例如圖所示,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E,F是AD上的兩個三等分點(diǎn),

·

=4,

·

=-1,則

·

的值是

.

解析解法一:設(shè)

=a,

=b,根據(jù)題意有

整理得

于是

·

=

=

.解法二:設(shè)?=a,?=b,則?·

=(a+3b)·(-a+3b)=9|b|2-|a|2=4,?·

=(a+b)·(-a+b)=|b|2-|a|2=-1,解得|a|2=

,|b|2=

,則

·

=(a+2b)·(-a+2b)=4|b|2-|a|2=

.答案

考向基礎(chǔ)1.若A(x1,y1),B(x2,y2),則|

|=?.2.已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)a·b=x1x2+y1y2.(2)|a|=?,|b|=?.(3)若a與b的夾角為θ,則cosθ=

.(4)a⊥b?x1x2+y1y2=0.知識拓展若a=(x,y),則|a|=

,所以向量a的單位向量a0=

=

(x,y)=

.例1

(2018全國名校大聯(lián)考,10)設(shè)向量a,b,c滿足|a|=|b|=2,a·b=-2,<a-c,b-

c>=60°,則|c|的最大值等于

()A.4

B.2

C.

D.1考向一

平面向量的長度、夾角問題考向突破解析因為|a|=|b|=2,a·b=-2,所以cos<a,b>=

=-

,所以<a,b>=120°.如圖所示,設(shè)

=a,

=b,

=c,則

=a-c,

=b-c,∠AOB=120°,故∠ACB=60°,因為∠AOB+∠ACB=180°,所以A,O,B,C四點(diǎn)共圓.不妨設(shè)為圓

M.因為

=b-a,所以?=a2-2a·b+b2=12.所以|?|=2

,由正弦定理可得,△AOB的外接圓即圓M的直徑為

=4.所以,當(dāng)OC為圓M的直徑時,|c|取得最大值4.故選A.例2

(2018湖北武漢調(diào)研,6)設(shè)A、B、C是半徑為1的圓O上的三點(diǎn),且

⊥

,則(

-

)·(

-

)的最大值是

()A.1+

B.1-

C.

-1

D.1考向二

數(shù)量積的綜合應(yīng)用解析解法一:∵

⊥

,|

|=|

|=1,∴|

+

|=

=

.設(shè)(

+

)與

的夾角為θ,則(

-

)·(

-

)=

-(

+

)·

+

·

=1-

cosθ,又∵θ∈[0,π],∴cosθ∈[-1,1],∴(

-

)·(

-

)=1-

cosθ∈[1-

,1+

],∴(

-

)·(

-

)的最大值為

+1,故選A.解法二:以O(shè)為原點(diǎn),OA所在直線為x軸,OB所在直線為y軸建立平面直角

坐標(biāo)系(取

的方向為x軸正方向,

的方向為y軸正方向),則A(1,0),B(0,1).設(shè)C(cosθ,sinθ)(θ∈[0,2π)),∴

-

=(cosθ-1,sinθ),

-

=(cosθ,sinθ-1),∴(

-

)·(

-

)=cosθ(cosθ-1)+sinθ(sinθ-1)=cos2θ+sin2θ-(sinθ+cosθ)=1-

sin

,∵θ∈[0,2π),∴sin

∈[-1,1],∴(

-

)·(

-

)的最大值為

+1,故選A.方法1

求向量長度的方法向量的長度即向量的模,通常有以下求解方法:(1)|a|=

;(2)|a±b|=

;(3)若a=(x,y),則|a|=?;(4)解向量所在三角形,轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長;(5)通過解方程(組)求解.解題導(dǎo)引

解析解法一(公式法):由題意知a·b=|a|·|b|·cos60°=2×1×

=1,則|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b=4+4+4=12.所以|a+2b|=2

.解法二(坐標(biāo)法):根據(jù)已知條件建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,由題意,取a=(2,0),b=

,則a+2b=(3,

),所以|a+2b|=

=2

.答案2

方法2

求向量夾角問題的方法1.當(dāng)a,b是非坐標(biāo)形式時,求a與b的夾角,需求得a·b及|a|,|b|或得出它們之

間的關(guān)系.2.若已知a與b的坐標(biāo),則可直接利用公式cosθ=

求解,平面向量a與b的夾角θ∈[0,π].3.轉(zhuǎn)化成解三角形,利用正弦定理或余弦定理求解.解析

e1·e2=|e1||e2|cos60°=

,a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6

+2

+e1·e2=-

,|a|=?=?=

=

,|b|=?=?=

=

,所以a,b的夾角的余弦值為cos<a,b>=

=

=-

,所以<a,b>=120°.選D.例3

(2017天津,13,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若

=2

,

=λ

-

(λ∈R),且

·

=-4,則λ的值為

.解題導(dǎo)引

解析如圖,由

=2

得

=

+

,所以

·

=

·