題型1線面垂直的判定定理的應(yīng)用解析1．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β，且mαB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥βα⊥β，且mαmβ，或m∥β，或m與β相交，故A不正確；m∥n，且n⊥βm⊥β，故B正確；α⊥β，且m∥αmβ，或m∥β，或m與β相交，故C不正確；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不一定成立，故D不正確．故選B.B2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型1線面垂直的判定定理的應(yīng)用解析2．下列四個(gè)命題中，正確的是()①若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線與這個(gè)平面垂直；②若一條直線平行于一個(gè)平面，則垂直于這條直線的直線必垂直于這個(gè)平面；③若一條直線平行于一個(gè)平面，另一條直線垂直于這個(gè)平面，則這兩條直線互相垂直；④若兩條直線垂直，則過其中一條直線有唯一一個(gè)平面與另一條直線垂直．A．①②B．②③C．②④D．③④若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線時(shí)，這條直線可能在這個(gè)平面內(nèi)、也可能與這個(gè)平面相交，所以①錯(cuò)誤；若一條直線平行于一個(gè)平面，垂直于這條直線的直線可能與這個(gè)平面相交、平行、也可能在這個(gè)平面內(nèi)，所以②錯(cuò)誤；若一條直線平行于一個(gè)平面，則該平面內(nèi)必有一條直線與之平行，另一條直線垂直于這個(gè)平面，則該直線與平面內(nèi)的直線垂直，從而這兩條直線互相垂直，所以③正確；若兩條直線垂直，在其中一條直線上取一點(diǎn)，過該點(diǎn)作另一條直線的垂線，則這兩條相交直線確定的平面與另一條直線垂直，且平面唯一，所以④正確．D2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型1線面垂直的判定定理的應(yīng)用解析3．給出下列條件(其中l(wèi)為直線，α為平面)：①l垂直于α內(nèi)的一五邊形的兩條邊；②l垂直于α內(nèi)三條不都平行的直線；③l垂直于α內(nèi)無數(shù)條直線；④l垂直于α內(nèi)正六邊形的三條邊．其中能夠推出l⊥α的條件的所有序號(hào)是()A．②B．①③C．②④D．③如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直．①③都有可能垂直的是平面α內(nèi)的平行直線，不能推出l⊥α.而②④能推出l⊥α.故選C.C2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型1線面垂直的判定定理的應(yīng)用解析4．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H為垂足，則B1H與平面AD1C的位置關(guān)系是()A．垂直B．平行C．斜交D．以上都不對(duì)連接B1D1，BD.∵幾何體ABCD－A1B1C1D1是正方體，底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵B1B⊥AC，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BDD1B1.∵B1H平面BDD1B1，∴AC⊥B1H.∵B1H⊥D1O，AC∩D1O＝O，∴B1H⊥平面AD1C.A2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型1線面垂直的判定定理的應(yīng)用解析5．已知直線m，n是異面直線，則過直線n且與直線m垂直的平面()A．有且只有一個(gè)B．至多有一個(gè)C．有一個(gè)或無數(shù)個(gè)D．不存在若異面直線m，n垂直，則符合要求的平面有一個(gè)，否則不存在．B2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型1線面垂直的判定定理的應(yīng)用解析6．[河北唐山2019高二期末]如圖，在以下四個(gè)正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是()

A．①②B．②④C．①③D．②③對(duì)于①，易證AB與CE所成角為45°，所以直線AB與平面CDE不垂直；對(duì)于②，易證AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE；對(duì)于③，易證AB與CE所成角為60°，所以直線AB與平面CDE不垂直；對(duì)于④，易證ED⊥平面ABC，得ED⊥AB，易證EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE.故選B.B2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型1線面垂直的判定定理的應(yīng)用證明7．[遼寧錦州2019高一檢測]如圖，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.(1)求證：PC⊥平面AEF；(2)設(shè)平面AEF交PD于G，求證：AG⊥PD.(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PA⊥BC.又因?yàn)锳B⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.又因?yàn)锳E平面PAB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC.又因?yàn)镻C平面PBC，所以AE⊥PC.又因?yàn)镻C⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，所以PC⊥AG.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.又因?yàn)锳D⊥CD，AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.又因?yàn)锳G平面PAD，所以CD⊥AG.又因?yàn)镻C∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD.又因?yàn)镻D平面PCD，所以AG⊥PD.2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型2面面垂直的判定定理及其應(yīng)用解析8．[湖南衡陽第一中學(xué)2019高一期末]如圖，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AD＝AB＝BC＝1，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD.在四面體ABCD中，下列說法正確的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ACD⊥平面ABCC．平面ABC⊥平面BCDD．平面ACD⊥平面BCD在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1/2BC＝1，∠A＝90°，∴BD＝，BC＝2，∠DBC＝45°.由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC＝2，∴BD2＋CD2＝BC2，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB.又由AD⊥AB，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD.又∵AB平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.故選B.B2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型2面面垂直的判定定理及其應(yīng)用證明9．如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)．求證：平面EFG⊥平面EMN.∵E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，∴EF∥PA.∵AB⊥PA，∴AB⊥EF.同理，AB⊥FG.∵EF∩FG＝F，EF平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，∴AB⊥平面EFG.∵M(jìn)，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，∴MN∥CD.∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴MN⊥平面EFG.∵M(jìn)N平面EMN，∴平面EFG⊥平面EMN.2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型2面面垂直的判定定理及其應(yīng)用證明9．如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)．求證：平面EFG⊥平面EMN.∵E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，∴EF∥PA.∵AB⊥PA，∴AB⊥EF.同理，AB⊥FG.∵EF∩FG＝F，EF平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，∴AB⊥平面EFG.∵M(jìn)，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，∴MN∥CD.∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴MN⊥平面EFG.∵M(jìn)N平面EMN，∴平面EFG⊥平面EMN.2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型2面面垂直的判定定理及其應(yīng)用10．[遼寧葫蘆島一中2019高一月考]如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是DC的中點(diǎn)，以AE為折痕將△ADE向上折起，使點(diǎn)D到點(diǎn)P的位置，且PC＝PB.(1)若F是BP的中點(diǎn)，求證：CF∥平面APE；(2)求證：平面APE⊥平面ABCE.2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型2面面垂直的判定定理及其應(yīng)用證明(1)取AB的中點(diǎn)G，連接GF，GC.因?yàn)镋C∥AG，EC＝AG，所以四邊形AECG為平行四邊形，所以AE∥GC.在△ABP中，F(xiàn)，G分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以GF∥AP，因?yàn)镚F∩GC＝G，AE∩AP＝A，所以平面APE∥平面FGC.又因?yàn)镃F平面FGC，所以CF∥平面APE.(2)取AE的中點(diǎn)O，連接PO，又因?yàn)镻A＝PE，所以PO⊥AE.取BC的中點(diǎn)H，連接OH，PH，所以O(shè)H∥AB，所以O(shè)H⊥BC.因?yàn)镻B＝PC，所以BC⊥PH.又因?yàn)镻H∩OH＝H，所以BC⊥平面POH，所以BC⊥PO.因?yàn)锽C與AE相交，所以PO⊥平面ABCE.又因?yàn)镻O平面APE，所以平面APE⊥平面ABCE.2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型2面面垂直的判定定理及其應(yīng)用證明11．[江蘇南通2018第一次調(diào)研測試]如圖，在三棱錐P－ABC中，AB⊥PC，CA＝CB，M是AB的中點(diǎn)．點(diǎn)N在棱PC上，點(diǎn)D是BN的中點(diǎn)．求證：(1)MD∥平面PAC；(2)平面ABN⊥平面PMC.(1)在△ABN中，M是AB的中點(diǎn)，D是BN的中點(diǎn)，所以MD∥AN.又因?yàn)锳N平面PAC，MD平面PAC，所以MD∥平面PAC.(2)在△ABC中，CA＝CB，M是AB的中點(diǎn)，所以AB⊥MC.又因?yàn)锳B⊥PC，PC平面PMC，MC平面PMC，PC∩MC＝C，所以AB⊥平面PMC.又因?yàn)锳B平面ABN，所以平面ABN⊥平面PMC.2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型3直線與平面所成的角解析12．直線a與平面α所成的角為50°，直線b∥a，則直線b與平面α所成的角等于()A．40°B．50°C．90°D．150°根據(jù)兩條平行直線和同一平面所成的角相等，知b與α所成的角也是50°.B2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型3直線與平面所成的角13．[山西運(yùn)城中學(xué)、芮城中學(xué)2019高二期中聯(lián)考]如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，H為EF的中點(diǎn)，沿AE，EF，F(xiàn)A將正方形折起，使B，C，D重合于點(diǎn)O，在構(gòu)成的四面體OAEF中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．AO⊥平面EOFB．直線AH與平面EOF所成角的正切值為C．四面體OAEF的內(nèi)切球表面積為πD．異面直線OH與AE所成角的余弦值為2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型3直線與平面所成的角13．[山西運(yùn)城中學(xué)、芮城中學(xué)2019高二期中聯(lián)考]如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，H為EF的中點(diǎn)，沿AE，EF，F(xiàn)A將正方形折起，使B，C，D重合于點(diǎn)O，在構(gòu)成的四面體OAEF中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．AO⊥平面EOFB．直線AH與平面EOF所成角的正切值為C．四面體OAEF的內(nèi)切球表面積為πD．異面直線OH與AE所成角的余弦值為2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型3直線與平面所成的角解析翻折前，AB⊥BE，AD⊥DF，故翻折后，OA⊥OE，OA⊥OF，又OE∩OF＝O，∴AO⊥平面EOF，故A正確．連接OH，AH，如圖，則∠OHA為AH與平面EOF所成的角，∵OE＝OF＝1，EF，H是EF的中點(diǎn)，∴OE⊥OF，∴OH＝1/2EF＝.又∵OA＝2，∴tan∠OHA＝＝2，故B正確．設(shè)四面體OAEF的表面積為S，體積為V，內(nèi)切球半徑為r，則V＝1/3S·r，又∵V＝1/3S△OEF×OA＝1/3×1/2×1×1×2＝1/3，S＝2×1/2×1×2＋1/2×1×1＋1/2××＝4，∴4r/3＝1/3，解得r＝1/4，∴內(nèi)切球的表面積為4πr2＝π/4，故C錯(cuò)誤．取AF的中點(diǎn)P，連接OP，HP，∵點(diǎn)P是AF的中點(diǎn)，點(diǎn)H是EF的中點(diǎn)，所以PH∥AE，∴∠OHP為異面直線OH與AE所成的角或補(bǔ)角，∵OE＝OF＝1，OA＝2，∴OP＝1/2AF＝，PH＝1/2AE＝，OH＝，∴cos∠OHP＝，故D正確．故選C.2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型3直線與平面所成的角解析14．若斜線段AB是它在平面α上的射影的長的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°斜線段、垂線段以及射影構(gòu)成直角三角形．如圖所示，∠ABO即是斜線段AB與平面α所成的角．因?yàn)锳B＝2BO，所以cos∠ABO＝，所以∠ABO＝60°.A2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型3直線與平面所成的角解析15．[福建南平2019高二期末]正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB1與平面ABC1D1所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．90°如圖，連接B1C交BC1于點(diǎn)E，連接AE.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，易證B1C⊥平面ABC1D1，所以AB1與平面ABC1D1所成的角為∠B1AE.設(shè)正方體的棱長為a，在△B1AE中，AB1＝a，B1E＝a，所以sin∠B1AE＝，所以∠B1AE＝30°，故選A.A2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型4二面角解析16．給出下列命題：①兩個(gè)相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直，則a，b所成的角與這個(gè)二面角相等或互補(bǔ)；③二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線所成角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒有關(guān)系．其中真命題是()A．①③B．②④C．③④D．①②對(duì)于①，顯然混淆了平面與半平面的概念，是錯(cuò)誤的；對(duì)于②，因?yàn)閍，b分別垂直于兩個(gè)面，所以也垂直于二面角的棱，但由于異面直線所成的角為銳角(或直角)，所以應(yīng)是相等或互補(bǔ)，是正確的；對(duì)于③，因?yàn)樗魃渚€不一定垂直于棱，所以是錯(cuò)誤的；④是正確的．故選B.B2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型4二面角解析17．從空間一點(diǎn)P向二面角α－l－β的兩個(gè)面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足．若∠EPF＝60°，則二面角的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不確定若點(diǎn)P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為120°；若點(diǎn)P在二面角外，則二面角的平面角為60°.C2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型4二面角解析18．[山西運(yùn)城中學(xué)、芮城中學(xué)2019高二期中聯(lián)考]三棱錐V－ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝，VC＝1，則二面角V－AB－C等于()A．30°B．45°C．60°D．90°取AB中點(diǎn)O，連接VO，CO.由題知在三棱錐V－ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝，VC＝1，∴VO⊥AB，CO⊥AB，∴∠VOC是二面角V－AB－C的平面角．∵VO＝＝1，CO＝＝1，∴VO＝OC＝VC＝1，△VOC為等邊三角形．∴∠VOC＝60°，∴二面角V－AB－C等于60°，故選C.C2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

題型4二面角解析19．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面C1D1AB與底面ABCD所成二面角C1－AB－C的大小為________．∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC為二面角C1－AB－C的平面角，大小為45°.45°2.3.1+2.3.2

刷基礎(chǔ)

解析1．一條直線和三角形的兩邊同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不確定由直線與平面垂直的判定定理知，已知直線與三角形所在的平面垂直．由直線與平面垂直的定義知，已知直線與三角形的第三邊垂直．B2.3.1+2.3.2

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解析3．空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，則有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.D2.3.1+2.3.2

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解析4．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，若動(dòng)點(diǎn)P始終滿足PE⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A．直線B．線段C．圓的一部分D．橢圓的一部分分別取BC，BB1的中點(diǎn)F，G.連接EF，F(xiàn)G，EG.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，易證BD1⊥平面EFG.所以點(diǎn)P在平面EFG內(nèi)，又點(diǎn)P在側(cè)面BB1C1C及其邊界上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)P的軌跡為平面EFG與平面BB1C1C的交線段FG.故選B.B2.3.1+2.3.2

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解析5．已知P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA，PB，PC兩兩垂直，且P在△ABC所在平面內(nèi)的射影H在△ABC內(nèi)，則H一定是△ABC的()A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心連接AH并延長，交BC于D，連接BH并延長，交AC于E.因?yàn)镻A⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC，故PA⊥BC.因?yàn)镻H⊥平面ABC，所以PH⊥BC.因?yàn)镻A∩PH＝P，所以BC⊥平面PAH，故AH⊥BC，即AD⊥BC.同理可得BE⊥AC，故H是△ABC的垂心．故選C.C2.3.1+2.3.2

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解析6．[遼寧沈陽東北育才學(xué)校2019高二第二次月考]邊長為1的正方形ABCD，將△ABC沿對(duì)角線AC折起，使△ABD為等邊三角形，則直線BD和平面ABC所成的角的大小為()A．90°B．60°C．45°D．30°取AC的中點(diǎn)O，連接BO，DO.由題意得AC⊥BO，AC⊥DO，∴AC⊥平面DOB.∵正方形的邊長為1，∴OB＝OD＝OC＝.∵△ABD為等邊三角形，∴AB＝AD＝DB＝1，∴OD2＋OB2＝BD2，∴OD⊥OB.又∵OB∩AC＝O，∴OD⊥平面ABC.∴∠DBO是直線BD和平面ABC所成的角，大小為45°.故選C.C2.3.1+2.3.2

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解析7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E為DC邊的中點(diǎn)，沿AE將△ADE折起．在折起過程中，下列結(jié)論正確的有()①ED⊥平面ACE；②CD⊥平面BEC；③BD⊥平面ACE；④AD⊥平面BEC.A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E為DC邊的中點(diǎn)，∴在折起過程中，點(diǎn)D在平面BCE上的投影如圖．∵DE的投影與AC所成的角不能為直角，∴DE不會(huì)垂直于平面ACE，故①錯(cuò)誤；只有點(diǎn)D的投影位于O2位置時(shí)，即平面AED與平面AEB重合時(shí)，才有BE⊥CD，此時(shí)CD不垂直于平面AEBC.故CD與平面BEC不垂直，故②錯(cuò)誤；BD與AC所成的角不能是直角，∴BD不能垂直于平面ACE.故③錯(cuò)誤；∵AE⊥EB，∴在折起過程中，有AD的投影垂直于BE，∴存在一個(gè)位置使AD⊥BE，∴在折起過程中，AD⊥平面BEC，故④正確．故選A.A2.3.1+2.3.2

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解析8．[山東淄博一中2019高一月考]如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝CC1，點(diǎn)D，O分別是AB，BC1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．AC1與平面ABC所成的角為60°B．AC1∥平面CDB1C．AC1與BB1所成的角為45°D．AC1∥ODA中，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∴∠C1AC是AC1與平面ABC所成的角．∵AC＝CC1，∴∠C1AC＝45°，∴AC1與平面ABC所成的角為45°，故A錯(cuò)誤．B中，∵點(diǎn)D，O分別是AB，BC1的中點(diǎn)，∴OD∥AC1.∵OD平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1，故B，D正確．C中，∵CC1∥BB1，∴∠AC1C是AC1與BB1所成的角．∵AC＝CC1，∴∠AC1C＝45°，∴AC1與BB1所成的角為45°，故C正確．故選A.A2.3.1+2.3.2

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解析9．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為A1B1的中點(diǎn)，則AE與平面ABC1D1所成角的正弦值為________．取CD的中點(diǎn)F，連接EF，交平面ABC1D1于點(diǎn)O，連接AO.由已知正方體易知EO⊥平面ABC1D1，所以∠EAO為AE與平面ABC1D1所成的角．設(shè)正方體的棱長為1，在Rt△EOA中，EO＝1/2EF＝1/2A1D＝，AE＝，sin∠EAO＝，所以直線AE與平面ABC1D1所成角的正弦值為.2.3.1+2.3.2

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解析10．如圖，P是二面角α－AB－β的棱AB上一點(diǎn)，分別在α，β上引射線PM，PN，截PM＝PN.若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，則二面角α－AB－β的大小是________．在α內(nèi)過點(diǎn)M作MO⊥AB于點(diǎn)O，連接NO，設(shè)PM＝PN＝a.∵∠BPM＝∠BPN＝45°，∴△OPM≌△OPN，∴NO⊥AB，∴∠MON為二面角α－AB－β的平面角．連接MN.∵∠MPN＝60°，∴MN＝a.又∵M(jìn)O＝NO＝a，∴MO2＋NO2＝MN2，∴∠MON＝90°.90°2.3.1+2.3.2

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解析11．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等．若點(diǎn)A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成的角的正弦值等于________．由題意令三棱柱ABC－A1B1C1的棱長為2.如圖，∵A1在底面ABC內(nèi)的射影D為△ABC的中心，∴DA＝.由勾股定理，得A1D＝.過點(diǎn)B1作B1E⊥平面ABC，連接AE，則∠B1AE為AB1與底面ABC所成的角，且B1E＝A1D＝.作A1S⊥AB于點(diǎn)S，連接SD.∵A1D⊥底面ABC，AB平面ABC，∴A1D⊥AB.∵SD∩A1S＝S，∴AB⊥平面A1SD.∵SD平面A1SD，∴SD⊥AB.∴S為AB的中點(diǎn)．∴A1S＝.∴AB1＝.∴AB1與底面ABC所成的角的正弦值sin∠B1AE＝.2.3.1+2.3.2

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易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)線面、面面垂直的判定定理理解不到位致誤12．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，過點(diǎn)A作平面A1BD的垂線，垂足為點(diǎn)H，有下面三個(gè)結(jié)論：①點(diǎn)H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③直線AC1與直線B1C所成的角是90°.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．2.3.1+2.3.2

刷易錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)線面、面面垂直的判定定理理解不到位致誤13．如圖，點(diǎn)P在正方體ABCD－A1B1C1D1的面對(duì)角線BC1上運(yùn)動(dòng)，則下面四個(gè)結(jié)論：①三棱錐A－D1PC的體積不變；②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正確的結(jié)論的序號(hào)是___________．(寫出所有你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào))2.3.1+2.3.2

刷易錯(cuò)

Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)線面、面面垂直的判定定理理解不到位致誤12．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，過點(diǎn)A作平面A1BD的垂線，垂足為點(diǎn)H，有下面三個(gè)結(jié)論：①點(diǎn)H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③直線AC1與直線B1C所成的角是90°.其中正確結(jié)