2021年中考數(shù)學(xué)專題培優(yōu)訓(xùn)練:

《反比例函數(shù)綜合》(五)

1.如圖，直線，=2/2與y軸交于4點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象交于點(diǎn)“，過

x

〃作MHA.x軸于點(diǎn)H,且tanNAHO=2.

(1)求，點(diǎn)的坐標(biāo)及％的值；

(2)點(diǎn)。在y軸上，使△/!仍是以為"為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的戶

點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)”(a,1)是反比例函數(shù)y=K(x>0)圖象上的點(diǎn)，點(diǎn)。(m,0)是x軸上的動(dòng)

X

點(diǎn)，當(dāng)△腑Q的面積為3時(shí)，請(qǐng)求出所有滿足條件的m的值.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4在反比例函數(shù)y」2(x>0)的圖象上，

x

作48,y軸于8點(diǎn).

(1)△480的面積為;

(2)若點(diǎn)力的橫坐標(biāo)為4,點(diǎn)夕在x軸的正半軸，且△"戶是等腰三角形，求點(diǎn)戶的坐

(3)動(dòng)點(diǎn)〃從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，以例為直角邊，在例的右側(cè)作等腰Rt

△MAN、N例490°；若在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，斜邊腑始終在x軸上，求麻-的

3.已知：如圖，兩點(diǎn)彳(-4,2)、B(/7,-4)是一次函數(shù)(4中0)和反比例函

數(shù)"=%(〃片0)圖象的兩個(gè)交點(diǎn).

x

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的的解析式.

(2)求△408的面積.

(3)觀察圖象，直接寫出不等式4對(duì)6》處的解集.

X

4.如圖，反比例函數(shù)尸旦的圖象與一次函數(shù)，=火/。的圖象交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)4的坐標(biāo)

x

為(2,6),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(〃，1).

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)結(jié)合圖象，直接寫出不等式叫的解集；

X

(3)點(diǎn)E為v軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若S△詆=5,直接寫出點(diǎn)￡的坐標(biāo).

4.如圖，一次函數(shù)，與反比例函數(shù)y=K的圖象交于點(diǎn)力(4,a)、8(-8,-2).

2x

(1)求A\占、6的值；

(2)求關(guān)于x的不等式6＞上的解集；

2x

(3)若點(diǎn)戶在y軸上，點(diǎn)。在反比例函數(shù)尸X的圖象上，且4B、P、。恰好是一個(gè)平

X

6.如圖，點(diǎn)48分別在x軸和y軸的正半軸上，以線段48為邊在第一象限作等邊△力8Q

SAABC且以〃"軸?

(1)若點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=&(k聲0)的圖象上，求該反比例函數(shù)的解析式；

x

(2)在(1)中的反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)乂使四邊形削是菱形，若存在請(qǐng)求

出點(diǎn)〃坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)點(diǎn)戶在第一象限的反比例函數(shù)圖象上，當(dāng)四邊形勿煙的面積最小時(shí)，求出戶點(diǎn)坐

標(biāo).

備用圖

7.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(勿，〃)在第一象限內(nèi)，48_1。力且48=04反比例函數(shù)

卜=區(qū)的圖象經(jīng)過點(diǎn)4

x

(1)當(dāng)點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,0)時(shí)(如圖)，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)8在反比例函數(shù)y=K的圖象上，且在點(diǎn)4的右側(cè)時(shí)(如圖2),用含字母

x

〃的代數(shù)式表示點(diǎn)8的坐標(biāo)；

8.如圖①，在矩形018c中，0/1=4,0X3、分別以0C、)所在的直線為x軸、y軸，建

立如圖所示的坐標(biāo)系，連接OB,反比例函數(shù)y=-(x>0)的圖象經(jīng)過線段出的中點(diǎn)D,

x

并與矩形的兩邊交于點(diǎn)E和點(diǎn)尸，直線/：經(jīng)過點(diǎn)￡和點(diǎn)尸.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)連接如、OF,求△面的面積；

(3)在第一象限內(nèi)，請(qǐng)直接寫出關(guān)于x的不等式％/bwK的解集：.

X

(4)如圖②，將線段仍繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，使得點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)//恰好落在x

軸的正半軸上，連接BH,作8",點(diǎn)/V為線段?！ㄉ系囊粋€(gè)動(dòng)點(diǎn)，求例懺零削的最小

5

值.

9.如圖，直線y=mx與反比例函數(shù)y=上(x>0)的圖象交于。點(diǎn)，點(diǎn)8(3,4)在反比例

x

函數(shù)y=K的圖象上，過點(diǎn)8作用〃x軸交0。于點(diǎn)匕過點(diǎn)戶作以〃y軸交反比例函數(shù)

x

q

圖象于點(diǎn)4已知點(diǎn)4的縱坐標(biāo)為日■.

4

(1)求反比例函數(shù)及直線。的解析式；

(2)連接求480的面積和sinNM"的值.

(3)在x軸上存在點(diǎn)兒,使得△戶加的面積與△戶)的面積相等,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)兒的坐標(biāo).

10.如圖，點(diǎn)力是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。是反比例函數(shù)，=旦(x>0)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)8在X軸上,

x

AD=BD,四邊形被步是平行四邊形，6C交反比例函數(shù)尸2(x>0)圖象于點(diǎn)￡.

x

(1)門力&盟的面積等于,

(2)設(shè)。點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,

①試用m表示點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②試用加表示點(diǎn)￡的坐標(biāo).(要有推理和計(jì)算過程)

(3)求CE：砥的值.

(4)求生的最小值.

參考答案

1.解：（1）由y=2/2可知力（0,2）,即。1=2,

".'tanZ/4//i?=2,

：.O41,

：.H（1,0）,

?.?施力Lx軸，

???點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為1,

:點(diǎn)"在直線y=2”2上，

...點(diǎn)"的縱坐標(biāo)為4,即"（1,4）,

k

??,點(diǎn)〃在y=-±,

x

A=1X4=4；

（2）①當(dāng)7時(shí)，

'：A（0,2）,"（1,4）,

：?AAf=、后,

貝I]4公力但加，

...此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,2-加）或（0,2+加）；

②若力仁必/時(shí)，

設(shè)P（0,y）,

則^7（1-0）2+（4-y）2-

V（l-0）2+（4-y）2=V5>

解得y=2（舍）或y=6,

此時(shí)點(diǎn)戶的坐標(biāo)為（0,6）,

綜上所述，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,6）或（0,2+遙），或（0,2-“）；

（3）?.?點(diǎn)”（a,1）在反比例函數(shù)，=匡（x>0）圖象上，

X

.'.a=4,

???點(diǎn)”（4,1）,

延長(zhǎng)MN交x軸于點(diǎn)C,

設(shè)直線椒的解析式為y=m肝/

ef（m+n=4

則有《,

I4m+n=l

解得卜7,

In=5

...直線函的解析式為1-戶5.

??.點(diǎn)C是直線，=-/5與x軸的交點(diǎn),

..?點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5,0）,0（7=5,

?5△碉=3,

,,^^,mo=SEX：--XQCX4-?《X0cxi==仇;=3,

22

.-.00=2,

,:C(5,0),050),

|Ct-51=2,

.,.m=7或3,

故答案為：7或3.

工"（x》。）的圖象上，軸,

2,解:(1)2點(diǎn)4在反比例函數(shù)y=

X

S4ABd=^k=6-

故答案為：6.

(2).??點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為4,

，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(4,3),

?■?^=7(4-0)2+(3-0)2=5-

過點(diǎn)A作AHX.x軸于點(diǎn)H,如圖1所示.

要使△/P是等腰三角形，有如下三種情況:

①當(dāng)。三/時(shí)，0"=5,

，點(diǎn)戶的坐標(biāo)為（5,0）；

②當(dāng)47=4。時(shí)，。公20仁8,

，點(diǎn)戶的坐標(biāo)為（8,0）；

③當(dāng)外時(shí)，設(shè)點(diǎn)戶的橫坐標(biāo)為a,

則陽=〃=a,PH=\^-a\,

在RtZXM/P中，印=

A（4-a）2+32=a2,

解得：a=^->

O

...點(diǎn)戶的坐標(biāo)為（等，0）.

O

綜上所述，點(diǎn)戶的坐標(biāo)為（5,0）或（8,0）或（爭(zhēng)，0）.

O

（3）如圖2,在等腰RtZkMI/中，4/_Lx軸于“，

：.MH=AH=HN,

:.。而一0而、

=(0欣她(.ON-Ot/b,

=[(即例+(.OH-MH)][(即例-{OH-MFf)],

=(2M(/MM),

=(20也⑵初，

=40H?AH,

=4X12=48.

:?m=-4X2=-8.

??.反比例函數(shù)的解析式為y=—.

X

O

5、-4)在上，

X

?="=2,

經(jīng)過力(-4,2),B(2,-4),

(-4k+b=2

I2k+b=_4

[k=-l

解之得

1b=-2

???一次函數(shù)的解析式為y=-x-2；

(2)丁。是直線四與x軸的交點(diǎn),

???當(dāng)y=0時(shí)，x=-2?

工點(diǎn)C(-2,0).

S△/四=S^ACQ^S^BC0=—X2x2+yX2X4=6;

(3)由圖可得，不等式^處的解集為x《-4或0VM2.

X

4.解：(1)把4(2,6)代入尸見，得OT=2X6=12,

X

19

???反比例函數(shù)解析式為尸興，

19

把8(",1)代入＞=*得"=12,則8(12,1),

n

把4(2,6),B(12,1)代入得/k+b=6,解得k=節(jié)，

112k+b=l-

D-r

，一次函數(shù)解析式為y=-/行7；

(2)由圖象可知，不等式的解集為x<0或2Vx<12；

x

(3)設(shè)直線48與y軸的交點(diǎn)為之，設(shè)點(diǎn)￡的坐標(biāo)為(0,而、連接BE,

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,7),

：.PE^\m-7\,

,SS-&陶=5,

.,.yX|OT-7|X12-yX\m-l\X2=5.

\m-l\X(12-2)=5,

\m-7|=1.

??碼=6,乃=8,

，點(diǎn)￡的坐標(biāo)為(0,6)或(0,8).

5.解：(1)?一次函數(shù)尸?j'”。的圖象過點(diǎn)8(-8,-2),

-2=-4+b,

：.b=2.

?反比例函數(shù)"=上的圖象過點(diǎn)8(-8,-2),

X

:?k=(-8)X(-2)=16.

當(dāng)x=4時(shí)，a=-^=4,

x

???點(diǎn)彳的坐標(biāo)為(4,4).

(2)觀察函數(shù)圖象，可知:

當(dāng)-8cx<0或x>4時(shí)，一次函數(shù)2的圖象在反比例函數(shù)/=區(qū)的圖象上方,

2x

1k

二.不等式一的解集為-8<x<0或x>4.

2x

（3）設(shè)點(diǎn)戶的坐標(biāo)為（0,加，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（〃，—）.

n

分兩種情況考慮：

①48為邊，如圖2所示.

4+n=0~8

當(dāng)四邊形力為平行四邊形時(shí)，116

4+—=m-2

n

n=-12

解得：，14,

m=-3-

???點(diǎn)耳的坐標(biāo)為（0,導(dǎo);

4+0=-8+n

當(dāng)四邊形力的4為平行四邊形時(shí)，ie

4+m=-2+-

n

n=12

解得「14?

m=~

?.?點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,-專）;

②四為對(duì)角線，如圖3所示.

???四邊形在縱為平行四邊形，

4-8=0+nz_

16,解得：『，

4-2=m+—Im=6

n

，點(diǎn)戶的坐標(biāo)為（0,6）.

綜上所述：當(dāng)4B,P,。恰好是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)夕的坐標(biāo)為（0,號(hào)），

（0,一或（°，6）.

?.?a〃y軸，軸,

CD//OA,AC//OD,

，四邊形"CD是平行四邊形,

?：NAOD=90°,

?.?四邊形。4勿是矢巨形,

,-4=S矩形"四=2S△腕

...反比例函數(shù)的解析式為y=M^

X

(2)如圖2中，作做JL4C于。，交反比例函數(shù)圖象于花連接CMAN.

是等邊三角形，面積為設(shè)CD=AD=m,則

二/X2勿乂V3/77=Vs?

?"=1或-1(舍棄)，

(0,1)、C(,2),A(如,0),

:.N(2臬,1),

：.BD=DN,

'：ACLBN.

:.CB=CN,AB=AN,

,:AB=BC,

：.AB=BC=CN=AN,

二四邊形俶和是菱形,

:、N(2?,1).

(3)如圖3中，連接陽，PA,OP.設(shè)戶(a,3S).

a

13

.??當(dāng)《方=亙時(shí)，四邊形）陽的面積最小,

2a

解得a=J破-遍（舍棄），

此時(shí)P（加，V2）.

7.解：（1）過4作4C_L08,交x軸于點(diǎn)C,

?：OA=AB,NOAB=90°,

必為等腰直角三角形，

：.AC=00=BC=—08=2,

2

.1.A(2,2),

將x=2,y=2代入反比例解析式得：2號(hào)即4=4,

則反比例解析式為/=-;

X

(2)過力作軸，過8作然，

'：ZOAB=90°,

??.N0A&/BAD=9C,

VZA0B-Z0AE=90o,

4BAD=/A0E,

在△力如和△外。中，

'NAOE=NBAD

,ZAEO=ZBDA=90°,

AO=BA

：.^AOE^/\BAD(A4S),

:.AE=BD=n、0E=AD=m、

：.DE=AE-AD=n-m,OB-BD=m^n,

則B(而"，n-rri)；

(3)由力與8都在反比例圖象上，得到加=(而")("-加，

整理得：n-m=/nn,即(即■)2+--1=0,

nn

這里a=1,6=1,c=-1,

,.'△=1+4=5,

.m_-1±V5

■,—,

n2

'-A(m,n)在第一象限，

."./77>0,/7>0,

則&=匚四

n2

.nV5+l

m2

8.解：(1)在矩形力&M中，???04=80=4,0C=AB=3,

:,B(3,4),

\'OD=DB,

■■-D(*|,2),

，=K經(jīng)過0嗎2),

x2

k=3,

，反比例函數(shù)的解析式為y=-.

X

(2)如圖①中，連接如，OF.

13113

?,?S△而=5矩形叱-S△'好-5△呀-S△爐,=12-微X4X1-^X3X1一卷X3X（3-孑）=

45

8

⑶觀察圖象可知：在第一象限內(nèi),關(guān)于'的不等式的解集為：…1或3

W*W電

4

故答案為：°v、w1或皿

(4)如圖②中，作MAL做于J.HKLBD于K.

圖②

由題意⑷=。/=5,

CH=OH-00=5-3=2,

?■-BH=7BC2+CH2=Vl2+22=2泥,

：.sinZCBH=—=^-

BH5

?：OMLBH,

：.±OMH=/BCH=9N,

Y/MO出/0HM=9N,Ng/AN施=90°,

:./MOH=4CBH、

YOB=OH,0M1.BH,

NMOB=NMOH=NCBH,

J5

：.s\n^JOD=-^-,

5

J5

NJ=妙sinNNOD=ON,

5

：.NH^-ON=NFh-NJ,

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)J,N,，共線，且與次重合時(shí)，如?匹狄的值最小，最小值

5

=做的長(zhǎng),

\'OB=OH,BC-LOH.HKLOB、

:.HK=BC=4'

.?.施豆預(yù)是最小值為4.

5

9.解：(1)???6(3,4)在y=K上的圖象上,

X

I背，

AA=12,

._12

--y——,

X

當(dāng)片=4?時(shí),16

4

?39）

'3,4,

軸，PB〃x蝴,

■'P（冬4）,

O

將夕點(diǎn)代入y=mx,得學(xué)ir=4,

O

.3

..m4，

,?y=7X?

4

(2)如圖1中,過8點(diǎn)作BMA.OP干點(diǎn)、M,

k.

圖1

?：B(3,4),F，(母4),

段等，^__l

：.OB=^324S?=5,)2+42=Bp=3=

+yoOoO

SX1714

ABOP^BPX4甘XyXB號(hào)