熱點09圓安徽中考數(shù)學(xué)中以圓為背景的綜合問題是中考命題趨勢之一，按往年命題趨勢猜測，很大概率會和平行線段分線段成比例，圖形的相似，梯形，特殊平行四邊形（最新熱點）等知識點結(jié)合，主要考查學(xué)生挖掘信息的能力，難題分解能力，數(shù)學(xué)綜合能力?？键c一：圓的基本性質(zhì)（垂徑定理、四等關(guān)系、圓周角定理及其推論）【例1】．(2023秋·安徽滁州）如圖，⊙O的直徑CD過弦AB的中點E，且CE=2，DE=8，則AB的長為（

）A．82 B．83 C．4【例2】．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（

）A．14 B．4 C．23 D．5【例3】．（2023秋·安徽六安·）如圖，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，，點P是△ABC內(nèi)部的一個動點，連接PC，且滿足∠PAB=∠PBC，過點P作PD⊥BC交BC于點D．（1）______；（2）當(dāng)線段CP最短時，△BCP【例4】．(2023·安徽合肥）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=8，點M在⊙O上，∠MAB=20°,N是MB的中點，P是直徑AB上的一動點，若MN=2，則△PMN周長的最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【例5】．(2023秋·安徽蕪湖）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，∠CDB=28°，過點C的切線交AB的延長線于點E，則∠E的大小為（）A．28° B．34° C．44° D．62°【例6】．（2023·安徽）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，動點P從點A出發(fā)在邊AB上運動，同時動點Q從點B出發(fā)以同樣的速度在邊BC上運動．分別連接AQ,DP,AQ與DP相交于點E，連接，則線段的最小值為（

）A．5 B．22 C．22?1考點二：與圓有關(guān)的位置關(guān)系【例7】．（2023秋·安徽亳州）下列說法中，真命題的個數(shù)是（

）①任何三角形有且只有一個外接圓；②任何圓有且只有一個內(nèi)接三角形；③三角形的外心不一定在三角形內(nèi)；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤經(jīng)過三點確定一個圓；A．1 B．2 C．3 D．4【例8】．（2023秋·安徽池州）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，，P是平面內(nèi)一動點，且∠APB=90°，取BC的中點E，連接PE，則線段PE的最大值為（

A．2+13 B． C．210 D．【例9】．(2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，AB為⊙O的直徑，直線EF與⊙O相切于點D，直線AC交EF于點、交⊙O于點C，連接AD、OD，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若，則AD平分∠BAH； B．若AD平分∠BAH，則AH⊥EF；C．若AH⊥EF，則AD平分∠BAH； D．若，則AH⊥EF．【例10】．(2023·安徽·二模）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，點D是BC的中點，點E是平面內(nèi)一個動點，，以點E為直角頂點，為直角邊在的上方作等腰直角三角形ECF．當(dāng)∠ADF的度數(shù)最大時，DF的長為（

）A． B．32 C．42?1 【例11】．(2023·安徽合肥）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB邊上的一點，以O(shè)A為半徑的⊙O與邊BC相切于點E．(1)若AB=8，⊙O的半徑為3，求AC的長．(2)過點E作弦EF⊥AB于G，連接AF，若∠AFE=2∠ABC．求證：四邊形ACEF是菱形．【例12】．(2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）如圖，AC是⊙O的直徑，BC，BD是⊙O的弦，M為BC的中點，OM與BD交于點F，過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于點E，且CD平分∠ACE．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若DE=12，tan∠CDE=2考點三：與圓有關(guān)的計算【例13】．(2023·安徽·模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的直徑，且AB=8，點C是⊙O上一點，連接AC，過點O作OD⊥AC于點D，將AC沿直線AC翻折．若翻折后的圓弧恰好經(jīng)過點O，則圖中陰影部分的面積為（

）A．8π3+23 B．4π3+23【例14】．(2023·安徽宿州·模擬預(yù)測）如圖，王虎使一長為4cm，寬為3cm的長方形木板，在桌面上做無滑動的翻滾（順時針方向）木板上點A位置變化為A→A1→A2，其中第二次翻滾被桌面上一小木塊擋住，使木板與桌面成30°角，則點A翻滾到A2位置時共走過的路徑長為（

）A．10cm B．cm C．72πcm D．5考點四：圓的綜合【例15】．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為BA的延長線上一點，連接CD．(1)如圖1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的長；(2)如圖2，若DC與⊙O相切，E為OA上一點，且∠ACD＝∠ACE，求證：CE⊥AB．【例16】．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓O中兩條互相垂直的弦AB，CD交于點E．（1）M是CD的中點，OM＝3，CD＝12，求圓O的半徑長；（2）點F在CD上，且CE＝EF，求證：AF⊥BD．【例17】．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是半圓O的直徑，C,D是半圓O上不同于A,B的兩點AD=BC,AC與BD相交于點F,BE是半圓O所在圓的切線，與AC的延長線相交于點E，1求證：ΔCBA≌ΔDAB；2若BE=BF,求AC平分∠DAB．【例18】．(2023·安徽宿州·一模）已知A、C、D為⊙O上三點，且AD=CD．(1)如圖1，延長AD至點B，使BD=AD，連接CB．①求證：△ABC為直角三角形；②若⊙O的半徑為4，，求BC的值；(2)如圖2，若∠ADC=90°，E為⊙O上的一點，且點D，E位于AC兩側(cè)，作△ADE關(guān)于AD對稱的圖形△ADQ，連接QC，求證：QA一、單選題1．(2023秋·安徽淮南）如圖，點AB和C、D分別在以點O為圓心的兩個同心圓上，若∠AOB=∠COD，∠C=m°，則（）A．12m° B．m° C．322．(2023春·安徽亳州）如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心，C是半圓上的點，D是AC上的點，若∠BAC＝20°，則∠D的度數(shù)為（

）A．100° B．110° C．120° D．130°3．(2023春·安徽滁州）如圖，在△ABC中，O為AC邊上一點，以O(shè)為圓心，OC為半徑的半圓切AB于點B，若AB=OC=2，則△ABC的面積為（

A．1+22 B．1+2 C．24．(2023秋·安徽淮南）下列說法正確的是（

）A．等弧所對的圓心角相等 B．在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等C．過三點可以畫一個圓 D．平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧5．(2023秋·安徽合肥）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，點F為射線CB上一動點，過點C作CM⊥AF于M交AB于E，D是AB的中點，則DM長度的最小值是(

)A． B．2 C．1 D．6-26．(2023秋·安徽合肥）如圖，⊙O的半徑為2，AB是⊙O的直徑，點C、M在⊙O上，∠AOC=120°，取弦AM的中點N，連接CN，當(dāng)點M在上⊙O運動時，線段CN的最小值為（

）A．2 B．6?1 C．32?17．(2023秋·安徽合肥）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙О與AB,BC,AC分別相切于點D，E，F(xiàn)，連接OE，OF，∠C=90°，AC=6，BC=8，則陰影部分的面積為（）A．2?12π B．4?12π8．(2023秋·安徽）如圖，C，D是⊙O上直徑AB兩側(cè)的兩點．設(shè)∠ABC=25°，則∠BDC=（

）A．85° B．75° C．70° D．65°二、填空題8．(2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）已知圓錐的底面半徑為3，母線長為7，則圓錐的側(cè)面積是_____．9．(2023秋·安徽）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A=120°，AB=8，CD為⊙O的直徑，則劣弧長為_____．10．(2023秋·安徽蕪湖）如圖，AB是半圓O的直徑，點D在半圓O上，AB=10，AD=6，C是弧BD上的一個動點，連接AC，過D點作DH⊥AC于H．連接BH，則在點C移動的過程中，線段BH的最小值是______．11．(2023秋·安徽）如圖，⊙O為等邊△ABC的外接圓，半徑為2，點D在劣弧AB上運動（不與點A，B重合），連接DA，DB，DC．（1）當(dāng)點D在劣弧AB中點時，四邊形ADBC的面積是_______；（2）四邊形ADBC的面積y關(guān)于線段DC的長x的函數(shù)關(guān)系式為_______．三、解答題12．(2023秋·安徽銅陵）如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點E，連接AC、OC、BC．（1）求證：∠ACO=∠BCD；（2）若AE=9BE，CD=6，求⊙O的直徑．13．(2023·安徽·一模）如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，且AB為⊙O的直徑，DE與⊙O相切于點D，交AB的延長線于點E，連接OD交BC于點F，連接AD、CD，∠E＝∠ADC．(1)求證：AD平分∠BAC；(2)若CF＝2DF，AC＝6，求⊙O的半徑r．14．(2023秋·安徽蕪湖）如圖，AB為⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，AC=CD=DB，DE⊥AC．求證：15．(2023秋·安徽阜陽）如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，點E在⊙O上CE=CA,AB,CE的延長線交于點(1)求證：CE與⊙O相切；(2)若⊙O的半徑為3，EF=4，求CE的長．16．(2023秋·安徽合肥）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分線，點O在AB上，以點O為圓心，OB長為半徑的圓經(jīng)過點D，交BC于點E，交AB于點F．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若CE＝2，CD＝4，求半徑的長．17．（2023秋·安徽池州）如圖，已知AB為⊙O的直徑，過⊙O上點C的切線交AB的延長線于點E，AD⊥EC于點D．且交⊙O于點F，連接BC，CF，AC．(1)求證：BC=CF；(2)若AD=3，，求BE的長，熱點09圓安徽中考數(shù)學(xué)中以圓為背景的綜合問題是中考命題趨勢之一，按往年命題趨勢猜測，很大概率會和平行線段分線段成比例，圖形的相似，梯形，特殊平行四邊形（最新熱點）等知識點結(jié)合，主要考查學(xué)生挖掘信息的能力，難題分解能力，數(shù)學(xué)綜合能力。考點一：圓的基本性質(zhì)（垂徑定理、四等關(guān)系、圓周角定理及其推論）【例1】．(2023秋·安徽滁州）如圖，⊙O的直徑CD過弦AB的中點E，且CE=2，DE=8，則AB的長為（

）A．82 B．83 C．4答案:D分析：連接OA，先計算圓的半徑為5，再計算OE=OC?CE=5?2=4，根據(jù)垂徑定理的推論，勾股定理計算即可．【解答】如圖，連接OA，∵CE=2，DE=8，∴，∴OA=OC=5，OE=OC?CE=5?2=3，∵⊙O的直徑CD過弦AB的中點E，∴OE⊥AB,AE=EB，∴，∴AB=2AE=8，故選D．【點睛】本題考查了垂徑定理的推論，勾股定理，熟練掌握兩個定理是解題的關(guān)鍵．【例2】．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（

）A．14 B．4 C．23 D．5答案:D分析：連接OA，過點O作OC⊥AB于點C，如圖所示，先利用垂徑定理求得AC=BC=12AB=5，然后在RtΔAOC中求得OC=2【解答】解：連接OA，過點O作OC⊥AB于點C，如圖所示，則AC=BC=12AB∵PA＝4，PB＝6，∴AB=PA+PB=4+6=10，∴AC=BC=1∴PC=AC?PA=5?4=1，在RtΔAOC中，OC=O在RtΔPOC中，OP=O故選：D【點睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理的運用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【例3】．（2023秋·安徽六安·）如圖，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，，點P是△ABC內(nèi)部的一個動點，連接PC，且滿足∠PAB=∠PBC，過點P作PD⊥BC交BC于點D（1）______；（2）當(dāng)線段CP最短時，△BCP答案:

90°

12分析：（1）由∠ABP+∠PBC=90°得到∠BAP+∠ABP=90°，即可得到∠APB=90°；（2）首先證明點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC與⊙O交于點P，此時PC最小，利用勾股定理求出OC即可得到PCOC=25，即可得到S【詳解】解：（1）∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°；故答案為：90°；（2）設(shè)AB的中點為O，連接OP，∵∠ABC=90°，則OP=OA=OB，∴點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點P，此時PC最小，在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC=BO∴PC=OC-OP=5-3=2．∴PCOC∵S∴S△BCP=2故答案為：125【點睛】本題考查點與圓位置關(guān)系、圓周角定理、最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是確定點P位置，學(xué)會求圓外一點到圓的最小、最大距離．【例4】．(2023·安徽合肥）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=8，點M在⊙O上，∠MAB=20°,N是MB的中點，P是直徑AB上的一動點，若MN=2，則△PMN周長的最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．7答案:C分析：根據(jù)動點最值，將軍飲馬模型，如圖所示，作點N關(guān)于AB的對稱點N'，連接MN'交AB于P，△PMN周長為PM+PN+MN=2+PM+PN，由對稱性知△PMN周長為=2+PM+PN=2+PM+PN'【解答】解：作點N關(guān)于AB的對稱點N'，則點N'在⊙O上，連接MN'交由對稱性知PN=PN∴△PMN周長為PM+PN+MN=2+PM+PN=2+PM+PN根據(jù)兩點之間線段最短可知△PMN周長的最小為2+MN∵點N是MB的中點，∠MAB=20°，∴MN=∴∠BAN'=10°，∴∠MAN'=20°+10°=30°，∴∠MON'=60°，∴△MON'是正三角形，∴OM=ON'=MN'=1∵MN=2，∴△PMN周長的最小值為2+4=6，故選：C．【點睛】本題考查動點最值問題-將軍飲馬模型，涉及圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系以及軸對稱性質(zhì)，掌握圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系以及軸對稱的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【例5】．(2023秋·安徽蕪湖）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，∠CDB=28°，過點C的切線交AB的延長線于點E，則∠E的大小為（）A．28° B．34° C．44° D．62°答案:B分析：首先連接OC，由切線的性質(zhì)可得OC⊥CE，又由圓周角定理，可求得的度數(shù)，繼而可求得答案．【解答】解：連接OC，∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥CE，即，∵∠COB=2∠CDB=56°，∴∠E=90°?∠COB=34°．故選：B【點睛】本題考查了切線性質(zhì)，圓周角定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【例6】．（2023·安徽）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，動點P從點A出發(fā)在邊AB上運動，同時動點Q從點B出發(fā)以同樣的速度在邊BC上運動．分別連接AQ,DP,AQ與DP相交于點E，連接，則線段的最小值為（

）A．5 B．22 C．22?1答案:D分析：先由點P與點Q的速度相同得到AP=BQ，然后結(jié)合正方形的性質(zhì)得證△DAP≌△ABQ，從而得到∠AED=90°，進而得到點E在以AD為直徑的圓O上運動，最后連接OB交圓O于點E即為所求．【解答】∵點P與點Q的速度相同，∴AP=BQ，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠DAP=∠ABQ，AB=AD，∴△DAP≌△ABQ（SAS），∴∠ABP=∠DAQ，∵∠ADP+∠BAQ=90°，∵∠DAE+∠BAQ=90°，∴∠DAE+∠ADE=90°，∴點E在以AD為直徑的圓上，圓心為點O，如圖，連接OB，與圓O的交點即為所求，∵AD=4，∴AB=4，AO=2，∴OB=A∴BE的最小值為OB-2=25故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過全等三角形得到∠AED=90°，進而得到點E的運動軌跡．考點二：與圓有關(guān)的位置關(guān)系【例7】．（2023秋·安徽亳州）下列說法中，真命題的個數(shù)是（

）①任何三角形有且只有一個外接圓；②任何圓有且只有一個內(nèi)接三角形；③三角形的外心不一定在三角形內(nèi)；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤經(jīng)過三點確定一個圓；A．1 B．2 C．3 D．4答案:B分析：①根據(jù)圓的確定，進行判斷即可；②根據(jù)三角形的定義進行判斷即可；③直角三角形的外心在斜邊上，銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部，鈍角三角形的外心在三角形的外部，進行判斷；④根據(jù)三角形的外心是三條邊的中垂線的交點，進行判斷即可；⑤不在同一條直線上的三個點確定一個圓．【解答】解：①任何三角形有且只有一個外接圓，是真命題；②任何圓有無數(shù)個內(nèi)接三角形，原說法錯誤，是假命題；③三角形的外心不一定在三角形內(nèi)，是真命題；④三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，原說法錯誤，是假命題；⑤不在同一條直線上的三個點確定一個圓，原說法錯誤，是假命題；綜上，真命題的個數(shù)為2個；故選B．【點睛】本題考查三角形的外接圓和圓的確定．熟練掌握不在同一條直線上的三個點確定一個圓，三角形的外心是三角形三邊的中垂線的交點，是解題的關(guān)鍵．【例8】．（2023秋·安徽池州）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，，P是平面內(nèi)一動點，且∠APB=90°，取BC的中點E，連接PE，則線段PE的最大值為（

A．2+13 B． C．210 D．答案:B分析：首先證明點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OE，EO的延長線與⊙O交于點P'，此時P'E就是PE【解答】解：取AB的中點O，以O(shè)為圓心，AB為直徑作圓，連接EO，EO的延長線與⊙O交于點P'此時EP'就是EP的最大值為：故選：B．【點睛】本題考查點與圓位置關(guān)系、圓周角定理、最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是確定點P位置，學(xué)會求圓外一點到圓的最小、最大距離，屬于中考?？碱}型．【例9】．(2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，AB為⊙O的直徑，直線EF與⊙O相切于點D，直線AC交EF于點、交⊙O于點C，連接AD、OD，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若，則AD平分∠BAH； B．若AD平分∠BAH，則AH⊥EF；C．若AH⊥EF，則AD平分∠BAH； D．若，則AH⊥EF．答案:D分析：根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)以及角平分線的定義分別分析即可判斷．【解答】解：A、∵AH∥OD，OD⊥HF，∴∠CAD=∠ADO，∵AO=OD，∴∠HAD=∠DAO=∠ADO，∴AD平分∠BAH，故正確，不合題意；B、∵AD平分∠BAH，∴∠HAD=∠DAO，∵AO=DO，∴∠DAO=∠ADO，∴∠ADO=∠HAD，∴AH∥OD，∵OD⊥HF，∴HA⊥HF，故正確，不合題意；C、∵AH⊥EF，OD⊥EH，∴AH∥OD，由A得：AD平分∠BHA，故正確，不合題意；D、由無法證明AH⊥EF，故錯誤，符合題意；故選D．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練運用切線的性質(zhì)．【例10】．(2023·安徽·二模）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，點D是BC的中點，點E是平面內(nèi)一個動點，，以點E為直角頂點，為直角邊在的上方作等腰直角三角形ECF．當(dāng)∠ADF的度數(shù)最大時，DF的長為（

）A． B．32 C．42?1 答案:B分析：如圖，連接AF，通過對應(yīng)邊的比相等和兩邊的一夾角證明△BCE∽△ACF，得出點F的運動軌跡為在以A為圓心，以AF為半徑的圓；過點D作⊙A的切線DF'、DF″，連接AF'、AF″，可知∠ADF=∠ADF【解答】解：如圖，連接AF由題意知△ABC和△CEF均為等腰直角三角形∴∠BCE=45°?∠ACE，∠ACF=45°?∠ACE∴∠BCE=∠ACF∵BC∴△BCE∽△ACF∴BE∴AF=∴點F在以A為圓心，以AF為半徑的圓上運動∴過點D作⊙A的切線DF'、DF″，連接在Rt△ABD中，AB=4，BD=12在Rt△ADF'∴當(dāng)∠ADF最大時，DF=3故選B．【點睛】本題考查了三角形相似，切線，勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵與難點在于得出點F的運動軌跡．【例11】．(2023·安徽合肥）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB邊上的一點，以O(shè)A為半徑的⊙O與邊BC相切于點E．(1)若AB=8，⊙O的半徑為3，求AC的長．(2)過點E作弦EF⊥AB于G，連接AF，若∠AFE=2∠ABC．求證：四邊形ACEF是菱形．答案:(1)(2)證明見解析分析：（1）先證明OE⊥BC,再求解BE=4,由tan∠（2）利用同弧所對的圓周角相等，得到∠AOE=4∠B，進而求出∠B與∠AFE的度數(shù)，根據(jù)EF與AD垂直，得到一對直角相等，確定出∠GEB=∠AFE=60°，CA與EF平行，進而得到CB與AF平行，確定出四邊形ACEF為平行四邊形，再由∠CAB為直角，得到CA為圓的切線，利用切線長定理得到CA=CE，利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可得證．【解答】（1）解：如圖，連接OE，∵BC是⊙O的切線，∴OE⊥BC,∵AB=8,OA=OE=3,∴OB=8?3=5,∴BE=5由tan∠∴AC∴AC=6.（2）∵AE=AE,∠AFE=2∴∠AOE=2∠AFE=4∠ABC，∵∠AOE=∠OEB+∠ABC，∴∠ABC=30°，∠AFE=60°，∵EF⊥AD，∴∠EGB=∠CAB=90°，∴∠GEB=∠AFE=60°，CA∥EF，∴CB∥AF，∴四邊形ACEF為平行四邊形，∵∠CAB=90°，OA為半徑，∴CA為圓O的切線，∵BC為圓O的切線，∴CA=CE，∴平行四邊形ACEF為菱形．【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)及切線長定理的應(yīng)用，菱形的判定，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握圓的基本性質(zhì)及重要的定理是解本題的關(guān)鍵．【例12】．(2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）如圖，AC是⊙O的直徑，BC，BD是⊙O的弦，M為BC的中點，OM與BD交于點F，過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于點E，且CD平分∠ACE．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若DE=12，tan∠CDE=2答案:(1)見解析(2)5分析：（1）連接OD，AD，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得出∠ADC=90°，再綜合角平分線的定義以及圓的基本性質(zhì)，推出∠CDE=∠ADO，從而推出∠ADC=∠ODE，即可得證；（2）在（1）的基礎(chǔ)之上，結(jié)合同弧所對的圓周角相等，可證∠CAD=∠DBE；由tan∠CDE=，求出CE=8，BE=18，可得BC=10，由M為BC的中點，可得OM⊥BC，BM=52；【解答】(1)解：如圖，連接OD，AD，∵OD，OC為半徑，∴OD=OC

∴∠ODC=∠OCD∵CD平分∠ACE，∴∠OCD=∠ECD，∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，∴∠DCE+∠CDE=90°∴∠ODC+∠CDE=90°，即：∠ODE=90°，∵OD為半徑，∴DE是⊙O的切線；(2)解：如（1）圖，連接AD可得∠CDE=∠CAD，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可得∠CAD=∠DBE，∴∠CDE=∠DBE；Rt△CDE中，DE=12，tan∠CDE=，∴CE12=∴CE=8，由∠CDE=∠DBE，Rt△BDE中，DE=12，tan∠DBE=，∴12∴BE=18，∴BC=BE-CE=10，∵M為BC的中點，∴OM⊥BC，BM=12BC【點睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及圓的切線、圓周角定理、解直角三角形及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用圓的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化相關(guān)角及線段．考點三：與圓有關(guān)的計算【例13】．(2023·安徽·模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的直徑，且AB=8，點C是⊙O上一點，連接AC，過點O作OD⊥AC于點D，將AC沿直線AC翻折．若翻折后的圓弧恰好經(jīng)過點O，則圖中陰影部分的面積為（

）A．8π3+23 B．4π3+23答案:A分析：如圖，連接OC，BC．證明△OBC是等邊三角形，利用分割法求解即可．【解答】解：如圖，連接OC，BC．可得OB=OC=4，∵∠CAO=∠CAB，∴OC=∴OC=BC=OB，∴∠COB=60°，∴∠AOC=180°-60°=120°，∵OD⊥AC，∴∠COD=60°，∴OD=1∴S陰故選：A．【點睛】本題考查扇形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題．【例14】．(2023·安徽宿州·模擬預(yù)測）如圖，王虎使一長為4cm，寬為3cm的長方形木板，在桌面上做無滑動的翻滾（順時針方向）木板上點A位置變化為A→A1→A2，其中第二次翻滾被桌面上一小木塊擋住，使木板與桌面成30°角，則點A翻滾到A2位置時共走過的路徑長為（

）A．10cm B．cm C．72πcm D．5答案:C分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得到點A以B為旋轉(zhuǎn)中心，以∠ABA1為旋轉(zhuǎn)角，順時針旋轉(zhuǎn)得到A1；A2是由A1以C為旋轉(zhuǎn)中心，以∠A1CA2為旋轉(zhuǎn)角，順時針旋轉(zhuǎn)得到，由于∠ABA1＝90°，∠A1CA2＝60°，AB＝5cm，CA1＝3cm，然后根據(jù)弧長公式計算即可．【解答】解：點A以B為旋轉(zhuǎn)中心，以∠ABA1為旋轉(zhuǎn)角，順時針旋轉(zhuǎn)得到A1，A2是由A1以C為旋轉(zhuǎn)中心，以∠A1CA2為旋轉(zhuǎn)角，順時針旋轉(zhuǎn)得到，∵∠ABA1＝90°，∠A1CA2＝60°，AB＝32+42∴點A翻滾到A2位置時共走過的路徑長＝90π×5180故選：C．【點睛】本題考查了弧長公式以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，準確得到點A的運動軌跡是兩段弧，是解題的關(guān)鍵．考點四：圓的綜合【例15】．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為BA的延長線上一點，連接CD．(1)如圖1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的長；(2)如圖2，若DC與⊙O相切，E為OA上一點，且∠ACD＝∠ACE，求證：CE⊥AB．答案:(1)3(2)見解析分析：（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)（在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半）及勾股定理可求出OD，進而求出AD的長；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)可得OC⊥CD，根據(jù)同一個圓的半徑相等及等腰三角形的性質(zhì)可得∠OCA=∠OAC，由各個角之間的關(guān)系以及等量代換可得答案．【解答】（1）解：∵OA=1=OC，CO⊥AB，∠D=30°∴CD=2?OC=2∴OD=∴（2）證明：∵DC與⊙O相切∴OC⊥CD即∠ACD+∠OCA=90°∵OC=OA∴∠OCA=∠OAC∵∠ACD=∠ACE∴∠OAC+∠ACE=90°∴∠AEC=90°∴CE⊥AB【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【例16】．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓O中兩條互相垂直的弦AB，CD交于點E．（1）M是CD的中點，OM＝3，CD＝12，求圓O的半徑長；（2）點F在CD上，且CE＝EF，求證：AF⊥BD．答案:（1）35分析：（1）根據(jù)M是CD的中點，OM與圓O直徑共線可得OM⊥CD，OM平分CD，則有MC=6，利用勾股定理可求得半徑的長；（2）連接AC，延長AF交BD于G，根據(jù)CE=EF，AE⊥FC，可得AF=AC，∠1=∠2，利用圓周角定理可得∠2=∠D，可得∠1=∠D，利用直角三角形的兩銳角互余，可證得∠AGB=90°，即有AF⊥BD．【解答】（1）解：連接OC，∵M是CD的中點，OM與圓O直徑共線∴OM⊥CD，OM平分CD，∴∠OMC=90°∵CD=12∴MC=6．在Rt△OMC中．OC===3∴圓O的半徑為3（2）證明：連接AC，延長AF交BD于G．∵CE=EF，AE⊥FC∴AF=AC又∵CE=EF∴∠1=∠2∵∴∠2=∠D∴∠1=∠D在Rt△BED中∠D+∠B=90°∴∠1+∠B=90°∴∠AGB=90°∴AF⊥BD【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，直角三角形的兩銳角互余，勾股定理等知識點，熟練應(yīng)用相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．【例17】．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是半圓O的直徑，C,D是半圓O上不同于A,B的兩點AD=BC,AC與BD相交于點F,BE是半圓O所在圓的切線，與AC的延長線相交于點E，1求證：ΔCBA≌ΔDAB；2若BE=BF,求AC平分∠DAB．答案:1證明見解析；2證明見解析．分析：1利用AD=BC,證明∠ABD=∠BAC,利用AB為直徑，證明∠ADB=∠BCA=90°,結(jié)合已知條件可得結(jié)論；2利用等腰三角形的性質(zhì)證明：∠EBC=∠FBC,再證明∠CBF=∠DAF,利用切線的性質(zhì)與直徑所對的圓周角是直角證明：∠EBC=∠CAB,從而可得答案．【解答】1證明：∵AD=BC,∴AD∴∠ABD=∠BAC,為直徑，∴∠ADB=∠BCA=90°,∵AB=BA,∴△CBA≌△DAB．2證明：∵BE=BF,∠ACB=90°,∴∠FBC=∠EBC,∵∠ADB=∠ACB=90°,∠DFA=∠CFB,∴∠DAF=∠FBC=∠EBC,∵BE為半圓O的切線，∴∠ABE=90°,∠ABC+∠EBC=90°,∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°,∴∠CAB=∠EBC,∴∠DAF=∠CAB,平分∠DAB．【點睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，弧，弦，圓心角，圓周角之間的關(guān)系，直徑所對的圓周角是直角，三角形的全等的判定，切線的性質(zhì)定理，三角形的內(nèi)角和定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【例18】．(2023·安徽宿州·一模）已知A、C、D為⊙O上三點，且AD=CD．(1)如圖1，延長AD至點B，使BD=AD，連接CB．①求證：△ABC為直角三角形；②若⊙O的半徑為4，，求BC的值；(2)如圖2，若∠ADC=90°，E為⊙O上的一點，且點D，E位于AC兩側(cè)，作△ADE關(guān)于AD對稱的圖形△ADQ，連接QC，求證：QA答案:(1)①見解析；②BC=(2)見解析分析：（1）①根據(jù)已知條件結(jié)合等邊等角，三角形內(nèi)角和定理可得∠ACB=90°，即可證明△ABC為直角三角形；；②連接OA，OD，利用垂徑定理得到OD⊥AC且AH＝CH，設(shè)DH＝x，則OH＝4?x，利用勾股定理列出方程求得DH的值，再利用三角形的中位線定理得到BC＝2DH；（2）延長QA交⊙O于點F，連接DF，F(xiàn)C，由已知可得∠DAC＝∠DCA＝45°；利用同弧所對的圓周角相等，得到∠DFA＝∠E＝∠DCA＝45°，∠DFC＝∠DAC＝45°，由于△ADQ△與ADE關(guān)于AD對稱，于是∠DQA＝∠E＝45°，則得△DQF為等腰直角三角形，△QFC為直角三角形；利用勾股定理可得：QC2＝QF2＋CF2，QF2＝2DQ2；利用△QDA≌△FDC得到QA＝FC，等量代換可得結(jié)論．【解答】（1）①解：∵AD＝CD，BD＝AD，∴DB＝DC．∴∠DAC=∠DCA,∠DCB=∠DBC∵∠BAC+∠ACB+∠B=180°∴∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°∴∠DCA+∠DCB=90°即∠ACB=90°∴△ABC為直角三角形；②證明：連接OA，OD，如圖，∵AD＝CD，∴AD=∴OD⊥AC且AH＝CH．∵⊙O的半徑為4，∴OA＝OD＝4．設(shè)DH＝x，則OH＝4?x，∵AH2＝OA2?OH2，AH2＝AD2?DH2，∴52?x2＝42?（4?x）2．解得：x＝258∴DH＝258由①知：BC⊥AC，∵OD⊥AC，∴OD∥BC．∵AH＝CH，∴BC＝2DH＝254（2）延長QA交⊙O于點F，連接DF，F(xiàn)C，如圖，∵∠ADC＝90°，AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝45°．∴∠DFA＝∠E＝∠DCA＝45°，∠DFC＝∠DAC＝45°．∴∠QFC＝∠AFD＋∠DFC＝90°．∴QC2＝QF2＋CF2．∵△ADQ與△ADE關(guān)于AD對稱，∴∠DQA＝∠E＝45°，∴∠DQA＝∠DFA＝45°，∴DQ＝DF．∴∠QDF＝180°?∠DQA?∠QFD＝90°．∴DQ2＋DF2＝QF2．即QF2＝2DQ2．∵∠QDF＝∠ADC＝90°，∴∠QDA＝∠CDF．在△QDA和△FDC中，∠QAD=∠DCF∠DQA=∠DFC=45°∴△QDA≌△FDC（AAS）．∴QA＝FC．∴QC2＝2QD2＋QA2．【點睛】本題是一道圓的綜合題，主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，圓周角定理及其推論，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，方程的解法．根據(jù)圖形的特點恰當(dāng)?shù)奶砑虞o助線是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．(2023秋·安徽淮南）如圖，點AB和C、D分別在以點O為圓心的兩個同心圓上，若∠AOB=∠COD，∠C=m°，則（）A．12m° B．m° C．32答案:B分析：由∠AOB=∠COD得∠BOC=∠AOD，證△BOC≌△AODSAS【解答】解：∵∠AOB=∠COD，∴∠AOB+∠AOC=∠COD+∠AOC，∴∠BOC=∠AOD，在△BOC和△AOD中，OA=OB∠BOC=∠AOD∴△BOC≌△AODSAS∠D=∠C=m°，故選：B．【點睛】本題考查了圓的半徑相等，全等三角形的判定和性質(zhì)；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．2．(2023春·安徽亳州）如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心，C是半圓上的點，D是AC上的點，若∠BAC＝20°，則∠D的度數(shù)為（

）A．100° B．110° C．120° D．130°答案:B分析：連接BD，根據(jù)圓周角定理求出∠ADB及∠BDC的度數(shù)，進而可得出結(jié)論．【解答】連接BD，∵AB是半圓的直徑，∴∠ADB=90°．∵∠BAC=20°，∴∠BDC=∠BAC=20°，∴∠D=∠ADB+∠BDC=90°+20°=110°．故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓周角是解答此題的關(guān)鍵．3．(2023春·安徽滁州）如圖，在△ABC中，O為AC邊上一點，以O(shè)為圓心，OC為半徑的半圓切AB于點B，若AB=OC=2，則△ABC的面積為（

A．1+22 B．1+2 C．2答案:A分析：過點B作BD⊥AC，連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)結(jié)合已知條件可得△ABO是等腰直角三角形，然后求得AO,BD，即可根據(jù)三角形的面積公式求解．【解答】如圖，過點B作BD⊥AC，連接OB，∵以O(shè)為圓心，OC為半徑的半圓切AB于點B，∴OB⊥AB，∵OB=OC,AB=OC，∴AB=BO=2∴△ABO是等腰直角三角形，∴AO=2∴BD=1，∴AC=AO+OC=2+2∴S故選A．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積公式，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．(2023秋·安徽淮南）下列說法正確的是（

）A．等弧所對的圓心角相等 B．在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等C．過三點可以畫一個圓 D．平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧答案:A分析：根據(jù)確定圓的條件，弧，圓心角，弦之間的關(guān)系，垂徑定理的判定進行一一判斷即可．【解答】解：A、等弧所對的圓心角相等，說法正確，本選項符合題意；B、在等圓中，如果弦相等，但它們所對的弧不一定相等，本選項不符合題意；C、過不在同一直線上的三點可以畫一個圓，說法不正確，本選項不符合題意；D、平分弦（非直徑）的直徑，平分這條弦所對的弧，說法不正確，本選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查確定圓的條件，弧，圓心角，弦之間的關(guān)系，垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．5．(2023秋·安徽合肥）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，點F為射線CB上一動點，過點C作CM⊥AF于M交AB于E，D是AB的中點，則DM長度的最小值是(

)A． B．2 C．1 D．6-2答案:C分析：取AC的中點T，連接DT，MT．利用三角形的中位線定理求出DT，利用直角三角形的中線的性質(zhì)求出MT，再根據(jù)，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，取AC的中點T，連接DT，MT．∵AD=DB，，∴．∵CE⊥AF，∴∠AMC=90°，∴，∴點M的運動軌跡是以T為圓心，TM為半徑的圓，∴，∴DM的最小值為1，故選：C．【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系，三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線，直角三角形斜邊中線解決問題．6．(2023秋·安徽合肥）如圖，⊙O的半徑為2，AB是⊙O的直徑，點C、M在⊙O上，∠AOC=120°，取弦AM的中點N，連接CN，當(dāng)點M在上⊙O運動時，線段CN的最小值為（

）A．2 B．6?1 C．32?1答案:D分析：根據(jù)垂徑定理即可判斷點N在以O(shè)A為直徑的圓上，設(shè)為⊙Q，連接CQ，與⊙Q的交點即為N點，此時CN有最小值，最小值為CQ?QN，利用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形即可求得QH，CH，然后根據(jù)勾股定理求得CQ，進而求得CN的最小值。【解答】解：如圖，連接ON，AC，∵點N是AM的中點，∴ON⊥AM∴點N在以O(shè)A為直徑的圓上，設(shè)為⊙Q∴OQ=AQ=QN=1連接CQ，與⊙Q的交點即為N點，此時CN有最小值，最小值為CQ?QN，作OP⊥AC于P，QH⊥AC于，∵OA=OC∴P是AC的中點，∵∠A0C=∴AP=32OA=3∴CQ=∴CN的最小值為7故選D【點睛】本題考查了點和圓的位置關(guān)系，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及解直角三角形，解題關(guān)鍵是確定點N在以O(shè)A為直徑的圓上。7．(2023秋·安徽合肥）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙О與AB,BC,AC分別相切于點D，E，F(xiàn)，連接OE，OF，∠C=90°，AC=6，BC=8，則陰影部分的面積為（）A．2?12π B．4?12π答案:C分析：連接OD，由題意，先利用勾股定理求出AB的長度，設(shè)半徑為r，然后求出內(nèi)切圓的半徑，再利用正方形的面積減去扇形的面積，即可得到答案．【解答】解：連接OD，如圖：在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理，則AB=A設(shè)半徑為r，則OD=OE=OF=r，∴CF=CE=OE=OF=r，∴四邊形CEOF是正方形；由切線長定理，則AD=AF=6?r，BE=BD=8?r，∵AB=AD+BD，∴，解得：r=2，∴OD=OE=OF=2；∴陰影部分的面積為：S=2×2?90×π×故選：C．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線的性質(zhì)，切線長定理，求扇形的面積，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的進行解題．8．(2023秋·安徽）如圖，C，D是⊙O上直徑AB兩側(cè)的兩點．設(shè)∠ABC=25°，則∠BDC=（

）A．85° B．75° C．70° D．65°答案:D分析：先利用直徑所對的圓周角是直角得到∠ACB=90°，從而求出∠BAC，再利用同弧所對的圓周角相等即可求出∠BDC．【解答】解：∵C，D是⊙O上直徑AB兩側(cè)的兩點，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=25°，∴∠BAC=90°-25°=65°，∴∠BDC=∠BAC=65°，故選：D．【點睛】本題考查了圓周角定理的推論，即直徑所對的圓周角是90°和同弧或等弧所對的圓周角相等，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與推論，本題蘊含了屬性結(jié)合的思想方法．二、填空題8．(2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）已知圓錐的底面半徑為3，母線長為7，則圓錐的側(cè)面積是_____．答案:21π．分析：利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式計算．【解答】解：圓錐的側(cè)面積＝12故答案為21π．【點睛】本題考查圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．9．(2023秋·安徽）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A=120°，AB=8，CD為⊙O的直徑，則劣弧長為_____．答案:8π分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠D=180°?∠A=60°，CD=AB=8，連接OE，根據(jù)圓周角定理得到∠COE=2∠D=120°，根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠A=120°，AB=8，∴∠D=180°?∠A=60°，CD=AB=8，連接OE，∴∠COE=2∠D=120°，OC=1∴劣弧EC長為120π×4180故答案為：8π3【點睛】本題考查了弧長的計算，平行四邊形的性質(zhì)，求出圓心角是解決問題的關(guān)鍵．10．(2023秋·安徽蕪湖）如圖，AB是半圓O的直徑，點D在半圓O上，AB=10，AD=6，C是弧BD上的一個動點，連接AC，過D點作DH⊥AC于H．連接BH，則在點C移動的過程中，線段BH的最小值是______．答案:73?3##分析：連接BD，取AD的中點E，連接，由題可知點在以E為圓心，AE為半徑的圓上，當(dāng)B、、E三點共線時，BH最??；求出BD=8，在Rt△BED中，BE=73，所以BH=73?3，即為所求．【解答】解：連接BD，取AD的中點E，連接，，∴H點在以E為圓心，AE為半徑的圓上，當(dāng)B、、E三點共線時，BH最小，是直徑，∴∠BDA=90°，∵AB=10，AD=6，，，在Rt△BED中，BE=B∴BH=BE?EH=73故答案為：73?3【點睛】本題考查點的運動軌跡，勾股定理，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)點的運動情況，確定點的運動軌跡．11．(2023秋·安徽）如圖，⊙O為等邊△ABC的外接圓，半徑為2，點D在劣弧AB上運動（不與點A，B重合），連接DA，DB，DC．（1）當(dāng)點D在劣弧AB中點時，四邊形ADBC的面積是_______；（2）四邊形ADBC的面積y關(guān)于線段DC的長x的函數(shù)關(guān)系式為_______．答案:

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分析：（1）當(dāng)點D在劣弧AB中點時，CD為直徑，代入數(shù)據(jù)即可求解；（2）將ΔADC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到ΔBHC，可證是等邊三角形，可得四邊形ADBC的面積，【解答】理由如下：如圖1，將ΔADC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到ΔBHC，∴CD=CH，∠DAC=∠HBC，∵四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠DAC+∠DBC=180°，，∴點D，點B，點三點共線，∵DC=CH，∠CDH=60°，是等邊三角形，∵四邊形ADBC的面積，∴y=3∴當(dāng)點D在劣弧AB中點時，CD為直徑，此時x=4，∴四邊形ADBC的面積為43故答案為：43，y=【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵．三、解答題12．(2023秋·安徽銅陵）如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點E，連接AC、OC、BC．（1）求證：∠ACO=∠BCD；（2）若AE=9BE，CD=6，求⊙O的直徑．答案:（1）證明見解析；（2）10分析：（1）先利用OA=OC得到∠ACO=∠A，再利用直角三角形的兩銳角互余即可求解；（2）利用垂徑定理得到CE＝DE=12CD=3，再得到OA=OC=OB=5BE，OE=OB?BE=4BE，在RtΔOCE中，利用OE【解答】（1）證明：∵OA=OC∴∠ACO=∠A又∵AB為直徑，∴∠A+∠B=90又∵AB⊥CD∴∠BCD+∠B=90∴∠A=∠BCD∴∠ACO=∠BCD（2）∵AB⊥CD，AB為直徑∴CE=DE，∴CE=又∵AE=9BE，∴AB=10BE，∴OA=OC=OB=5BE，∴OE=OB?BE=4BE，∴在RtΔOCE中，O即4BE2+3∴AB=10BE=10．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．13．(2023·安徽·一模）如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，且AB為⊙O的直徑，DE與⊙O相切于點D，交AB的延長線于點E，連接OD交BC于點F，連接AD、CD，∠E＝∠ADC．(1)求證：AD平分∠BAC；(2)若CF＝2DF，AC＝6，求⊙O的半徑r．答案:(1)見解析；(2)5分析：（1）根據(jù)圓周角定理得到，進而證明∠E=∠ABC，得到BC∥DE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，根據(jù)垂徑定理得到BD=CD（2）根據(jù)三角形中位線定理求出OF，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】（1）證明：由圓周角定理得：，∵∠E=∠AD