北大校區(qū)：59799785牡丹園校區(qū)：59798562人大校區(qū)：59799892學院路校區(qū)：59799544選修2-3復習一、知識梳理1.分類加法計數原理原理:完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有
種不同的方法.特點:兩類方案中的任何一類的任何一種方法都可以完成這件事,并且兩類方案中所有方法互不相同.一般結論：完成一件事有n類不同方案,在第1類方案中有
種不同的方法,在第2類方案中有
種不同的方法,…,在第n類方案中有
種不同的方法.那么完成這件事共有
種不同的方法.注意事項：完成這件事的任何一種方法必屬于某一類,并且分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法,只有滿足這些條件,即做到“不重不漏”,才能用分類計數原理．2.分步乘法計數原理原理:完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法.那么完成這件事共有
種不同的方法.特點:兩個步驟缺一不可,并且經過兩個步驟恰好完成這件事.一般結論：完成一件事需要n個步驟,做第1步有
種不同的方法,做第2步有
種不同的方法,…,做第n步有
種不同的方法.那么完成這件事共有
種不同的方法.注意事項：在分步乘法計數原理中,完成一件事分為若干個有聯系的步驟,只有前一個步驟完成后,才能進行下一個步驟．當各個步驟都依次完成后,這件事才算完成．但每個步驟中可以有多種不同的方法,而這些方法之間是相互獨立的．3.排列組合（1）.排列:從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同的元素中取出m個元素的一個排列。相同的排列是指元素相同且順序相同。（2）．排列數：從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數,叫做從n個不同的元素中取出m個元素的排列數,用符號
表示。排列數公式:
（3）.全排列:把n個不同的元素全部取出(從n個不同的元素中取出n個元素),按照一定的順序排成一列,叫做n個不同的元素的一個全排列,全排列的個數叫做n個元素的全排列數,用符號
表示。此時,
=n(n-1)(n-2)……3·2·1=n！n!表示正整數1到n的連乘,叫做n的階乘。因此:
,規(guī)定:0!＝1。（4）.組合：從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同的元素中取出m個元素的一個組合。（5）．組合數：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數,叫做從n個不同的元素中取出m個元素的組合數,用符號
表示,根據分步計數原理得到：
。組合數公式:
（6）．組合數的性質：(1)
,規(guī)定：
；(2)
。4.條件概率與事件的獨立性（1）條件概率一般地,若有兩個事件A和B,在已知事件B發(fā)生的條件下考慮事件A發(fā)生的概率,則稱此概率為B已發(fā)生的條件下A的條件概率,記為P(A︱B).一般地,若P（B）>0,則事件B已發(fā)生的條件下A發(fā)生的條件概率是。（2）事件的獨立性設A,B為兩個事件,如果P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B相互獨立.事件
（或
）是否發(fā)生對事件
（或
）發(fā)生的概率沒有影響,這樣的兩個事件叫做相互獨立事件
若
與
是相互獨立事件,則
與
,
與
,
與
也相互獨立
相互獨立事件同時發(fā)生的概率:
兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率,等于每個事件發(fā)生的概率的積
一般地,如果事件
相互獨立,那么這
個事件同時發(fā)生的概率,等于每個事件發(fā)生的概率的積,即
．（3）獨立重復性獨立重復試驗的定義:指在同樣條件下進行的,各次之間相互獨立的一種試驗
獨立重復試驗的概率公式:一般地,如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是
,那么在
次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生
次的概率
.它是
展開式的第
項
離散型隨機變量的二項分布:在一次隨機試驗中,某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生,在n次獨立重復試驗中這個事件發(fā)生的次數ξ是一個隨機變量.如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是
,（k＝0,1,2,…,n,
）．于是得到隨機變量ξ的概率分布如下:ξ01…k…nP……由于恰好是二項展開式中的各項的值,所以稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布,記作ξ～B(n,p),其中n,p為參數,并記
＝b(k；n,p)．5.離散型隨機變量（1）離散型隨機變量隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量.隨機變量常用字母X,Y,
,
,…表示.在此基礎之上所有取值可以一一列出的隨機變量,稱為離散型隨機變量.（2）離散型隨機變量分布列設離散型隨機變量ξ可能取得值為x1,x2,…,x3,…,ξ取每一個值xi（i=1,2,…）的概率為
,則稱表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…為隨機變量的概率分布,簡稱分布列
離散型隨機變量分布列的兩個性質:任何隨機事件發(fā)生的概率都滿足:
,并且不可能事件的概率為0,必然事件的概率為1.由此你可以得出離散型隨機變量的分布列都具有下面兩個性質:⑴Pi≥0,i＝1,2,…；⑵P1+P2+…=1.對于離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率的和
即
（3）離散型隨機變量的數學期望與方差均值或數學期望:一般地,若離散型隨機變量ξ的概率分布為ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱


…
…為ξ的均值或數學期望,簡稱期望.ξx1x2…xn………Pp1p2…pn…于是……＝……)……)＝
,由此,我們得到了期望的一個性質:
若ξ
B（n,p）,則Eξ=np證明如下:∵
,∴
0×
＋1×
＋2×
＋…＋k×
＋…＋n×
.又∵
,∴


＋
＋…＋
＋…＋

.故若ξ～B(n,p),則
np．6.常用的分布（1）兩點分布隨機變量X的分布列是ξ01P像上面這樣的分布列稱為兩點分布列.
（2）二項分布在一次隨機試驗中,某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生,在n次獨立重復試驗中這個事件發(fā)生的次數ξ是一個隨機變量.如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是
,（k＝0,1,2,…,n,
）．于是得到隨機變量ξ的概率分布如下:ξ01…k…nP……稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布,記作ξ～B(n,p),其中n,p為參數,并記
＝b(k；n,p).（3）超幾何分布一般地,在含有M件次品的N件產品中,任取n件,其中恰有X件次品數,則事件{X=k｝發(fā)生的概率為,其中
,且
.稱分布列X01…P…為超幾何分布列.如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列,則稱隨機變量X服從超幾何分布.7.正態(tài)分布總體密度曲線:樣本容量越大,所分組數越多,各組的頻率就越接近于總體在相應各組取值的概率.設想樣本容量無限增大,分組的組距無限縮小,那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線.它反映了總體在各個范圍內取值的概率.根據這條曲線,可求出總體在區(qū)間(a,b)內取值的概率等于總體密度曲線,直線x=a,x=b及x軸所圍圖形的面積.觀察總體密度曲線的形狀,它具有“兩頭低,中間高,左右對稱”的特征,具有這種特征的總體密度曲線一般可用下面函數的圖象來表示或近似表示：式中的實數
、
是參數,分別表示總體的平均數與標準差,
的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線.一般地,如果對于任何實數
,隨機變量X滿足,則稱X的分布為正態(tài)分布.正態(tài)分布完全由參數
和
確定,因此正態(tài)分布常記作
.如果隨機變量X服從正態(tài)分布,則記為X～
.經驗表明,一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和,它就服從或近似服從正態(tài)分布．（1）正態(tài)分布）是由均值μ和標準差σ唯一決定的分布通過固定其中一個值,討論均值與標準差對于正態(tài)曲線的影響
（2）．通過對三組正態(tài)曲線分析,得出正態(tài)曲線具有的基本特征是兩頭底、中間高、左右對稱
正態(tài)曲線的作圖,書中沒有做要求,教師也不必補上
講課時教師可以應用幾何畫板,形象、美觀地畫出三條正態(tài)曲線的圖形,結合前面均值與標準差對圖形的影響,引導學生觀察總結正態(tài)曲線的性質
（3）.正態(tài)曲線的性質:①曲線在x軸的上方,與x軸不相交
②曲線關于直線x=μ對稱③當x=μ時,曲線位于最高點
④當x＜μ時,曲線上升（增函數）；當x＞μ時,曲線下降（減函數）
并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時,以x軸為漸近線,向它無限靠近
⑤μ一定時,曲線的形狀由σ確定
σ越大,曲線越“矮胖”,總體分布越分散；σ越小.曲線越“瘦高”.總體分布越集中:（4）．標準正態(tài)曲線:當μ=0、σ=l時,正態(tài)總體稱為標準正態(tài)總體,其相應的函數表示式是
,（-∞＜x＜+∞）其相應的曲線稱為標準正態(tài)曲線標準正態(tài)總體N（0,1）在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位
任何正態(tài)分布的概率問題均可轉化成標準正態(tài)分布的概率問題
二、排列組合相關例題講解分類加法與分步乘法計數原理例1.從甲地到乙地,可以乘火車,也可以乘汽車,還可以乘輪船。一天中,火車有4班,汽車有2班,輪船有3班。那麼一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？【解析】因為一天中乘火車有4種走法,乘汽車有2種走法,乘輪船有3種走法,每一種走法都可以從甲地到乙地,因此,一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有4+2+3=9種不同的走法。例2.（2007·東城）某銀行儲蓄卡的密碼是一個4位數碼,某人采用千位、百位上的數字之積作為十位和個位上的數字（如2816）的方法設計密碼,當積為一位數時,十位上數字選0,并且千位、百位上都能取0.這樣設計出來的密碼共有（）A.90個 B.99個C.100個 D.112個高考資源網【解析】由于千位、百位確定下來后十位、個位就隨之確定,則只考慮千位、百位即可,千位、百位各有10種選擇,所以有10×10種=100種.故選C.2.排列與組合高考資源網例3.（2009北京卷文）用數字1，2，3，4，5組成的無重復數字的四位偶數的個數為（）A.8 B.24 C.48 D.120【解析】本題主要考查排列組合知識以及分步計數原理知識.屬于基礎知識、基本運算的考查.2和4排在末位時,共有
種排法,高考資源網其余三位數從余下的四個數中任取三個有
種排法,于是由分步計數原理,符合題意的偶數共有
（個）.故選C.例4.（2009全國卷Ⅰ理）甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學。若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有(D)（A）150種（B）180種（C）300種(D)345種解:分兩類(1)甲組中選出一名女生有
種選法;.高考資源網(2)乙組中選出一名女生有種選法.故共有345種選法.選D例5.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同學站成一排,若男生甲不站兩端,3位女生中有且只有兩位女生相鄰,則不同排法的種數是A.60B.48C.42D.36【解析】解法一、從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A,（A共有
種不同排法）,剩下一名女生記作B,兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A.B之間（若甲在A.B兩端。則為使A.B不相鄰,只有把男生乙排在A.B之間,此時就不能滿足男生甲不在兩端的要求）此時共有6×2＝12種排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙,所以,共有12×4＝48種不同排法。解法二；同解法一,從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A,（A共有
種不同排法）,剩下一名女生記作B,兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況:第一類:女生A.B在兩端,男生甲、乙在中間,共有
=24種排法；第二類:“捆綁”A和男生乙在兩端,則中間女生B和男生甲只有一種排法,此時共有
＝12種排法第三類：女生B和男生乙在兩端,同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有一種排法。此時共有＝12種排法三類之和為24＋12＋12＝48種。.高考資源網3.二項式定理的通項公式例6.（2009重慶卷理）
的展開式中
的系數是（）A.16 B.70 C.560 D.1120【解析】設含
的為第
,
所以
,故系數為：
,選D
4二項式定理的綜合應用例7.（2007·濟南）(x2+1)(x–2)9=a0+a1(x–1)+a2(x–1)2+a3(x–1)3+…+a11(x–1)11,則a1+a2+a3+…+a11的值為 .【解析】令x=1,得2×(–1)9=a0,①令x=2,得(22+1)·0=a0+a1+…+a11,②聯立①②知a1+a2+…+a11=2.例8.6.（2009陜西卷文）若
,則
的值為A.2 B.0 C.
D.
解析由題意容易發(fā)現,則,同理可以得出,………高考資源網亦即前2008項和為0,則原式==故選C.5.二項式與推理綜合問題例（2009浙江卷理）觀察下列等式:
,
,
,
,高考資源網………由以上等式推測到一個一般的結論:對于
,
．答案解析這是一種需類比推理方法破解的問題,結論由二項構成,第二項前有
,二項指數分別為
,因此對于
,6.排列組合求概率問題高考資源網例2009重慶卷理）鍋中煮有芝麻餡湯圓6個,花生餡湯圓5個,豆沙餡湯圓4個,這三種湯圓的外部特征完全相同。從中任意舀取4個湯圓,則每種湯圓都至少取到1個的概率為（）A.
B.
C.
D.
【答案】C【解析】因為總的滔法
而所求事件的取法分為三類,即芝麻餡湯圓、花生餡湯圓。豆沙餡湯圓取得個數分別按1.1.2；1,2,1；2,1,1三類,故所求概率為7.二項式定理與極限綜合問題高考資源網例(2009湖北卷理)設
,則答案B解析令得高考資源網令時高考資源網令時兩式相加得:
兩式相減得:
代入極限式可得,故選B8.插空法。例10個節(jié)目中有6個演唱4個舞蹈,要求每兩個舞蹈之間至少安排一個演唱,有多少種不同的安排節(jié)目演出順序的方式？[解]先將6個演唱節(jié)目任意排成一列有
種排法,再從演唱節(jié)目之間和前后一共7個位置中選出4個安排舞蹈有
種方法,故共有
=604800種方式。9.二項式定理的應用。例若n∈N,n≥2,求證:
[證明]首先
其次因為
,所以
2+
得證。三、概率相關例題講解人忘記了電話號碼的最后一個數字,因而他隨意地撥號,假設撥過了的號碼不再重復,試求下列事件的概率:（1）第次撥號才接通電話；（2）撥號不超過次而接通電話解:設
{第
次撥號接通電話},
（1）第次才接通電話可表示為于是所求概率為（2）撥號不超過
次而接通電話可表示為:
于是所求概率為出租車司機從飯店到火車站途中有六個交通崗,假設他在各交通崗到紅燈這一事件是相互獨立的,并且概率都是
（1）求這位司機遇到紅燈前,已經通過了兩個交通崗的概率；（2）求這位司機在途中遇到紅燈數ξ的期望和方差解:（1）因為這位司機第一、二個交通崗未遇到紅燈,在第三個交通崗遇到紅燈,所以（2）易知∴獎器有
個小球,其中
個小球上標有數字
,
個小球上標有數字
,現搖出
個小球,規(guī)定所得獎金（元）為這
個小球上記號之和,求此次搖獎獲得獎金數額的數學期望解:設此次搖獎的獎金數額為
元,當搖出的
個小球均標有數字
時,
；當搖出的
個小球中有
個標有數字
,1個標有數字
時,
；當搖出的
個小球有
個標有數字
,
個標有數字
時,

所以,


答:此次搖獎獲得獎金數額的數字期望是
元4
某學生語、數、英三科考試成績,在一次考試中排名全班第一的概率:語文為
,數學為
,英語為
,問一次考試中（Ⅰ）三科成績均未獲得第一名的概率是多少？（Ⅱ）恰有一科成績未獲得第一名的概率是多少解:分別記該生語、數、英考試成績排名全班第一的事件為
,則（Ⅰ）答:三科成績均未獲得第一名的概率是
（Ⅱ）（）答:恰有一科成績未獲得第一名的概率是
5
如圖,
兩點之間有
條網線并聯,它們能通過的最大信息量分別為

現從中任取三條網線且使每條網線通過最大的信息量
（I）設選取的三條網線由
到
可通過的信息總量為
,當
時,則保證信息暢通
求線路信息暢通的概率；（II）求選取的三條網線可通過信息總量的數學期望解:（I）
（II）∴線路通過信息量的數學期望答:（I）線路信息暢通的概率是

（II）線路通過信息量的數學期望是
6三個元件正常工作的概率分別為將它們中某兩個元件并聯后再和第三元件串聯接入電路（Ⅰ）在如圖的電路中,電路不發(fā)生故障的概率是多少？（Ⅱ）三個元件連成怎樣的電路,才能使電路中不發(fā)生故障的概率最大？請畫出此時電路圖,并說明理由
解：記“三個元件
正常工作”分別為事件
,則（Ⅰ）不發(fā)生故障的事件為∴不發(fā)生故障的概率為（Ⅱ）如圖,此時不發(fā)生故障的概率最大
證明如下:圖1中發(fā)生故障事件為∴不發(fā)生故障概率為圖2不發(fā)生故障事件為
,同理不發(fā)生故障概率為
7
要制造一種機器零件,甲機床廢品率為
,而乙機床廢品率為
,而它們的生產是獨立的,從它們制造的產品中,分別任意抽取一件,求：（1）其中至少有一件廢品的概率；（2）其中至多有一件廢品的概率解:設事件
“從甲機床抽得的一件是廢品”；
“從乙機床抽得的一件是廢品”
則（1）至少有一件廢品的概率（2）至多有一件廢品的概率8
甲乙兩人獨立解某一道數學題,已知該題被甲獨立解出的概率為
,被甲或乙解出的概率為
,（1）求該題被乙獨立解出的概率；（2）求解出該題的人數
的數學期望和方差解:（1）記甲、乙分別解出此題的事件記為

設甲獨立解出此題的概率為
,乙為

則9
某保險公司新開設了一項保險業(yè)務,若在一年內事件
發(fā)生,該公司要賠償
元設在一年內
發(fā)生的概率為
,為使公司收益的期望值等于
的百分之十,公司應要求顧客交多少保險金？解：設保險公司要求顧客交
元保險金,若以
表示公司每年的收益額,則
是一個隨機變量,其分布列為：因此,公司每年收益的期望值為

為使公司收益的期望值等于
的百分之十,只需
,即
,

故可得

即顧客交的保險金為
時,可使公司期望獲益

10
有一批食品出廠前要進行五項指標檢驗,如果有兩項指標不合格,則這批食品不能出廠
已知每項指標抽檢是相互獨立的,且每項抽檢出現不合格的概率都是

（1）求這批產品不能出廠的概率(保留三位有效數字)；(2)求直至五項指標全部驗完畢,才能確定該批食品是否出廠的概率(保留三位有效數字)
解:(1)這批食品不能出廠的概率是:

(2)五項指標全部檢驗完畢,這批食品可以出廠的概率是:

五項指標全部檢驗完畢,這批食品不能出廠的概率是:

由互斥事件有一個發(fā)生的概率加法可知,五項指標全部檢驗完畢,才能確定這批產品是否出廠的概率是:

11
高三（1）班、高三（2）班每班已選出3名學生組成代表隊,進行乒乓球對抗賽
比賽規(guī)則是:①按“單打、雙打、單打”順序進行三盤比賽；②代表隊中每名隊員至少參加一盤比賽,不得參加兩盤單打比賽
已知每盤比賽雙方勝出的概率均為
（Ⅰ）根據比賽規(guī)則,高三（1）班代表隊共可排出多少種不同的出場陣容？ （Ⅱ）高三（1）班代表隊連勝兩盤的概率是多少？解:（I）參加單打的隊員有
種方法
參加雙打的隊員有種方法所以,高三（1）班出場陣容共有
（種）（II）高三（1）班代表隊連勝兩盤,可分為第一盤、第二盤勝或第一盤負,其余兩盤勝,所以,連勝兩盤的概率為
12
袋中有大小相同的
個白球和
個黑球,從中任意摸出
個,求下列事件發(fā)生的概率
(1)摸出
個或
個白球(2)至少摸出一個黑球
解：（Ⅰ）設摸出的
個球中有
個白球、
個白球分別為事件
,則∵為兩個互斥事件∴即摸出的個球中有個或個白球的概率為（Ⅱ）設摸出的
個球中全是白球為事件
,則至少摸出一個黑球為事件的對立事件其概率為四、練習1.（2010廣東卷理）2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作,若其中小張和小趙只能從事前兩項工作,其余三人均能從事這四項工作,則不同的選派方案共有

A.36種B.12種C.18種D.48種【解析】分兩類:若小張或小趙入選，則有選法
；若小張、小趙都入選，則有選法
，共有選法36種，選A.

2.（2009北京卷文）用數字1,2,3,4,5組成的無重復數字的四位偶數的個數為（）A.8 B.24 C.48 D.120【答案】C.w【解析】本題主要考查排列組合知識以及分步計數原理知識.屬于基礎知識、基本運算的考查.2和4排在末位時,共有
種排法,其余三位數從余下的四個數中任取三個有
種排法,于是由分步計數原理,符合題意的偶數共有
（個）.故選C.3．（2010北京卷理）用0到9這10個數字,可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為（）A.324B.328C.360D.648【答案】B【解析】本題主要考查排列組合知識以及分類計數原理和分步計數原理知識.屬于基礎知識、基本運算的考查.首先應考慮“0”是特殊元素,當0排在末位時,有
（個）,當0不排在末位時,有
（個）,于是由分類計數原理,得符合題意的偶數共有
（個）.故選B.4.（2009全國卷Ⅱ文）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門,則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有（A）6種（B）12種（C）24種（D）30種答案:C解析:本題考查分類與分步原理及組合公式的運用,可先求出所有兩人各選修2門的種數
=36,再求出兩人所選兩門都相同和都不同的種數均為
=6,故只恰好有1門相同的選法有24種。5.（2009全國卷Ⅰ理）甲組有5名男同學,3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學。若從甲、乙兩組中各選出2名同學,則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有(D)（A）150種（B）180種（C）300種(D)345種解:分兩類(1)甲組中選出一名女生有種選法;(2)乙組中選出一名女生有種選法.故共有345種選法.選D6.(2010湖北卷理)將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班,每個班至少分到一名學生,且甲、乙兩名學生不能分到同一個班,則不同分法的種數為

【答案】C【解析】用間接法解答:四名學生中有兩名學生分在一個班的種數是
,順序有
種,而甲乙被分在同一個班的有
種,所以種數是
7.（2010四川卷文）2位男生和3位女生共5位同學站成一排,若男生甲不站兩端,3位女生中有且只有兩位女生相鄰,則不同排法的種數是A.60B.48C.42D.36【答案】B【解析】解法一、從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A,（A共有
種不同排法）,剩下一名女生記作B,兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A.B之間（若甲在A.B兩端。則為使A.B不相鄰,只有把男生乙排在A.B之間,此時就不能滿足男生甲不在兩端的要求）此時共有6×2＝12種排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙,所以,共有12×4＝48種不同排法。解法二；同解法一,從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A,（A共有
種不同排法）,剩下一名女生記作B,兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況:第一類:女生A.B在兩端,男生甲、乙在中間,共有
=24種排法；第二類:“捆綁”A和男生乙在兩端,則中間女生B和男生甲只有一種排法,此時共有
＝12種排法第三類：女生B和男生乙在兩端,同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有一種排法。此時共有＝12種排法三類之和為24＋12＋12＝48種。8.（2009全國卷Ⅱ理）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門。則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有 A.6種B.12種C.30種D.36種解:用間接法即可.
種.故選C9.（2010遼寧卷理）從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊,要求其中男、女醫(yī)生都有,則不同的組隊方案共有（A）70種（B）80種（C）100種（D）140種【解析】直接法:一男兩女,有C51C42＝5×6＝30種,兩男一女,有C52C41＝10×4＝40種,共計70種間接法:任意選取C93＝84種,其中都是男醫(yī)生有C53＝10種,都是女醫(yī)生有C41＝4種,于是符合條件的有84－10－4＝70種.【答案】A10.（2009湖北卷文）從5名志愿者中選派4人在星期五、星期六、星期日參加公益活動,每人一天,要求星期五有一人參加,星期六有兩人參加,星期日有一人參加,則不同的選派方法共有A.120種B.96種C.60種D.48種【答案】C【解析】5人中選4人則有
種,周五一人有
種,周六兩人則有
,周日則有
種,故共有
×
×
=60種,故選C11.（2009湖南卷文）某地政府召集5家企業(yè)的負責人開會,其中甲企業(yè)有2人到會,其余4家企業(yè)各有1人到會,會上有3人發(fā)言,則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數為【B】A.14B.16C.20D.48解:由間接法得
，故選B.12.（2010全國卷Ⅰ文）甲組有5名男同學、3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學,若從甲、乙兩組中各選出2名同學,則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有（A）150種（B）180種（C）300種（D）345種【解析】本小題考查分類計算原理、分步計數原理、組合等問題,基礎題。解:由題共有
,故選擇D。13.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同學站成一排,若男生甲不站兩端,3位女生中有且只有兩位女生相鄰,則不同排法的種數是A.60B.48C.42D.36【答案】B【解析】解法一、從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A,（A共有
種不同排法）,剩下一名女生記作B,兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A.B之間（若甲在A.B兩端。則為使A.B不相鄰,只有把男生乙排在A.B之間,此時就不能滿足男生甲不在兩端的要求）此時共有6×2＝12種排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙,所以,共有12×4＝48種不同排法。解法二；同解法一,從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A,（A共有
種不同排法）,剩下一名女生記作B,兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況:第一類:女生A.B在兩端,男生甲、乙在中間,共有
=24種排法；第二類:“捆綁”A和男生乙在兩端,則中間女生B和男生甲只有一種排法,此時共有
＝12種排法第三類：女生B和男生乙在兩端,同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有一種排法。此時共有＝12種排法三類之和為24＋12＋12＝48種。14.（2009陜西卷文）從1,2,3,4,5,6,7這七個數字中任取兩個奇數和兩個偶數,組成沒有重復數字的四位數,其中奇數的個數為
(A)432(B)288(C)216(D)108網答案:C.解析:首先個位數字必須為奇數，從1，3，5，7四個中選擇一個有
種，再叢剩余3個奇數中選擇一個，從2，4，6三個偶數中選擇兩個，進行十位，百位，千位三個位置的全排。則共有
故選C.


15.(2010湖南卷理)從10名大學生畢業(yè)生中選3個人擔任村長助理,則甲、乙至少有1人入選,而丙沒有入選的不同選法的種數位

[C]

A85B56C49D28【答案】:C【解析】解析由條件可分為兩類:一類是甲乙兩人只去一個的選法有:
,另一類是甲乙都去的選法有
=7,所以共有42+7=49,即選C項。16.（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同學站成一排,若男生甲不站兩端,3位女生中有且只有兩位女生相鄰,則不同排法的種數是A.360B.188C.216D.96解析：6位同學站成一排,3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有
種,其中男生甲站兩端的有
,符合條件的排法故共有188解析2:由題意有
,選B。15、甲射擊命中目標的概率是
,乙命中目標的概率是
,丙命中目標的概率是
.現在三人同時射擊目標,則目標被擊中的概率為()16.已知隨機變量ζ的分布列為:P(ζ=k)=
,k=1,2,3,則P(3ζ+5)等于()A.6 B.9C.3D.417、1盒中有9個正品和3個廢品,每次取1個產品,取出后不再放回,在取得正品前已取出的廢品數ζ的期望Eζ=_________.4.某班有52人,男女各半,男女各自平均分成兩組,從這個班中選出4人參加某項活動,這4人恰好來自不同組別的概率是_________.18、甲、乙兩人各進行一次射擊,如果兩人擊中目標的概率都是0.6,計算：(1)兩人都擊中目標的概率；(2)其中恰有一人擊中目標的概率；(3)至少有一人擊中目標的概率.19、已知連續(xù)型隨機變量ζ的概率密度函數f(x)=(1)求常數a的值,并畫出ζ的概率密度曲線；(2)求P(1＜ζ＜
）.20、設P在［0,5］上隨機地取值,求方程x2+px+
=0有實根的概率.21、設一部機器在一天內發(fā)生故障的概率為0.2,機器發(fā)生故障時全天停止工作.若一周5個工作日里均無故障,可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障可獲利潤5萬元,只發(fā)生兩次故障可獲利潤0萬元,發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元。求一周內期望利潤是多少？參考答案一、1.解析:設甲命中目標為事件A,乙命中目標為事件B,丙命中目標為事件C,則目標被擊中的事件可以表示為A+B+C,即擊中目標表示事件A.B.C中至少有一個發(fā)生.故目標被擊中的概率為1－P(··)=1－2.解析:Eξ=(1+2+3)·
=2,Eξ2=(12+22+32)·
=
∴Dξ=Eξ2－(Eξ)2=－22=.∴D(3ξ+5)=9Eξ=6.二、3.解析:由條件知,ξ的取值為0,1,2,3,并且有P(ξ=0)=
,4.解析:因為每組人數為13,因此,每組選1人有C
種方法,所以所求概率為P=
.三、5.解：(1)我們把“甲射擊一次擊中目標”叫做事件A,“乙射擊一次擊中目標”叫做事件B.顯然事件A.B相互獨立,所以兩人各射擊一次都擊中目標的概率是P(A·B)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36答:兩人都擊中目標的概率是0.36(2)同理,兩人各射擊一次,甲擊中、乙未擊中的概率是P(A·
)=P(A)·P(
)=0.6×(1－0.6)=0.6×0.4=0.24甲未擊中、乙擊中的概率是P(
·B)=P(
)P(B)=0.24,顯然,“甲擊中、乙未擊中”和“甲未擊中、乙擊中”是不可能同時發(fā)生,即事件A·
與
·B互斥,所以恰有一人擊中目標的概率是P(A·
)+P(
·B)=0.24+0.24=0.48答:其中恰有一人擊中目標的概率是0.48.(2)兩人各射擊一次,至少有一人擊中目標的概率P=P(A·B)+［P(A·
)+P(
)·B］=0.36+0.48=0.84答:至少有一人擊中目標的概率是0.84.6.解：(1)因為ξ所在區(qū)間上的概率總和為1,所以
(1－a+2－a)·1=1,∴a=概率密度曲線如圖:(2)P(1＜ξ＜)=7.解:一元二次方程有實數根
Δ≥0而Δ=P2－4()=P2－P－2=(P+1)(P－2)解得P≤－1或P≥2故所求概率為P=8.解:以X表示一周5天內機器發(fā)生故障的天數,則X－B(5,0.2),于是X有概率分布P(X=k)=C
0.2k0.85－k,k=0,1,2,3,4,5.以Y表示一周內所獲利潤,則Y=g(X)=Y的概率分布為:P(Y=10)=P(X=0)=0.85=0.328P(Y=5)=P(X=1)=C0.2·0.84=0.410P(Y=0)=P(X=2)=C·0.22·0.83=0.205P(Y=－2)=P(X≥3)=1－P(X=0)－P(X=1)－P(X=2)=0.057故一周內的期望利潤為:EY=10×0.328+5×0.410+0×0.205－2×0.057=5.216(萬元)綜合測試題一、選擇題1.從0,1,2,…,9這10個數字中,任取兩個不同數字作為平面直角坐標系中點的坐標,能夠確定不在x軸上的點的個數是（）A.100 B.90 C.81 D.722．A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必須站在A的右邊,（A,B可以不相鄰）那么不同的排法有（）A.24種 B.60種 C.90種 D.120種3．男女學生共有8人,從男生中選取2人,從女生中選取1人,共有30種不同的選法,其中女生有（）A.2人或3人 B.3人或4人 C.3人 D.4人4.工人工資（元）依勞動生產率（千元）變化的回歸方程為y=50+80x,下列判斷中正確的是（）A.勞動生產率為1000元時,工資為130元B.勞動生產率平均提高1000元時,工資平均提高80元C.勞動生產率平均提高1000元時,工資平均提高130元D.當工資為250元時,勞動生產率為2000元5．設
的展開式的各項系數的和為P,所有二項式系數的和為S,若P+S=272,則n為（）A.4 B.5 C.6 D.86．已知隨機變量X的分布列為
,則
為（）A.316 B.14 C.116 D.5167．兩位同學一起去一家單位應聘,面試前單位負責人對他們說:“我們要從面試的人中招聘3人,你們倆同時被招聘進來的概率是170”．根據這位負責人的話可以推斷出參加面試的人數為（）A.21 B.35 C.42 D.708．有外形相同的球分裝三個盒子,每盒10個．其中,第一個盒子中7個球標有字母A.3個球標有字母B；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中則有紅球8個,白球2個．試驗按如下規(guī)則進行:先在第一號盒子中任取一球,若取得標有字母A的球,則在第二號盒子中任取一個球；若第一次取得標有字母B的球,則在第三號盒子中任取一個球．如果第二次取出的是紅球,則稱試驗成功,那么試驗成功的概率為（）A.0.59 B.0.54 C.0.8 D.0.159．設一隨機試驗的結果只有A和
,
,令隨機變量
,則X的方差為（）Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.
10．
的展開式中,
的系數是（）Ａ.
Ｂ.
Ｃ.297 Ｄ.20711.某廠生產的零件外直徑ξ~N（10,0.04）,今從該廠上、下午生產的零件中各隨機取出一個,測得其外直徑分別為9.9cm和9.3cm,則可認為（）A．上午生產情況正常,下午生產情況異常B.上午生產情況異常,下午生產情況正常C.上、下午生產情況均正常D.上、下午生產情況均異常12．甲乙兩隊進行排球比賽,已知在一局比賽中甲隊獲勝的概率是23,沒有平局．若采用三局兩勝制比賽,即先勝兩局者獲勝且比賽結束,則甲隊獲勝的概率等于（）Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.
二、填空題13.有6名學生,其中有3名會唱歌,2名會跳舞,1名既會唱歌也會跳舞.現從中選出2名會唱歌的,1名會跳舞的去參加文藝演出,則共有選法種.14．設隨機變量ξ的概率分布列為
,
,則
．15.已知隨機變量X服從正態(tài)分布
且

則
.16．已知100件產品中有10件次品,從中任取3件,則任意取出的3件產品中次品數的數學期望為,方差為．三、解答題17.在調查學生數學成績與物理成績之間的關系時