腰梯形直角梯形探究猜想正方形矩形等腰梯形正方形、矩形、等腰梯形有哪些共同特征？具有這些特征的其它四邊形，經(jīng)過(guò)它的四個(gè)頂點(diǎn)是否一定能作一個(gè)圓？探究猜想猜想1：有一組對(duì)邊平行的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.反例：平行四邊形，直角梯形等.探究猜想矩形有____個(gè)角是直角的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.三個(gè)直角四邊形兩個(gè)直角？探究猜想猜想2：有兩個(gè)角是直角的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.分析：當(dāng)兩個(gè)直角相鄰時(shí)，由直角梯形可知，

四個(gè)頂點(diǎn)不一定共圓.當(dāng)兩個(gè)直角相對(duì)時(shí)，如圖.連接BD，作BD的中點(diǎn)O，

連接OA，OC，則OA=OB=OD=OC，

所以A，B，C，D在以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓上.探究猜想變式證明四點(diǎn)共圓的方法（1）圓的定義.（2）結(jié)論：共斜邊的兩個(gè)直角三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.探究猜想正方形矩形等腰梯形有一組對(duì)角是直角?如圖，若四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，則∠A+∠C=∠B+∠D=180°.對(duì)角互補(bǔ)證明結(jié)論猜想3：經(jīng)過(guò)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，可以作一個(gè)圓.已知：四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°.求證：A，B，C，D四點(diǎn)共圓.證明結(jié)論分析：證明結(jié)論證明：過(guò)A，B，C三點(diǎn)作⊙O，假設(shè)點(diǎn)D不在⊙O上，則點(diǎn)D在⊙O內(nèi)或點(diǎn)D在⊙O外.證明結(jié)論①若點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，延長(zhǎng)AD交⊙O于E，連接CE，則∠B+∠E=180°.又∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC=∠E.這與△CDE中，∠ADC>∠E矛盾，所以點(diǎn)D不在⊙O內(nèi).證明結(jié)論②若點(diǎn)D在⊙O外，….綜上，假設(shè)不成立，即點(diǎn)D在過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓上.想一想，如何說(shuō)明點(diǎn)D在圓外的情形不成立？方法小結(jié)（3）結(jié)論：經(jīng)過(guò)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，可以作一個(gè)圓.證明四點(diǎn)共圓的方法（1）圓的定義.（2）共斜邊的兩個(gè)直角三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.運(yùn)用遷移例題：三角形的三條高線交于一點(diǎn).已知：如圖，△ABC的兩條高BD，CE交于點(diǎn)H，連接AH并延長(zhǎng)交BC于F.求證：AF⊥BC.運(yùn)用遷移證明：連接DE.

∵BD，CE是△ABC的高，

∴∠AEH=∠BEC=∠ADH=∠CDB=90°.

∴A，E，H，D四點(diǎn)共圓，

B，E，D，C四點(diǎn)共圓.

∴∠1=∠2=∠3.

∵∠1+∠ADH=∠3+∠BFH，

∴∠BFH=∠ADH=90°.

∴AF⊥BC.運(yùn)用遷移例題：如圖，∠ABC=∠ADC.求證：A，B，C，D四點(diǎn)共圓.運(yùn)用遷移方法1：把A，B，C，D看作四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，證明其對(duì)角互補(bǔ).運(yùn)用遷移證明：連接BD.

∵∠1=∠2，∠AED=∠CEB，

∴△ADE∽△CBE，∠3=∠4.

∴DE:BE=AE:CE.

又∵∠BED=∠CEA，

∴△BDE∽△CAE.

∴∠5=∠6，∠7=∠8.

∴四邊形ADBC中，∠CAD+∠DBC=360°÷2=180°.

∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓.這里提前用到了相似三角形的知識(shí).運(yùn)用遷移運(yùn)用遷移方法1：把A，B，C，D看作四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，證明其對(duì)角互補(bǔ).方法2：反證法.運(yùn)用遷移證明：過(guò)A，B，C三點(diǎn)作⊙O，假設(shè)點(diǎn)D不在⊙O上，則點(diǎn)D在⊙O內(nèi)或點(diǎn)D在⊙O外.請(qǐng)自己完成后面的證明！課堂小結(jié)遞歸過(guò)一個(gè)點(diǎn)作圓過(guò)兩個(gè)點(diǎn)作圓過(guò)三個(gè)點(diǎn)作圓過(guò)四個(gè)點(diǎn)作圓從特殊到一般∠B+∠D=180°探索真理比占有真理更為可貴?！獝垡蛩固?歸納整理你可以用哪些方法證明四點(diǎn)共圓？課堂小結(jié)2繼續(xù)探索如果要證明五個(gè)或五個(gè)以上的點(diǎn)共圓，可以怎樣做？布置作業(yè)如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，添加下列條件中的一個(gè)后，不一定使A、B、C、D四點(diǎn)共圓的是（

）.

（A）∠B+∠D=180°

（B）∠A=∠BCD

（C）∠A=∠DCE

（D）∠A=∠BCD=90°布置作業(yè)如圖，將一個(gè)含45°角的直角三角板ABC和一個(gè)含30°角的直角三角板ADC拼在一起，斜邊AC恰好重合，點(diǎn)B，