第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖·最新考綱·1．相識(shí)柱、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)潔組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)潔物體的結(jié)構(gòu)．2．能畫出簡(jiǎn)潔空間圖形(長(zhǎng)方形、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖．3．會(huì)用平行投影方法畫出簡(jiǎn)潔空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式．·考向預(yù)料·考情分析：空間幾何體的結(jié)構(gòu)、空間幾何體的三視圖與直觀圖仍會(huì)是高考的熱點(diǎn)，多結(jié)合幾何體的體積和表面積的計(jì)算進(jìn)行考查．命題形式主要以選擇題、填空題為主．學(xué)科素養(yǎng)：通過(guò)三視圖的識(shí)別及應(yīng)用考查直觀想象的核心素養(yǎng)．積累必備學(xué)問(wèn)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開(kāi)端一、必記4個(gè)學(xué)問(wèn)點(diǎn)1．多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面相互____且____多邊形相互____側(cè)棱________相交于____，但不肯定相等延長(zhǎng)線交于____側(cè)面形態(tài)__________________2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線相互平行且相等，____于底面相交于____延長(zhǎng)線交于____軸截面全等的____全等的________全等的____________側(cè)面綻開(kāi)圖____________[提示]臺(tái)體是由錐體截得的，留意截面與底面平行且側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)．3．直觀圖(1)畫法：常用________．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸，y軸，z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸，y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸(或y′軸)________．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍________.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度________，平行于y軸的線段的長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的________．4．三視圖(1)幾何體的三視圖包括________視圖、______視圖、________視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方視察幾何體畫出的輪廓線．(2)三視圖的畫法①基本要求：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等．②畫法規(guī)則：________一樣高，________一樣長(zhǎng)，________一樣寬，看不到的線畫虛線．二、必明3個(gè)常用結(jié)論1．常見(jiàn)幾何體的三視圖類型及其幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)三視圖為三個(gè)三角形，一般對(duì)應(yīng)三棱錐；(2)三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)四邊形，一般對(duì)應(yīng)四棱錐；(3)三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)圓，一般對(duì)應(yīng)圓錐；(4)三視圖為一個(gè)三角形，兩個(gè)四邊形，一般對(duì)應(yīng)三棱柱；(5)三視圖為兩個(gè)四邊形，一個(gè)圓，一般對(duì)應(yīng)圓柱．2．斜二測(cè)畫法中的“三變”與“三不變”3．原圖形與直觀圖面積的關(guān)系依據(jù)斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形的面積的關(guān)系：(1)S直觀圖＝24S原圖形；(2)S原圖形＝22S三、必練4類基礎(chǔ)題(一)推斷正誤1．推斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)棱臺(tái)是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分．()(4)夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是圓柱．()(5)上下底面是兩個(gè)平行的圓面的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)．()(二)教材改編2．[必修2·P8習(xí)題T1改編]下列說(shuō)法不正確的是()A.棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等B.棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等C.三棱臺(tái)的上、下底面是相像三角形D.有的棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等3．[必修2·P8習(xí)題T1改編]在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為_(kāi)_______(填寫全部正確的序號(hào))(三)易錯(cuò)易混4．(三個(gè)視圖間的關(guān)系不清)將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()5．(斜二測(cè)畫法的規(guī)則不清)利用斜二測(cè)畫法得到的：①三角形的直觀圖肯定是三角形；②正方形的直觀圖肯定是菱形；③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；④菱形的直觀圖肯定是菱形．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是________．(四)走進(jìn)高考6．[2024·全國(guó)乙卷]以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為_(kāi)___________(寫出符合要求的一組答案即可)．提升關(guān)鍵實(shí)力——考點(diǎn)突破駕馭類題通法考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征[基礎(chǔ)性]1．下列結(jié)論正確的是()A．側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐B．六條棱長(zhǎng)均相等的四面體是正四面體C．有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱D．用一個(gè)平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫圓臺(tái)2．下列說(shuō)法中正確的是()①棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形；②三棱柱的側(cè)面為三角形；③四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面；④棱錐的各側(cè)棱長(zhǎng)都相等．A．①②B．①③C．②③D．②④3.[2024·全國(guó)卷Ⅰ]埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形態(tài)可視為一個(gè)正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為()A．5-14C．5+144．[2024·全國(guó)卷Ⅱ]中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形態(tài)多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形態(tài)是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的全部頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_(kāi)_______．反思感悟空間幾何體概念的辨析方法考點(diǎn)二空間幾何體的直觀圖[綜合性][例1]已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，那么△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為_(kāi)_______．聽(tīng)課筆記：一題多變?nèi)衾?中將“正三角形△ABC的邊長(zhǎng)為2”改為“正△A′B′C′的邊長(zhǎng)為2”，則△ABC的面積為_(kāi)_______．反思感悟原圖與直觀圖中的“三變”與“三不變”【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．以下關(guān)于斜二測(cè)直觀圖的結(jié)論，①角的水平放置的直觀圖肯定是角；②相等的角在直觀圖中仍舊相等；③相等的線段在直觀圖中仍舊相等；④若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍舊平行．其中正確的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．32．用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是()3.有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為_(kāi)_______．考點(diǎn)三空間幾何體的三視圖[綜合性]角度1已知幾何體，識(shí)別三視圖[例2]如圖，四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)(長(zhǎng)方體是虛擬圖形，起協(xié)助作用)，則四面體ABCD的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是(用①②③④⑤⑥代表圖形)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D(zhuǎn)．③④⑤聽(tīng)課筆記：反思感悟已知幾何體，識(shí)別三視圖的步驟(1)弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征及詳細(xì)形態(tài)、明確幾何體的擺放位置；(2)依據(jù)三視圖的有關(guān)定義和規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最終確定側(cè)視圖；(3)被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線，若相鄰兩個(gè)物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，對(duì)于簡(jiǎn)潔的組合體，要留意它們的組合方式，特殊是它們的交線位置．角度2已知三視圖還原幾何體[例3][2024·全國(guó)卷Ⅱ]如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為()A．EB．FC．GD．H聽(tīng)課筆記：反思感悟由三視圖確定幾何體的步驟角度3已知三視圖中的部分視圖，推斷其他視圖．[例4](1)[2024·全國(guó)甲卷]在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G.該正方體截去三棱錐A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是()(2)把邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱錐C-ABD的正視圖與俯視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為()A．12B．22C．2聽(tīng)課筆記：反思感悟由幾何體的部分視圖確定剩余視圖的方法解決此類問(wèn)題，可先依據(jù)已知的一部分視圖，還原、推想直觀圖的可能形式，然后再找其剩下的部分視圖的可能形式，當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入檢驗(yàn)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2024·山西省八校高三聯(lián)考]已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形，則該幾何體中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為()A．2B．32C．3D．222．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，在該幾何體的各個(gè)面中，面積最大面的面積是()A．2B．22C．23D．4第八章立體幾何初步第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖積累必備學(xué)問(wèn)一、1．平行相等平行平行且相等一點(diǎn)一點(diǎn)平行四邊形三角形梯形2．垂直一點(diǎn)一點(diǎn)矩形等腰三角形等腰梯形圓矩形扇形扇環(huán)3．(1)斜二測(cè)畫法(2)垂直平行于坐標(biāo)軸不變一半4．(1)正側(cè)俯(2)正側(cè)正俯側(cè)俯三、1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．解析：依據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征知，棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)不肯定都相等．答案：B3．解析：由棱柱的定義可推斷③⑤屬于棱柱．答案：③⑤4．解析：由幾何體的正視圖、俯視圖以及題意可畫出幾何體的直觀圖，如圖所示．則該幾何體的側(cè)視圖為B.答案：B5．解析：由斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知①正確；②錯(cuò)誤，正方形的直觀圖是一般的平行四邊形；③錯(cuò)誤，因?yàn)樾倍y(cè)畫法平行關(guān)系不變，所以等腰梯形的直觀圖不行能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不肯定是菱形，故④也錯(cuò)誤．答案：16．解析：依據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”及圖中數(shù)據(jù)，可知圖②③只能是側(cè)視圖，圖④⑤只能是俯視圖，則組成某個(gè)三棱錐的三視圖，所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次是③④或②⑤.若是③④，則原幾何體如圖1所示；若是②⑤，則原幾何體如圖2所示．答案：③④(答案不唯一，②⑤也可)提升關(guān)鍵實(shí)力考點(diǎn)一1．解析：底面是等邊三角形，且各側(cè)面三角形全等，這樣的三棱錐才是正三棱錐，A錯(cuò)；斜四棱柱也有可能兩個(gè)側(cè)面是矩形，所以C錯(cuò)；截面平行于底面時(shí)，底面與截面之間的部分才叫圓臺(tái)，D錯(cuò)．答案：B2．解析：由棱錐的定義可知，棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形，①正確；由棱錐的定義可知，棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，②錯(cuò)誤；③正確；棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)可以相等，也可以不相等，但各側(cè)棱必需有一個(gè)公共頂點(diǎn)，④錯(cuò)誤．故選B.答案：B3．解析：如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)BC＝a，側(cè)面等腰三角形底邊上的高PM＝h，則正四棱錐的高PO＝h2∴以|PO|為邊長(zhǎng)的正方形面積為h2－a2側(cè)面三角形面積為12ah∴h2－a24＝1∴4h2－2ah－a2＝0，兩邊同除以a2可得4ha2－2·解得ha＝1±又∵h(yuǎn)a>0，∴ha＝答案：C4．解析：依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個(gè)面都在正方體的表面上，且該半正多面體的表面由18個(gè)正方形，8個(gè)正三角形組成，因此題中的半正多面體共有26個(gè)面．留意到該半正多面體的俯視圖的輪廓是一個(gè)正八邊形，設(shè)題中的半正多面體的棱長(zhǎng)為x，則22x＋x＋22x＝1，解得x＝2－1，故題中的半正多面體的棱長(zhǎng)為答案：262－1考點(diǎn)二例1解析：如圖，圖①，圖②所示的分別是實(shí)際圖形和直觀圖．從圖②可知，A′B′＝AB＝2，O′C′＝12OC＝32，C′D′＝O′C′sin45°＝32所以S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×2×64答案：6一題多變解析：如圖，圖①，圖②所示的分別是實(shí)際圖形和直觀圖．從圖②可知，AB＝A′B′＝2，在△O′A′C′中，由正弦定理，得O'C'所以O(shè)′C′＝sin120°sin圖①圖②所以△ABC的高OC＝2O′C′＝26.所以S△ABC＝12×2×26＝26答案：26對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：角的水平放置的直觀圖肯定是角，①正確；相等的角在直觀圖中不肯定相等，例如在正方體ABCD-EFGO的直觀圖中∠ADC≠∠DAB，故②錯(cuò)誤；相等的線段在直觀圖中不肯定相等，例如在正方體ABCD-EFGO的直觀圖中AD＝12DC，故③錯(cuò)誤；若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍舊答案：C2．解析：由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對(duì)角線長(zhǎng)為2，所以原圖形為平行四邊形，位于y軸上的對(duì)角線長(zhǎng)為22.答案：A3.解析：如圖，在直觀圖中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E.在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝22而四邊形AECD為矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝22由此可還原原圖形如圖．在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝22且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴這塊菜地的面積S＝12(A′D′＋B′C′)·A′B′＝12×答案：2＋2考點(diǎn)三例2解析：正視