§6.1數(shù)列的概念課標(biāo)要求1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)．知識梳理1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個數(shù)通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式遞推公式如果一個數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an2.數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1>an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1<an常數(shù)列an＋1＝an擺動數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an，記為an＝f(n)．常用結(jié)論1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2，n∈N*)；若an最小，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2，n∈N*)．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)數(shù)列1,2,3與3,2,1是兩個不同的數(shù)列．(√)(2)數(shù)列1,0,1,0,1,0，…的通項(xiàng)公式只能是an＝eq\f(1＋－1n＋1,2).(×)(3)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．(×)(4)若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點(diǎn)．(√)2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝9＋12n，則在下列各數(shù)中，不是{an}的項(xiàng)的是()A．21B．33C．152D．153答案C解析由數(shù)列的通項(xiàng)公式得，a1＝21，a2＝33，a12＝153.3．(選擇性必修第二冊P8T4改編)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋n，那么它的通項(xiàng)公式an等于()A．n B．2nC．2n＋1 D．n＋1答案B解析∵a1＝S1＝1＋1＝2，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n(n≥2)，當(dāng)n＝1時，2n＝2＝a1，∴an＝2n.4．(選擇性必修第二冊P9T5改編)如圖，古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．如圖中的數(shù)1,5,12,22，…稱為五邊形數(shù)，則第8個五邊形數(shù)是________．答案92解析∵5－1＝4,12－5＝7,22－12＝10，∴相鄰兩個圖形的小石子數(shù)的差值依次增加3，∴第5個五邊形數(shù)是22＋13＝35，第6個五邊形數(shù)是35＋16＝51，第7個五邊形數(shù)是51＋19＝70，第8個五邊形數(shù)是70＋22＝92.題型一由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式例1(1)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若2Sn＝3an－3，則a4等于()A．27B．81C．93D．243答案B解析根據(jù)2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，兩式相減得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an，當(dāng)n＝1時，2S1＝2a1＝3a1－3，解得a1＝3，所以數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以a4＝a1q3＝34＝81.(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，則an＝________.答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,\f(2n－1,n)，n≥2))解析由已知，可得當(dāng)n＝1時，a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②由①－②，得nan＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝eq\f(2n－1,n)(n≥2)，當(dāng)n＝1時，不滿足上式，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,\f(2n－1,n)，n≥2.))思維升華an與Sn的關(guān)系問題的求解思路(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2023·濰坊統(tǒng)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sm＋Sn＝Sm＋n，若a1＝2，則a20等于()A．2B．4C．20D．40答案A解析方法一a20＝S20－S19＝S18＋S2－(S18＋S1)＝S2－S1＝S1＝a1＝2.方法二令m＝1，∴Sn＋S1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝S1＝2，∴an＋1＝2，∴a20＝2.(2)(2023·深圳模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝3且當(dāng)n≥2時，2an＝Sn·Sn－1，則{an}的通項(xiàng)公式an＝________________.答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,\f(18,5－3n8－3n)，n≥2))解析當(dāng)n≥2時，由2an＝Sn·Sn－1可得2Sn－2Sn－1＝Sn·Sn－1，化為eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝－eq\f(1,2)，因?yàn)閑q\f(1,S1)＝eq\f(1,a1)＝eq\f(1,3)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首項(xiàng)為eq\f(1,3)，公差為－eq\f(1,2)的等差數(shù)列，所以eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,2)(n－1)＝－eq\f(1,2)n＋eq\f(5,6)，所以Sn＝eq\f(6,5－3n)，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(18,5－3n8－3n)，又因?yàn)閍1＝3，不符合上式，故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,\f(18,5－3n8－3n)，n≥2.))題型二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式命題點(diǎn)1累加法例2若數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，且a1＝1，則數(shù)列{an}的第100項(xiàng)為()A．2 B．3C．1＋lg99 D．2＋lg99答案B解析因?yàn)閍n＋1－an＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))＝lgeq\f(n＋1,n)＝lg(n＋1)－lgn，所以a100－a99＝lg100－lg99，…a3－a2＝lg3－lg2，a2－a1＝lg2－lg1，以上99個式子累加得a100－a1＝lg100，所以a100＝lg100＋1＝3.命題點(diǎn)2累乘法例3設(shè)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝eq\f(n,n＋1)an，則an＝________.答案eq\f(2,n)解析∵an＋1＝eq\f(n,n＋1)an，a1＝2，∴an≠0，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，∴an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·eq\f(an－2,an－3)·…·eq\f(a3,a2)·eq\f(a2,a1)·a1＝eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)·eq\f(n－3,n－2)·…·eq\f(1,2)·2＝eq\f(2,n)(n≥2)．當(dāng)n＝1時，a1＝2滿足上式．思維升華(1)形如an＋1－an＝f(n)的數(shù)列，利用累加法，即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(2)形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的數(shù)列，利用累乘法即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為______．答案an＝eq\f(n2＋n,2)解析由題意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝eq\f(n－12＋n,2)＝eq\f(n2＋n－2,2).∵a1＝1，∴an＝eq\f(n2＋n,2)(n≥2)．∵當(dāng)n＝1時，a1＝1也滿足此式，∴an＝eq\f(n2＋n,2).(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，(n＋1)an＋1＝2(n＋2)an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為____________．答案an＝(n＋1)·2n－1(n∈N*)解析∵(n＋1)an＋1＝2(n＋2)an，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(2n＋2,n＋1)，則an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝2n－1·a1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)×\f(4,3)×\f(5,4)×…×\f(n＋1,n)))＝(n＋1)·2n－1(n≥2)．當(dāng)n＝1時，a1＝2滿足上式，∴an＝(n＋1)·2n－1(n∈N*)．題型三數(shù)列的性質(zhì)命題點(diǎn)1數(shù)列的單調(diào)性例4已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－3λn，則“λ<1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則an＋1－an＝[(n＋1)2－3λ(n＋1)]－(n2－3λn)＝(n2＋2n＋1－3λn－3λ)－(n2－3λn)＝2n＋1－3λ>0，即3λ<2n＋1，由于n∈N*，所以3λ<2×1＋1＝3，解得λ<1，反之，當(dāng)λ<1時，an＋1－an>0，則數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，所以“λ<1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的充要條件．命題點(diǎn)2數(shù)列的周期性例5若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，則a2024的值為()A．2B．－3C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)答案D解析由題意知，a1＝2，a2＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3，a3＝eq\f(1－3,1＋3)＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)，a5＝eq\f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3))＝2，a6＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3，…，因此數(shù)列{an}是周期為4的周期數(shù)列，所以a2024＝a506×4＝a4＝eq\f(1,3).命題點(diǎn)3數(shù)列的最值例6數(shù)列{bn}滿足bn＝eq\f(3n－7,2n－1)，則當(dāng)n＝________時，bn取最大值為________．答案4eq\f(5,8)解析方法一bn－bn－1＝eq\f(3n－7,2n－1)－eq\f(3n－10,2n－2)＝eq\f(13－3n,2n－1)，∴當(dāng)n≤4時，bn>bn－1，∴{bn}單調(diào)遞增，當(dāng)n≥5時，bn<bn－1，∴{bn}單調(diào)遞減，故當(dāng)n＝4時，(bn)max＝b4＝eq\f(5,8).方法二令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn≥bn＋1，,bn≥bn－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3n－7,2n－1)≥\f(3n－4,2n)，,\f(3n－7,2n－1)≥\f(3n－10,2n－2)，))解得eq\f(10,3)≤n≤eq\f(13,3)，又n∈N*，故n＝4，故當(dāng)n＝4時，(bn)max＝b4＝eq\f(5,8).思維升華(1)解決數(shù)列的周期性問題，先求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．(2)解決數(shù)列的單調(diào)性問題，常用作差比較法，根據(jù)差的符號判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2024·安康模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝a2＝1，a3＝a4＝2，an＋an＋4＝0，則()A．S23>S21>S22 B．S21>S22>S23C．S21>S23>S22 D．S23>S22>S21答案B解析因?yàn)閍n＋an＋4＝0，所以an＋4＝－an，所以an＋8＝－an＋4＝an，所以{an}是以8為周期的周期數(shù)列，又a1＝a2＝1，a3＝a4＝2，所以a6＝－a2＝－1，a7＝－a3＝－2，所以S22－S21＝a22＝a6＝－1<0，S23－S22＝a23＝a7＝－2<0，所以S22<S21，S23<S22，故S21>S22>S23.(2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝eq\f(2n－19,2n－21)，n∈N*，則數(shù)列{an}前20項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的值分別為________．答案3，－1解析an＝eq\f(2n－19,2n－21)＝eq\f(2n－21＋2,2n－21)＝1＋eq\f(2,2n－21)，當(dāng)n≥11時，eq\f(2,2n－21)>0，且單調(diào)遞減；當(dāng)1≤n≤10時，eq\f(2,2n－21)<0，且單調(diào)遞減．因此數(shù)列{an}前20項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別為第11項(xiàng)，第10項(xiàng)，則a11＝3，a10＝－1.課時精練一、單項(xiàng)選擇題1．若數(shù)列的前4項(xiàng)分別是eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,5)，則此數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為()A.eq\f(－1n＋1,n＋1) B.eq\f(－1n,n＋1)C.eq\f(－1n,n) D.eq\f(－1n－1,n)答案A解析由于數(shù)列的前4項(xiàng)分別是eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,5)，可得奇數(shù)項(xiàng)為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)，第n項(xiàng)的絕對值等于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)))，故此數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為eq\f(－1n＋1,n＋1).2．(2023·北京模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝n2－1，則a3等于()A．－5B．5C．7D．8答案B解析因?yàn)镾n＝n2－1，所以a3＝S3－S2＝(32－1)－(22－1)＝5.3．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，an＋1－an＝2n－8(n∈N*)，則a8等于()A．0B．3C．8D．11答案B解析由an＋1－an＝2n－8，得a2－a1＝－6，a3－a2＝－4，…，a8－a7＝6，由累加法得a8－a1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，所以a8＝a1＝3.4．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為n2，那么當(dāng)n≥2時，an等于()A．2n－1 B．n2C.eq\f(n＋12,n2) D.eq\f(n2,n－12)答案D解析設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則Tn＝n2，當(dāng)n≥2時，an＝eq\f(Tn,Tn－1)＝eq\f(n2,n－12).5．已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，則a2024的值為()A．2B．1C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)答案A解析因?yàn)閍n·an＋2＝an＋1(n∈N*)，由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，由a3＝2，a4＝1，得a5＝eq\f(1,2)，由a4＝1，a5＝eq\f(1,2)，得a6＝eq\f(1,2)，由a5＝eq\f(1,2)，a6＝eq\f(1,2)，得a7＝1，由a6＝eq\f(1,2)，a7＝1，得a8＝2，由此推理可得數(shù)列{an}是周期為6的數(shù)列，所以a2024＝a2＝2.6．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝eq\f(n,n2＋90)，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)的值是()A．3eq\r(10)B．19C.eq\f(1,19)D.eq\f(\r(10),60)答案C解析令f(x)＝x＋eq\f(90,x)(x>0)，運(yùn)用基本不等式得f(x)≥6eq\r(10)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3eq\r(10)時，等號成立．因?yàn)閍n＝eq\f(1,n＋\f(90,n))，n∈N*，所以eq\f(1,n＋\f(90,n))≤eq\f(1,6\r(10))，所以當(dāng)n＝9或n＝10時，an＝eq\f(1,19)最大．二、多項(xiàng)選擇題7．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n＋2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))n，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)1是數(shù)列{an}的最小項(xiàng)B．a(chǎn)4是數(shù)列{an}的最大項(xiàng)C．a(chǎn)5是數(shù)列{an}的最大項(xiàng)D．當(dāng)n≥5時，數(shù)列{an}是遞減數(shù)列答案BCD解析假設(shè)第n項(xiàng)為{an}的最大項(xiàng)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))n≥n＋1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))n－1，,n＋2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))n≥n＋3·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))n＋1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n≤5，,n≥4，))又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故在數(shù)列{an}中a4與a5均為最大項(xiàng)，且a4＝a5＝eq\f(65,74)，當(dāng)n≥5時，數(shù)列{an}是遞減數(shù)列．8．(2023·揚(yáng)州儀征中學(xué)模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\f(an＋\r(a\o\al(2,n)＋1),2)，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)2023>a2022B．4aeq\o\al(2,n＋1)－1＝4an＋1anC.eq\f(1,a\o\al(2,n))＋eq\f(15,a\o\al(2,n＋1))的最小值為8＋eq\r(15)D．a(chǎn)n≥1答案ABD解析因?yàn)閍n＋1－an＝eq\f(an＋\r(a\o\al(2,n)＋1),2)－an＝eq\f(\r(a\o\al(2,n)＋1)－an,2)>0，即an＋1>an，所以an≥a1＝1，故D正確；因?yàn)閍n＋1>an，所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，可得a2023>a2022，故A正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)閍n＋1＝eq\f(an＋\r(a\o\al(2,n)＋1),2)，則2an＋1－an＝eq\r(a\o\al(2,n)＋1)，兩邊平方整理得4aeq\o\al(2,n＋1)－1＝4an＋1an，故B正確；對于選項(xiàng)C，因?yàn)閿?shù)列{an}為遞增數(shù)列且an≥1>0，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a\o\al(2,n))))為遞減數(shù)列，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a\o\al(2,n))＋\f(15,a\o\al(2,n＋1))))為遞減數(shù)列，不存在最小值，故C錯誤．三、填空題9．若an＝－2n2＋29n＋3，則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是第________項(xiàng)．答案7解析由題意得，an＝－2n2＋29n＋3，其對應(yīng)的二次函數(shù)為y＝－2x2＋29x＋3，函數(shù)y＝－2x2＋29x＋3的圖象開口向下，對稱軸為x＝eq\f(29,4)，因?yàn)閚為正整數(shù)，所以當(dāng)n＝7時，an取得最大值．10．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(1,3)an＋eq\f(2,3)，則{an}的通項(xiàng)公式an＝________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1解析當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝eq\f(1,3)a1＋eq\f(2,3)，所以a1＝1；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,3)an－eq\f(1,3)an－1，所以eq\f(an,an－1)＝－eq\f(1,2)，所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，－eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列，故an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1.11．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，(n－1)an＝n·2nan－1(n∈N*，n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．答案an＝解析當(dāng)n≥2時，有(n－1)an＝n·2nan－1，故eq\f(an,an－1)＝eq\f(n,n－1)·2n，則有eq\f(an－1,an－2)＝eq\f(n－1,n－2)·2n－1，eq\f(an－2,an－3)＝eq\f(n－2,n－3)·2n－2，…，eq\f(a2,a1)＝eq\f(2,1)×22.上述n－1個式子累乘，得eq\f(an,a1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n－1)·2n))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n－2)·2n－1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－2,n－3)·2n－2))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1)×22))＝n·2n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＝.因?yàn)閍1＝1，所以an＝，而當(dāng)n＝1時，a1＝1×20＝1，也滿足上式，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝.12．(2024·重慶模擬)九連環(huán)是中國的一種古老智力游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，環(huán)環(huán)相扣，以解開為勝，趣味無窮．現(xiàn)假設(shè)有n個圓環(huán)，用an表示按照某種規(guī)則解下n個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，且數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＝an－2＋2n－1(n≥3，n∈N*)，則解開九連環(huán)最少需要移動________次．答案341解析由題意，an＝an－2＋2n－1，故a3－a1＝22，a5－a3＝24，…a2n－1－a2n－3＝22n－2，以上各式相加，可得a2n－1－a1＝22＋24＋…＋22n－2＝41＋42＋…＋4n－1，即a2n－1＝1＋41＋42＋…＋4n－1＝eq\f(1－4n,1－4)＝eq\f(4n－1,3)，所以按規(guī)則解開九連環(huán)最少需要移動的次數(shù)為a9＝eq\f(45－1,3)＝341.四、解答題13．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝1，an＋1＝2eq\r(Sn)＋1.(1)求a2的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解(1)∵a1＝1，an＋1＝2eq\r(Sn)＋1，∴a2＝2eq\r(S1)＋1＝2eq\r(a1)＋1＝3.(2)方法一由an＋1＝2eq\r(Sn)＋1，得Sn＋1－Sn＝2eq\r(Sn)＋1，故Sn＋1＝(eq\r(Sn)＋1)2.∵an>0，∴Sn>0，∴eq\r(Sn＋1)＝eq\r(Sn)＋1，即eq\r(Sn＋1)－eq\r(Sn)＝1，則eq\r(Sn)－eq\r(Sn－1)＝1(n≥2)，由累加法可得eq\r(Sn)＝1＋(n－1)＝n，∴Sn＝n2(n≥2)，又S1＝a1＝1，滿足上式，∴Sn＝n2.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又a1＝1適合上式，∴an＝2n－1.方法二由an＋1＝2eq\r(Sn)＋1，得(an＋1－1)2＝4Sn，當(dāng)n≥2時，(an－1)2＝4Sn－1，∴(an＋1－1)2－(an－1)2＝4(Sn－Sn－1)＝4an.∴aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)－2an＋1－2an＝0，即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0.∵an>0，∴an＋1－an＝2(n≥2)．a(chǎn)2－a1＝2，∴{an}為等差數(shù)列，且公差為2，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.14．已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)記bn＝3n－λaeq\o\al(2,n)，若數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．解(1)∵2Sn＝(n＋1)an，∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，即nan＋1＝(n＋1)an，∴eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(an,n)，∴eq\f(an,n)＝eq\f(an－1,n－1)＝…＝eq\f(a1,1)＝1，∴an＝n(n∈N*)．(2)∵bn＝3n－λn2，∴bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)．∵數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列，∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<eq\f(2·3n,2n＋1).令cn＝eq\f(2·3n,2n＋1)，則eq\f(cn＋1,cn)＝eq\f(2·3n＋1,2n＋3)·eq\f(2n＋1,2·3n)＝eq\f(6n＋3,2n＋3)>1，∴{cn}為遞增數(shù)列，∴λ<c1＝2，即λ的取值范圍為(－∞，2)．15．(多選)“斐波那契數(shù)列”由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契發(fā)現(xiàn)．因?yàn)殪巢瞧跻酝米臃敝碁槔佣耄视址Q該數(shù)列為“兔子數(shù)列”．“斐波那契數(shù)列”{an}滿足a1＝1，a2