機械能（二）

——一維勢能曲線和碰撞再研究

一、一維勢能曲線物體一維運動的勢能曲線x0A’A’’AB’B’’CBE1E2V(x)x對一維運動,只要力是坐標的單值函數(shù),一定是保守力.（i）保守力指向勢能下降的方向，大小正比于勢能曲線的斜率x0A’A’’AB’B’’CBE1E2V(x)x（ii）總能量E水平線在各點相距下邊勢能曲線的高度，代表質(zhì)點在該處的動能.由于經(jīng)典動能為正,所以水平線低于勢能曲線的區(qū)間,是具有該能量的質(zhì)點不能達到的地段.（iii）勢能曲線在局部的最低(極小)點,都是穩(wěn)定平衡點.總能量略高于它們的質(zhì)點,只能在它們附近一定范圍內(nèi)活動.勢能曲線在局部的最高(極大)點,都是不穩(wěn)定平衡點.總能量略高于它們的質(zhì)點,都會遠離而去.（iv）在勢能曲線任何極小點附近,質(zhì)點可能圍繞著它做小振動.可以如下計算振動周期（v）以A點(x0)為例,計算小振動的振動周期顯然勢能在這里一階導數(shù)為零,二階導數(shù)大于零.在

x=x-x0不大的范圍內(nèi),把勢能函數(shù)展開成泰勒級數(shù):對于小振動,我們忽略三階及以上的小量.由于坐標原點選擇具有任意性,我們設x0=0,

x=x,V(x0)=0,上式簡化為:,這代表一根拋物線.將機械能守恒定律改寫為由此得方程:或者為了積分方便,換元令從而這樣,上述方程化為:兩邊積分還原到x,有周期T的意思是,當t變化到t+T,

變化到

+2

,x回到原來的數(shù)值.所以例1、單擺是由一質(zhì)量為m的質(zhì)點用長為l的輕桿懸掛在某點構(gòu)成的.假定弦不能伸長,且質(zhì)量可以忽略.(1)以角度

為參數(shù)做勢能曲線,說明圖上哪個

范圍是小球能夠達到的;(2)對于H=E/mgl

=0.1,1,2,3.5,試做角速度與角位移曲線,并討論它們各自對應的單擺運動情況;(3)

求小振幅時的周期.lmg

解:

(1)單擺的重力勢能為曲線如圖所示,它在

=0處有極小值,即這里是穩(wěn)定平衡點.表示總能量E的水平線與勢能曲線之間相差的高度代表動能Ek.因為動能恒正,所以運動只能在勢能曲線低于水平線的范圍內(nèi)才能實現(xiàn),則虛線的位置標示著振幅.

V/mgl當H=0.1時振幅很小,曲線是一個橢圓;H=2對應于振幅為

的情況,曲線仍閉合,但兩端凸出略呈尖角狀;H=3.5時曲線分裂成上下兩支,分別對應于擺錘順時針和逆時針的旋轉(zhuǎn);H=2是介于往復擺動與單向旋轉(zhuǎn)之間的臨界狀態(tài),它在兩端交叉成尖角,此處對應于擺錘在正上方的不穩(wěn)定位置.這條把兩種運動形式分開的曲線稱為“相分界線”.(2)擺錘的速度,故動能為,從而或者所以分別把給定的H值帶入,則由每個

值就可以畫出角速度與它的關系.(見上圖)(3)線位移x=l

,計算勢能在平衡點的二階導數(shù):周期為:例2、彈簧振子一質(zhì)量為m的質(zhì)點連接一個輕質(zhì)彈簧,彈簧振子的彈性系數(shù)為k.(1)做V(x)-x曲線,說明圖上哪個范圍是振子能夠達到的;(2)對于E,2E,3E,試做速度與位移曲線,并討論其對應的運動情況;(3)

求彈簧振子的周期.x0mxkmf解:(1)振子的勢能為:曲線是一條拋物線.在x=x0

=0處有極小值,即這里是穩(wěn)定平衡點.表示總能量E的水平線與勢能曲線之間相差的高度代表動能Ek.因為動能恒正,所以運動只能在勢能曲線低于水平線的范圍內(nèi)才能實現(xiàn),虛線的位置為其振幅.(2)振子的總能量為顯然,無論能量(或者振幅)大小,軌跡總是橢圓.(3)計算勢能在平衡點的二階導數(shù):彈簧振子的周期為:例3、如圖為一倒擺裝置,螺旋彈簧把它支撐在=0的平衡位置上,擺錘在重力和彈性力的共同下運動,試從它的勢能曲線討論其運動的穩(wěn)定性.解:彈簧服從胡克定律,即其彈性勢能為倒擺的重力勢能為平衡位置對應于勢能的極值上述方程可以用作圖法來求解(如圖).即找到兩條曲線的交點,顯然

=0總是解;但是還可能存在解,(1)當k/mgl>1時(彈簧硬,或者擺短)不再有交點;(2)當k/mgl<1時(彈簧軟,或者擺長)左右對稱的交點;(3)當k/mgl=1時是臨界狀態(tài).為了分析平衡位置的穩(wěn)定性,需要考慮勢能的二階導數(shù)證明:

在中央平衡點

=0處,當k/mgl>1時二階導數(shù)為正,是穩(wěn)定點.當k/mgl<1時二階導數(shù)為負,是不穩(wěn)定平衡點,即中央失穩(wěn).可以證明這時另外兩個平衡點二階導數(shù)為負,是穩(wěn)定平衡點.

從相圖知:(i)k/mgl>1時,相軌都是圍繞中央唯一平衡點的閉合曲線,(ii)k/mgl<1時,中央為極大值,勢能V=0.若E>0,相軌是一條閉合曲線,擺錘作大幅度擺動,左右仍是對稱的.當E<0時,相軌分裂為兩個較小的閉合曲線,它們各自圍繞左右兩個穩(wěn)定的平衡點運動.對應于E=0的相軌是分界線,它呈“8”字形，在中央自我交叉.倒擺的勢能曲線和相圖左(i)k/mgl>1右(ii)k/mgl<1例4、質(zhì)量為m的小環(huán)套在半徑為R的光滑大圓環(huán)上,后者繞豎直軸以勻角速度

轉(zhuǎn)動.試用勢能曲線討論小環(huán)的運動.解:在隨大環(huán)轉(zhuǎn)動的參照系內(nèi)只有

一個坐標參量,是一維運動,慣性離心力ABCDRO

mgmr

2它所做的功等于對應的勢能的減少同樣以

=0處為零點,重力勢能為總機械能為:在

<

c時勢能在

0=0處有一個極小值;

>

c時勢能在

0=0處勢能變成了極大值;

而在其兩側(cè)各出現(xiàn)一個極小值.顯然和上例相似,在

=

c處有因?qū)ΨQ性自發(fā)破缺而產(chǎn)生的分叉現(xiàn)象.從上式可以畫出相應的相圖.用mgR約化,得無量綱的能量其中:

<

c時的勢能曲線和相圖

>

c時的勢能曲線和相圖天體、宏觀物體、分子、原子、原子核以及基本粒子.散射:如果兩個物體之間有斥力作用(如電磁力)則兩個物體相互作用而不會接觸的現(xiàn)象.分析碰撞與散射問題,由于相互作用時間都很短,外力可以忽略,所以都存在動量守恒.同樣能量守恒,不僅僅局限在機械能守恒.所以能量守恒寫為:Uf中包含了碰撞對象間的勢能和各對象的內(nèi)能二、碰撞再研究定義反應能宏觀上是熱能,微觀上可能是粒子的動能,也可能是其他形式的內(nèi)能Q=0,相當于彈性碰撞,機械能守恒.Q>0,相應于放熱反應,原子核裂變、聚變、爆炸.實際上是其他來源提供了能量而使得動能增加.Q<0,相當于非彈性碰撞,相應于吸熱反應,是動能轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌芰?一般物理問題研究中,我們關心的不是碰撞或者散射過程的細節(jié),而是Q值.碰撞過程可以看作黑箱.下面仍討論簡單的正碰問題m1v1m2v2m1v1’m2v2’碰撞前碰撞后動量和能量守恒分別為:(1)Q=0時,上式可以化為對于(否則不碰撞),有這導致簡單計算得到為了討論簡單,我們?nèi)2=0.于是,(i)反沖如果,則質(zhì)點2獲得動能,但是很小.(ii)轉(zhuǎn)移如果,則速度和能量都發(fā)生了轉(zhuǎn)移,這就解釋了在反應堆中,單就質(zhì)量而言氫是最有效的中子減速劑.可是由于質(zhì)子俘獲中子而產(chǎn)生氘.通常采用重水而直接利用其中的氘來做減速劑.(iii)如果,則(2)Q<0時,則非彈性碰撞,定義恢復系數(shù)例5、一束能量為1.85MeV的質(zhì)子轟擊氟核,一些質(zhì)子以反應的形式與氟核作用.在垂直于入射束的方向上觀察到有

粒子出現(xiàn),它們的速度是1.95107m/s.求該過程的反應能.已知:mF=19.0u,mp=1.01u,mO=16.0u,m

=4.00u,u為原子質(zhì)