第二章平面向量2.1平面向量的實際背景及基本概念必備知識·自主學習1.向量的定義與表示(1)定義:既有_____又有_____的量叫做向量.導思(1)我們在物理中學習了位移、速度、力等,這些量與我們日常生活中的年齡、身高、體重、面積、體積等有什么區(qū)別?(2)如何形象、直觀地表示既有大小,又有方向的量?(3)“若a∥b,且b∥c,則a∥c”這個說法對嗎?大小方向(2)表示方法:①幾何表示法:用以A為起點,以B為終點作的有向線段____表示.②字母表示法:在印刷時,用黑體小寫字母a,b,c…表示向量,手寫時,可寫成帶箭頭的小寫字母…(3)向量的模:向量的大小叫做向量的_____或___,如a,的模分別記作____,______.長度模|a|||【思考】(1)定義中的“大小”與“方向”分別描述了向量的哪方面的特性?只描述其中一個方面可以嗎?提示:向量不僅有大小,而且有方向.大小是代數(shù)特征,方向是幾何特征.看一個量是否為向量,就要看它是否具備了大小和方向兩個要素,二者缺一不可.(2)由向量的幾何表示方法我們該如何準確地畫出向量?提示:要準確畫出向量,應先確定向量的起點,再確定向量的方向,最后根據(jù)向量的大小確定向量的終點.2.特殊向量(1)零向量:___________的向量叫做零向量,記作0.(2)單位向量:____________________的向量叫做單位向量.(3)相等向量:_________且_________的向量叫做相等向量.向量a與b相等,記作a=b.(4)平行向量或共線向量:方向___________的非零向量叫做平行向量,也叫做共線向量.向量a平行于b,記作a∥b.規(guī)定_______平行于任何向量.長度等于零長度(或模)為1個單位長度相等相同或相反零向量方向相同【思考】(1)0與0相同嗎?0是不是沒有方向?提示:0與0不同,0是一個實數(shù),0是一個向量,且|0|=0.0有方向,其方向是任意的.(2)若a=b,則兩向量在大小與方向上有何關系?提示:若a=b,意味著|a|=|b|,且a與b的方向相同.(3)“向量平行”與“幾何中的平行”一樣嗎?提示:向量平行與幾何中的平行不同,向量平行包括基線重合的情況,故也稱向量共線.(2)若a=b,則兩向量在大小與方向上有何關系?提示:若a=b,意味著|a|=|b|,且a與b的方向相同.(3)“向量平行”與“幾何中的平行”一樣嗎?提示:向量平行與幾何中的平行不同,向量平行包括基線重合的情況,故也稱向量共線.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)兩個有共同起點,且長度相等的向量,它們的終點相同. (

)(2)任意兩個單位向量都相等. (

)(3)平行向量的方向相同或相反. (

)(4)若,則A,B,C,D四點是平行四邊形的四個頂點. (

)提示:(1)×.兩個有共同起點,且長度相等的向量,方向不一定相同,其終點也不一定相同.(2)×.任意兩個單位向量只有長度相等,方向不一定相同,故不一定相等.(3)√.由平行向量的定義可知.(4)×.若,則A,B,C,D也可能落在同一條直線上.2.下列物理量:①位移;②力;③加速度;④路程;⑤密度.其中不是向量的有 (

)

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【解析】選B.①②③既有大小,又有方向,是向量;④⑤只有大小,沒有方向,不是向量.3.(教材二次開發(fā):習題改編)如圖,設O是正六邊形ABCDEF的中心,則選項中與相等的向量是 (

)

【解析】選D.由題圖知,與相等的向量是:關鍵能力·合作學習類型一向量的概念、零向量、單位向量(數(shù)學抽象、直觀想象)【題組訓練】1.以下選項中,都是向量的是 (

)

A.正弦線、海拔 B.質量、摩擦力C.三角形的邊長、體積 D.余弦線、速度關鍵能力·合作學習類型一向量的概念、零向量、單位向量(數(shù)學抽象、直觀想象)【題組訓練】1.以下選項中,都是向量的是 (

)

A.正弦線、海拔 B.質量、摩擦力C.三角形的邊長、體積 D.余弦線、速度2.下列說法中正確的是 (

)A.數(shù)量可以比較大小,向量也可以比較大小B.方向不同的向量不能比較大小,但同向的向量可以比較大小C.向量的大小與方向有關D.向量的?？梢员容^大小3.給出下列說法:①零向量是沒有方向的;②零向量的方向是任意的;③單位向量的模都相等,其中正確的是________(填上序號).

【解析】1.選D.三角函數(shù)線、摩擦力、速度既有大小又有方向,是向量;海拔、質量、三角形的邊長、體積只有大小沒有方向,不是向量.2.選D.不管向量的方向如何,它們都不能比較大小,故A,B不正確;向量的大小即為向量的模,指的是有向線段的長度,與方向無關,故C不正確;向量的模是一個數(shù)量,可以比較大小,故D正確.3.由零向量的方向是任意的,知①錯誤,②正確;由單位向量的模是1,知③正確.答案:②③【解題策略】1.判斷一個量是否為向量的兩個關鍵條件關鍵看它是否具備向量的兩要素:(1)有大小.(2)有方向.兩個條件缺一不可.2.理解零向量和單位向量應注意的問題(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.(2)單位向量不一定相等,易忽略向量的方向.提醒:兩個單位向量的長度相等,但這兩個單位向量不一定相等.【補償訓練】下列說法正確的是 (

)A.有向線段與表示同一向量B.兩個有公共終點的向量是平行向量C.零向量與任意向量共線D.對任意向量a,是一個單位向量【解析】選C.向量與方向相反,不是同一向量,A錯誤;有公共終點的向量的方向不一定相同或相反,B錯誤;當a=0時,無意義,D錯誤;零向量與任何向量都是共線向量,C正確.類型二相等向量與共線向量(數(shù)學抽象、直觀想象)【題組訓練】1.已知點O為正方形ABCD的對角線的交點,四邊形OAED,OCFB都是正方形,表示出各向量,如圖所示.(1)與相等的向量有________,與相等的向量有________.

(2)與共線的向量有________.

(3)與的模相等的向量有________.

2.(2020·包頭高一檢測)下列說法正確的是 (

)A.向量a與b共線,向量b與c共線,則向量a與c共線B.向量a與b不共線,向量b與c不共線,則向量a與c不共線C.向量與是共線向量,則A,B,C,D四點一定共線D.向量a與b不共線,則a與b都是非零向量【解析】1.(1)根據(jù)相等向量的定義可知=,=.(2)根據(jù)共線向量的定義可知,與共線的向量為(3)易知答案:(1)

(2)(3)2.選D.當b=0時,A不對;如圖,a=,c=,b與a,b與c均不共線,但a與c共線,所以B錯.

在?ABCD中,與共線,但A,B,C,D四點不共線,所以C錯;若a與b有一個為零向量,則a與b一定共線,所以a,b不共線時,一定有a與b都是非零向量.【解題策略】(1)尋找相等向量的方法:先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量,再確定哪些是同向且共線的.(2)尋找共線向量的方法:先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構造同向或反向的向量.(3)共線向量與相等向量的關系:相等向量一定是共線向量,但共線向量不一定是相等向量.若兩向量相等,則兩向量方向相同,模相等;若兩向量共線,則兩向量方向相同或相反.【補償訓練】1.在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,對角線AC與BD相交于點O,EF是過點O且平行于AB的線段,在所標的向量中:(1)寫出與共線的向量.(2)寫出與方向相同的向量.(3)寫出與,的模相等的向量.(4)寫出與相等的向量.【解析】等腰梯形ABCD中,AB∥CD∥EF,AD=BC.(1)題圖中與共線的向量有(2)題圖中與方向相同的向量有(3)題圖中與的模相等的向量為,與的模相等的向量為.(4)題圖中與相等的向量為.2.四邊形ABCD為邊長為3的正方形,把各邊三等分后,共有16個交點,從中選取兩個交點作為向量,則與平行且長度為的向量個數(shù)有________個.

【解析】如圖所示,滿足與平行且長度為的向量有

,共8個,

答案:8類型三向量的表示與應用(數(shù)學運算、邏輯推理)

角度1幾何應用

【典例】如圖的方格由若干個邊長為1的小正方形拼在一起組成,方格紙中有定點A,點C為小正方形的頂點,且||=,畫出所有的向量.【思路導引】起點為A,只需確定模與方向即可.【解析】畫出所有的向量,如圖:【變式探究】如圖所示,在四邊形ABCD中,N,M分別是AD,BC上的點,且.求證:【證明】因為所以||=||,且AB∥CD,所以四邊形ABCD是平行四邊形.所以||=||,且DA∥CB.又因為與的方向相同,所以=.同理可證四邊形CNAM是平行四邊形,所以=.因為||=||,||=||,所以||=||,DN∥MB,即與的模相等且方向相同,所以=.角度2實際應用

某人從A點出發(fā)向東走了5米到達B點,然后改變方向按東北方向走了10米到達C點,到達C點后又改變方向向西走了10米到達D點.(1)作出向量(2)求的模.【思路導引】可先選定向量的起點及方向,并根據(jù)其長度作出相關向量.可把放在直角三角形中求得||.【解析】(1)作出向量,如圖所示:(2)由題意得,△BCD是直角三角形,其中∠BDC=90°,BC=10米,CD=10米,所以BD=10米.可知△ABD是直角三角形,其中∠ABD=90°,AB=5米,BD=10米,所以AD==5(米),所以||=5.【解題策略】(1)用有向線段表示向量時,先確定起點,再確定方向,最后依據(jù)向量模的大小確定向量的終點.(2)利用向量的相等,可以證明線段相等或直線平行,但需說明兩向量所在的基線無公共點.用平行向量可證明(判斷)直線平行,但證明直線平行時,除說明向量平行外還需說明向量所在的基線無公共點.【題組訓練】1.在如圖所示的坐標紙上(每個小方格邊長為1),用直尺和圓規(guī)畫出下列向量:(1),使||=4,點A在點O北偏東45°.(2),使||=4,點B在點A正東.(3),使||=6,點C在點B北偏東30°.【解析】(1)由于點A在點O北偏東45°處,所以在坐標紙上點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等.又||=4,小方格邊長為1,所以點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4,于是點A位置可以確定,畫出向量如圖所示.(2)由于點B在點A正東方向處,且||=4,所以在坐標紙上點B距點A的橫向小方格數(shù)為4,縱向小方格數(shù)為0,于是點B位置可以確定,畫出向量如圖所示.(3)由于點C在點B北偏東30°處,且||=6,依據(jù)勾股定理可得:在坐標紙上點C距點B的橫向小方格數(shù)為3,縱向小方格數(shù)為3≈5.2,于是點C位置可以確定,畫出向量如圖所示.2.四邊形ABCD中,=,且||=||,tanD=,則四邊形ABCD的形狀為________.

【解析】因為在四邊形ABCD中,=,所以AB

DC,所以四邊形ABCD是平行四邊形.因為tanD=,所以∠B=∠D=60°.又||=||,所以△ABC是等邊三角形,所以||=||,所以四邊形ABCD是菱形.

答案:菱形【補償訓練】如圖所示,平行四邊形ABCD中,O是兩對角線AC,BD的交點,設點集S={A,B,C,D,O},向量集合T={|M,N∈S,且M,N不重合}.試求集合T中元素的個數(shù).【解析】由題可知,集合T中的元素實質上是S中任意兩點連成的有向線段,共有20個,即由平行四邊形的性質可知,共有8對向量相等,即又集合元素具有互異性,故集合T中的元素共有12個.1.下列說法正確的是 (

)A.方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量的長度是0C.長度相等的向量叫相等向量D.共線向量是在同一條直線上的向量【解析】選B.對A,由于0與任意向量平行,所以A錯誤;對B,零向量的長度是0,正確;對C,長度相等的向量方向不一定相同,故C錯誤;對D,共線向量不一定在同一條直線上,故D錯誤.課堂檢測·素養(yǎng)達標2.下列命題中,正確的是 (

)

A.|a|=|b|?a=b B.|a|>|b|?a>bC.a=b?a∥b D.|a|=0?a=0【解析】選C.兩個向量模相等,方向不一定相同,向量不一定相等,A錯;向量的模可以比較大小,但向量不能比較大小,B錯;向量相等,方向相同,一定是共線向量,C正確;若|a|=0?a=0,故D錯.3.設M是等邊△ABC的中心,則是 (

)A.有相同起點的向量 B.相等的向量C.模相等的向量 D.平行向量【解析】選C.由正三角形的性質知,|MA|=|MB|=|MC|.所以4.(教材二次開發(fā):習題改編)已知如圖的方格紙(每個方格的單位長度為1).

(1)畫出,使||=3,點A在點O的正西方向.||=3,點B在點O北偏西45°方向.(2)求出||的值.【解析】(1)依題意,結合向量的表示可知,所畫向量如圖所示.

(2)由圖知,△AOB是等腰直角三角形,所以5.如圖,是中國象棋的半個棋盤,“馬走日”是象棋中馬的走法.此圖中,馬可以從A處跳到A1處,用向量表示馬走了“一步”,也可以跳到A2處,用向量表示.請在圖中畫出馬在B,C處走了“一步”的所有情況.【解析】如圖,馬在B處只有3步可走,馬在C處有8步可走,人們常說的馬有“八面威風”就是指馬在中心處威力最大.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應更堅強.勵志名言請您欣賞5.如圖,是中國象棋的半個棋盤,“馬走日”是象棋中馬的走法.此圖中,馬可以從A處跳到A1處,用向量表示馬走了“一步”,也可以跳到A